Introduzione a LEONARDI BIGOLLI PISANI
Liber Abbaci, edidit E. Giusti adiuvante P. d'Alessandro,
Firenze: Olschki, 2020
Fin dall'inizio del XIX secolo, e pi
ù
ancora dopo la pubblicazione da parte di Baldassarre Boncompagni, il
Liber Abbaci
è
stato oggetto di un gran numero di commenti e di analisi, che sarebbe
impossibile registrare individualmente. Tra tutti, si erge per la sua
completezza il saggio di Heinz L
ü
neburg;
anche utili sono i saggi editi in occasione
dell'ottavo centenario della sua pubblicazione,
e per
un'introduzione alla vita e alle opere di Leonardo Pisano il volume
curato da Pier Daniele Napolitani.
Rinviando il lettore a questi lavori, in particolare al libro di L
ü
neburg per una descrizione dettagliata, mi limiter
ò
qui a brevi cenni.
Il
Liber Abbaci si divide in quindici capitoli, raggruppati
intorno a quattro aree tematiche. La prima parte, che include i
capitoli 1-7,
è
dedicata alla scrittura posizionale dei numeri e alle regole delle
operazioni aritmetiche. Segue una seconda parte, dall'ottavo
all'undicesimo capitolo, che tratta di vari problemi relativi al
commercio. Il dodicesimo capitolo
è
dedicato a un'ampia gamma di problemi miscellanei, che possiamo
classificare come matematica ricreativa, anche se alcuni di essi
hanno un innegabile contenuto teorico. Infine i capitoli dal
tredicesimo al quindicesimo contengono la parte pi
ù
avanzata del volume: la doppia falsa posizione, il calcolo delle
radici quadrate e cubiche e le operazioni relative, l'algebra.
Veniamo ora al contenuto dei singoli capitoli. Il primo
è
un'introduzione alle cifre indo-arabe, in particolare alla scrittura
e alla lettura dei numeri. Bench
é
non lo dica esplicitamente, Leonardo ha chiaro che il vantaggio della
notazione posizionale rispetto ad altre forme di registrazione dei
numeri, in particolare ai numeri romani, consiste nella possibilit
à
di scrivere e leggere numeri arbitrariamente grandi. Da notare che,
conformemente all'uso arabo, Leonardo numera le posizioni delle cifre
da destra verso sinistra: la prima cifra di un numero
è
quella delle unit
à
, la seconda delle decine e cos
ì
via. Viene poi la cosiddetta
“
indigitazione
”
, cio
è
la registrazione dei numeri da 1 a 9999 sulle due mani: le unit
à
e le decine nella mano sinistra, le centinaia e le migliaia nella
destra. Il capitolo termina con le tavole di addizione e di
moltiplicazione.
I tre capitoli che seguono trattano dell'aritmetica degli interi: pi
ù
precisamente il secondo capitolo
è
dedicato alla moltiplicazione, il terzo all'addizione e il quarto
alla sottrazione. Da notare che la moltiplicazione precede
l'addizione. Questo fatto pu
ò
sembrare strano al lettore moderno, ma probabilmente dipende dalla
particolare tecnica di moltiplicazione, nella quale le addizioni
necessarie vengono fatte direttamente nel corso del calcolo, e non
alla fine come si usa oggi. Ad esempio, per moltiplicare 12 per 23,
Leonardo moltiplica 2 per 3, che fa 6; poi 1 per 3 e 2 per 2, che
fanno 7, e infine 1 per 2, che d
à
il risultato 276. Naturalmente le cose si complicano quando si devono
moltiplicare numeri di pi
ù
cifre (e Leonardo arriva fino a numeri di otto cifre ciascuno); in
questo caso il numero dei prodotti parziali da sommare mentalmente
aumenta rapidamente e i calcoli diventano pi
ù
lunghi e verbosi, anche se un certo aiuto viene dalla simmetria:
et primam per octavam et primam per octavam et secundam per septimam
et secundam per septimam, scilicet eas que sunt secus primam et
octavam, et tertiam per sextam et tertiam per sextam, eo quod sunt
secus secundas et septimas, et quartam per quintam, et quartam per
quintam, ideo quia sunt secus tertias et sextas, et ponat.
Solo alla fine del capitolo troviamo una moltiplicazione a
“
quadrilatero
”
, che a parte la disposizione grafica differente
è
essenzialmente simile alla tecnica moderna.
Della somma e della sottrazione c'
è
poco da dire, tranne che alla fine del terzo capitolo troviamo un
cenno, il solo dell'intera opera, alla tenuta dei libri contabili. Di
tutte queste operazioni Leonardo insegna come fare la prova, per il
momento limitandosi alla prova del nove, ma che in seguito estender
à
considerando i residui modulo 7, 11 e 13.
Il quinto capitolo tratta della divisione degli interi, cosa che
richiede in via preliminare l'introduzione delle frazioni. Oltre alle
frazioni
“
standard
”
del tipo \({a \over b}\), Leonardo introduce frazioni
“
graduali
”
(
fractiones in gradibus), cio
è
con vari numeri al numeratore e altrettanti al denominatore. Queste
frazioni, particolarmente utili per registrare successivi
sottomultipli di una data quantit
à
, rimarranno in uso fino alla seconda met
à
del diciottesimo secolo.
I due capitoli che seguono trattano dell'aritmetica delle frazioni e
dei numeri misti, cio
è
composti di un intero e di una o pi
ù
frazioni: il sesto riguarda la moltiplicazione e il settimo le altre
operazioni. Da notare che in Leonardo, e ancora fino a non molto
tempo fa, due numeri scritti uno accanto all'altro senza
un'indicazione di operazione dovevano essere sommati; ad esempio,
\({2 \over 5}
{1 \over 3}
5\) significa \(5 + {1 \over 3} + {2 \over 5}\). Nel settimo capitolo
è
inserito anche un problema che risale alla pi
ù
remota antichit
à
: la decomposizione di una frazione \({m \over n}\) nella somma di
frazioni con numeratore
1. Il caso con \(m = 2\) e \(n < 102\) si trova gi
à
nel papiro Rhind; Leonardo tratta sistematicamente il caso generale
elaborando una serie di strategie a seconda delle relazioni tra \(m\)
e \(n\).
I quattro capitoli che seguono, dall'ottavo all'undicesimo, sono
dedicati alle operazioni commerciali: acquisti e vendite (capitolo
8), baratti (capitolo
9), compagnie (capitolo
10) e fusione delle monete (capitolo
11).
Il dodicesimo capitolo, di gran lunga il pi
ù
esteso del
Liber Abbaci, e che da solo occupa circa un terzo
dell'intera opera, contiene questioni miscellanee che possiamo
classificare coma matematica ricreativa, anche se non mancano
problemi e metodi di carattere indubbiamente teorico, come la regola
della falsa posizione, che Leonardo chiama
“
regola degli alberi
”
(
regula arborum) perch
é
è
usata all'inizio per risolvere vari problemi relativi all'altezza di
alberi. In questo capitolo troviamo il famoso problema dei conigli,
insieme all'altro ben noto problema della duplicazione della
scacchiera e a quello della somma di una progressione di ragione 7,
simile a quello che si trova ancora una volta nel papiro Rhind. In
ogni caso, anche quando i problemi sembrano tratti dalla vita
quotidiana, come l'acquisto di cavalli o la vendita di mele, siamo
sempre piuttosto lontani da questioni di carattere pratico.
Gli ultimi tre capitoli riguardano la matematica avanzata. Il
tredicesimo tratta il metodo della doppia falsa posizione o
elchataym,
che Leonardo padroneggia con indubbio virtuosismo. Il quattordicesimo
è
dedicato all'estrazione di radici quadrate e cubiche, e
all'aritmetica dei binomi, essenzialmente lungo le linee del decimo
libro degli
Elementi di Euclide. Infine l'ultimo capitolo,
dopo una prima parte riservata alla ricerca di numeri in varie
proporzioni, e dopo un breve trattato di geometria,
è
dedicato per la maggior parte all'algebra.
- 1Leonardi Pisani Liber Abbaci
oder Lesevergnügen eines Matematikers.
2 Auflage, Wissenschaftsverlag, Mannheim, 1993.
- 2R.
Franci, Il Liber Abaci di Leonardo Fibonacci 1202-2002.
Boll. Unione Matematica Italiana, S. 8 Vol. 5-A
(2002), pp. 293-328; E.
Giusti, Matematica e commercio nel Liber Abaci, in E. Giusti
(ed.) Un ponte sul Mediterraneo, pp. 59-120.
- 3Fibonacci. La rinascita della
matematica in Occidente. Grandangolo Scienza, Corriere della Sera,
Milano 2016.
- 4Liber Abbaci, (2.83).
- 5A volte queste frazioni sono chiamate “frazioni
continue ascendenti”; comunque preferisco restare aderente
alla terminologia di Leonardo. Nei successivi trattati italiani di
aritmetica vengono chiamate “rotti in filza”.
- 6Vedi ad es. Giuseppe Antonio Alberti, Trattato
di Aritmetica pratica, Venezia, Recurti 1752, vol. I, pp. 181-183
e Girolamo Pietro
Cortinovis, Abbaco ovvero Pratica generale
dell'Aritmetica, Venezia, Bassaglia 1759, pp. 109-110.
