26 Incipit pars secunda de proportionibus numerorum

Numerus ad numerum proportionem habet equalem, vel maiorem, vel minorem. Equalem quando numeri sunt ad invicem equales, ut 3 et 3. Numeri qui ad invicem in maiori proportione sunt, habent proportionem secundum quod exiit ex divisione maioris numeri in minorem, ut 8 ad 4, que sunt in dupla proportione, ideo quia 8 divisis in 4 exeunt 2, vel quia 8 dupla sunt de 4. Item 9 ad 3 sunt in tripla proportione, quia 9 tripla sunt de 3. 27 Et 16 ad 5 sunt in tripla proportione et quinta, ideo quia divisis 16 per 5 exeunt \({1 \over 5}\) 3. Et sic intelligatur de reliquis maiorem habentibus⁷³ proportionem. Numeri qui minorem habent proportionem⁷⁴ sunt in ea proportione que exiit ex⁷⁵ divisione minoris in maiorem, ut 4 ad 8, que sunt in dimidia unius proportionis quia 4 divisis in 8 dimidium reddunt⁷⁶, vel quia 4 dimidium sunt⁷⁷ de 8. Item 3 ad 9⁷⁸ sunt in tertia unius proportionis, quia 3 sunt tertia de 9; et 5 ad 16 sunt in \({5 \over 16}\) unius integre proportionis, quia 5 divisis in 16 nimirum \({5 \over 16}\) unius integri reddunt.

28 Si queratur de 6, ad quem numerum eandem habeat proportionem quam 3 ad 5,

proportio 10

⁷⁹ sic facies. Multiplica 5 per 6; erunt 30, que divide per 3: exibunt 10, que sunt quesitus numerus, quia sicut 3 sunt ad 5 ita 6 sunt ad 10. Solent enim ex usu nostri vulgares⁸⁰ hanc eandem questionem aliter proponere, videlicet ut “si 3 essent 5, quidnam essent 6?”. Et cum ita proponitur, multiplicantur similiter 5 per 6 et dividitur summa per 3.

29 Item queratur⁸¹ de 11, ad quem numerum

proportio \({4 \over 5}\) 19

⁸² habeat eandem proportionem quam 5 ad 9; hoc est secundum modum vulgarem: si 5 essent 9, quantum essent 11? Multiplicabis ergo 9 per 11 et divides per 5: exibunt \({4 \over 5}\) 19 pro quesito numero.

30 Modus alius de proportionibus sic

Si propositum fuerit tibi quod si 7 essent dimidium de 12, quantum esset dimidium de 10?

proportio \({5 \over 6}\) 5

⁸³ Hec enim positio⁸⁴ duplici modo potest intelligi, videlicet cum dicitur "si 7 essent dimidium de 12" aut intelligitur quod medietas de 12, que est 6, crescit in 7; aut⁸⁵ 7 diminuuntur⁸⁶ in dimidium de 12, hoc est in 6⁸⁷. Unde si 6, que sunt dimidium de 12, crescunt in 7, ergo et dimidium de 10 crescet, et tunc tali regula indigebis: multiplicabis⁸⁸ 7 per 10 et divides per 12; exibunt \({5 \over 6}\) 5 pro dimidio de 10.

31 Et si intelligere volumus quod 7 minuantur in 6, hoc est in

proportio \({2 \over 7}\) 4

⁸⁹ medietate de 12, ergo et medietas de 10 minuetur, et tunc multiplicabis⁹⁰ 6⁹¹ per dimidium de 10, scilicet per 5; erunt 30, que divides per 7: exibunt \({2 \over 7}\) 4, et tantum essent tunc dimidium de 10. Et sic similes questiones per qualem volueris modum ex duobus prescriptis modis solvere poteris. Tamen nos semper utimur per primum modum interrogantibus respondere.

32 Si \({1 \over 3}\) esset \({1 \over 4}\), quantum esset \({1 \over 5}\)? Hec questio talis est, qualis si diceretur: \({1 \over 3}\) unius

℞ ℞ \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) \({1~~1 \over 2~~10}\) \({1 \over 5}\)

⁹² rotuli pro \({1 \over 4}\) unius bizantii; quantum valeret⁹³ \({1 \over 5}\) unius rotuli? Quare scribenda est hec questio ad modum negotiationis, et operandum secundum quod in similibus in octavo capitulo docuimus.

33 Si queratur invenire quattuor integros numeros proportionales, quorum primus sit ad secundum sicut tertius ad quartum, hoc est que pars vel partes erit primus numerus de secundo, eadem pars vel partes sit tertius numerus de quarto; vel quam multiplex fuerit primus de secundo, tam multiplex sit tertius de quarto numero.

Pones pro primo et secundo numero duos numeros ad libitum quales vis. Sitque primus 3, secundus 7, et pro tertio numero pone numerum qui possit dividi integraliter per primum numerum. 34 Sitque⁹⁴ 6, et divide⁹⁵ 6 per primum numerum, scilicet per 3: exibunt 2, per que 2 multiplica secundum numerum⁹⁶, scilicet 7: erunt 14, qui⁹⁷ est quartus numerus. Verbi gratia: sunt enim 3 de 7 tres septime. Similiter et 6 de 14 sunt \({3 \over 7}\). Potes etiam 14 habere pro primo numero, 6 pro secundo, 7 pro tertio, 3 pro quarto; quia⁹⁸ quam multiplicia sunt 14 de⁹⁹ 6, tam multiplicia sunt 7 de 3: sunt¹⁰⁰ enim 14 bis tantum et tertia de 6¹⁰¹, et tam multiplicia sunt 7 de 3. 35 Et¹⁰² Et notandum cum quattuor numeri predicto modo¹⁰³ proportionales fuerint¹⁰⁴, permutatim¹⁰⁵ erit primus ad tertium sicut secundus ad quartum. Est enim primus 3 ad tertium 6 sicut secundus 7 ad quartum 14: dimidius¹⁰⁶ est enim unusquisque antecedentis sui consequentis¹⁰⁷. Et notandum iterum quod in quattuor proportionalibus numeris semper sit¹⁰⁸ multiplicatio primi numeri in quartum quantum multiplicatio secundi in tertium. Ut hic in qua multiplicatio de 3 in 14 facit quantum multiplicatio de 6 in 7.

36 Item sit sicut primus numerus ad secundum et tertius ad quartum, ita quintus ad¹⁰⁹ sextum. Inventis¹¹⁰ primum quattuor numeris proportionalibus ut supra, pones quintum numerum ad libitum, qui dividatur integraliter per primum numerum¹¹¹. Sit 15, quo diviso per 3 reddunt 5 per que multiplica secundum numerum 7: erunt 35, que sunt sextus numerus.

37 Et si proponatur dividere 10 in quattuor inequales¹¹² partes proportionales, scilicet quod multiplicata prima in quartam faciat multiplicationem secunde in tertiam, invenies primum quattuor numeros proportionales; sintque 3 et 7 et 6 et 14, et adde eos insimul: erunt 30, ex quibus 10 sunt tertia pars. Quare accipies tertiam partem de quattuor positis numeris, et habebis pro prima parte 1, pro secunda \({1 \over 3}\) 2, pro tertia 2, pro quarta \({2 \over 3}\) 4. Et scias quod talis proportio proportionalitas appellatur. 38 Est enim¹¹³ quedam alia proportio, que vocatur continua, in qua omnes numeri sunt in una et eadem per ordinem ad invicem proportione¹¹⁴, videlicet sicut primus numerus est¹¹⁵ ad secundum, ita secundus ad tertium, et tertius ad quartum, et quartus ad quintum, et deinceps per ordinem est unusquisque ad unumquemque¹¹⁶.

39 Si volueris invenire numeros quotcumque in continua proportione, pone primum numerum qualem vis; secundum aliquem multiplicem primi, ut duplum vel triplum aut alium quemvis multiplicem; et pones tertium tam multiplicem secundi, quam multiplex fuerit¹¹⁷ secundus ex primo numero. Similiter quam multiplex fuerit tertius secundo¹¹⁸, tam multiplicem pone quartum tertio, et quintum quarto, et unumquemque de unoquoque suo antecedente¹¹⁹. 40 Verbi gratia: volumus quinque numeros in continua proportionalitate reperire. Sit quidem primus eorum 1; secundus 2, scilicet duplus primi; tertius duplus secundi, scilicet 4; quartus duplus tertii, scilicet 8; quintus duplus quarti, scilicet 16. Est enim 1 de 2 dimidium; quod idem sunt 2 de 4, et 4 de 8, et 8 de 16. Similiter sicut 16 sunt dupla¹²⁰ de 8, ita 8 sunt dupla¹²¹ de 4, et 4 de 2, et 2 de 1. Et sic potes ponere unumquemque numerorum triplum, vel alium quem vis multiplicem sui antecedentis¹²².

41 Et notandum quod cum tres numeri continue proportionales fuerint, erit multiplicatio primi in tertium quantum multiplicatio secundi in se ipsum. Verbi gratia: sint in continua proportione 3 et 9 et 27; est enim multiplicatio de 3 in 27 quantum multiplicatio de 9 in se ipsa, scilicet 81. Et cum quattuor numeri continue proportionales sunt, facit multiplicatio primi in quartum quantum multiplicatio secundi in tertium, et multiplicatio primi in tertium quantum multiplicatio secundi in se ipsum, et multiplicatio secundi in quartum quantum multiplicatio tertii in se ipsum. 42 Ut si primus numerus fuerit 1, secundus 2, tertius 4, quartus 8, poteris cognoscere in ipsis que diximus. Similiter cum plures numeri continue proportionales sint, est semper multiplicatio extremorum equalis multiplicationi reliquorum extremorum, et hoc¹²³ usque quod non remanserit numerus in medio proportionalium numerorum. Verbi gratia: si novem numeri proportionales fuerint, erit multiplicatio primi numeri in nonum quantum multiplicatio secundi in octavum, et tertii in septimum, et quarti in sextum, et quinti qui est in medio proportionis in se ipsum. 43 Ad cuius rei evidentiam, sint novem¹²⁴ numeri in continua proportione 1 et 2 et 4 et 8 et 16 et 32 et 64 et 128 et 256: est enim multiplicatio de 1 in 256 quantum multiplicatio de 2 in¹²⁵ 128, et de 4 in 64, et de 8 in 32, et de 16 in se. Ex hoc enim procedit materia multiplicandi figuras quam docuimus in secundo capitulo, ut in eodem capitulo continetur.

44 Si¹²⁶ queratur invenire duos numeros, quorum \({2 \over 7}\) unius sit \({3 \over 8}\) alterius, multiplicabis in cruce 7 per 3 et 8 per 2, et habebis pro primo numero 21, pro secundo 16; sunt 6 enim \({2 \over 7}\) de 21 et¹²⁷ \({3 \over 8}\) de 16. Procedit enim hec regula ex his que secuntur. Quia \({2 \over 7}\) de \({3 \over 8}\) cuiuslibet numeri sunt quantum \({3 \over 8}\) de \({2 \over 7}\) eiusdem numeri; unde cum multiplicamus 7 per 3, tunc accepimus \({3 \over 8}\) de 56, que 56¹²⁸ surgunt ex multiplicatione eorundem 7 in 8 que sunt sub virgulis, quia que proportio est de¹²⁹ 3 ad 8 eadem est¹³⁰ ex septies 3 ad septies 8; et quando multiplicamus 8 per 2, tunc accepimus \({2 \over 7}\) de eisdem 56. Unde \({2 \over 7}\) de 21, scilicet de \({3 \over 8}\) de 56, sunt quantum \({3 \over 8}\) de 16, scilicet de \({2 \over 7}\) de 56.

45 Item¹³¹ \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) unius numeri sint \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) alterius. Redige \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) in partes unius numeri: erunt \({7 \over 12}\), quod idem facies de \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\): erunt \({9 \over 20}\). Ergo \({7 \over 12}\) primi numeri sunt \({9 \over 20}\) secundi. Idcirco ordine suprascripto multiplicabis¹³² 12 per 9 et 20 per 7 et habebis primum numerum 108, secundum 140. Quos etiam possumus habere in minoribus numeris, cum uterque ipsorum numerorum possit dividi integraliter per 4. 46 Quare si quartam partem uniuscuiusque acceperimus, habebimus¹³³ primum numerum 27, secundum 35. Vel aliter: quia in unaquaque duarum multiplicationum suprascriptarum multiplicatur numerus cuius quarta pars est integra, in prima quarum est 12, in secunda 20; quare multiplica tantum quartam partem de 12 per 9 et quartam partem 20 per 7, et habebis similiter 27 et 35.

47 Rursum¹³⁴ \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) primi sint \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) secundi. Redige similiter \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) in partes unius numeri: erunt \({47 \over 60}\). Similiter fac de \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\): erunt \({37 \over 60}\). Et multiplicabis 60 que sunt sub 47 per 37 et 60 que sunt sub 37 per 47; vel ut habeas minores numeros, multiplicabis tantum sexagesimam de 60 per numerum eis existentem¹³⁵ ex adverso, et habebis primum numerum 37, secundum 47; et sic potes procedere in similibus.

48 Iterum sunt tres numeri, quorum \({2 \over 5}\) primi sunt \({3 \over 7}\) secundi et \({4 \over 9}\) tertii. Pone partes prescriptas in ordinem sic \({4 \over 9}\) \({3 \over 7}\) \({2 \over 5}\), et multiplicabis unumquemque numerorum existentem sub virgula per numerum existentem super unam de duabus virgulis reliquis et summam multiplicabis per alium numerum qui est super aliam virgulam, et habebis quesitos numeros. 49 Verbi gratia: multiplicatis 5 que sunt sub prima virgula per 3 que sunt super 7, quibus per 4 que sunt super 9, habebimus primum numerum 60. Item multiplicatis 7 per 4, quibus per 2, reddent pro secundo numero 56. Rursum multiplicatis 9 que sunt sub tertia virgula per 3 et per 2, reddunt pro tertio numero 54.

50 Nam si unde hec regula procedat noscere vis, considera qualiter¹³⁶ \({2 \over 5}\) de \({3 \over 7}\) de \({4 \over 9}\) cuiuslibet numeri sunt quantum \({3 \over 7}\) de \({4 \over 9}\) de \({2 \over 5}\) eiusdem numeri et quantum \({4 \over 9}\) de \({3 \over 7}\) de \({2 \over 5}\) eiusdem numeri. Quibus consideratis, cognosces nos superius accepisse \({4 \over 9}\) de \({3 \over 7}\) ex numero quod ex multiplicatione exiit de 9 in 7 ducta in 5, scilicet de 315, cum multiplicavimus 5 per 3 que per 4¹³⁷, unde habuimus 60. Similiter cum habuimus 56¹³⁸, accepimus \({4 \over 9}\) de \({2 \over 5}\) de 315; et adhuc cum habuimus 54, accepimus \({3 \over 7}\) de \({2 \over 5}\) de 315. 51 Unde \({2 \over 5}\) de 60, que sunt \({3 \over 7}\) de \({4 \over 9}\) de 315, sunt quantum \({3 \over 7}\) de 56, que sunt \({4 \over 9}\) de \({2 \over 5}\) de 315; et quantum \({4 \over 9}\) de 54, que sunt \({3 \over 7}\) de \({2 \over 5}\) ex eisdem¹³⁹ 315. Est enim quelibet predictarum sumptionum¹⁴⁰ 24, que proveniunt ex multiplicatione de 2 in 3¹⁴¹ ducta in 4. Possunt enim reperiri in minoribus numeris si inventi tres numeri, scilicet 60 et 56 et 54, diviseris per 2 que sunt comunis regula eorum; et erit primus numerus 30¹⁴², secundus 28, tertius 27.

52 Et¹⁴³ si proponatur quod \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\), scilicet \({7 \over 12}\) primi numeri, sint \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\), scilicet \({9 \over 20}\) secundi, et \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\), scilicet \({11 \over 30}\) tertii, pone in ordinem \({11 \over 30}\) \({9 \over 20}\) \({7 \over 12}\), et multiplicabis 12 per 9 que per 11, et 20 per 11 que per 7, et 30 per 9 que per 7, et evitabis \({1 \over 2}\) ex unaquaque multiplicatione, et habebis primum numerum 594, secundum 770, tertium 945.

53 Item sunt tres numeri quorum \({1 \over 3}\) primi¹⁴⁴ est quantum \({1 \over 4}\) secundi, et \({1 \over 5}\) secundi est quantum \({1 \over 6}\) tertii

15 20 24   5 6 3 4

¹⁴⁵ numeri. Invenias primum duos numeros quorum \({1 \over 3}\) unius sit \({1 \over 4}\) alterius: erunt 3 et 4. Post hec invenies alios duos numeros ex quibus \({1 \over 5}\) unius sit \({1 \over 6}\) alterius: eruntque 5 et 6. Ergo primus numerus est ad secundum sicut 3 est¹⁴⁶ ad 4, et secundus ad tertium sicut 5 est¹⁴⁷ ad¹⁴⁸ 6. 54 Quare pones 3 et 4 in unam lineam et 5 et 6 in aliam, ita quod 5 sint super 4, ut hic ostenditur; et multiplicabis 5 per 3 et 5 per 4 et 4 per 6, et habebis primum numerum 15, secundum 20, tertium 24. Verbi gratia: sicut 3 est ad 4, ita aliquod multiplex de 3 est¹⁴⁹ ad idem multiplex de 4; ergo sicut 3 sunt ad 4, ita quinquies 3¹⁵⁰, scilicet 15, sunt ad quinquies 4¹⁵¹, scilicet ad 20. 55 Item sicut 5 sunt ad 6, ita aliquod multiplex de 5 est ad idem multiplex de 6: ergo sicut 5 sunt ad 6, ita quadruplum de 5, scilicet 20, sunt ad quadruplum de 6, scilicet ad 24. Inventus est enim primus numerus 15 ad secundum 20 sicut 3 ad 4, et secundus 20 ad tertium 24 sicut 5 ad 6, ut querebamus.

56 Et si proponatur quod numeri sint quattuor, et primus et

primus secund. tertius quart. 225 300 360 336     15 14 15 20 24

¹⁵² secundus et tertius illorum sint ad invicem in proportionibus suprascriptis, et \({2 \over 5}\) tertii numeri sint \({3 \over 7}\) quarti numeri, invenies primum tres numeros suprascriptos, scilicet 15 et 20 et 24. 57 Deinde invenies duos numeros quorum \({2 \over 5}\) unius sint \({3 \over 7}\) alterius, eruntque 15 et 14; et scribes eos super alios tres numeros, ut hic ostenditur, et multiplicabis 15 que sunt super 24 per 15 et per 20 et per 24, per que¹⁵³ 24 multiplicabis 14, et habebis primum numerum 225, secundum 300, tertium 360, quartum 336; et est tertius numerus ad quartum sicut 15 sunt ad 14, cum \({2 \over 5}\) tertii numeri sint \({3 \over 7}\) quarti. Et sic potes plurimos numeros in quibuslibet proportionibus invenire.