83 De quattuor hominibus qui invenerunt bursam

Quattuor homines denarios habentes invenerunt bursam denariorum. Ex quibus primus dixit quod si haberet denarios burse haberet bis tantum secundo; secundus, si haberet bursam, haberet ter tantum tertio; et tertius, si eam haberet, haberet¹⁰² quater tantum quarto; quartus quinquies tantum primo. Queritur quot denarios habeat unusquisque¹⁰³.

84 Pone quidem quod primus habeat denarios 9 et in bursa sint denarii 21. Ergo si primus habuit bursam, habebit 30¹⁰⁴. Unde cum habeat duplum secundo¹⁰⁵, oportet quod secundus habeat dimidium ipsius, scilicet 15. 85 Cum quibus additis denariis burse, scilicet 21, faciunt 36, quorum tertiam partem, scilicet 12, habebit tertius, cum secundus cum bursa habeat triplum ipsius. Cum quibus 12 addita bursa faciunt 33, quorum quartam partem, scilicet \({1 \over 4}\) 8, habet quartus. 86 Cum quibus habita bursa, scilicet 21, faciunt denarios \({1 \over 4}\) 29; qui debent¹⁰⁶ esse 45, scilicet quintuplum denariorum primi hominis. Ergo quarto homini minuunt¹⁰⁷ \({3 \over 4}\) 15, scilicet differentia que est a \({1 \over 4}\) 29 usque in 45. Quare in secunda positione augebis denarios burse aut minues denarios primi hominis. 87 Augeamus¹⁰⁸ itaque denarios burse et ponamus quod inventi sint¹⁰⁹ in ea denarii 27, scilicet 6 plus quam in prima positione. Quibus additis cum denariis primi hominis, scilicet cum 9, faciunt 36, quorum medium, scilicet 18, habet secundus. 88 Cum quibus

crevi \({1 \over 4} 8\) 6     \({1 \over 2} 7\) \({5 \over 11} 5\)

¹¹⁰ addita bursa faciunt 45, quorum tertiam partem, scilicet 15, habet tertius; cum quibus addita bursa faciunt 42, quorum quartam partem habet quartus, scilicet \({1 \over 2}\) 10; cum quibus addita bursa erunt denarii \({1 \over 2}\) 37, qui deberent¹¹¹ esse 45, scilicet quintuplum primi hominis. 89 Unde in hac secunda positione minuunt¹¹² quarto \({1 \over 2}\) 7, scilicet differentia que est a \({1 \over 2}\) 37 usque in 45. In prima vero positione minuunt \({3 \over 4}\) 15; ergo per sex quos crevimus in secunda positione burse, adpropinquavimus veritati \({1 \over 4}\) 8, scilicet differentiam¹¹³ que est a \({3 \over 4}\) 15 usque in \({1 \over 2}\) 7, et restant ad adpropinquandum ipsi denarii¹¹⁴ \({1 \over 2}\) 7. 90 Quare multiplica \({1 \over 2} 7\)¹¹⁵ per 6, et divides per \({1 \over 4}\) 8, ut in descriptione ostenditur: exibunt denarii \({5 \over 11}\) 5, quibus additis cum denariis 27, scilicet super secundam positionem¹¹⁶, erunt \({5 \over 11} 32\), et tot sunt reperti in bursa si primus habeat 9.

91 Nam ut habeamus in integrum denarios burse et hominum,

bursa 119 primi 33 secundi 76 tertii 65 quarti 46

¹¹⁷ multiplica per 11 denarios burse et primi hominis et habebis pro denariis burse 357 et pro denariis primi hominis habebis 99; qui 357 et 99, cum habeant ad invicem comunem regulam, scilicet tertiam¹¹⁸, dividatur unusquisque eorum per 3, ut habeas in minoribus numeris numerum eorum, quod semper in omnibus similibus facere studere¹¹⁹ debes. 92 Et sic habebis pro denariis burse 119 et pro denariis primi hominis 33; quibus insimul iunctis faciunt 152, quorum medium, scilicet 76, est quantitas denariorum secundi hominis. 93 Quibus additis cum denariis burse, scilicet cum 119, faciunt 195, quorum tertia pars est quantitas denariorum tertii, scilicet 65; cum quibus additis iterum denariis burse, facient 184, quorum quarta pars, scilicet 46, sunt quantitas quarti hominis; cum quibus additis denariis burse, faciunt 155, qui est quintuplum denariorum primi hominis, ut oportet.

94 Nam si per minutionem denariorum primi hominis hoc idem reperire desideras, pone ut in secunda positione in bursa reperti sint denarii 21, ut in prima positione posuisti, et pone quod primus homo habet denarios 7, scilicet denarios 2 minus quam in prima positione. 95 Quibus additis cum denariis burse, scilicet cum 21, faciunt 28; dimidium quorum, scilicet 14, habet secundus, quibus additis cum 21, scilicet burse¹²⁰, faciunt 35, quorum tertiam, scilicet \({2 \over 3}\) 11, habet tertius. 96 Cum quibus additis 21 burse erunt \({2 \over 3}\) 32, quorum quartam, scilicet \({1 \over 6}\) 8, habet quartus; qui iuncti cum 21 faciunt \({1 \over 6}\) 29, qui deberent¹²¹ esse 35, scilicet quintuplum denariorum 7 primi hominis. Unde quartus homo habet minus quam debeat denarios \({5 \over 6}\) 5, scilicet differentiam que est a \({1 \over 6}\) 29 usque in 35; et in prima positione habuit ipse quartus homo minus denarios \({3 \over 4}\) 15. 97 Ergo per 2 quos minuimus de denariis primi, adpropinquavimus

minui \({11 \over 12} 9\) 2     \({5 \over 6} 5\) \({3 \over 17} 1\)

¹²² veritati \({11 \over 12}\) 9, scilicet differentiam que est a \({3 \over 4}\) 15 usque in \({5 \over 6}\) 5, et restant ad¹²³ adpropinquandum ipsi \({5 \over 6}\) 5. Quare multiplica \({5 \over 6}\) 5 per 2 et divides per \({11 \over 12}\) 9: exibit denarius \({3 \over 17}\) 1, quo extracto de denariis 7, remanebunt denarii \({14 \over 17}\) 5, et tot habuit primus.

98 Vel si per secundum modum operari vis, redige errores ad similia, scilicet \({3 \over 4}\) 15 et \({5 \over 6}\) 5, scilicet multiplica eos per 12 cum in ipso numero reperiantur fractiones eorum, et habebis pro primo errore 189 diminuta et pro secundo 70 similiter diminuta. 99 Quare multiplicationem de 70 in 9,

residuum 693 630 1323 positio prima secunda 9 7 error primus secundus minus minus 189 70 differentia eorum 119

¹²⁴ scilicet secundi erroris in positionem primam, extrahe ex multiplicatione primi erroris in positionem secundam, scilicet de 189 in 7, et quod residuum fuerit divide per differentiam errorum, scilicet per 119: exibunt similiter pro denariis primi hominis \({14 \over 17}\) 5. 100 Et si in integrum denarios primi hominis reducere volueris, multiplica \({14 \over 17}\) 5 per ruptum sue virgule, scilicet per 17: erunt 99; et multiplica denarios 21, scilicet burse, per eadem¹²⁵ 17: erunt 357, ut superius invenimus. Quibus scilicet 99 et 357 divisis per 3, suprascripta ratione reddunt similiter pro denariis primi hominis 33¹²⁶ et pro denariis burse 119.