201 De tribus hominibus denarios habentibus

Tres homines habent similiter denarios et primus querit secundo \({1 \over 3}\) et proponit se²⁴¹ habere denarios 14, secundus petit tertio \({1 \over 4}\) suorum denariorum et proponit se²⁴² habere denarios 17, tertius quidem querit primo \({1 \over 5}\) suorum denariorum et proponit se²⁴³ habere denarios 19. Queritur quot unusquisque habet.

202 Pone ut primus habeat denarios 10; quare secundus habebit 12 et tertius 20, cum quibus addita quinta parte de denariis 10 primi hominis, habebit tertius homo denarios 22, scilicet 3 plus quam debeat. 203 Quare in²⁴⁴ secunda positione pone ut primus habeat denarios 9, scilicet 1 minus quam in prima, et sic oportebit ut secundus habeat 15, scilicet triplum differentie que est a 9 predictis usque in 14, et tertius habebit 8, scilicet quadruplum differentie que est a 15 suprascriptis usque in 17. Cum quibus 8 addita quinta parte de denariis 9 primi hominis, scilicet \({4 \over 5}\) 1, faciunt \({4 \over 5}\) 9, qui deberent esse 19. 204 Quare in hac secunda positione minuunt tertio homini \({1 \over 5}\) 9 et in prima superant ei 3.

primi \({46 \over 61} 9\) secundi \({45 \over 61} 12\) tertii \({3 \over 61} 17\)

²⁴⁵ Quare addes ipsas differentias in unum, scilicet \({1 \over 5}\) 9 cum 3: erunt \({1 \over 5}\) 12. Et dices: pro 1 quod minui in secunda positione primo homini, minuunt tertio \({1 \over 5}\) 12; quid minuam ex prima positione ut minuant²⁴⁶ tantum eidem tertio homini 3 qui superant ei in prima positione? 205 Multiplicabis ergo 1 per 3 et divides per \({1 \over 5}\) 12: exibunt \({15 \over 61}\), quibus extractis de denariis 10 prime positionis remanent \({46 \over 61}\) 9 pro denariis primi. Quare secundus habebit \({45 \over 61}\) 12 et tertius \({3 \over 61}\) 17; et sic possemus facere de pluribus hominibus, cum unusquisque petat alio per ordinem.

206 Aliter²⁴⁷ per regulam proportionum

Quoniam denarii primi hominis cum \({1 \over 3}\) denariorum secundi sunt 14, ergo \({5 \over 14}\) denariorum primi cum \({5 \over 14}\) tertie partis denariorum secundi sunt denarii 5. Unde denarii primi cum \({1 \over 3}\) denariorum secundi et cum \({5 \over 14}\) ipsius primi et cum \({5 \over 14}\) tertie partis denariorum secundi, scilicet cum \({5 \over 42}\) denariorum secundi, sunt denarii 19. 207 Additis autem \({5 \over 14}\) denariorum primi super denarios ipsius, faciunt \({19 \over 14}\). Similiter additis \({5 \over 42}\) de denariis secundi cum \({1 \over 3}\) de denariis secundi facit \({19 \over 42}\) denariorum secundi; ergo \({19 \over 14}\) denariorum primi cum \({19 \over 42}\) denariorum secundi sunt denarii 19, sicut sunt denarii tertii hominis cum \({1 \over 5}\) denariorum primi. 208 Item quia denarii secundi hominis cum \({1 \over 4}\) denariorum tertii sunt denarii 17, ergo \({2 \over 17}\) denariorum secundi cum \({2 \over 17}\) quarte partis denariorum, scilicet cum \({2 \over 68}\) denariorum tertii, sunt denarii 2. Unde denarii secundi hominis cum \({2 \over 17}\) ipsorum, scilicet \({19 \over 17}\) eorundem, cum \({1 \over 4}\) et \({2 \over 68}\), scilicet cum \({19 \over 68}\) denariorum tertii sunt denarii 19, sicut sunt denarii tertii hominis cum \({1 \over 5}\) denariorum primi. 209 Et quoniam \({19 \over 14}\) denariorum primi cum \({19 \over 42}\) denariorum secundi sunt quantum \({19 \over 17}\) denariorum secundi cum \({19 \over 68}\) denariorum tertii, scilicet 19, ergo si de²⁴⁸ \({19 \over 17}\) denariorum secundi auferantur²⁴⁹ \({19 \over 42}\) denariorum ipsius secundi, remanebunt siquidem \({23 \over 42}\) ipsius et \({2 \over 17}\). Additis ergo \({2 \over 17}\) et \({23 \over 42}\) in unum, faciunt \({475 \over 714}\); ergo \({19 \over 14}\) denariorum primi sunt quantum \({475 \over 714}\) denariorum secundi cum \({19 \over 68}\) denariorum tertii. 210 Que \({19 \over 68}\) denariorum tertii redigende sunt in partes primi et secundi sic: quia denarii tertii hominis cum \({1 \over 5}\) denariorum primi sunt 19, sicut sunt \({19 \over 14}\) denariorum primi cum \({19 \over 42}\) denariorum secundi, ergo si de \({19 \over 14}\) denariorum primi auferatur \({1 \over 5}\) denariorum primi, remanebunt \({5 \over 14}\) \({4 \over 5}\) denariorum primi cum \({19 \over 42}\) denariorum secundi equales denariis tertii hominis. 211 Sunt enim \({5 \over 14}\) \({4 \over 5}\) denariorum primi \({81 \over 70}\) denariorum ipsius; ergo denarii tertii hominis sunt quantum \({81 \over 70}\) denariorum primi cum \({19 \over 42}\) denariorum secundi. Quare \({19 \over 68}\) denariorum tertii sunt \({19 \over 68}\) de \({81 \over 70}\) denariorum primi et sunt adhuc \({19 \over 68}\) de \({19 \over 42}\) denariorum secundi. Verum \({19 \over 68}\) de \({81 \over 70}\) denariorum primi sunt \({1539 \over 4760}\) denariorum primi, que exeunt ex multiplicatione de 19 in 81 divisa per 68 et per 70. Item \({19 \over 68}\) de \({19 \over 42}\) denariorum secundi sunt \({361 \over 2856}\) denariorum secundi. 212 Ergo \({19 \over 14}\) denariorum primi sunt \({475 \over 714}\) et \({361 \over 2856}\) denariorum secundi et \({1539 \over 4760}\) denariorum suorum. Quare si de \({19 \over 14}\) denariorum primi auferantur²⁵⁰ \({1539 \over 4760}\) denariorum ipsius, remanebunt \({703 \over 680}\) denariorum primi equales de \({475 \over 714}\) et de \({361 \over 2856}\) denariorum secundi, scilicet de \({2261 \over 2856}\). 213 Quare reperiendi sunt duo numeri, quorum \({703 \over 680}\) unius sint \({2261 \over 2856}\) alterius; qui reperiuntur ex multiplicatione de 680 in 2261 et de 2856 in 703. Vel quia 680 et 2856 dividuntur integraliter per 136, multiplicabis \({1 \over 136}\) de 680, scilicet 5 per 2261, et \({1 \over 136}\) de 2856, scilicet 21 per 703. 214 Sed quia 2261 et 703 dividuntur integraliter per 19, multiplicabis 5 per decimam nonam²⁵¹ partem de 2261, scilicet per 119, et 21 multiplicabis per \({1 \over 19}\) de 703, scilicet per 37, et habebis 595 pro primo numero et 777 pro secundo; hoc est quod proportio denariorum primi ad denarios secundi est sicut 595 ad 777. 215 Et quia primus homo petit secundo \({1 \over 3}\) denariorum suorum, adde \({1 \over 3}\) de 777, scilicet 259, super 595; erunt 854, que cum debeant esse 14, divide 854 per 14: exibunt 61, in quibus 61 divide 595 et 777 inventa, et habebis \({46 \over 61}\) 9 pro denariis primi et \({45 \over 61}\) 12 pro denariis secundi, ut per elchataym superius invenimus. Denarios vero tertii hominis reperies ordine suprascripto.

216 Item primus petat reliquis duobus \({1 \over 3}\) et habeat 14, et secundus querat \({1 \over 4}\) reliquis et habeat 17, et tertius petat reliquis \({1 \over 5}\) et habeat 19.

Pone quod primus habeat 8; quare reliqui habebunt 18, que oportet dividere inter utrumque per elchataym ita ut secundus cum suis denariis et cum quarta parte de denariis tertii et primi hominis habeat 17. 217 Quare oportet ut suprascripta prima positio habeatur pro universali et aliam primam particularem positionem ponamus, in qua ponatur quod secundus habeat 6. Quare ex ipsis 18 remanebunt tertio homini 12; quibus additis cum 8 primi hominis, faciunt 20; quorum quarta parte, scilicet 5, addita super denarios 6 secundi, faciunt 11, qui vellent esse 17. Quare minuunt secundo homini 6 in hac prima particulari positione. 218 Unde pone in secunda particulari positione quod secundus habeat 10, scilicet 4 plus quam in prima positione; quare remanebunt tertio homini 8, quibus additis cum 8 primi faciunt 16, quorum quarta parte, scilicet 4, addita cum 10²⁵² secundi, faciunt 14, scilicet 3 minus quam debeat.

crevimus 3 4     3

²⁵³ 219 In prima enim particulari positione minuunt secundo 6, in secunda 3; ergo per 4 que crevimus secundo, adpropinquavimus veritati 3 et restant ad adpropinquandum 3. Multiplicabis ergo 3 per 4 et divides per 3: exibunt 4, quibus additis cum 10, erunt 14, et tot habet secundus homo. 220 Quare remanebunt²⁵⁴ tertio homini 4 ex suprascriptis 18, cum quibus addita quinta parte de denariis 8 primi hominis et de denariis 14 secundi erunt \({2 \over 5}\) 8, que vellent esse 19. Ergo in prima universali positione minuunt tertio homini \({3 \over 5}\) 10. 221 Quare pones in secunda universali positione quod primus habeat denarios 6, scilicet 2 minus quam in prima universali positione; quare oportet ut inter secundum et tertium habeant 24, que oportet ut dividas inter eos per elchataym secundum quod superius fecimus 18; et invenies quod secundus habebit \({2 \over 3}\) 12 ex ipsis 24. 222 Quare remanebunt tertio homini \({1 \over 3}\) 11, cum quibus adde quintam partem de 6 primi hominis et de \({2 \over 3}\) 12 secundi, que quinta pars est \({11 \over 15}\) 3: erunt \({1 \over 15}\) 15, que deberent esse 19. Ergo in hac secunda universali positione minuunt tertio homini \({14 \over 15}\) 3, que sunt quinte decime 59; et in prima minuunt ei \({3 \over 5}\) 10, que sunt quinte decime 159. 223 Ergo per 2 que minuimus

quindecimas minui 100 2     59

²⁵⁵ primo in secunda positione, adpropinquavimus veritati quintas decimas 100 et restant ad adpropinquandum 59 quinte decime. Ergo multiplica 59 per 2, et divides per 100; exibit \({9 \over 50}\) 1, que extrahe de 6 secunde positionis: remanent \({41 \over 50}\) 4, et tot habet primus homo. 224 A quibus usque in denarios²⁵⁶ 14 quos ipse proponit se habere habita tertia parte reliquorum desunt \({9 \over 50}\) 9, quorum triplum, scilicet \({27 \over 50}\) 27, habent inter secundum et tertium; quos divide inter eos per elchataym, secundum quod superius fecimus, et invenies quod secundus homo habebit \({44 \over 50}\) 11, tertius \({33 \over 50}\) 15.

225 Et si secundum investigationem proportionis ipsorum hec invenire desideras,

primi \({41 \over 50} 4\) secundi \({44 \over 50} 11\) tertii \({33 \over 50} 15\)

²⁵⁷ pone secundum et tertium hominem habere rem; quare primus habet 14 minus tertia rei. Deinde pone ut tertius homo habeat partem rei; quare secundus habet rem minus parte, cui si addatur quarta partis et quarta denariorum primi quam secundus petit reliquis, habebit 17. 226 Sed quarta denariorum primi sunt denarii \({1 \over 2}\) 3 minus \({1 \over 12}\) rei; ergo res minus parte, scilicet portio secundi, cum quarta partis et cum denariis \({1 \over 2}\) 3, diminuta duodecima rei, sunt 17; de quibus si auferantur denarii \({1 \over 2}\) 3, remanebunt \({11 \over 12}\) rei diminutis \({3 \over 4}\) partis equales de denariis \({1 \over 2}\) 13. 227 Rursus quia tertius petit primo et secundo quintam et habet 19, et ipse habet partem, ergo pars cum quinta de denariis 14, scilicet cum \({4 \over 5}\) 2, diminuta quinta tertie rei, scilicet \({1 \over 15}\), et cum quinta rei minus quinta partis, sunt 19. Sed si de quinta rei auferatur \({1 \over 15}\) rei, remanebunt \({2 \over 15}\) rei; similiter si de 19 auferantur \({4 \over 5}\) 2, remanebunt \({1 \over 5}\) 16. Rursus si de parte auferatur \({1 \over 5}\) eius, remanebunt \({4 \over 5}\); ergo \({4 \over 5}\) partis cum \({2 \over 15}\) rei sunt denarii \({1 \over 5}\) 16. 228 Quare \(\textrm{o}{5~~4 \over 6~~5}\) partis, scilicet \({2 \over 3}\) eiusdem, cum \(\textrm{o}{5~~2 \over 6~~15}\) rei, scilicet cum \({1 \over 9}\) rei, sunt denarii \({1 \over 2}\) 13, scilicet \({5 \over 6}\) de denariis \({1 \over 5}\) 16. Invenimus enim \({11 \over 12}\) rei minus \({3 \over 4}\) partis esse similiter \({1 \over 2}\) 13. Quare \({11 \over 12}\) rei minus \({3 \over 4}\) partis equantur duabus tertiis partis et \({1 \over 9}\) rei. Comuniter addantur \({3 \over 4}\) partis et auferatur \({1 \over 9}\) rei²⁵⁸: erunt \({29 \over 36}\) rei equales de \({17 \over 12}\) partis.

229 Quare reperiendi sunt duo numeri quorum \({29 \over 36}\) unius sint \({51 \over 36}\), hoc est \({17 \over 12}\) alterius: erunt 51 et 29; ergo proportio rei ad partem est sicut 51 ad 29. 230 Quare extractis 29 de 51 remanet proportio denariorum secundi ad denarios tertii sicut 22 ad 29. Et quia \({11 \over 12}\) rei minus \({3 \over 4}\) partis sunt denarii \({1 \over 2}\) 13, si de 51, scilicet de proportione rei, accipiantur \({11 \over 12}\), scilicet \({3 \over 4}\) 46, et auferantur inde \({3 \over 4}\) de 29, scilicet de proportione partis, remanebunt 25. 231 Quare est sicut 25 ad \({1 \over 2}\) 13, hoc est sicut 50 ad 27, ita 22 ad denarios secundi et ita 29 ad denarios tertii. Quare multiplicabis 27 per 22 et 27 per 29 et divides utramque multiplicationem per 50 et invenies secundum habere \({44 \over 50}\) 11, tertium \({33 \over 50}\) 15; quorum tertia²⁵⁹, scilicet \({9 \over 50}\) 9, extracta de 14, remanebunt \({41 \over 50}\) 4 pro denariis primi.