1018 Quidam habebat vasa tres, quorum primum tenebat octavam decimam partem secundi et tertiam partem tertii. Secundum tenebat quantum tertium minus quinta parte primi; tertium quoque tenebat quantitatem secundi et quintam partem primi. Queritur quot unumquodque tenebat.

1019 Quia secundum tenet quantitatem tertii minus quinta parte primi et primum tenet \({1 \over 18}\) secundi et \({1 \over 3}\) tertii, ergo quinta pars eiusdem primi tenet \({1~~\phantom{1}0 \over 5~~18}\) eiusdem secundi, scilicet \({1 \over 90}\), et quintam partem tertie partis tertii, videlicet \({1 \over 15}\). Ergo secundum tenet quantitatem tertii minus \({1 \over 90}\) secundi et \({1 \over 15}\) tertii; ergo secundum tenet \({14 \over 15}\) tertii minus \({1 \over 90}\) ex se ipso. 1020 Quare \({14 \over 15}\) tertii vasis teneret quantitatem secundi, et amplius \({1 \over 90}\) eiusdem secundi, scilicet \({91 \over 90}\). Aliter: tertium vas tenet quantitatem secundi et quintam primi, que quinta est, ut prediximus, \({1 \over 90}\) secundi et \({1 \over 15}\) tertii; ergo tertium tenet quantitatem secundi et \({1 \over 90}\) eiusdem et \({1 \over 15}\) tertii. Comuniter auferatur quindecimum tertii vasis: erunt \({14 \over 15}\) tertii vasis \({91 \over 90}\) secundi, ut superius per investigationem secundi vasis invenimus.

1021 Unde cognoscimus hanc questionem solubilem esse, et solvitur sic. Invenias duos numeros, quorum \({14 \over 15}\) unius sint \({91 \over 90}\) alterius; multiplicabis ergo 91 que sunt super 90 per 15 que sunt sub 14: erunt 1365, qui est maior numerus. Item multiplicabis 14 per 90: erunt 1260, qui est alius numerus. 1022 Qui duo numeri, cum habeant comunitatem in eorum regulis,

primus 15 secundus 36 tertius 39

¹⁴²⁶ possumus eos in minores numeros reducere si diviserimus eos per 35, scilicet per \({1~~0 \over 5~~7}\) que sunt in eorum comuni regula: exibunt pro tenimento secundi vasis 36 et pro tenimento tertii 39. Quibus inventis, adde \({1 \over 18}\) de 36, scilicet 2, cum \({1 \over 3}\) de 39, scilicet cum 13: erunt 15, et tantum tenet primum vas.

1023 Et si vasa fuerint quattuor, quorum primum teneat \({1 \over 3}\) secundi et \({1 \over 4}\) tertii et \({1 \over 5}\) quarti, et secundum teneat \({1 \over 4}\) tertii et \({1 \over 5}\) quarti et \({1 \over 6}\) primi, tertium quoque teneat \({1 \over 5}\) quarti, \({1 \over 6}\) primi et \({1 \over 7}\) secundi, quartum vero teneat ad libitum quantum vis.

Quia primum et secundum vas tenent eandem quantitatem tertii et quarti vasis, oportet ut redigas totum tenimentum primi et secundi vasis in partes tantum tertii et quarti vasis, ut invenias proportionem quam habent ad invicem primum et secundum vas; quod sic fit. 1024 Quia primum vas tenet \({1 \over 4}\) tertii et \({1 \over 5}\) quarti et \({1 \over 3}\) secundi, cuius secundi totum tenimentum est quartam tertii et quintam quarti et sextam primi; quare tertia pars ipsius est tertia pars quarte partis tertii, hoc est \({1 \over 12}\), et \({1 \over 3}\) quinte partis, scilicet \({1 \over 15}\) quarti, et¹⁴²⁷ tertia pars sexte partis primi, scilicet \({1 \over 18}\); 1025 ergo primum vas tenet \({1 \over 12}\) \({1 \over 4}\), videlicet \({1 \over 3}\) tertii vasis, et \({1 \over 15}\) \({1 \over 5}\) quarti, scilicet \({4 \over 15}\), et \({1 \over 18}\) ex seipso. Qua \({1 \over 18}\) extracta ex eodem primo, remanent \({17 \over 18}\) eiusdem; ergo \({17 \over 18}\) primi vasis tenet \({1 \over 3}\) tertii vasis et \({4 \over 15}\) quarti. Quare ut habeas partes quas totum primum vas tenet ex partibus tertii et quarti vasis, multiplica \({1 \over 3}\) quam \({17 \over 18}\) primi vasis tenet ex partibus tertii vasis per 18 que sunt¹⁴²⁸ sub virgula de \({17 \over 18}\); erunt 6, que divide per 17 que sunt super virgam¹⁴²⁹: exibunt \({6 \over 17}\), et tot partes tenet primum vas de partibus tertii vasis¹⁴³⁰. 1026 Similiter multiplica \({4 \over 15}\) per 18 et divide per 17: exibunt \({24 \over 85}\), et tot partes tenet primum vas ex partibus quarti. Ergo totum primum tenet \({6 \over 17}\) tertii et \({24 \over 85}\) quarti. Item secundum vas tenet \({1 \over 4}\) tertii et \({1 \over 5}\) quarti et \({1 \over 6}\) primi. Quod totum, scilicet primum, tenet \({6 \over 17}\) tertii et \({24 \over 85}\) quarti. Quare sexta pars ipsius primi tenet \({1 \over 6}\) de \({6 \over 17}\) tertii, scilicet \({1 \over 17}\), et \({1 \over 6}\) de \({24 \over 85}\) quarti, scilicet \({4 \over 85}\). Unde totum secundum tenet \({1 \over 4}\) et \({1 \over 17}\) tertii, hoc est \({21 \over 68}\), et \({1 \over 5}\) et \({4 \over 85}\) quarti, hoc est \({21 \over 85}\). 1027 Invenimus enim quod primum vas tenet \({6 \over 17}\) tertii vasis, scilicet \({24 \over 68}\), et secundum vas tenet \({21 \over 68}\) eiusdem tertii vasis; ergo in qua proportione sunt \({24 \over 68}\) ad \({21 \over 68}\), hoc est in qua proportione sunt 24 ad 21, in eadem proportione erit primum vas ad secundum. Quare extrahe 21 de 24: remanent 3, que 3 sunt \({1 \over 8}\) de 24; ergo primum vas tenet octavam partem sui plusquam secundum. 1028 Quam proportionem similiter potes invenire in quarto vase, cum primum teneat \({24 \over 85}\) ex ipso quarto vase, et secundum teneat \({21 \over 85}\). Deinde ut invenias in qua proportione sint ad invicem secundum et tertium vas, oportet ut redigas totum tenimentum ipsorum ad partes quarti et primi vasis; quod operaberis secundum quod fecimus de primo et secundo vase, et invenies quod secundum vas tenet \({3 \over 35}\) magis tertio. 1029 Et quia invenimus quod primum tenet octavam¹⁴³¹ plus quam secundum, pone¹⁴³² ut primum vas teneat aliquem numerum, ex quo cum extraxeris octavam partem ipsius remaneat numerus qui integraliter dividatur per 35. Teneat ergo primum 120, de quibus extrahe octavam partem, scilicet 15: remanent pro tenimento secundi vasis 105. Ex quibus 105 extrahe \({3 \over 35}\), scilicet 9: remanent pro tenimento tertii vasis 96. 1030 Deinde ut habeas tenimentum quarti vasis, accipe tertiam partem tenimenti secundi vasis, videlicet 35, et quintam partem primi, scilicet 24, et adde insimul; erunt 59, que

primus 120 secundus 105 tertius 96 quartus 305

¹⁴³³ extrahe de tenimento primi vasis, videlicet de 120: remanent 61 pro quinta parte quarti vasis. Quare multiplica 61 per 5: erunt 305, et tot tenet quartum vas. 1031 Nam si proponatur quod quartum vas teneat aliquem certum numerum, ut dicamus 100, multiplicabis singulariter 100 per numeros primi et secundi et tertii vasis, scilicet per 120 et per 105 et per 96, et divide singulariter per 305, et habebis pro primo vase \({21 \over 61} 39\), pro secundo \({26 \over 61}\) 34, pro tertio \({29 \over 61}\) 31.