506 Utere si vis in hoc suprascripta figura, et pone quadratum \(CE\) censum et superficiem \(GH\) radicem 200 censuum; quare \(EH\) erit radix 200 dragmarum, qua divisa in duo equa in \(F\) erit unaquaque quantitatum \(EF\), \(FH\) radix 50; quare ex ductu quantitatis \(DE\) in \(DH\) cum quadrato quantitatis \(EF\) est sicut \(DF\) in se. Sed ex \(DE\) in \(DH\), hoc est ex \(CD\) in \(DH\), provenit radix 5000 dragmarum, et ex ductu \(EF\) in se proveniunt 50; ergo ex ductu \(DF\) in se proveniunt radix 5000 et 50 dragme. 507 Quare numerus \(DF\) est radix radicis 5000 dragmarum et⁷⁶⁵ de 50; de qua si auferatur \(DF\), scilicet radix de 50, remanebit pro quantitate \(DE\), que est res, radix radicis 5000 dragmarum et de 50, diminuta⁷⁶⁶ radice 50 dragmarum, que sunt minor pars. Residuum quod est usque in 10, scilicet 10 et radix 50 diminuta radice radicis quinque milium et⁷⁶⁷ 50 dragmarum, est maior pars.

508 Quam habebis si pulsaveris eam rem et minorem 10 diminuta re, quia cum diviseris 10 minus re in rem veniet radix radicis duarum dragmarum et minus dragma; quam si multiplicaverimus in se veniet radix duarum dragmarum minus dragma; quam etiam si multiplicaveris in censum, scilicet in quadratum rei, veniet radix duorum⁷⁶⁸ censuum census diminuto censu, que equatur 100 et censui diminutis 20 rebus. 509 Adde ergo utrique parti 20 res et tolle ab utraque⁷⁶⁹ parte censum: veniet 20 res⁷⁷⁰ et radix duorum censuum census diminutis duobus censibus <que equantur 100>. Reduc⁷⁷¹ hec ad censum unum, et est ut multiplices ea per 1 et radicem \({1 \over 2}\) dragme; quia⁷⁷² cum multiplicatur radix duorum censuum census minus 2 censibus in suum binomium veniunt inde duo census diminuti. 510 Ergo cum multiplicaveris radicem duorum censuum census diminutis duobus censibus in medietatem sui binomii, scilicet in 1 et in radicem \({1 \over 2}\) dragme, veniet unus census diminutus; et cum multiplicantur 20 res in 1 et in radicem \({1 \over 2}\) veniunt 20 res et radix⁷⁷³ 200 censuum; et cum multiplicantur 100 in 1 et⁷⁷⁴ in radicem \({1 \over 2}\) venient 100 et radix quinque milium. 511 Et sic 20 res et radix 200 censuum diminuto censu⁷⁷⁵ equantur 100 et radici 5000 dragmarum. Adde ergo censum utrique parti et erunt 20 res et radix 200 censuum equales censui et 100⁷⁷⁶ dragmis et radici 5000 dragmarum. Dimidia ergo radices et age in⁷⁷⁷ eis secundum alzebra, et invenies rem, scilicet maiorem partem, esse 10 et radix 50 diminuta radice radicis 5000 et dragmarum 50, ut superius diximus.

512 Divisi 10 in duas partes et per unamquamque⁷⁷⁸ ipsarum divisi 10, et que ex divisione exierunt fuerunt 5 dragme. Notandum est primum quod quando aliquis numerus dividitur in duas partes et per unamquamque ipsarum dividitur ipse numerus, id quod⁷⁷⁹ aggregatur ex duabus divisionibus est 2 plus eo quod aggregatur ex duabus divisionibus uniuscuiusque partis in aliam. 513 Exemplum: dividatur numerus \(A\) in partes <\(B\) et \(C\)>, et dividatur\(C\) per \(B\) et proveniat \(DE\), et \(B\) per \(C\) et proveniat \(EF\). Dico quod si dividatur \(A\) per \(B\) et per \(C\), egredientur inde 2 plus numero \(DF\). Quod sic probatur: quia \(B\), \(C\) sunt equales numeri \(A\), est cum dividitur \(A\) per \(B\) sicut cum dividuntur numeri \(B\), \(C\) per \(B\). 514 Sed cum dividitur \(B\) per \(B\)⁷⁸⁰ provenit 1 et cum dividitur \(C\) per \(B\) provenit \(DE\); ergo cum dividantur numeri \(B\), \(C\), hoc est numerus \(A\), per \(B\), provenit unus plus eo quod provenit ex \(C\) diviso per \(B\). 515 Item cum dividitur \(A\) per \(C\) est sicut cum ⁷⁸¹ dividuntur numeri \(C\), \(B\) per \(C\); sed cum dividitur \(C\) per \(C\) provenit 1, et cum dividitur⁷⁸² \(B\) per \(C\) provenit \(EF\); ergo cum dividuntur numeri \(C\), \(B\) per \(C\), provenit 1 plus eo quod provenit ex divisione ex \(B\) in \(C\). 516 Quare cum dividitur \(A\) per numeros \(B\), \(C\), veniunt 2 plus eo quod provenit ex duabus divisionibus que fiunt ex \(C\) per \(B\) et ex \(B\) per \(C\). Ergo quia preponitur⁷⁸³ 10 dividere in duas partes et per unamquamque earum dividere 10, et ex ipsis⁷⁸⁴ divisionibus veniunt 5, tolle 2 de 5: remanent 3; et⁷⁸⁵ divisi 10 in duas partes, et divisi istam per illam et illam per istam, et provenerunt 3 dragme.

517 Operare secundum quod dicta sunt superius et habebis quesitum. Vel utere in hoc via alia, que est ut dividas 10 in duas partes et ponas minorem partem 5 minus re, aliam vero 5 et rem. 518 Et multiplica unam in aliam; venient 25 diminuto censu, que duc in 3: veniunt 75 diminutis tribus censibus; et multiplica unamquamque partium in se, et provenient 50 et duo census, que equantur dragmis 75 diminutis tribus censibus. 519 Adde ergo utrique parti 3 census et tolle ab utraque⁷⁸⁶ parte 50: venient 5 census equales 25 dragmis. Divide⁷⁸⁷ ergo 25 dragmas per 5, venient 5 dragme pro quantitate census; quare radix earum est res. Ergo minor pars erit 5 diminuta radice 5 dragmarum, et maior erit 5 et radix de 5.

520 Vel aliter: divide 3 predicta in duas partes quarum una multiplicata⁷⁸⁸ per aliam faciat 1: erit minor pars \({1 \over 2}\) 1 minus radice \({1 \over 4}\) 1 et maior erit \({1 \over 2}\) 1 et radix de \({1 \over 4}\) 1; et ex hoc manifestum est quod⁷⁸⁹ cum dividuntur 10 in duas partes et dividitur maior earum per minorem, tunc provenit \({1 \over 2}\) 1 et radix \({1 \over 4}\) 1 dragme. Quare multiplica exeuntem per dividentem et veniet inde divisus numerus. 521 Ergo si multiplicaveris \({1 \over 2}\) 1 et radicem de \({1 \over 4}\) 1 per 5 minus re, proveniet numerus divisus. Sed ex ductu \({1 \over 2}\) 1 et radicis⁷⁹⁰ \({1 \over 4}\) 1 in 5 minus re veniunt \({1 \over 2}\) 7 et radix de \({1 \over 4}\) 31, diminuta re \({1 \over 2}\) 1 et radice census \({1 \over 4}\) 1, que⁷⁹¹ equantur dragmis 5 et rei. 522 Quare adde utrique parti rem \({1 \over 2}\) 1 et radicem unius census et \({1 \over 4}\)⁷⁹² census, et tolle ab utraque parte 5; remanebunt res \({1 \over 2}\) 2 et radix census \({1 \over 4} 1\), que equantur dragmis \({1 \over 2} 2\) et radici \({1 \over 4} 31\)⁷⁹³. Multiplica ergo unamquamque istarum duarum partium in se, et erunt census \({1 \over 2}\) 7 et radix \({1 \over 4} 31\)⁷⁹⁴ census census, que equantur dragmis \({1 \over 2}\) 37 et 5 radicibus de \({1 \over 4}\) 31, que sunt una radix de \({1 \over 4}\) 781. 523 Reduc ergo omnia hec ad unum censum, et est ut multiplices omnia que habes per \({3 \over 10}\) dragme diminuta radice \({1 \over 20}\); veniet census equalis dragmis 5. Ergo res est radix 5 dragmarum, qua addita et diminuta ad 5, venient pro minori parte 5 minus radice 5 dragmarum, et alia erit 5 et radix 5 dragmarum, ut superius diximus.

524 Et si vis scire quomodo multiplicabis⁷⁹⁵ \({1 \over 2}\) 37 et radix de \({1 \over 4}\) \(781\) per \({3 \over 10}\) dragme diminuta radice \({1 \over 20}\) dragme: multiplica primum \({1 \over 2}\) 37 per \({3 \over 10}\); venient \({1 \over 4}\) 11 addita, et multiplica radicem de \({1 \over 4}\) 781 per radicem \({1 \over 20}\), hoc est accipe \({1 \over 20}\) de \({1 \over 4}\) 781; veniet radix de \({1 \over 16}\) 39 diminuta. Que radix est \({1 \over 4}\) 6, quibus extractis de \({1 \over 4}\) 11 remanent 5 pro summa dicte multiplicationis. Nam multiplicatio de \({3 \over 10}\) in radicem de \({1 \over 4}\) 781 addita equatur multiplicationi radicis \({1 \over 20}\) diminute in \({1 \over 2} 37\)⁷⁹⁶.

525 Possumus etiam in his et in similibus uti via alia, et est ut dividas 10 in duas partes et ponas minorem partem 5 minus re, maiorem vero quinque et re; et dividantur 10⁷⁹⁷ per utramque partem, et venient 5, ut dictum est. Multiplica secundum hunc modum 5 minus re in 5 et rem, venient 25 diminuto censu; 526 que multiplica per 5 que venerunt⁷⁹⁸ ex duabus divisionibus predictis: <erunt> 125 diminutis 5 censibus que equantur 100, scilicet multiplicationi de 10 in se, ut inferius demonstrabo. Sed adde primum utrique parti 5 census et tolle ab utraque parte 100: remanebunt 5⁷⁹⁹ census equales 25 dragmis; quare census est 5 dragme, ut dictum est. Age deinceps ut supra, et invenies propositum.

527 Adiaceant duo numeri \(AB\) et \(BC\), et dividatur \(AC\) per \(AB\) et proveniat \(DE\), et dividatur etiam \(AC\) per \(BC\) et veniet \(EF\). Dico quod multiplicatio \(AB\) in \(BC\) ducta in \(DF\) est sicut ⁸⁰⁰ multiplicatio \(AC\) in se, quod sic probatur: quoniam cum dividitur⁸⁰¹ \(AC\) per \(AB\) provenit \(DE\), si multiplicetur \(DE\) per \(AB\) provenit numerus \(AC\). Comunis adiaceat numerus BC: erit multiplicatio \(DE\) in \(AB\) ducta in \(BC\) sicut multiplicatio \(AC\) in numerum \(BC\). 528 Rursus cum dividitur numerus \(AC\) per numerum \(BC\) provenit numerus \(EF\); ergo cum multiplicatur \(EF\) in numerum \(BC\) provenit numerus \(AC\). Comunis adiaceat numerus \(AB\), et erit multiplicatio \(EF\) in \(BC\) ducta in \(AB\) sicut multiplicatio \(AC\) in \(AB\). Ergo multiplicatio \(DE\) in \(AB\) ducta in \(BC\) cum⁸⁰² multiplicatione \(EF\) in \(AB\) ducta in \(BC\), hoc est in \(BC\) ducta in \(AB\), est sicut multiplicatio \(AC\) in \(BC\) cum multiplicatione \(AC\) in \(AB\). 529 Sed multiplicationes \(AC\) in \(BC\) et ex \(AC\) in \(AB\) sunt sicut multiplicatio \(AC\) in se; ergo⁸⁰³ et multiplicationes \(DE\) et \(EF\) in \(AB\) ducte in \(BC\) sunt sicut multiplicatio⁸⁰⁴ \(DF\) in \(AB\) ducta in \(BC\). Sed multiplicatio \(DF\) in \(AB\) ducta in \(BC\) est sicut multiplicatio \(AB\) in \(BC\) ducta in \(DF\); ergo multiplicatio numeri \(AB\) in \(BC\) ducta in \(DF\) est sicut multiplicatio \(AC\) in se, et hoc est quod volui demonstrare. 530 Unde si \(AC\) sit 10 et ipsa 10 sint divisa in partes \(AB\) et \(BC\), et ex divisione 10 in \(AB\) et in \(BC\) proveniunt 5, que sint⁸⁰⁵ numerus \(DF\)⁸⁰⁶; erit⁸⁰⁷ multiplicatio \(AB\), scilicet 5 minus re, in \(BC\), hoc est in 5 et rem, ducta in 5, scilicet in \(DF\), sicut multiplicatio \(AC\), hoc est ex 10 in se, sicut superius operati fuimus.

531 De quodam avere minui duas radices eius et 4 dragmas et multiplicavi residuum in se ipsum, et provenit octuplum ipsius⁸⁰⁸ averis. Pone pro ipso avere censum, qui sit quadratum \(AC\), cuius unumquodque latus sit radix illius census; et auferatur ab ipso superficies \(AE\), que sit 4 dragme; 532 et ex superficie \(FC\) auferatur superficies \(FG\), que sit 2⁸⁰⁹ radices census AC: remanebit superficies \(HC\) pro residuo quod remanet ex predicto⁸¹⁰ avere, ablatis ab ipso⁸¹¹ 2 radicibus⁸¹² eius et 4 dragmis⁸¹³, scilicet superficie⁸¹⁴ \(AG\). 533 Ergo cum proponitur quod ex ⁸¹⁵ multiplicatione residui \(HC\) in se proveniat octuplum census, erit superficies \(HC\), que est residuum predictum, radix 8⁸¹⁶ censuum. Sed superficies \(HC\) provenit ex \(HG\)⁸¹⁷ in \(GC\), et \(HG\)⁸¹⁸ est res, cum sit equalis lateri \(AB\); quare numerus \(GC\) est radix 8 dragmarum, quia ex ducta re in radicem 8 provenit radix 8 censuum, scilicet superficies \(HC\). 534 Et quia superficies \(FG\) est 2 radices⁸¹⁹ census \(AC\) et provenit ex \(EF\) in \(EG\), et \(EF\) est res, necessario sequitur numerum \(EG\) esse 2, quare totus \(EC\) est 2 et radix 8 dragmarum. Item quia⁸²⁰ superficies \(AE\) est 4 et provenit ex \(BE\) in \(BA\), hoc est ex \(BE\) in \(BC\), si dividatur \(EC\) in duo equa ad punctum \(I\), erit multiplicatio \(BE\) in \(BC\) cum quadrato numeri \(EI\) sicut multiplicatio \(BI\) in se. Est enim \(EI\) medietas de 2 et radicis⁸²¹ 8, hoc est 1 et radix dragmarum 2⁸²². 535 Quo binomio in se multiplicato⁸²³ veniunt 3 et radix 8, quibus additis cum 4 que proveniunt ex \(BE\) in \(BC\) faciunt 7 et radicem 8 pro quadrato numeri \(BI\). Quare \(BI\) est radix 7 et radicis 8 dragmarum, cui si addatur numerus \(IC\), qui est 1 et radix 2 dragmarum, erit tota \(BC\), que est radix census \(AC\), radix 7 dragmarum et radicis 8 et una dragma et radix duarum dragmarum. 536 Unde ut habeamus quadratum \(AC\) multiplica numerum \(BC\) in se, cum sit radix census \(AC\). Multiplicatio quidem \(BC\) in se sic fit: quia numerus \(BC\) divisus est in duo, scilicet in \(BI\) et in \(IC\), erunt quadrati numerorum \(BI\) et \(IC\) cum duplo multiplicationis \(IC\) in \(BI\) sicut \(BC\) in se. Sed quadratus numeri \(BI\) est 7 et radix 8 dragmarum <et quadratus \(IC\) est 3 et radix 8 dragmarum⁸²⁴>; quibus insimul iunctis faciunt 10 et duas radices 8, que sunt una radix de 32. 537 Et ex multiplicatione \(IC\) in \(BI\), hoc est ex radice trium et radicis⁸²⁵ 8 in radicem 7 et radicis 8, provenit radix 29 et 10⁸²⁶ radicum 8; cuius radicis duplum est radix quadrupli, scilicet ex 116 et 40 radicum⁸²⁷ de 8. 538 Nam 40 radices 8 sunt una radix 12800 dragmarum; et sic pro censu⁸²⁸ \(AC\), hoc est pro quesito avere, habentur 10 et una radix de⁸²⁹ 32 et una radix de 116 et radicis de 12800⁸³⁰; que omnia reducta ad numerum sunt inter \({3 \over 4} 30\) et \({4 \over 5} 30\)⁸³¹.

539 Est quoddam avere, cuius 2 radices et radix medietatis eius et radix tertie eius sunt equales ei⁸³². Pone pro ipso avere censum; et quia due res et radix medietatis census et radix tertie census equantur censui, fac quadratum suprascriptum \(AC\) censum, et due radices ipsius census sint superficies \(DG\), et radix medietatis census esto superficies \(EH\), 540 et radix tertie census sit superficies \(BF\). Quare \(CG\) erit 2 et⁸³³ \(EG\) erit radix \({1 \over 2}\) dragme et \(BE\) erit radix tertie dragme; et sic tota \(BC\), que est res, erit 2 et radix \({1 \over 2}\) et radix \({1 \over 3}\). Multiplica ergo hec in se, et venient \({5 \over 6} 4\) et radix 8 et radix \({1 \over 3}\) 5 et radix \({2 \over 3}\) unius dragme pro quantitate census, hoc est quesiti averis. 541 Et si vis scire quomodo multiplicantur 2 et radix \({1 \over 2}\) et radix \({1 \over 3}\) in se, multiplica primum 2 in se et radicem medietatis dragme in se et radicem tertie dragme in se, et venient \({1 \over 3} {1 \over 2} 4\), hoc est \({5 \over 6} 4\)⁸³⁴; deinde multiplica duplum de 2 in radicem \({1 \over 2}\), et veniet radix 8; 542 et multiplica iterum duplum de 2 in radicem \({1 \over 3}\), et veniet radix de \({1 \over 3}\) 5. Post hec multiplica radicem \({1 \over 2}\) in radicem \({1 \over 3}\), et veniet radix \({1 \over 6}\) dragme; quam radicem duplica, et veniet radix \({2 \over 3}\) dragme.

543 Est quoddam avere, cuius 2 radices et radix medietatis eius et radix tertie eius sunt 20 dragme. Pone pro ipso avere censum, et dic quod 2 radices census et radix \({1 \over 2}\) census et radix \({1 \over 3}\) census equantur 20 dragmis; et tolle ab utraque parte duas res, et erunt 20 dragme minus duabus rebus equales radici medietatis census et radici tertie census. 544 Multiplica quidem 20 diminutis 2 rebus in se; erunt 400 et 4 census diminutis 80 rebus, que equantur multiplicationi radicum medietatis census et tertie census in se⁸³⁵; que multiplicatio surgit in \({5 \over 6}\) census et in radicem \({2 \over 3}\) census census. 545 Adde ergo utrique parti⁸³⁶ 80 res et tolle ab⁸³⁷ utraque parte \({5 \over 6}\) census et radicem \({2 \over 3}\) census census, et erunt 400 dragme et census \({1 \over 6}\) 3 minus radice \({2 \over 3}\) census census que equantur 80 rebus. Reduc⁸³⁸ ergo hec omnia ad unum censum, et est ut multiplices ea per \({114 \over 337}\) dragme et per radicem \({190~~\phantom{3}2\phantom{7} \over 337~~337}\). In quibus multiplicatis 80 rebus veniunt <\({21 \over 337}\) 27 et cetera. Resolve per eius regulam et invenies⁸³⁹>.

546 Et si dixeris: de quodam avere minui duas radices eius et radicem medietatis eius et radicem tertie eius, et remanserunt 20 dragme. Pone pro ipso avere censum, qui sit quadratum \(AG\); et minue ab ipso duas radices eius et radicem medietatis eius et radicem tertie eius, que sint⁸⁴⁰ superficies \(AC\) et \(EF\) et \(HI\): remanebit ex toto quadrato superficies \(KG\), que est 20. 547 Manifestum est enim quod numerus \(BC\) est 2 et \(CF\) est^{841 842} radix \({1 \over 2}\) et \(FI\) est radix \({1 \over 3}\) dragme; quare totus numerus \(BI\) est 2 et radix \({1 \over 2}\) et radix \({1 \over 3}\), et numerus \(IG\) est ignotus. Sed ex \(KI\), qui est res, in \(IG\) proveniunt 20; sed \(BG\) equalis est numero \(IK\), ergo ex \(BG\) in \(IG\) veniunt 20. 548 Dividamus itaque numerum \(BI\) in duo equalia, que sint \(BD\) et \(DI\); erit ergo multiplicatio \(BG\) in \(IG\) cum quadrato numeri \(ID\) equalis quadrato⁸⁴³ numeri \(GD\); ergo numerus \(GD\) erit notus. Cui si addatur numerus \(BD\), qui est notus cum sit medietas de 2 et radicis \({1 \over 2}\) et radicis \({1 \over 3}\), erit totus numerus \(GB\), qui est res, notus; quem si multiplicaverimus in se erit quadratum \(AG\) notum, scilicet avere quesitum.

549 Et si dicemus tibi: adde super quodam avere 4 radices eius et radicem medietatis eius et ⁸⁴⁴ radicem \({2 \over 3}\) eius, et erunt 10 dragme; quantus est census? Pone pro ipso avere censum, qui sit quadratum \(AC\); et adiungantur⁸⁴⁵ 4 radices eius et radix medietatis eius <et radix \({2 \over 3}\) eius>, que sint⁸⁴⁶ superficies \(DE\); quare numerus \(CE\) erit 4 et radix \({1 \over 2}\) et radix \({2 \over 3}\)⁸⁴⁷, secundum⁸⁴⁸ ea que premissa sunt. 550 Et quia tota superficies \(AE\) ponitur esse 10 et proveniant ex \(AB\) in \(BE\)⁸⁴⁹, hoc est ex \(BC\) in \(BE\), si addamus ad 10 quadratum medietatis numeri \(CE\), erit totus numerus \(BF\) notus; de quo si auferamus numerum \(FC\) remanebit numerus \(BC\) notus; et quia \(BC\) est res, si ducamus eam in se venit quadratum \(AC\), hoc est quesitum avere notum.

551 Et si dicemus tibi: super quodam avere addidi radicem eius et ⁸⁵⁰ radicem medietatis eius et hoc totum multiplicavi in se, et provenit quincuplum ipsius averis. Pone pro ipso avere censum \(AG\), et adiungatur ei superficies rectiangula⁸⁵¹ \(DE\), que sit una radix ex quadrato \(AG\) et radix medietatis eius, et erit numerus \(GE\) 1 et radix medietatis dragme; numerus \(GD\) sit res. 552 Nam ex multiplicatione rei in 1 et in radicem medietatis dragme provenit una radix census et radix medietatis eius; et quia proponitur quod ex multiplicato numero \(AE\) in se provenit quincuplum quadrati \(AG\), erit numerus \(AE\) radix quinque censuum, et provenit ex ductu⁸⁵² \(AB\) in \(BE\), et \(AB\) est res; quare \(BE\) est radix 5 dragmarum, quia cum multiplicatur res in radicem 5 dragmarum provenit radix 5 censuum, hoc est numerus \(AE\). 553 Unde si ex \(BE\) auferatur numerus \(GE\), qui est 1 et radix medietatis dragme, remanebit pro quantitate rei, hoc est pro numero \(BG\), radix 5⁸⁵³ dragmarum diminuta dragma et radice medietatis dragme. Que⁸⁵⁴ si multiplicaverimus in se, venient dragme \({1 \over 2}\) 6 et radix duarum dragmarum diminuta radice 20 et radice⁸⁵⁵ 10 dragmarum pro quantitate census \(AG\), hoc est pro quesito avere.

554 Item super quodam avere addidi radicem eius et radicem medietatis eius, et hoc totum multiplicavi in se et provenerunt⁸⁵⁶ 20 dragme. Intellige iterum in suprascripta figura quadratum \(AG\) esse censum, et superficies \(DE\) radicem census et radicem medietatis eius; et quia proponitur quod ex coniuncto predictorum multiplicato in se proveniunt 20, erit superficies \(AE\) radix 20 dragmarum, et provenit ex re \(AB\) ducta in numerum \(BE\)⁸⁵⁷. 555 ⁸⁵⁸ Sed ex \(AB\) in \(BE\) provenit census \(AG\) et superficies \(DE\), que est radix census et radix medietatis eius; et sic⁸⁵⁹ census et res et radix medietatis census equantur radici 20 dragmarum. Et est per ea que diximus numerus \(GE\) 1 et radix medietatis dragme; quare medietas ipsorum, que sit \(GF\), erit \({1 \over 2}\) et radix \({1 \over 8}\) dragme. 556 Et quia ex \(AB\) in \(BE\), hoc est ex \(BG\) in \(BE\), provenit radix 20, si addatur ei multiplicatio ex \(GF\) in se, que est \({3 \over 8}\) et radix \({1 \over 8}\) dragme, venient radix 20 et radix \({1 \over 8}\) dragme et insuper \({3 \over 8}\) unius dragme pro quadrato numeri \(BF\). Quare⁸⁶⁰ si ex radice ipsorum auferatur numerus \(GF\)⁸⁶¹, qui est medietas dragme et radix \({1 \over 8}\) dragme, remanebit pro numero \(BG\), scilicet pro re, radix radicis 20 et radicis \({1 \over 8}\) dragme et ex \({3 \over 8}\) dragme, diminuta medietate dragme et radice \({1 \over 8}\) dragme pro quantitate rei \(BG\), que est radix numeri quesiti averis.

557 Item super quodam avere addidi radicem medietatis eius et ⁸⁶² multiplicavi agregatum in se, et provenit quadruplum eius. Sit in⁸⁶³ suprascripta figura quadratum \(AG\) census, et superficies \(DE\) radix \({1 \over 2}\) census; et quia proponitur quod hec in se multiplicata faciunt quadruplum census, erit superficies \(AE\) radix 4 censuum, et provenit ex re \(AB\) in numerum \(BE\). 558 Ergo numerus \(BE\) est radix 4 dragmarum, et sic \(BE\) est 2, de quibus si tollatur \(GE\), qui est radix \({1 \over 2}\) dragme, remanebit pro re \(BG\) 2 minus radice \({1 \over 2}\) dragme, quibus in se multiplicatis reddunt \({1 \over 2}\) 4 minus radice 8 dragmarum pro quesito avere.

559 ^[1] Multiplicavi quoddam avere et radicem 3 per idem avere et radicem 2 dragmarum, et provenerunt 20 dragme. Pone pro ipso avere rem et multiplica⁸⁶⁴ rem et radicem 3 per rem et radicem 2, et veniet census et 6⁸⁶⁵ dragme et radix 12 censuum et radix 8 censuum, que equantur 20 dragmis. 560 Tolle ab utraque parte sex; remanebit census et radix 12 censuum et radix 8 censuum que equantur 14 dragmis. Multiplica ergo medietatem radicum in se, hoc est radicem 3 et radicem 2 dragmarum; venient 5 dragme et radix 24 dragmarum, que adde cum 14; erunt 19 et radix 24, de quorum radice abice medietatem radicum, scilicet radicem 3 et radicem de 2: remanebit radix de 19 et radicis 24 diminuta radice 3 et radice 2 dragmarum pro quantitate rei, hoc est quesiti averis.

561 Cuidam averi addidi 7 dragmas et multiplicavi aggregatum in radicem tripli ipsius averis, et⁸⁶⁶ provenit decuplum ipsius. Pone pro ipso avere rem, et adde ei 7 et multiplica aggregatum per radicem trium rerum, et venient 10 res, hoc est decuplum rei. Multiplica ergo 10 res in se: venient 100 census; et multiplica radicem 3 rerum in se: venient 3 res; 562 et multiplica rem et 7⁸⁶⁷ dragmas in se: venient 1 census et 14 res et dragme 49, que⁸⁶⁸ multiplica per 3 res; venient 3 cubi et 42⁸⁶⁹ census et res 147, que equantur censibus 100. Abice ab utraque parte 42⁸⁷⁰ census: remanebunt 3 cubi et res 147⁸⁷¹ que equantur censibus 58. Divide hec omnia per rem et venient 3 census et dragme 147 que equantur 58 rebus. 563 Reduc ergo hec omnia ad censum unum, hoc est divide ea per 3: exibit census et dragme 49 equales rebus \({1 \over 3}\) 19. Dimidia ergo radices; erunt \({2 \over 3} 9\), que multiplica in se; erunt \({4 \over 9} 93\)⁸⁷², de quibus abice 49: remanent \({4 \over 9}\) 44 quorum radicem, que est \({2 \over 3}\) 6, abice de medietate radicum: remanebunt 3 pro quantitate rei, scilicet pro avere quesito.

564 Super unaquaque duarum inequalium quantitatum, quarum una est triplum alterius, addidi radicem eius et multiplicavi unum ex aggregatis in aliud, et provenit decuplum maioris quantitatis⁸⁷³. Pone pro minori quantitate rem et pro maiori 3 res, et adde unicuique earum⁸⁷⁴ radicem suam, 565 et multiplica unum per alium, hoc est rem et radicem rei in 3 res et radicem 3 rerum, et venient 3 census et radix trium censuum et radix 9 cuborum et radix 3 cuborum; quia ex multiplicatione rei in 3 res veniunt 3 census, et ex radice⁸⁷⁵ rei in radicem 3 rerum provenit radix 3 censuum, et ex re in radicem trium rerum provenit radix 3 cuborum, 566 et ex⁸⁷⁶ multiplicatione trium rerum in radicem rei provenit radix 9 cuborum; et hec omnia equantur decuplo maioris quantitatis, hoc est 30 rebus. Tolle itaque ab utraque parte 3 census et radicem 3 censuum: remanebunt 30 res diminutis 3 censibus et diminuta radice 3 censuum equales radici 9 cuborum et radici 3 cuborum. 567 Multiplica quidem 30 res diminutis 3 censibus et diminuta radice 3 censuum in se, et provenient 903 census et 9 census⁸⁷⁷ census et radix 108 censuum census census diminutis 180 cubis et diminuta radice 10800 censuum census, que equantur multiplicationi radicum 9 cuborum et 3 cuborum in se. Nam ex multiplicatione radicis 9 cuborum in se veniunt 9 cubi et ex ducta radice 3 cuborum in se veniunt 3 cubi, et sic habentur 12 cubi; et ex duplo multiplicationis radicis 9 cuborum in radicem 3 cuborum provenit radix 108 cuborum cubi, que radix est sicut radix 108 censuum census census. 568 Tolle ergo ab utraque parte radicem 108 censuum census census et adde utrique parti 180 cubos: venient 192⁸⁷⁸ cubi, qui equantur 9⁸⁷⁹ censibus census et 903⁸⁸⁰ censibus, diminuta radice 10800 censuum census. Divide hec omnia per censum, et erunt 9 census et 903⁸⁸¹ dragme diminuta radice 10800 dragmarum que equantur rebus 192, quia cum dividitur cubus per censum provenit res. 569 Divide ergo⁸⁸² hec omnia per 9 ut reducas ea ad unum censum, et erit census et dragme \({1 \over 3}\) 100 diminuta radice dragmarum \({1 \over 3}\) 133 que equantur rebus \({1 \over 3}\) 21. Age secundum alzebra in hoc, et est ut multiplices medietatem radicum in se, et erunt \({7 \over 9} 113\)⁸⁸³; de quibus abice \({1 \over 3}\) 100 diminuta radice \({1 \over 3} 133\); remanebunt \({4 \over 9}\) 13 et radix dragmarum \({1 \over 3}\) 133, quorum radicem abice de \({2 \over 3} 10\)⁸⁸⁴: remanebunt \({2 \over 3}\) 10 diminuta radice dragmarum \({1 \over 3}\) 13 et radicis \({1 \over 3}\) 133 pro quantitate rei, scilicet minoris quantitatis⁸⁸⁵.

570 De quodam avere accepi radicem et radicem radicis eius et radicem 2 radicum eius et radicem quincupli eius, et hec omnia fuerunt 10 dragme. Pone pro ipso avere censum, et accipe radicem eius et radicem radicis eius et radicem 2 radicum eius et radicem quincupli eius, et erunt res et radix rei et radix 2 rerum et radix 5 censuum equales 10 dragmis. 571 Proice ab utraque parte rem et radicem 5 censuum, et erunt 10 diminuta re et diminuta radice 5 censuum equales radici rei et radici 2 rerum. Multiplica ergo 10 minus re et diminuta radice 5 censuum in se, et erunt 100 et 6 census et radix 20 censuum census, diminutis 20 rebus et diminuta radice 2000⁸⁸⁶ censuum equales radici rei et radici 2 rerum ductis in se, que sunt 3 res et radix 8 censuum. 572 Adde ergo utrique parti 20 res et radicem⁸⁸⁷ 2000 censuum, et erunt 100 dragme et 6 census et radix 20 censuum census equales 23 rebus et radici 8 censuum et radici 2000 censuum. Reduc ergo totum quod habes ad censum, et est quod ducas ipsum in \({3 \over 8}\) dragme diminuta radice \({5 \over 8}\) octave dragme. 573 Et duc 6 census et radicem 20 censuum census in \({3 \over 8}\) diminuta radice \({5 \over 8}\) octave dragme, et provenit census. Et duc 100 dragmas in \({3 \over 8}\) diminuta radice \({5 \over 8}\) octave dragme, et provenit \({1 \over 2}\) 37 diminuta radice \({1 \over 4}\) 781 dragmarum. Et duc 23 res in \({3 \over 8}\) diminuta radice \({5 \over 8}\) octave, et provenient 8 res et⁸⁸⁸ \({5 \over 8}\) rei, diminuta radice censum \({5~~2 \over 8~~8}\) 41. Et ducamus radicem 2000 censuum in \({3 \over 8}\) diminuta radice \({5 \over 8}\) octave, et provenit radix censuum \({1 \over 4}\) 281 diminutis rebus \({1 \over 2}\) 12. 574 Deinde duc radicem 8 censuum in \({3 \over 8}\) diminuta radice \({5 \over 8}\) octave, et provenit radix census \({1 \over 8} 1\)⁸⁸⁹ diminuta radice \({5 \over 8}\) census. Erunt igitur post hec omnia census et dragme \({1 \over 2}\) 37, diminuta radice \({1 \over 4}\) 781, equales radici censuum \({1 \over 4}\) 281 et radici census \({1 \over 8} 1\)⁸⁹⁰ diminutis rebus \({7 \over 8} 3\)⁸⁹¹ et diminuta radice censuum \({5~~2 \over 8~~8}\) 41 et diminuta radice \({5 \over 8}\) unius census. Deinde fac ut dictum est superius, et invenies quesitum.

575 Trium quantitatum inequalium si multiplicetur minor per maiorem erit sicut media in se, et si multiplicetur maior in se venit sicut minor in se et sicut media in se insimul iunctis, et ex ductu minoris in mediam proveniunt 10. Pone pro minori quantitate rem et pro media 10 divisa per rem, et multiplica 10 divisa per rem in se et venient 100 divisa per censum, que divide per rem: venient 100 divisa per cubum, et⁸⁹² hec erit maior quantitas. 576 Deinde multiplica minorem quantitatem, scilicet rem, in se, et veniet⁸⁹³ census; et multiplica mediam in se, scilicet 10 divisa per rem; venient 100 divisa per censum, que adde cum censu: erunt census et 100 divisa per censum, que equantur multiplicationi maioris quantitatis, scilicet de 100 divisa per cubum in se, ex qua multiplicatione proveniunt 10000 divisa per cubum cubi. 577 Multiplica ergo omnia que habes per cubum cubi; et est multiplicare per cubum cubi⁸⁹⁴ sicut multiplicare per censum census census. Ergo si multiplicamus 10000 divisa per cubum cubi per censum census⁸⁹⁵ census venient 10000; et si multiplicamus⁸⁹⁶ censum, scilicet⁸⁹⁷ quadratum minoris quantitatis, per censum census census, habebimus inde censum census census census; 578 et si quadratum medie quantitatis, scilicet 100 divisa per censum, multiplicamus per censum censum census, veniet 100 census census; ergo census census census census et 100 census census equantur 10000 dragmis. 579 Ponamus itaque quadratum \(AC\) censum census census ⁸⁹⁸ census, et erit unumquodque latus ipsius census census, quia cum multiplicatur censum census in se provenit census census census census; et adiungamus eidem quadrato superficiem \(DE\), que sit 100 census census. 580 Et quia \(DC\) est census census erit \(CE\) 100, cum superficie \(DE\), que est 100 census census, fit ex \(DC\) in \(CE\). Et quia ut dictum est quod census census census census et 100 census census equantur 10000, ergo tota superficies \(AE\) erit 10000. Quare ex ductu⁸⁹⁹ \(AB\) in \(BE\), hoc est ex \(BC\) in \(BE\), proveniunt 10000; quibus si addamus⁹⁰⁰ quadratum medietatis \(CE\), que sit \(CF\), habeantur⁹⁰¹ pro quadrato numeri \(BF\) 12500; quare \(BF\) est radix de 12500, de qua si auferatur \(CF\), que est 50, remanebit pro quantitate \(BC\) radix 12500 diminutis 50 dragmis. 581 Sed \(BC\) est census census; et quia res est radix radicis census census et nos posuimus rem pro minori quantitate, erit utique ipsa minor quantitas radix radicis ex radice 12500 dragmarum, diminutis inde 50. Et quia media quantitas fuit 10 divisa per rem et eius quadratus fuit 100 divisa per censum, quadratus quadrati ipsius erit 10000 divisa per censum census. Est enim superficies \(AE\) 10000, et colligitur ex \(AB\) in \(BE\), et \(AB\) est census census, hoc est quadratus quadrati. 582 Si dividamus 10000 per censum census veniet quantitas \(BE\) pro quadrato quadrati mediane quantitatis quesite. Sed \(BE\) est quantum \(BF\) et \(FE\); sed \(BF\) est⁹⁰² radix 12500 et \(FE\) est 50: ergo mediana quantitas est radix radicis ex⁹⁰³ radice de 12500 et ex 50 dragmis. Maior vero quantitas erit radix amborum quadratorum qui fiunt a minori et a media quantitate, et hec est radix radicis radicis 12500 minus 50 dragmis et radicis radicis⁹⁰⁴ 12500 et 50 dragmarum.

583 Et si dicatur: divisi 10 in tres partes et fuit multiplicatio minoris per maiorem sicut multiplicatio medie partis in se, et multiplicationes minoris in se et medie partis in se sunt sicut multiplicatio maioris partis in se. Pone primum pro minori parte dragmam et pro media rem et pro maiori censum; et hoc facies quia multiplicatio dragme⁹⁰⁵, que est minor pars, in censum, qui est maior pars, est sicut multiplicatio medie partis, scilicet rei, in se. 584 Deinde multiplica dragmam in se, et veniet⁹⁰⁶ dragma; et multiplica rem in se, veniet census; et multiplica censum, hoc est maiorem partem in se, et provenit census census, qui equatur censui qui provenit ex re ducta in se, et dragme que provenit ex dragma ducta in se. Sed quando census census equatur censui et dragme est sicut quando equatur census rei et dragme. 585 Verbi ⁹⁰⁷ gratia: pro censu census esto quadratus \(AG\), cuius latus est \(BG\), et accipiatur in \(BG\) recta \(BE\), que sit 1, et per punctum \(E\) protrahatur linea \(EC\); erit itaque⁹⁰⁸ superficies \(AE\) census, cum provenit ex ducta \(AB\), que est census, in \(BE\), que est 1. Remanebit ergo superficies \(CG\) 1, et provenit ex \(GE\) in \(EC\), hoc est ex \(GE\) in \(BG\). 586 Nunc dividamus \(BE\) in duo equa ad punctum \(F\), et erit multiplicatio \(EG\) in \(BG\) cum \(EF\) in se sicut multiplicatio \(GF\) in se. Sed ex multiplicatione \(EG\) in \(BG\) provenit 1, et ex multiplicatione \(EF\), que est medietas dragme provenit \({1 \over 4}\); et sic pro quadrato numeri \(GF\) habetur \({1 \over 4}\) 1. Ergo \(GF\) est radix de \({1 \over 4}\) 1, cui si addatur \(FB\) que est \({1 \over 2}\) dragme, habebitur pro tota \(BG\) radix de \({1 \over 4}\) 1 et \({1 \over 2}\)⁹⁰⁹ dragme; et est \(BG\) census, cum totus quadratus \(AG\) sit census census. 587 Et quia pro maiori parte posuisti censum, erit itaque ipsa maior pars radix \({1 \over 4}\) 1 et \({1 \over 2}\) dragme, quorum radix est media pars et minor pars est 1, scilicet dragma.

Et cum hec tres partes coniuncte non equentur⁹¹⁰ 10 dragmis, et nos velimus 10 in suprascripta conditione dividere, erit sicut coniunctum ex his tribus partibus inventis ad 10 ita dragma ad id quod provenit ex 10 minori parti. 588 Quare ponamus ut ex ipsis 10 veniat⁹¹¹ minori parti res⁹¹²: erit sicut coniunctum ex predictis tribus partibus inventis ad 10 ita dragma ad rem; quare multiplicatio rei in predictas tres partes inventas erit equalis multiplicationi dragme in 10. 589 Quare multiplicemus rem in⁹¹³ ipsas tres partes, et ex multiplicatione rei in dragmam veniet res, et ex multiplicatione rei in radicem radicis \({1 \over 4}\) 1 et medietatis dragme provenit radix radicis⁹¹⁴ census census \({1 \over 4}\) 1 et medietatis census, et ex multiplicatione rei in radicem \({1 \over 4}\) 1 et in medietatem dragme provenit radix census \({1 \over 4}\) 1 et medietas rei; que omnia equantur 10. Tolle ergo ab utraque parte rem et medietatem rei et radicem census \({1 \over 4}\) 1: remanebunt 10 diminuta re \({1 \over 2}\) 1 et diminuta radice census \({1 \over 4}\) 1 equales radici radicis census census \({1 \over 4}\) 1 et medietatis census. 590 Multiplica ergo 10 minus re \({1 \over 2}\) 1 et minus radice census \({1 \over 4}\) 1 in se, et venient 100 et census \({1 \over 2}\) 3 et radix censuum census \({1 \over 4}\) 11 diminutis 30 rebus et diminuta radice 500 censuum, qui equantur multiplicationi radicis radicis census census \({1 \over 4}\) 1 et medietatis census in se⁹¹⁵; que multiplicatio est radix census census \({1 \over 4}\) 1 et medietas census. 591 Tolle ab utraque parte medietatem census et adde utrique parti 30 res et radicem 500 censuum, et erunt 100 et tres census et radix censuum census \({1 \over 4}\) 11 equales 30 rebus et radici 500 censuum et radici census census \({1 \over 4}\) 1. Tolle iterum ab utraque parte radicem census census \({1 \over 4}\) 1, et hoc est ut de radice censuum census \({1 \over 4}\) 11 extrahas radicem census census \({1 \over 4}\) 1, et hoc est de radice \({1 \over 4}\) 11 extrahere radicem \({1 \over 4}\) 1. 592 Est enim radix de \({1 \over 4}\) 11 sicut 3 radices de \({1 \over 4}\) 1; unde si ex ipsis tribus radicibus auferamus unam radicem de \({1 \over 4}\) 1, remanebunt 2 radices de \({1 \over 4}\) 1, que sunt una radix 5 dragmarum. Propter quod cum de radice censuum census \({1 \over 4}\) 11 tollatur radix census census \({1 \over 4}\) 1, remanet inde radix 5 censuum census; et sic 100 et tres census et radix 5 censuum census equantur 30 rebus et radici 500 censuum. 593 Reduc⁹¹⁶ ergo 3 census et radicem 5 censuum census ad censum, et est ut multiplices illud per quartam partem numeri sui recisi. Nam recisus ipsius binomii est 3 minus radice de 5, in quo reciso si multiplices 3 census et radicem 5 censuum census, venient inde 4 census; quare si⁹¹⁷ multiplices 3 census et radicem 5 censuum census per quartam ipsius recisi, scilicet per \({3 \over 4}\) diminuta radice \({5 \over 16}\) dragme, veniet census. 594 Et ideo multiplica 100 per \({3 \over 4}\) minus radice \({5 \over 16}\): venient 75⁹¹⁸ diminuta radice 3125 que sunt cum censu; et multiplica iterum 30 res et radicem 500 censuum per \({3 \over 4}\) diminuta radice \({5 \over 16}\): venient 10 res tantum, quia ex \({3 \over 4}\) in 30 res veniunt res \({1 \over 2}\) 22 addite et ex radice \({5 \over 16}\) diminuta in radicem 500 censuum veniunt res \({1 \over 2}\) 12 diminute, quibus extractis de radicibus \({1 \over 2}\) 22 remanet 10 res, ut diximus. 595 Relinquimus⁹¹⁹ quidem multiplicationem de \({3 \over 4}\) in radicem 500 censuum additam, cum sit equalis diminute multiplicationi radicis \({5 \over 16}\) in 30 res. Ipsis his itaque intellectis⁹²⁰, extrahe 75 diminuta radice 3125 de quadrato medietatis radicum, scilicet de 25; remanebit radix de 3125 minus 50⁹²¹ dragmis, quorum radicem accipe et extrahe eam ex medietate radicum, scilicet de 5: remanebunt 5 diminuta radice radicis 3125 minus 50 dragmis, et hec sunt minor pars.

596 Et si volumus maiorem partem invenire, pones pro ipsa dragmam et pro media radicem rei et pro minori parte rem, et hoc facies⁹²² ut sit multiplicatio rei in dragmam sicut multiplicatio radicis⁹²³ rei in se. Et quia propositum est ut multiplicatio minoris partis in se et media in se sunt sicut multiplicatio maioris in se, multiplica minorem in se, scilicet rem: veniet census, et multiplica mediam in se, scilicet radicem rei, et veniet res; et sic habes censum et rem que equantur multiplicationi dragme, scilicet maioris partis in se, que multiplicatio est 1. 597 Divide ergo hoc secundum alzebra, et est ut dividas numerum rei in duo equa; veniet \({1 \over 2}\), cuius quadratum adde dragme: erit dragma \({1 \over 4}\) 1, de cuius radice abice \({1 \over 2}\) et remanebit pro quantitate rei radix de \({1 \over 4}\) 1, subtracta inde medietate dragme. Et hoc est pro minori parte, cuius radix est pro media parte, et est radix radicis de \({1 \over 4}\) 1 minus \({1 \over 2}\) dragme. Pro maiori vero parte posita est dragma.