58 Pars secunda de multiplicatione radicum in radicibus et numeris

Si vis multiplicare radicem surdam vel ratiocinatam alicuius numeri per radicem surdam alterius, multiplica unum ex ipsis numeris per alium, et quot provenerit erit quadratus summe multiplicationis ipsarum radicum. 59 Verbi gratia:

10 20 \(A\) \(B\) \(G\) \(D\)

⁶³ vis multiplicare radicem de 10 per radicem de 20; multiplica 10 per 20: erunt 200, quorum radix est summa multiplicationis quesite. Verbi gratia: sit \(A\) radix de 10 et \(B\) de 20, et adiaceat \(G\) equalis \(A\) et \(D\) equalis \(B\); ergo \(G\) est radix de 10 et \(D\) de 20. 60 Ergo cum multiplico \(G\) in \(A\), hoc est \(A\) in se, veniunt 10, et cum multiplico \(D\) in \(B\), hoc est \(B\) in se, faciunt 20; ergo cum multiplico 10 per 20, tunc multiplico factum ex \(G\), \(A\) in factum ex \(D\), \(B\); ergo multiplicatio facti ex \(G\), \(A\) in factum ex \(D\), \(B\) est 200. 61 Sed⁶⁴ multiplicationi facti ex \(G\), \(A\) in factum ex \(D\), \(B\)⁶⁵ equatur multiplicatio facti ex \(A\), \(B\) in factum ex \(G\), \(D\); ergo multiplicatio facti ex \(A\), \(B\) in factum ex \(G\), \(D\) est 200. Sed factus ex \(A\) in \(B\) equatur facto ex \(G\) in \(D\); ergo multiplicatio facti ex \(A\) in \(B\) per factum ex \(G\) in \(D\) equatur multiplicationi facti ex \(A\), \(B\) in se; ergo multiplicatio facti ex \(A\) in \(B\) in se facit 200. Quare factus ex \(A\) in \(B\), scilicet ex radice de 10 in radice 20, est radix ducentorum; quod oportebat ostendere.

62 Item si vis multiplicare radicem de 30 per radicem de 40, multiplica 30 per 40: erunt 1200, quorum radix, que est surda, hoc est inratiocinata, est summa quesite multiplicationis. Et nota cum numeri quorum radices multiplicas⁶⁶ sunt consimiles, hoc est quod habent proportionem inter se sicut quadratus numerus ad quadratum numerum, tunc ex eorum multiplicatione provenit numerus ratiocinatus. 63 Verbi gratia: vis multiplicare radicem de 40 per radicem de 90, multiplica 40 per 90: erunt 3600, quorum radix est 60, in quibus multiplicatio ascendit prescripta. Sunt 60⁶⁷ media in proportione inter 40 et 90, quia sicut 40 sunt ad 60 ita 60 ad 90, et e⁶⁸ converso sicut 90 ad 60 ita 60 ad 40. 64 Et hoc est⁶⁹ quod Euclides ostendit, cum dixit inter duos numeros similes unum intercidere numerum. Et si vis habere notitiam cognoscendi numeros consimiles, divide utrumque ipsorum per maiorem comunitatem quam habent; ex qua divisione si provenerint numeri quadrati, tunc similes erunt. Vel cum dividetur⁷⁰ unus per alium similem, ex ipsa divisione provenit semper numerus quadratus. Sunt enim 10 comunis mensura et maxima de 40 et 90; que si dividantur per 10 veniunt⁷¹ 4 et 9, qui numeri sunt quadrati. 65 Vel si diviserimus 90 per 40⁷², veniunt \({1 \over 4}\) 2, qui numerus est quadratus, cuius radix est \({1 \over 2}\) 1, que reperitur sic: fac quartas \({1 \over 4}\) 2: erunt \({9 \over 4}\), ex quibus accipe radices, et habebis 3 et 2; que 3 divisis per 2 reddunt \({1 \over 2}\) 1. Similiter, si diviseris 40 per 90 venient \({4 \over 9}\), que etiam quadrate sunt; et est eorum radix \({2 \over 3}\) propter 2 que sunt radix de 4 et propter 3 que sunt radix de 9.

66 Et si vis multiplicare tres radices de 10 in quattuor radices de 20, rediges hec ad multiplicationem radicis unius numeri in radice alterius hoc modo: pro tribus radicibus de 10 multiplica quadratum ternarii, scilicet 9, per 10: erunt 90, quorum radix equatur tribus radicibus de 10. 67 Eodemque modo, multiplicato quadrato de 4, scilicet 16, in 20, reddet radicem de 320 pro quattuor radicibus de 20. Quare si ex multiplicatione de 90 in 320 radicem acceperis, scilicet de 28800, habebis utique multiplicationem trium radicum de 10 in quattuor radices de 20.

68 Nam si ad oculum deprehendere vis quomodo quattuor radices de 20 sunt radix de 320, adiaceat quadrilaterum rectiangulum et equilaterum \(ABGD\), cuius area sit ulnarum 20. Quare quodlibet latus ipsius est radix de 20, que radix cum sit plus quaternario accipiatur in rectam \(BG\) punctus \(E\), et sit recta \(BE\) quattuor ulnarum, cui equalis sit recta \(AC\), et copuletur recta \(EC\). 69 Superficies ergo \(ABEC\) constat ex quattuor radicibus de 20, cuius superficiei area colligitur ex ductu \(AB\) in \(BE\)⁷³. Est enim \(AB\) radix de 20 et \(BE\) est radix de 16; quare area superficiei \(ABEC\) colligitur ex ducta radice de 20 in radicem de 16, ex qua multiplicatione provenit radix de 320, ut predixi. Ex hoc enim poteris habere doctrinam reducendi plures radices unius numeri ad radicem unam. Ut si vis redigere sex radices de 20 ad radicem unam, multiplica quadratum de 6, scilicet 36, in 20: pervenient 720, quorum radix est id quod queritur.

70 Et si vis multiplicare aliquem numerum per radicem alicuius numeri, quot unitates erunt in ipso numero, tot radices equales eidem radici in quam numerum multiplicare vis ex ipsa multiplicatione provenient. Verbi gratia: si vis multiplicare 6 in radicem de 20, nimirum sex radices de 20 provenient, que sunt radix de⁷⁴ 720, ut predixi. Ergo ex multiplicatione de 6 in radicem de 20 surgit radix de 720; et sic studeas facere in similibus.

71 De multiplicatione radicum⁷⁵ radicis in radicem radicis

Si vis multiplicare radicem radicis alicuius numeri per radicem radicis alterius, multiplica unum⁷⁶ ex ipsis numeris in alium et eius quod provenerit radicem radicis accipe, et habebis summam quesite multiplicationis. Et nota quod⁷⁷ quando multiplicatur radix radicis numeri per radicem radicis, tunc ex ipsa multiplicatione provenit numerus aut radix numeri sive radix radicis numeri. 72 Verbi gratia: multiplicas radicem radicis trium per radicem radicis de 27: provenit radix radicis de 81, que surgunt ex ductis 3 in 27. Nam radix 81 est 9, quorum radix, scilicet 3, est summa quesite multiplicationis. Similiter si multiplicas radicem⁷⁸ radicis de 96 per radicem radicis de 216 provenit numerus ratiocinatus, quia ex ductis 96 in 216 surgunt 20736, quorum radix est 144; quorum radix, scilicet de 144, est 12, que sunt summa quesite multiplicationis. 73 Ex multiplicatione quidem radicis radicis duorum in radicem radicis de 18 provenit radix numeri; quia ex ductis 2 in 18 proveniunt 36, quorum radix, que est 6, caret⁷⁹ radice; ergo ex dicta multiplicatione surgit radix de 6. 74 Similiter ex multiplicata radice radicis 8 in radicem radicis de 18 provenit radix de 12; quia ex ductis 8 in 18 provenit 144, qui numerus est quadratus, cuius radix est 12; quorum radix, que est surda, est summa quesita, ut predixi. Item si multiplicas radicem radicis 10 per radicem radicis 12, proveniet ex ipsa multiplicatione radix radicis numeri non quadrati, scilicet de 120. Similiter ex multiplicatione radicis radicis 20 in radicem radicis 30 surgit radix radicis de 600.