1 Incipit capitulum decimum de societatibus factis inter consocios¹

Cum autem prepositum fuerit de quibusdam consociis qui insimul societatem fecerunt², quorum unusquisque inequaliter suam portionem in ipsa societate habuerit et cum ipsa societate aliquam quantitatem lucrati fuerint, quam quantitatem inter se secundum portiones³ eorum dividere voluerint, et voluerit scire quot unicuique de ipso lucro continget, pone portionem primi socii in capite tabule in dextra parte; deinde in eadem linea versus sinistram portiones aliorum per ordinem ponere studeas, et lucrum quod fecerint in alio capite tabule in eadem linea depingas, in sinistra videlicet parte. 2 Tunc aggregabis portiones omnum sociorum in unum et aggregatam summam servabis. In qua singulariter divides multiplicationes portionis⁴ uniuscuiusque socii in totum lucrum et sic habebis hoc quod unicuique de ipso lucro contingerit⁵. Et ut hoc apertius declaretur, primum in societate duorum hominum in prima parte et trium in secunda et quattuor in tertia cum variis positionum portionibus⁶ demonstrabimus. Deinde in quinta parte divisiones quorumdam numerorum in portiones⁷ ruptorum ad modum societatum terminabimus.

3 De societate duorum hominum

Si⁸ proponatur de duobus hominibus qui societatem insimul fecerunt, quorum unus misit in prescripta societate libras 18 alicuius monete et alter misit in eadem libras 25, et lucrati fuerunt inde libras 7, et queratur quot unicuique de ipsis libris 7 contingerit⁹, sic facies. Describes portionem primi socii, hoc est libras 18, in capite tabule in dextra parte; deinde versus sinistram in eadem linea libras 25 describe; lucrum, idest libras 7, iterum versus sinistram separatim ab ipsis ad libitum pone, ut hic inferius ostenditur. 4 Et iunge insimul portiones

⑦ ③ ⑦ £ £ £ lucr. port. sec. port. pri. 7 25 18   ⑩ ⑤ pensa per 11       \({3 \over 43}\) 4 \({40 \over 43}\) 2

¹⁰ utriusque socii, idest¹¹ 18 cum 25: erunt 43, que pone in questione sub 18 et protrahe virgulam super ipsa 43, et alia 43 cum virgula¹² pone sub 25, ut in questione ostenditur. Deinde multiplica portionem primi socii, scilicet 18, per lucrum, videlicet per 7: erunt 126, que divide per 43 que posita sunt sub 18; exibunt libre \({40 \over 43}\) 2, et tantum contingit primo socio de ipso lucro, hoc est libre 2 et soldi 18 et denarii \({11 \over 43}\) 7¹³. 5 Residuum vero lucri contingit alteri. Tamen ut secundum hanc artem operetur, multiplica portionem alterius socii per lucrum, scilicet 25 per 7; erunt 175, que divide per 43 que posita sunt sub 25: exibunt libre \({3 \over 43}\) 4, et tantum contingit secundo, scilicet libre 4 et denarii \({32 \over 43}\) 16. Cum quibus si iunxeris libras 2 et soldos 18 et denari \({11 \over 43}\) 7 que contingunt primo, in eisdem libris 7 devenies.

6 Aliter de eodem¹⁴

Aliter hoc totum facere possumus, videlicet ut soldos et denarios qui contingunt unicuique in portione sui lucri habeas in una multiplicatione et in una divisione, sicuti in precedentibus negotiationibus facere docuimus. Et est hoc, quod cum debes multiplicare lucrum per portionem uniuscuiusque et dividere per 43, multiplica primum lucrum, scilicet 7, per 12, que per 20, hoc est per 240, ideo quia 7 sunt libre denariorum, et sic facimus inde denarios: erunt denarii 1680, quos pone super 7 ut in hac alia cernitur descriptione. 7 Et

1680     ⑧ 240     lucr. £ port. sec. £ port. pri. £ 7 25 18 pensa est per 11       d. s. £ d. s. £   \({32~~\phantom{1}4~~\phantom{1}1 \over 43~~12~~20}\) 4 \({11~~\phantom{1}7~~18 \over 43~~12~~20}\) 2

¹⁵ multiplica ipsos¹⁶ denarios, scilicet 1680, per 18 et divide summam eorum per \({\phantom{1}1~~\phantom{1}0~~\phantom{1}0 \over 43~~12~~20}\): exibunt pro portione primi hominis libre \({11~~\phantom{1}7~~18 \over 43~~12~~20}\) 2, quas pone in questione sub 18, ut ibidem ostenditur. Deinde multiplica 1680 per 25 et divide summam per \({\phantom{1}1~~\phantom{1}0~~\phantom{1}0 \over 43~~12~~20}\): exibunt libre \({32~~4~~1 \over 43~~12~~20}\) 4, et tantum contingunt secundo, quas pone in questione sub 25.

8 Et ut hoc verum sit, duplici modo cognoscitur. Quorum primus modus est illud idem quod in precedentibus negotiationibus demonstravimus, videlicet ut accipias¹⁷ pensam illius moltiplicationis que multiplicatur¹⁸ in primo socio; et servabis eam, et¹⁹ cognosces per eam si portio²⁰ lucri ipsius bene steterit; et illud idem facies de alio consocio²¹. Modus alius est ut iungas portionem lucri uniscuiusque in unum, que si fecerint totum lucrum, recte in utroque processisse cognosces.

9 Nam qualiter in unum iungi debeant per optimam et subtilem regulam addisce, videlicet ut protrahas sub lucro in questione²² unam virgulam, sub qua pone ruptos qui sunt²³ sub aliis sic: \({\phantom{1}1~~\phantom{1}0~~\phantom{1}0 \over 43~~12~~20}\) . Deinde accipe 11 que sunt super 43 de virgula primi socii et adde ea²⁴ cum 32 que sunt super 43 secundi socii; erunt 43, que divide per 43: exibit 1 et remanet zephyrum. 10 Pone itaque zephyrum super 43 que sunt in virgula posita sub lucro, et retineas in manu 1, quod adde cum 7 que sunt super 12 de virgula primi et cum 4 que sunt super 12 de virgula secundi; erunt denarii 12, quos divide per 12: exibit soldus 1 et remanet 0. 11 Pones 0 super 12 et retineas in manu 1, quod adde cum soldis 18 qui sunt super 20 de virgula primi et cum 1 quod est super 20 de virgula secundi; erunt soldi 20, quos divide per 20: exibit libra 1, et remanet 0. Pone 0 super 20, et in manu retineas²⁵ 1, quod adde cum libris 2 que sunt ante virgulam primi et²⁶ cum 4 que sunt ante virgulam secundi: erunt libre 7, quas pone ante virgulam lucri. Et hoc volumus ut habeamus libras 7 et nichil super virgulam²⁷ remaneat.

12 De eodem

Item duo homines societatem fecerunt, quorum unus misit libras 15²⁸ et soldos 7, hoc est libras \({7 \over 20}\) 15, et alter misit libras 19, et lucrati fuerunt insimul

3533 380 307 lucrum portio secundi portio primi \({\phantom{1}5~~14 \over 12~~20}\) 14 19 \({7 \over 20}\) 15 ⑤ ③ ② d. s. £ d. s. £ d. s. £ \({0~~\phantom{1}0\phantom{1}~~\phantom{1}5~~14 \over 3~~229~~12~~20}\) 14 \({1~~\phantom{1}47~~10~~\phantom{1}2 \over 3~~229~~12~~20}\) 8 \({2~~181~~\phantom{1}6~~11 \over 3~~229~~12~~20}\) 6

²⁹ libras 14 et soldos 14³⁰ et denarios 5, hoc est libras \({\phantom{1}5~~14 \over 12~~20}\) 14. Queritur quantum unicuique de prescripto lucro contingerit. 13 Describe questionem ut hic ostenditur, et multiplica 15 per 20 que sunt sub virgula et adde 7 que sunt super 20: erunt soldi 307, quos pone super \({7 \over 20}\) 15 in questione. Item³¹ multiplica libras 19 alterius socii per 20, ideo ut de ipsis libris 19 facias soldos sicuti fecisti de libris \({7 \over 20}\) 15: erunt soldi 380, quos pone super 19 in questione. 14 Tunc apparebit quod primus misit soldos 307 in predicta societate et alter misit similiter soldos 380. Unde addes 307 cum 380: erunt 687. Item³² multiplica libras 14, scilicet lucrum, per eorum virgulam: erunt denarii 3533, quos pone super ipsum lucrum, et multiplica 307 per 3533, et divide summam per regulam de 687, que est \({1~~\phantom{1}0\phantom{1} \over 3~~229}\), et per ruptos qui sunt sub virgula lucri, scilicet per \({\phantom{1}1~~\phantom{1}0 \over 12~~20}\): exibunt libre \({2~~181~~\phantom{1}6~~11 \over 3~~229~~12~~20}\) 6 pro hoc quod contingit de lucro primo socio, quas³³ pone in questione sub eodem. Item multiplica 380 per 3533, et divide summam eorum per³⁴ \({1~~\phantom{1}0\phantom{1}~~\phantom{1}0~~\phantom{1}0 \over 3~~229~~12~~20}\); exibunt pro portione lucri alterius socii³⁵ libre \({1~~\phantom{1}47~~10~~\phantom{1}2 \over 3~~229~~12~~20}\) 8, quas pone sub eodem socio.

15 De eodem

Item duo homines societatem fecerunt, quorum unus misit libras 24 et soldos 11 et denarios 8, hoc est libras \({\phantom{1}8~~11 \over 12~~20}\) 24³⁶, et alter misit libras 41 et soldos 9, hoc est libras \({9 \over 20}\) 41, et lucrati fuerunt libras \({3 \over 8}\) 31. Queritur quantum unicuique de suprascripto³⁷ lucro contingit. Describe questionem ut hic ostenditur, et multiplica 24 per suam virgulam: erunt denarii 5900, quos pone super \({\phantom{1}8~~11 \over 12~~20}\) 24. 16 Item fac denarios de libris \({9 \over 20}\) 41 sic³⁸: multiplica 41 per suam virgulam, hoc est per 20, et adde 9; erunt soldi 829, de quibus fac denarios, hoc est multiplica eos per 12 que sunt sub virgula alterius socii amplius quam in sua virgula: erunt denarii 9948, quos pone in questione super \({9 \over 20}\) 41³⁹. 17 ⁴⁰ Unde apparebit quod primus misit denarios 5900 et alter misit denarios 9948, et sic studeas semper portionem sociorum reducere ad

③ 3765 ④ ④ 15     251 9948 5900 lucrum £ portio secundi portio primi \({3 \over 8}\) 31 \({9 \over 20}\) 41 \({8~~11 \over 12~~20}\) 24   ① ① \({0~~0~~\phantom{2}0\phantom{3}~~\phantom{1}6~~\phantom{1}7 \over 4~~7~~283~~12~~20}\) 31 \({0~~5~~192~~10~~13 \over 4~~7~~283~~12~~20}\) 19 \({0~~2~~90~~7~~13 \over 4~~7~~283~~12~~20}\) 11

⁴¹ similia. Deinde multiplica 31 per 8 et adde 3: erunt 251, que pone super \({3 \over 8}\) 31, et adde 5900 cum 9948; erunt 15848, quibus reperias regulam, que est \({1~~0~~0 \over 7~~8~~283}\), cum qua commisce ruptum qui est in lucro, scilicet \({1 \over 8}\): facient \({1~~0~~0~~\phantom{1}0\phantom{1} \over 7~~8~~8~~283}\), quam virgulam studeas aptare ut habeas in capite ipsius \({\phantom{1}1~~\phantom{1}0 \over 12~~20}\), ideo quia in lucro ponuntur libre, in quo si ponerentur soldi deberemus habere tantum \({1 \over 12}\) in capite, 18 et si ponerentur bizantii yperperi vel saracenati deberemus habere \({1~~0 \over 3~~8}\), si tareni \({1 \over 20}\), et si in eodem loco ponerentur bizantii Garbi deberemus habere \({1 \over 10}\) in capite virgule, ut sepe in negotiationibus prediximus. Unde cum non habeas in prescripta virgula de \({\phantom{1}1~~\phantom{1}0 \over 12~~20}\) nisi tantum \({1 \over 4}\) de ipsa \({1 \over 12}\) et aliam⁴² \({1 \over 4}\) de \({1 \over 20}\), quas duas quartas accepimus de duobus octavis qui sunt sub virgula et remanet nobis ex eis alia \({1 \over 4}\) in virgula; et sic minuit nobis \({1 \over 3}\) de \({1 \over 12}\) et \({1 \over 5}\) de \({1 \over 20}\), hoc est \({1 \over 15}\) inter utrumque. 19 Unde pone 15 super 251 et multiplica 251 per 15: erunt 3765, que pone super 251, et deinceps habebis in aptatione virgule divisionis \({1~~0~~0~~0~~0 \over 4~~7~~283~~12~~20}\)⁴³. Deinde multiplica 3765 per 5900 et divide summam per \({1~~0~~\phantom{1}0\phantom{1}~~\phantom{1}0~~\phantom{1}0 \over 4~~7~~283~~12~~20}\), et habebis portionem lucri primi socii. Item multiplica 3765 per 9948 et divide per eandem virgulam, et habebis portionem lucri alterius socii, ut superius in questione ostenditur.

20 De eodem⁴⁴

Rursum duo homines societatem fecerunt, in qua primus misit libras \({1 \over 2}\) 112, et alter libras \({1 \over 5}\) 237; et lucrati fuerunt libras \({1 \over 8}\) \({2 \over 3}\) 328. Queritur quantum unicuique de prescripto lucro contingat. Describe questionem ut hic ostenditur; deinde multiplica 112 per 2 et⁴⁵ adde 1: erunt 225 media, que multiplica per 5 que sunt sub virgula alterius socii; erunt decime 1125. Et hec est ars quam in additionibus numerorum cum ruptis docuimus. Pone ergo 1125 super \({1 \over 2}\) 112. 21 Item fac decimas de

① 6070 ⑥ ⑤ 78910     \(\phantom{789}\)10 7891 2372 1125 lucrum portio secundi portio primi \({1 \over 8}\) \({2 \over 3}\) 328 \({1 \over 5}\) 237 \({1 \over 2}\) 112   ⑥ ⑤ \({\phantom{26}0~~10~~15 \over 269~~12~~20}\) 328 \({\phantom{2}84~~\phantom{1}4~~0 \over 269~~12~~20}\) 223 \({185~~5~~15 \over 269~~12~~20}\) 105

⁴⁶ alio socio sic, quod multiplicabis 237 per 5 et addes 1 quod est super 5; erunt quinte 1186, quas multiplica per 2 que sunt sub virgula primi socii: erunt similiter decime 2372, quas pone super \({1 \over 5}\) 237⁴⁷. Ergo unus misit decimas 1125 unius rei, scilicet libre, et alter misit decimas 2372 eiusdem rei. 22 Postea multiplica lucrum, scilicet 328, per suas virgulas: erunt vigesime quarte 7891. Deinde iunge 1125 cum 2372: erunt 3497, in quorum regula, que est \({1~~\phantom{3}0\phantom{3} \over 13~~269}\)⁴⁸, et in ruptis qui sunt in lucro, scilicet per \({1~~0 \over 3~~8}\), divides multiplicationem de 7891 in 1125 et habebis portionem lucri que contingit primo socio. Inde coapta prius virgulam divisionis ut habeas in capite ipsius \({\phantom{1}1~~\phantom{1}0 \over 12~~20}\); sed cum ibi non habeas ex ipsis \({\phantom{1}1~~\phantom{1}0 \over 12~~20}\) nisi tantum \({1~~0 \over 3~~8}\), hoc est \({1~~0 \over 2~~12}\), scimus quod minuit nobis inde \({1 \over 10}\); quare multiplicabis 7891 per 10; erunt 78910, que multiplicabis, ut diximus, per 1125, et divides per \({\phantom{1}1~~\phantom{1}0\phantom{1}~~\phantom{1}0~~\phantom{1}0 \over 13~~269~~12~~20}\). 23 Tamen⁴⁹ ante quam multiplices, potes evitare \({1 \over 13}\) in multiplicatione et divisione, ideo quia 78910 integraliter possunt dividi per 13. Unde si diviserimus 78910 per 13, exibunt 6070; que 6070 si multiplicaverimus per 1125 et diviserimus per \({\phantom{1}1\phantom{1}~~\phantom{1}0~~\phantom{1}0 \over 269~~12~~20}\), ad eandem quantitatem pervenerimus. Quare multiplicabis iterum 6070 per 2372 et divides per \({\phantom{1}1\phantom{1}~~\phantom{1}0~~\phantom{1}0 \over 269~~12~~20}\), et habebis portionem lucri alterius socii, que est \({\phantom{1}84~~\phantom{1}4~~\phantom{1}0 \over 269~~12~~20}\) 223, ut in questione ostenditur.

24 Probatio eiusdem

Nam si per iunctionem portionum⁵⁰ lucri utriusque cognoscere voluerimus utrum rectum sit quod fecimus an non, vide de \({1 \over 8}\) \({2 \over 3}\) unius libre quot denarii sint. Sunt enim soldi 15 et denarii 10, quos redige in partibus unius libre: erunt \({10~~15 \over 12~~20}\), quos serva. Deinde protrahe virgulam⁵¹ sub lucro, sub qua pone \({\phantom{1}1\phantom{1}~~\phantom{1}0~~\phantom{1}0 \over 269~~12~~20}\) et collige 185 que sunt super 269 de virgula primi socii cum 84 que sunt super 269 de virgula secundi socii; erunt 269, que divide per 269: exibit 1 et remanet 0. 25 Pone 0 super 269 que sunt sub virgula posita sub lucro, et retineas⁵² 1, quod adde cum denariis 5⁵³ qui sunt super 12 de virgula primi et⁵⁴ cum denariis 4 qui sunt super 12 de virgula secundi: erunt denarii 10, quos pone super 12 et adde soldos 15 qui sunt super 20 de virgula primi cum 0 quod est super 20 de virgula secundi: erunt soldi 15, quos pone super 20 que⁵⁵ sunt in capite virgule posite sub virgula lucri. Deinde adde libras 105 cum libris 223: erunt libre 328, quas pone ante virgulam sub lucro, et sic habebis pro eorum collectione libras \({10~~15 \over 12~~20}\) 328, hoc est libras \({1 \over 8}\) \({2 \over 3}\) 328, ut in eorum lucro prepositum fuit.

26 Item duo homines societatem fecerunt, quorum unus misit bizantios \({1 \over 4}\) 23, alter vero misit⁵⁶ bizantios \({5 \over 8}\) 31⁵⁷, et lucrati fuerunt bizantios 47 et karatos 11, hoc est bizantios \({11 \over 24}\) 47. Queritur quantum unicuique de prescripto lucro contingat. Describe questionem ut hic ostenditur, et multiplica bizantios 23 per suam virgulam: erunt quarte 93, quas⁵⁸ deberes multiplicare per ruptum virgule alterius socii, scilicet per 8; sed quia uterque ruptus utriusque socii reperitur in octo, non oportet multiplicare 93 nisi tantum per quartam de octo, scilicet per 2: erunt octave unius bizantii 186, quas pone in questione super \({1 \over 4}\) 23. 27 Item

⑤ ① ⑤ 1139 253 186 lucrum portio secundi portio primi \({11 \over 24}\) 47 \({5 \over 8}\) 31 \({1 \over 4}\) 23   ⑤ ⑥ kar. biz. kar. biz. kar. biz. \({\phantom{4}0\phantom{9}~~2~~3 \over 439~~3~~8}\) 47 \({183~~2~~2 \over 439~~3~~8}\) 27 \({256~~2~~0 \over 439~~3~~8}\) 20

multiplica 31 per suam virgulam: erunt octave 253 similiter unius bizantii, que cum sint octave sicuti 186 alterius socii, non oportet eas multiplicare per ruptum primi socii vel per aliquam partem ipsius. Unde pone 253 super \({5 \over 8}\) 31, et erit tunc talis questio, quod unus illorum misit 186 et alter misit 253. 28 Possumus enim aliter reperire 186 et 253, videlicet ut videas de \({1 \over 4}\) et de \({5 \over 8}\) in quali minori numero reperiantur, scilicet in octo, in quibus multiplica \({1 \over 4}\) 23: erunt ut prediximus 186. Item multiplica \({5 \over 8}\) 31 per 8: erunt ut diximus 253. Quare addes 186 cum 253: erunt 439, in quibus cum careant regula, divides multiplicationem de 186 in toto lucro, et habebis portionem lucri primi socii. 29 Quod sic fit: multiplica bizantios lucri, scilicet 47, per suam virgulam, hoc est per 24 et adde 11: erunt karati 1139, quos multiplica per 186; erunt 211854, que divide per 439 et per 24, hoc est per \({\phantom{4}1\phantom{9}~~0~~0 \over 439~~3~~8}\): exibunt \({256~~2~~0 \over 439~~3~~8}\) 20, ut in questione ostenditur. Item eodem modo multiplica 253 per 1139 et divide summam eorum per \({\phantom{4}1\phantom{9}~~0~~0 \over 439~~3~~8}\), et habebis portionem lucri alterius socii, ut in questione sub eodem ostenditur.

30 De eodem

Item fuerunt duo homines, quorum unus misit tarenos \({1 \over 7}\) \({1 \over 2}\) 82 et alter misit tarenos \({1 \over 5}\) \({2 \over 3}\) 97, et lucrati fuerunt tarenos \({1 \over 9}\) \({3 \over 4}\) 112. Describe questionem ut hic ostenditur, et multiplicabis lucrum, scilicet 112, per suas virgulas: erunt 4063, que pone super ipsum lucrum. Deinde multiplica portionem⁵⁹ primi socii per suas virgulas; erunt quattuordecime 1157, quas multiplica per ruptos qui sunt sub virgulis alterius socii, hoc est per 3 et per 5, vel per 15: erunt ducentesime decime 17355. 31 Eademque via multiplica portionem secundi

⑨ ④ ⑧ 20315 20552 17355 \(\phantom{2031}\)5     4063     lucrum tar. portio secundi tar. portio primi tar. \({1 \over 9}\) \({3 \over 4}\) 112 \({1 \over 5}\) \({2 \over 3}\) 97 \({1 \over 7}\) \({1 \over 2}\) 82   ③ ⑥   \({1~~30170~~\phantom{4}3 \over 9~~37907~~20}\) 61 \({6~~16160~~13 \over 9~~37907~~20}\) 51

⁶⁰ socii, scilicet 97, per suas virgulas; erunt quindecime 1468⁶¹, quas multiplicas per ruptos qui sunt sub virgulis primi socii, hoc est per 2 et per 7, vel per 14: erunt similiter ducentesime decime 20552, quas pone super \({1 \over 5}\) \({2 \over 3}\) 97. Et scias quia ideo fecimus ducentesimas decimas de portionibus amborum, quia in 210 reperiuntur omnes rupti eorum et non possunt inveniri in aliquo minori numero, quia rupti non habent ad invicem aliquam comunem regulam. 32 Ergo primus misit 17355 et alter misit 20552. Quare addes 17355 cum 20552: erunt 37907, in quo numero et in ruptis qui sunt in lucro debes dividere; qui omnes si ponantur in una virgula, facient \({1~~0~~\phantom{37}0\phantom{07} \over 4~~9~~37907}\). Sed quia, cum lucrum⁶² est ex conditione tarenorum, necessarium est ut habeas \({1 \over 20}\) in capite virgule divisionis, 33 quam cum habere totam de ipsa virgula non possis, quia in ea non habes ex ea nisi tantum \({1 \over 4}\), multiplicabis numerum lucri, scilicet 4063, per 5: erunt 20315, que pone super 4063 et addes \({1 \over 5}\) in virgula divisionis, et facies \({1 \over 20}\) de eis et de \({1 \over 4}\) que est in virgula. Et pone ipsam \({1 \over 20}\) in capite virgule, et sic habebis in ipsa virgula \({1~~\phantom{3}0\phantom{9}~~0~~\phantom{20} \over 9~~379~~7~~20}\); quam virgulam pone sub primo socio et aliam similiter sub secundo. 34 Deinde multiplicabis 20315 per 17355 et divides per regulam positam sub primo et habebis portionem lucri primi socii. Item multiplicabis eadem 20315 per numerum secundi socii, scilicet per 20552, et divide per regulam positam sub eodem, et habebis⁶³ portionem lucri illius, ut in questione ostenditur.