947 De illo qui intravit in viridarium¹³²⁹ pro pomis colligendis

Quidam intravit in quoddam viridarium in quo erant porte 7, et accepit ibi summam quamlibet pomorum; qui cum vellet exire, oportuit eum dare primo ostiario medietatem omnium¹³³⁰ pomorum et unum amplius; secundo ostiario medietatem residuorum pomorum et unum amplius. Qui cum ita daret reliquis 5 ostiariis, compertum est ei unum pomum. Queritur quot fuerunt poma illa que de pomario¹³³¹ collegerat.

948 Sic facies: pro uno pomo quod ei remanserat tene 1, super quod adde unum pomum quod ultimo ostiario dederat; erunt 2, que duplica: erunt 4, et tantum habuit cum ad ultimum deveniret ostiarium. 949 Super que adde illud pomum quod dedit sexto ostiario; erunt 5, que duplica: erunt 10, et tantum remansit ei post exitum 5 portarum. Super que adde unum pomum quinti ostiarii; erunt 11, que duplica: erunt 22, super que adde 1 pro illo pomo quod dedit quarto ostiario; erunt 23, que duplica: erunt 46. 950 Super que adde 1 pro illo pomo quod dederat tertio ostiario; erunt 47, que duplica: erunt 94, super que adde 1 pro eo pomo quod dederat secundo ostiario; erunt 95, que duplica: erunt 190, cui superadde 1 quod dedit prime porte, et duplica summam: erunt 382, et tot fuerunt illa poma. Et sic revertendo secundum quod propositum fuerit in ordinem retro, poteris quamlibet similium positionum reperire.

951 Aliter: pone ipsum collegisse a principio rem, de qua dedit prime porte \({1 \over 2}\) et pomum 1. Remansit ergo \({1 \over 2}\) rei minus 1, de quo secunde porte dedit medietatem et pomum unum; ergo remansit ei quarta¹³³² rei minus pomo \({1 \over 2}\) 1, de quo dedit tertie porte dimidium et pomum 1. 952 Quare remansit ei \({1 \over 8}\) rei minus pomo \({3 \over 4}\) 1, cuius medietatem dedit quarte porte, pomo 1 addito; et sic remansit ei \({1 \over 16}\) rei minus pomo \({7 \over 8}\) 1; cuius medietatem, uno pomo addito, cum dedisset quinte porte, remansit ei \({1 \over 32}\) rei minus pomo \({15 \over 16} 1\); cuius¹³³³ medietatem cum dedisset, pomo 1 addito, sexte porte, remansit ei \({1 \over 64}\) rei minus pomo \({31 \over 32}\) 1. 953 Ex quo etiam, cum dedisset septime porte medietatem, pomo 1 addito, remansit ei \({1 \over 128}\) rei minus pomo \({63 \over 64} 1\), que equantur uni pomo; ei¹³³⁴ videlicet quod remansit post exitum septem portarum. Si comuniter addatur pomum \({63 \over 64} 1\), veniet quod \({1 \over 128}\) rei equatur pomis \({63 \over 64}\) 2. Quare multiplica \({63 \over 64}\) 2 per 128: erunt similiter poma 382.