98 Explicit pars quinta sexti capituli. Incipit sexta de multiplicatione ruptorum²⁵³ sine sanis

Si volueris multiplicare \({1 \over 3}\) per \({1 \over 4}\), multiplica 1 quod est super 3 per 1 quod est super 4; erit 1, quod divide per 3 et per 4 que sunt sub virgulis, hoc est per \({1~~0 \over 3~~4}\) vel per \({1~~0 \over 2~~6}\): exibunt \({1~~0 \over 3~~4}\) vel \({1~~0 \over 2~~6}\), hoc est una pars de duodecim partibus unius integri; unde potes cognoscere quod tantum est si multiplicaveris \({1 \over 3}\) per \({1 \over 4}\), quantum si acceperis \({1~~0 \over 3~~4}\) vel \({1~~0 \over 4~~3}\). 99 Et hoc idem intelligas de omnibus ruptis, quia semper multiplicatio cuiuslibet rupti in quemlibet²⁵⁴ ruptum²⁵⁵ facit quantum acceptio unius illorum ex alio. Quia cum multiplicatur 1 per \({1 \over 4}\), tunc semel accipitur²⁵⁶ \({1 \over 4}\); ergo cum multiplicatur tertia per quartam, tunc accipitur tertia quarte et²⁵⁷ sic ex multiplicatione de tertia²⁵⁸ in quartam²⁵⁹ provenit duodecima.

100 De eodem²⁶⁰

Item si volueris multiplicare \({2 \over 3}\) per \({3 \over 4}\), multiplica 2 que sunt super 3 per 3 que sunt super 4; erunt 6, que divide per 3 et per 4 que sunt sub virgulis: exibit²⁶¹ \({1 \over 2}\) unius integri.

101 De eodem²⁶²

Item²⁶³ si volueris multiplicare \({3 \over 7}\) per \({4 \over 9}\), multiplica 3 per 4 que²⁶⁴ sunt super²⁶⁵ virgulis²⁶⁶; erunt 12, que divide per 7 et per 9 que sunt sub virgulis: exibunt \({5~~1 \over 7~~9}\) unius integri, hoc est duodecim partes de sexaginta tribus partibus unius integri, que sunt quattuor partes de 21 unius integri. Et hoc invenies²⁶⁷ duplici²⁶⁸ modo. Primus quidem modus est ut dividas 12 et 63 per 3, ideo quia hanc divisionem unusquisque eorum integraliter recipit: exibunt 4 et 21. Unde si diviseris 4 per 21, exibunt \({4 \over 21}\) unius integri. 102 Vel aliter: debuisti dividere 12 per \({1~~0 \over 7~~9}\). Divide prius 12 per 3: exibunt 4. Similiter divide 9 per 3; exibunt 3, in quibus etiam et in 7 divides 4: exibunt \({1~~1 \over 3~~7}\), hoc est septima pars unius integri et insuper tertia pars ipsius septime partis, quod tantum²⁶⁹ est quantum quattuor partes de 21.

103 De eodem cum duobus²⁷⁰ ruptis sub una virgula

Si volueris multiplicare \({1~~4 \over 2~~7}\) per \({2~~3 \over 3~~5}\), describe questionem ut hic ostenditur, et

9   \({1~~4 \over 2~~7}\)   11   \({2~~3 \over 3~~5}\) \({5~~4\phantom{0} \over 7~~10}\)

²⁷¹ multiplicabis 4 que sunt super 7 de superiori virgula per 2 que sunt sub eadem virgula, et adde 1 quod est super 2: erunt 9, que pone super \({1~~4 \over 2~~7}\). Similiter²⁷² multiplica 3 que sunt super 5 de inferiori virgula per 3 que sunt sub eadem virgula et adde 2 que sunt super ipsa 3: erunt 11, que pone super \({2~~3 \over 3~~5}\). Et multiplicabis 9 per 11: erunt 99, que divides per 2 et per 7 et per 3 et per 5 que sunt sub virgulis; exibunt \({5~~4\phantom{0} \over 7~~10}\) unius integri.

104 De eodem cum tribus ruptis sub una virgula

Item si volueris multiplicare tres ruptos sub una virgula per tres ruptos

59 ③   \({1~~5~~3\phantom{1} \over 2~~8~~11}\) 202 ⑥   \({1~~4~~7\phantom{3} \over 3~~9~~13}\) \({1~~2~~5~~5\phantom{1}~~2\phantom{3} \over 3~~8~~9~~11~~13}\)

²⁷³ qui²⁷⁴ sint sub alia, ut dicamus \({1~~5~~3\phantom{1} \over 2~~8~~11}\) per \({1~~4~~7\phantom{3} \over 3~~9~~13}\), describe questionem, et multiplicabis 3 que sunt²⁷⁵ super 11 per suam virgulam, hoc est per 8 et adde 5, que²⁷⁶ per²⁷⁷ 2 et adde 1: erunt 59, que²⁷⁸ pone super \({1~~5~~3\phantom{1} \over 2~~8~~11}\). 105 Deinde multiplica 7 que sunt²⁷⁹ super 13 per suam virgulam, hoc est per 9 et adde 4, que²⁸⁰ per 3 et adde 1: erunt 202, que pone²⁸¹ super \({1~~4~~7\phantom{3} \over 3~~9~~13}\), et multiplica 59 per 202 et divide per omnes numeros qui sunt sub utraque²⁸² virgula, quorum aptatio est \({1~~0~~0~~0\phantom{1}~~0\phantom{3} \over 6~~8~~9~~11~~13}\); exibunt \({2~~2~~5~~5\phantom{1}~~2\phantom{3} \over 6~~8~~9~~11~~13}\).

106 De eodem cum duabus virgulis

Si volueris multiplicare \({1 \over 4}\) \({2 \over 3}\) per \({1 \over 6}\) \({3 \over 5}\), describe questionem ut hic ostenditur et

11 ④     \({1 \over 4}\) \({2 \over 3}\)   23 ② ①   \({1 \over 6}\) \({3 \over 5}\) \({1~~0~~7\phantom{0} \over 4~~9~~10}\)

²⁸³ multiplica 2 que sunt super 3 per 4 que sunt sub secunda virgula: erunt 8. Item multiplica 1 quod est super ipsa 4 per 3 que sunt sub prima virgula: erunt 3 que adde cum 8; erunt 11, que pone super \({1 \over 4}\) \({2 \over 3}\). 107 Deinde accedas ad \({1 \over 6}\) \({3 \over 5}\), et multiplica 3 que sunt super 5 per 6 et 1 quod est super 6 per 5 et adde insimul: erunt 23, que pone super \({1 \over 6}\) \({3 \over 5}\). Et multiplica 11 per 23: erunt 253, que divide per omnes numeros qui sunt sub virgulis.

108 De eodem cum duobus ruptis sub unaquaque virgula²⁸⁴

Et si volueris ponere duos ruptos sub unaquaque

470 ②   \({1~~3 \over 4~~8}\) \({1~~4 \over 2~~7}\)   1407 ③ ⑥ \({1~~2\phantom{1} \over 6~~11}\) \({1~~5 \over 3~~9}\) \({2~~0~~0~~1~~9\phantom{1} \over 6~~8~~8~~9~~11}\)

²⁸⁵ virgula, ut \({1~~3 \over 4~~8}\) \({1~~4 \over 2~~7}\) cum \({1~~2\phantom{1} \over 6~~11}\) \({1~~5 \over 3~~9}\), describe questionem et multiplica 4²⁸⁶ que sunt super 7 per suam virgulam, hoc est per 2 et adde 1: erunt 9, que multiplica per 8 et per 4 que sunt sub secunda virgula eiusdem lateris; erunt 288, que serva. Et multiplica 3 que sunt super 8 per suam virgulam, scilicet per 4 et adde 1: erunt 13, que multiplica per 2 et per 7 que sunt sub prima virgula; erunt 182, que adde cum 288: erunt 470, que pone super ipsas virgulas superiores. 109 Et multiplica similiter eodem modo reliquas duas virgulas inferiores, et habebis in eorum multiplicatione 1407, que pone super ipsas virgulas. Et multiplica 470²⁸⁷ per 1407 et divide per omnes numeros qui sunt sub virgulis, et habebis quesitam multiplicationem. Tamen si vis potes inde²⁸⁸ evitare, scilicet divides 1407 per 7: exibunt 201, que divide per 3; exibunt 67, que multiplica per 470: erunt 31490, que divide per omnes numeros qui sunt sub virgulis preter quam per 7 et per 3 in quibus dividisti 1407. Et aptabis prescriptos ruptos sub una virgula: exibunt \({2~~0~~0~~1~~9\phantom{1} \over 6~~8~~8~~9~~11}\)²⁸⁹. Per hunc enim modum potes multiplicare si sub virgulis ponerentur tres rupti vel plures.