81 Pars quinta secundi capituli

Cum autem quemlibet²⁷⁷ numerum octo figurarum²⁷⁸ per quemlibet numerum²⁷⁹ eiusdem gradus quis multiplicare voluerit, multiplicet primam per primam et ponat, et primam per secundam et primam per secundam et ponat, et primam per tertiam et primam per tertiam et secundam per secundam et ponat, et primam per quartam et primam per quartam et secundam per tertiam et secundam per tertiam et ponat, 82 et primam per quintam et primam per quintam et secundam per quartam et secundam per quartam²⁸⁰ et tertiam per tertiam et ponat, et primam per sextam et primam per sextam et secundam per quintam et secundam per quintam et tertiam per quartam et tertiam per quartam et ponat, et primam per septimam et primam per septimam et secundam per sextam et secundam per sextam et tertiam per quintam et tertiam per quintam et quartam per quartam et ponat, 83 et primam per octavam et primam per octavam et secundam per septimam et secundam per septimam, scilicet eas que sunt secus primam et octavam, et tertiam per sextam et tertiam per sextam, eo quod sunt secus secundas et septimas, et quartam per quintam et quartam per quintam, ideo quia sunt secus tertias et sextas, et ponat.

84 Et sic semper in omnibus multiplicationibus, ab interiori parte ipse figure ad²⁸¹ invicem semper ab utraque parte multiplicande sunt que secus eas existunt que primum multiplicantur donec eas ita multiplicando se ad invicem coniunxerint, et tunc ponende sunt unitates et decene in manibus servande²⁸². 85 Et cum multiplicatio primarum figurarum in reliquis, per ordinem gradatim ascendendo, completa fuerit²⁸³ usque ad ultimas, tunc penitus reliquende sunt prime figure utrorumque²⁸⁴ numerorum et secunde per ultimas multiplicande; hoc est ut in hac questione multiplicet secundam per octavam et secundam per octavam et tertiam per septimam et tertiam per septimam quia sunt secus secundas et octavas, et quartam per sextam et quartam per sextam²⁸⁵ quia sunt secus tertias et septimas, et quintam per quintam quia sunt inter quartam et sextam, et ponat. 86 Et tunc relinquat²⁸⁶ secundas et multiplicet tertiam per octavam et tertiam per octavam et quartam per septimam et quartam per septimam et quintam per sextam et quintam per sextam et ponat; et relinquat tertias et multiplicet quartam per octavam et quartam per octavam et quintam per septimam et quintam per septimam et sextam per sextam et ponat; 87 et relinquat²⁸⁷ quartas et multiplicet quintam per octavam et quintam per octavam et sextam per septimam et sextam per septimam et ponat; et relinquat quintas et multiplicet sextam per octavam et sextam per octavam et septimam per septimam et ponat, et septimam per octavam et septimam per octavam et ponat, et octavam per octavam et ponat; et sic habebitur multiplicatio omnium numerorum octo figurarum²⁸⁸.

88 ^[2] Et ut in numeris clarius intelligatur, sint²⁸⁹ numeri 12345678 et 87654321, qui ut²⁹⁰ multiplicentur ad invicem describantur secundum quod supra dictum est, et multiplicet 8 per 1: erunt 8 que

1082152022374638 12345678 87654321

²⁹¹ ponat; et 8 per 2 et 1 per 7: erunt 23; ponat 3 et retineat 2; et 8 per 3 et 1 per 6 et 7 per 2 et addantur cum 2 servatis: erunt 46; ponat 6 et retineat 4; et 8 per 4 et 1 per 5 et 7 per 3 et 2 per 6²⁹²: erunt 74; ponat 4 et retineat 7; et 8 per 5 et 1 per 4 et 7 per 4 et 2 per 5 et 6 per 3²⁹³: erunt 107; ponantur²⁹⁴ 7 et retineantur²⁹⁵ 10; 89 et 8 per 6 et 1 per 3 et 7 per 5 et 2 per 4 et 6 per 4 et 3 per 5²⁹⁶: erunt 143; ponantur²⁹⁷ 3 et retineantur²⁹⁸ 14; et 8²⁹⁹ per 7 et 1 per 2³⁰⁰ et 7 per 6 et 2³⁰¹ per 3 et 6 per 5 et 3 per 4 et 5³⁰² per 4³⁰³: erunt 182³⁰⁴; ponantur³⁰⁵ 2 et retineantur³⁰⁶ 18; et 8 per 8³⁰⁷ et 1 per 1 et 7 per 7 et 2 per 2 et 6 per 6 et 3 per 3 et 5 per 5 et 4 per 4: erunt³⁰⁸ 222; ponat 2 et retineat 22; 90 et 7 per 8 et 2 per 1 et 6 per 7 et 3 per 2 et 5 per 6 et 4 per 3 et 4 per 5³⁰⁹: erunt 190; ponat³¹⁰ 0 et retineat³¹¹ 19; et 6 per 8 et 3 per 1 et 5 per 7 et 4 per 2 et 4 per 6 et 5 per 3³¹²: erunt³¹³ 152; ponat³¹⁴ 2 et retineat³¹⁵ 15; et 5 per 8 et 4 per 1 et 4 per 7 et 5 per 2³¹⁶ et 3 per 6³¹⁷: erunt 115; ponat 5 et retineat 11; et 4 per 8 et 5 per 1 et 3 per 7 et 6 per 2³¹⁸: erunt 81; ponat³¹⁹ 1 et retineat³²⁰ 8; et 3 per 8 et 6 per 1 et 2 per 7³²¹: erunt 52; ponat 2 et retineat 5; et 2 per 8 et 7 per 1³²²: erunt 28; ponat³²³ 8 et retineat³²⁴ 2; et 1 per 8³²⁵: erunt 10, que ponantur, et sic habebitur summa dicte multiplicationis³²⁶.

91 Verum si in quorumlibet capitibus numerorum zephyra fuerit, demantur³²⁷ de ipsis numeris omnia zephyra que in capitibus extiterint et reliquas figuras insimul multiplicet et multiplicationi dempta zephyra anteponat, et habebit ipsorum numerorum multiplicationem, ut in secundi et tertii et quarti gradus multiplicationes³²⁸ denotavimus. 92 Et si per supradictas

240996645 000345 698541

³²⁹ multiplicationum demonstrationes quis multiplicationem paucarum figurarum contra plures scire non poterit, describat numeros, scilicet maiorem sub minori, hoc est numerum plurium³³⁰ figurarum sub ipso numero paucarum, collocans primum gradum unius sub primo alterius, et deinceps, ut supra diximus, alios gradus collocabit, et ponat post numerum paucarum figurarum tot zephyra quot figure superhabundant de maiori numero, et sic habebit equales numeros in multiplicatione. 93 Ut si quereret³³¹ multiplicare tres figuras contra sex, ponat numerum sex figurarum sub numero trium figurarum, et ponat post tres figuras tria zephyra ut sint in multiplicatione sex figure contra sex, quas secundum³³² supradictam doctrinam multiplicet. Verbi gratia: ut si queratur multiplicare 345 cum 698541 describat eos hoc ordine, scilicet tria zephyra post 345. Verum quod³³³ de positione zephyrorum post figuras dictum est³³⁴ non nisi rudibus necessarium fore arbitror, quia subtiles non indigent tali positione zephyrorum.