59 De societate inter quattuor homines homines⁸⁹

Quattuor homines fecerunt societatem, ex quibus primus misit libras \({1 \over 3}\) 31, secundus libras \({3 \over 4}\) 43, tertius libras \({4 \over 5}\) 56, quartus libras \({5 \over 6}\) 86, et lucrati fuerunt libras \({\phantom{1}7~~\phantom{1}9 \over 12~~20}\) 126. Descripta questione ut hic ostenditur, multiplica lucrum per suam virgulam: erunt denarii 30355, quos pone super lucrum. Deinde ut inveniantur numeri sociorum quos multiplicare debes in prescriptis denariis 30355, potes dupliciter procedere. 60 Primum quidem ut invenias numerum in quo reperiantur rupti qui sunt in portionibus ipsorum, quem numerum secundum modum evitationis 60 esse reperies. Quem multiplica per unamquamque portionem ipsorum et habebis super primum socium 1880, super secundum 2625, super tertium 3408, super quartum 5210. 61 Vel aliter, secundum huius artis magisterium, multiplica 31 per suam virgulam; erunt 94, que multiplica per 4, que per 5 que sunt sub virgulis secundi et tertii socii: erunt sexagesime 1880, ut superius super primum socium per alium modum invenimus. Quem numerum non oportet multiplicare per 6 que sunt sub virgula quarti socii, propter \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) que sunt sub virgulis primi et secundi, in quibus tota⁹⁰ 6 esse cognoscimus. 62

③ ② ⑥ ⓪ ④ 30355 5210 3408 2625 1880 lucrum £ quartus £ tertius £ secundus £ primus £ \({\phantom{1}7~~\phantom{1}9 \over 12~~20}\) 126 \({5 \over 6}\) 86 \({4 \over 5}\) 56 \({3 \over 4}\) 43 \({1 \over 3}\) 31   ⑥ ④ ⓪ ⑤ d. s. £ \({\phantom{1}9~~\phantom{1}388~~\phantom{1}3~~\phantom{1}4 \over 11~~1193~~12~~20}\) 50 \({10~~\phantom{1}111~~11~~16 \over 11~~1193~~12~~20}\) 32 \({\phantom{1}9~~1103~~11~~\phantom{1}5 \over 11~~1193~~12~~20}\) 25 \({\phantom{1}5~~\phantom{1}781~~\phantom{1}4~~\phantom{1}2 \over 11~~1193~~12~~20}\) 18

⁹¹ Item multiplica 43 secundi socii per suam virgulam; erunt quarte 175, quas multiplica per 5, que per 3 que sunt sub virgulis tertii et primi socii: erunt similiter sexagesime 2625, ut super secundum socium invenimus; quas non oportet multiplicare per 6 de virgula quarti socii suprascripta ratione. 63 Item ut habeas numerum tertii hominis, multiplica 56 per suam virgulam; erunt quinte 284, quas multiplica per 6 que sunt sub virgula quarti socii: erunt trigesime 1704, quas multiplica per 2 que sunt in regula de 4 que sunt sub virgula secundi; erunt sexagesime 3408, quas non oportet multiplicare, cum sint sexagesime, per 2 que remanent in regula de eisdem 4, neque per 3 que sunt sub virgula primi socii. 64 Rursum, ut habeas numerum quarti socii, multiplica 86 per 6 et adde 5; erunt sexte 521, quas multiplica per 5 et per 2 suprascripta demonstratione: erunt sexagesime 5210, ut per alium modum repertum fuit. Deinde adde quattuor repertos numeros in unum, et operaberis secundum quod superius docuimus, et sic habebis portiones que contingunt eis de lucro, ut in questione superius ostenditur.

65 De eodem⁹²

Quattuor homines fuerunt, ex quibus primus misit \({1 \over 3}\) unius integri, alter misit \({1 \over 4}\), tertius \({1 \over 5}\), quartus vero misit \({1 \over 6}\), et habuerunt insimul soldos 60. Queritur quot unicuique ex eis contingerit. Eadem vero questio est, cum dicitur de quattuor hominibus qui emerunt porcum pro soldis 60, ex quibus primus voluit habere tertiam⁹³ illius porci, secundus quartam⁹⁴, tertius quintam⁹⁵, quartus sextam⁹⁶. 66 Unde quidam imperiti cum primus pro tertia parte porci persolvat soldos 20 et secundus pro quarta parte soldos 15 et tertius pro quinta parte soldos 12 et quartus pro sexta parte soldos 10 et omnes insimul iuncti non faciunt nisi soldos 57, mirantur quomodo remanent ad persolvendum soldi 3 ex ipsis soldis 60 et⁹⁷ querunt quis eorum ipsos soldos 3 solvere debeat. 67 Non enim considerant quod ipsi quattuor homines non emerunt totum porcum; cum \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) unius integri non faciant unum integrum, immo remanet ex eo \({1 \over 20}\). Quare de soldis 60 remanet similiter vigesima eorum pars, scilicet soldi 3.

10 12 15 20   quart. tert. secund. prim. 60 \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) s. s. s. s. s. \({0 \over 19}\) 60 \({10 \over 19}\) 10 \({12 \over 19}\) 12 \({15 \over 19}\) 15 \({1 \over 19}\) 21

⁹⁸ Unde si essent tres homines, ex quibus primus emeret dimidium illius porci et persolveret soldos 30, et alter emeret tertiam⁹⁹ et persolveret soldos 20, et tertius emeret quartam¹⁰⁰ et persolveret soldos 15, et sic haberentur in summa soldi 65, hoc est soldi 5 magis de soldis 60, qui soldi 5 sunt duodecima pars de soldis 60. 68 Et hic contingit quia \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) \({1 \over 2}\) faciunt \({1 \over 12}\) magis integro. Unde ut¹⁰¹ non persolvatur plus vel minus de soldis 60, oportet ut emptores, quanticumque fuerint, emant tales portiones que cum in unum redacte fuerint faciant unum integrum. Verbi gratia: si emptores fuerint duo, unus emat dimidium et alius aliud dimidium, vel unus \({2 \over 3}\), alius \({1 \over 3}\), et sic deinceps. 69 Et si fuerint tres, unusquisque emat tertiam partem, vel primus emat \({1 \over 2}\), secundus \({1 \over 3}\), tertius \({1 \over 6}\). Et si fuerint quattuor, emat unusquisque quartam partem, vel primus eorum emat \({1 \over 2}\), secundus \({1 \over 4}\), tertius \({1 \over 5}\), quartus \({1 \over 20}\); et sic potes intelligere de pluribus. Nam ut prescripti soldi 60 dividantur inter quattuor suprascriptos homines, ita ut nichil inde remaneat, describe questionem ut hic ostenditur; et vide de \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) in quali numero reperiantur. 70 Reperiuntur enim in 60, quorum \({1 \over 3}\), que est 20, pone super \({1 \over 3}\) in questione; et quartam, scilicet 15, pone super \({1 \over 4}\); et quintam, scilicet 12, pone super \({1 \over 5}\); et sextam, scilicet 10, pone super \({1 \over 6}\). Unde dices quod primus misit 20, secundus 15, tertius 12, quartus 10. Unde adde eos in unum; erunt 57, in quibus divide multiplicationem uniuscuiusque suprascriptorum quattuor numerorum in soldis 60. 71 Et sic habebis pro portione primi hominis soldos \({1 \over 19}\) 21, hoc est soldos 21 et \({12 \over 19}\) unius denarii; et pro secundi portione soldos \({15 \over 19}\) 15, hoc est soldos 15 et denarios \({9 \over 19}\) 9; et pro tertii portione soldos \({12 \over 19}\) 12, hoc est soldos 12 et denarios \({11 \over 19}\) 7. Similiter et pro quarti portione habebis soldos \({10 \over 19}\) 10, ut superius in questione ostenditur, qui sunt soldi 10 et denarii \({6 \over 19}\) 6. Quibus quattuor portionibus repertis, si eas in unum coniunxeris, in suprascriptos soldos 60 devenies.