78 Incipit pars quinta

Si vis multiplicare 21 et \({1 \over 3}\) et \({1 \over 4}\) et \({1 \over 5}\) per 32 et \({3 \over 7}\) et \({2 \over 9}\) et \({1 \over 8}\), describe numeros

1307 ⑨ \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) 21 16519 ⑧ \({1 \over 8}\) \({2 \over 9}\) \({3 \over 7}\) 32 \({5~~3~~7~~5~~9\phantom{0} \over 6~~7~~8~~9~~10}\) 713

²⁰¹ ut in margine cernuntur et multiplica 21 per 3 et adde 1 quod est super 3: erunt 64, que per 4, que per 5 que sunt sub virgis, vel in una multiplicatione multiplica 64 per 20; erunt 1280 sexagesime. Et 1 quod est super 4, quod est quarta, multiplica per 5 que sunt sub tertia virga, que per 3 que sunt sub prima: erunt sexagesime 15. 79 Item 1 quod est super 5, quod est quinta, multiplica per 4 que sunt sub secunda virga, que per 3 que sunt sub prima: erunt sexagesime 12. Adde ergo 1280 et 15 et 12 sexagesimas: erunt sexagesime 1307, et tot sexagesime sunt in \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) 21, quorum proba per 11 est 9, que habetur ordine quo multiplicantur numeri. 80 Similiter fac sua minuta de \({1 \over 8}\) \({2 \over 9}\) \({3 \over 7}\) 32, scilicet multiplica 32 per 7 et adde 3 que sunt super 7, que per 9, que per 8: erunt 16344²⁰² quingentesime quarte. Item 2 que sunt super 9 multiplica per 8, que per 7: erunt 112 similiter quingentesime²⁰³ quarte. Item 1 quod est super 8 multiplica per 9: erunt 9 septuagesime secunde, quas multiplica per 7; erunt 63 quingentesime²⁰⁴ quarte, quibus additis cum quingentesimis quartis 112 et cum 16344, erunt 16519 quingentesime quarte, quarum proba per 11 est 8. 81 Deinde multiplica 1307 per 16519, et divides summam per sexagies²⁰⁵ quingenta quattuor, hoc est per omnes numeros qui sunt sub sex virgis, scilicet per \({1~~0~~0~~0~~0~~0 \over 3~~4~~5~~7~~8~~9}\), et apta eos, scilicet de \({1~~0 \over 4~~5}\) fac \({1~~0\phantom{0} \over 2~~10}\) et de \({1~~0 \over 2~~3}\) fac \({1 \over 6}\)²⁰⁶, et sic habebis pro aptatione virgule \({1~~0~~0~~0~~0\phantom{0} \over 6~~7~~8~~9~~10}\) et summa quesite multiplicationis est \({5~~3~~7~~5~~9\phantom{0} \over 6~~7~~8~~9~~10}\) 713, ut in questione ostenditur.

82 Et memento ut in similibus nunquam ponas sub virgis unius lateris numeros sibi invicem comunicantes; et si ab aliquo tibi propositi fuerint, adde eos, scilicet redige eos in unam virgam si poteris, vel in duas, per doctrinam quam habes superius et per ea que sunt in tabulis suprascriptis. Sed ut hoc melius intelligas, proponam quasdam aptationes virgularum. 83 Ut si vis aptare \({1 \over 6}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\), de \({1 \over 6}\) \({1 \over 3}\) fac \({1 \over 2}\) et de \({1 \over 4}\) \({1 \over 2}\)²⁰⁷ fac \({3 \over 4}\); et sic pro \({1 \over 6}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) habes \({3 \over 4}\). Item pro \({1 \over 10}\) \({1 \over 6}\) \({2 \over 5}\) habebis \({2 \over 3}\), quia \({1 \over 10}\) \({2 \over 5}\) sunt \({1 \over 2}\) et \({1 \over 6}\) \({1 \over 2}\) sunt \({2 \over 3}\). Rursus pro \({1 \over 8}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 2}\) habentur \({7 \over 8}\) et pro \({1 \over 9}\) \({1 \over 6}\) \({1 \over 2}\) habentur \({7 \over 9}\), quia \({1 \over 6}\) \({1 \over 2}\)²⁰⁸ sunt \({2 \over 3}\) et \({1 \over 9}\) \({2 \over 3}\) sunt \({7 \over 9}\); et pro \({1 \over 8}\) \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) habentur \({3 \over 8}\) \({1 \over 5}\); et pro \({1 \over 10}\) \({1 \over 9}\) \({1 \over 3}\) habentur \({1 \over 10}\) \({4 \over 9}\); et pro \({1 \over 8}\) \({1 \over 6}\) \({1 \over 4}\) habentur \({3 \over 8}\) \({1 \over 6}\); et pro \({3 \over 8}\) \({1 \over 6}\) habentur \({13 \over 24}\)²⁰⁹, hoc est \({1~~4 \over 3~~8}\)²¹⁰. 84 Et si vis aptare \({1 \over 9}\) \({1 \over 8}\) \({1 \over 6}\), adde primum \({1 \over 6}\) cum \({1 \over 9}\): erunt \({5 \over 18}\)²¹¹; deinde adde \({5 \over 18}\) \({1 \over 8}\), scilicet multiplica dimidium de 8 per 18²¹² vel dimidium de 18 per 8, seu accipe dimidium multiplicationis de 8 in 18, et proveniunt²¹³ 72 quodcumque feceris de predictis. Serva ea sub quadam virga²¹⁴ pro numero denominato; deinde ut habeas numerum denominantem, multiplica 1 quod est super 8 per dimidium de 18 et 5 que sunt super 18 per dimidium de 8: venient 9 et 20, hoc est 29 pro numero denominante. Pone ergo ea super²¹⁵ 72 et habebis²¹⁶ \({29 \over 72}\) pro²¹⁷ \({1 \over 9}\) \({1 \over 8}\) \({1 \over 6}\). 85 Vel²¹⁸ aliter: invento numero denominato, qui columna vocatur a multis cum sit minimus²¹⁹ qui²²⁰ integraliter dividatur²²¹ per 6 et per 8 et per 9, scilicet 72, accipe ex eis \({1 \over 6}\) et \({1 \over 8}\) et \({1 \over 9}\): exibunt 12 et²²² 9 et 8²²³, scilicet 29 pro numero denominante. Et si \({29 \over 72}\) redigere vis in partes partium de 72, divide 29 per regulam de 72: exibunt²²⁴ \({5~~3 \over 8~~9}\), quam virgam habeas loco de \({1 \over 9}\) \({1 \over 8}\) \({1 \over 6}\).

86 Item si vis aptare \({1 \over 10}\) \({1 \over 8}\) \({1 \over 6}\), invenias minimum mensuratum numerorum 6 et 8 et 10, hoc est minor numerus qui integraliter dividatur per unumquemque eorum: eritque 120. Pone eum sub quadam virga et accipe \({1 \over 10}\) \({1 \over 8}\) \({1 \over 6}\) de 120: erunt 20 et 15 et 12, que adde simul; erunt 47, que pone super virgam sic²²⁵: \({47 \over 120}\). Et si ea in partes partium de 120 redigere vis, divide 47 per regulam de 120: exibunt \({1~~5~~3\phantom{0} \over 2~~6~~10}\), quam virgam habebis pro \({1 \over 10}\) \({1 \over 8}\) \({1 \over 6}\). Commenda²²⁶ itaque hec omnia tenaciter memorie, et sic revertamur ad propositum.