62 Divisio de 18456 per 17

Si quis voluerit dividere 18456 per 17, describat 17 sub 56 de 18456, et accipiat

descriptio prima 1\(\phantom{456}\) 18456 17 1

¹⁸⁵ \({1 \over 17}\) de 18, que sunt ultime due figure dividendi numeri, que est 1 et remanet¹⁸⁶ 1, et¹⁸⁷ ponet¹⁸⁸ 1 sub 8 de ipsis 18, et remanens 1 ponat super 8, ut in prima descriptione ostenditur¹⁸⁹. 63 Et copulet ipsum 1 cum antecedente figura, scilicet cum 4: facient 14, que 14¹⁹⁰ cum minus sint divisore numero, scilicet de 17, ponet¹⁹¹ 0 sub ipsis 4, scilicet ante positum 1 sub 8, et copulabis ipsa 14 cum antecedente figura, scilicet cum 5: facient 145; ponet¹⁹² itaque sub dictis¹⁹³ 5 talem figuram arbitrio, que per 17 multiplicata faciat fere dicta¹⁹⁴ 145. Nam ut¹⁹⁵ ipsum arbitrium ex arte habeatur¹⁹⁶, videatur de divisore numero, scilicet de 17, cui decenario numero propinquior est. Est enim propinquior 20; dividat ergo dicta 145 per 20, quod sic fit: 64 de 20 relinquat

secunda 6 149 18456 17 108\(\phantom{6}\)

¹⁹⁷ primam figuram, scilicet zephyrum: remanebunt 2 de ipsis 20; et relinquat iterum primam figuram de 145, scilicet 5: remanebunt 14, que dividat per dicta 2; exibunt 7, et talis¹⁹⁸ debet esse figura¹⁹⁹ quam debet ponere sub 5, vel 1 amplius, scilicet 8; et hoc contingit²⁰⁰ quia 17 minus sunt de 20, unde maior pars est \({1 \over 17}\) de 145 quam \({1 \over 20}\).

65 Ponat itaque 8 sub 5 de 145, quia hic ita²⁰¹ oportet, et multiplicet ipsa 8 per 17 et extrahat²⁰² multiplicationem ipsorum de 145, quod sic fit: multiplicabis itaque 8 per ultimam figuram de 17, scilicet per unum; erunt 8, que extrahat de 14: remanebunt 6, que ponat super 4 de 14 et copulet ipsa 6 cum antecedente 5; facient 65, de quibus extrahat multiplicationem eorundem 8 in aliam figuram de 17, scilicet in 7, que multiplicatio est²⁰³ 56; remanent 9 et tot remanent²⁰⁴ de 145 extracta inde multiplicatione de 8 in 17, ut in secunda descriptione ostenditur. 66 Ponat itaque 9 super 5²⁰⁵ et copulet ipsa cum antecedente figura, scilicet cum 6: facient 96, que restant dividenda per 17²⁰⁶. Et ponat sub 6 iterum talem figuram que multiplicata per 17 faciat²⁰⁷ propius quam poterit de 96.

descriptio ultima 64 149 18456 17 1085 \({11 \over 17} 1085\phantom{5}\)

²⁰⁸ Unde ut sciat²⁰⁹ qualis sit illa figura, relinquat 6 de 96 et remanentia 9 dividat per 2 sicut antea fecimus de 14: exibunt \({1 \over 2}\) 4. 67 Quare ponat 5, hoc est amplius de \({1 \over 2}\) 4, sub 6, hoc est in primo gradu exeuntis numeri, et multiplicabis ipsa 5 per 1 de 17, scilicet per ultimam figuram ipsorum: facient 5, que extrahat de 9 que posita sunt super 5; remanent 4, que ponat super ipsis 9 et copulabis ipsa 4 cum antecedentibus 6, scilicet cum quibus antea copulavimus 9: facient 46, de quibus extrahet multiplicationem de eisdem²¹⁰ 5 in 7, hoc est 35; remanebunt 11²¹¹, que ponat super 17 ex parte servatis sub virga²¹², et exeuntem numerum, scilicet 1085, ponet²¹³ ante ipsam; et sic habebis \({11 \over 17}\) 1085 pro quesita divisione, ut in hac ultima descriptione ostenditur.

68 Rursus si eadem 18456 per 19 dividere voluerit, describat 19 sub 56 de 18456. Et ponet²¹⁴ sub 4 de 184 talem figuram que multiplicata in 19 faciat fere ipsa 184, que qualis sit eodem modo quo de 17 diximus cognoscitur, hoc est quod relinquat 4 de ipsis 184: remanent 18 que dividat per 2; exibunt 9, et talis debet esse figura ponenda, 9 scilicet²¹⁵. 69

descriptio prima 1 93 18456 19 9\(\phantom{19}\)

²¹⁶ Quare ponat 9 sub 4, scilicet sub tertio gradu, et multiplicet 9 per 1 de 19: erunt 9, que extrahat de 18; remanent²¹⁷ 9, que ponat super 8 et copulet ipsa 9 cum 4: facient 94, de quibus extrahat multiplicationem de eisdem 9 in 9 de 19, que est 81; remanent 13. 70 Ponet²¹⁸ ipsa 13 super 94, scilicet 1 super 9 et 3 super 4, ut in prima descriptione ostenditur, et copulabit 13 cum antecedente figura, scilicet cum 5: erunt 135. Et ponet sub 5 talem figuram que multiplicata per 19 faciat 135 vel fere; eritque 7, quia si relinquantur²¹⁹ 5 de 135 remanebunt 13, que si per 2 diviserit exibunt²²⁰ 6 et²²¹ amplius. Unde ponet 7 sub 5 et multiplicabit 7 per 1 de 19: erunt 7, que extrahet²²² de 13; remanent 6, que ponat super 3 de 13 et copulabit 6 cum 5: facient 65, de quibus extrahet²²³ multiplicationem de 7 in 9, scilicet 63; remanebunt 2, que pones²²⁴ super 5, ut in secunda descriptione ostenditur.

secunda 16\(\phantom{56}\) 932\(\phantom{6}\) 18456 19 97\(\phantom{9}\)

²²⁵ 71

ultima 16\(\phantom{56}\) 932\(\phantom{6}\) 18456 19 971 \({7 \over 19}\) 971

²²⁶ Et copulabit 2 cum antecedente figura, scilicet cum 6 que sunt in primo gradu: facient 26, que dividat²²⁷ per 19, ut ita dicamus: exibit 1 et remanent 7. Ponet²²⁸ 1 in primo gradu exeuntis numeri, scilicet sub 6, et remanentia 7 ponat super virgulam de 19 que debent ex parte servari, et exeuntem numerum, scilicet 971, ponet²²⁹ ante ipsam virgulam; et sic habebit pro quesita divisione \({7 \over 19}\)²³⁰ 971, ut in hac ultima descriptione ostenditur.

72 Demonstrata quidem materia in habendo arbitrium in positione figurarum cum per 17 et per 19 numeros dividimus, nunc vero ostendemus qualiter habeatur arbitrium in ponendis figuris cum per reliquos hasam qui sunt infra centum²³¹ dividere voluerimus. Et hic est modus: quia sicut cum dividimus per 17 vel per 19 accipimus medietatem ex dividendis numeris prima figura relicta, et quandoque uno²³² amplius, ideo quia 17 et 19 minus sunt de 20, ut prediximus; 73 ita cum diviserimus per 23 accipiemus medietatem, vel quandoque uno minus²³³, quia 23 plus sunt de 20. Et sic cum diviserimus per 29 debemus accipere tertiam²³⁴ et quandoque uno plus²³⁵, ideo quia 29 minus sunt²³⁶ de 30, quibus propiora sunt quam aliis decenariis. Et cum diviserimus per 31, debemus accipere tertiam et quandoque uno minus. Et sic eodem modo cum diviserimus per 37 debemus accipere quartam et quandoque uno plus. Et cum per 41 vel per²³⁷ 43, debemus accipere quartam vel²³⁸ quandoque minus. 74 Et cum diviserimus per 47 debemus accipere quintam et quandoque 1 plus. Et cum per 53, quintam et quandoque 1 minus. Et cum per 59, sextam²³⁹ vel plus²⁴⁰. Et cum per 61, sextam vel uno minus. Cum per 67, septimam vel uno plus. Cum per 71 vel per 73, septimam vel uno minus. Et cum per 79, debemus accipere octavam vel²⁴¹ plus. Et cum per 83, octavam vel minus²⁴². Et cum per 89, debemus accipere nonam vel plus²⁴³. Et cum per 97 diviserimus, debemus accipere decimam dividendorum numerorum, una figura relicta, vel quandoque uno plus. 75 Unde cum quis diviserit quoslibet numeros per quemlibet prescriptorum numerorum et ignoraverit utrum debeat dare plus vel minus quam diximus, ponat ipsam partem que ei superius declaratur, et multiplicet ipsam partem per numerum divisorem; et si multiplicatio maior fuerit dividendi numeri, detur unum minus; et si minor²⁴⁴ ultra quam debeat fit multiplicatio, detur unum plus; et sic poterit quemlibet numerum per predictos numeros dividere. Tamen nos²⁴⁵ in quibusdam divisionibus hoc idem declarabimus.