151 Tertia differentia disgregationum

Tertia quidem differentia est cum uno plus maiori numero dividitur per minorem. Cuius differentie regula est ut numerum qui fuerit 1 plus maiori dividas per minorem, et³¹⁶ quot ex divisione exierit, talis pars unius integri erit minor de maiori, et insuper eadem pars partis que 1 est de maiori³¹⁷ numero. Verbi gratia: volumus facere singulares partes de \({2 \over 11}\), que sunt ex hac differentia cum uno plus de 11, scilicet 12, dividantur per 2 que sunt super virgulam. 152 Ex qua divisione cum eveniant 6, reddunt \({1 \over 6}\) et insuper sextam partem de \({1 \over 11}\)³¹⁸, scilicet \({1~~\phantom{1}0 \over 6~~11}\) pro singularibus partibus de \({2 \over 11}\). Eademque ratione pro \({3 \over 11}\) habebis quartam et³¹⁹ \({1~~\phantom{1}0 \over 4~~11}\), hoc est \({1 \over 44}\)³²⁰ \({1 \over 4}\). Et pro \({4 \over 11}\) habebis tertiam et \({1~~\phantom{1}0 \over 3~~11}\), hoc est \({1 \over 33}\) \({1 \over 3}\); et pro \({6 \over 11}\) habebis dimidium³²¹ et \({1~~\phantom{1}0 \over 2~~11}\), hoc est \({1 \over 22}\) \({1 \over 2}\)³²²; et pro \({5 \over 19}\) habebis \({1 \over 4}\) \({1~~\phantom{1}0 \over 4~~19}\)³²³, hoc est \({1 \over 76}\) \({1 \over 4}\), cum 5 que sunt super 19 sint \({1 \over 4}\) de 20, que sunt 1³²⁴ plus 19. Componitur etiam et hec tertia differentia, ut \({2~~0 \over 3~~7}\), que sunt \({1~~0 \over 2~~7}\) et \({1~~0 \over 6~~7}\); cum \({2 \over 3}\) sint \({1 \over 6}\) \({1 \over 2}\). Similiter \({4~~0 \over 7~~9}\) sunt \({1~~0 \over 2~~9}\) et \({\phantom{1}1~~0 \over 14~~9}\); quia \({4 \over 7}\) sunt \({1 \over 14}\) \({1 \over 2}\)³²⁵. 153 Et revolvitur etiam hec eadem differentia, ut \({3~~\phantom{1}0 \over 7~~11}\) vel \({3~~0 \over 7~~8}\). Nam \({3~~\phantom{1}0 \over 7~~11}\) sunt \({\phantom{1}3~~0 \over 11~~7}\), que \({3 \over 11}\) per tertiam differentiam sunt \({1 \over 44}\) \({1 \over 4}\); quare \({3~~0 \over 11~~7}\) sunt \({1~~0 \over 4~~7}\) et \({\phantom{4}1~~0 \over 44~~7}\). Similiter \({3~~0 \over 7~~8}\) revolvuntur in \({3~~0 \over 8~~7}\), que sunt ex duabus differentiis compositis, scilicet ex secunda et ex tertia. Secundum quidem secundam differentiam compositam, \({3~~0 \over 8~~7}\) sunt \({1~~1~~0 \over 8~~4~~7}\)³²⁶, scilicet \({1~~0 \over 4~~7}\) et \({1~~0 \over 8~~7}\); secundum quidem³²⁷ tertiam differentiam³²⁸ compositam \({3~~0 \over 8~~7}\) sunt \({\phantom{2}1~~1~~0 \over 24~~3~~7}\)³²⁹, cum pro \({3 \over 8}\) habeantur \({1 \over 24}\) \({1 \over 3}\); et hoc idem intelligas de similibus.

154 De eadem differentia³³⁰

Sunt enim ex hac eadem differentia quando de minori numero qui est super virgulam possunt fieri due partes, per quamlibet quarum uno plus maiori integraliter dividitur, ut \({8 \over 11}\) et \({9 \over 11}\) et \({10 \over 11}\)³³¹. Nam de \({8 \over 11}\) possunt fieri due partes, scilicet \({6 \over 11}\) et \({2 \over 11}\); unde pro \({6 \over 11}\) habemus secundum hanc rationem duas singulares partes, scilicet³³² \({1 \over 22}\) \({1 \over 2}\)³³³, et³³⁴ pro \({2 \over 11}\) habemus \({1 \over 66}\) \({1 \over 6}\); ergo pro \({8 \over 11}\) habemus \({1 \over 66}\) \({1 \over 22}\) \({1 \over 6}\) \({1 \over 2}\). Similiter pro \({9 \over 11}\), que resolvuntur in \({6 \over 11}\) et in \({3 \over 11}\), habemus \({1 \over 44}\) \({1 \over 22}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 2}\); et pro \({10 \over 11}\) habemus \({1 \over 33}\) \({1 \over 22}\) \({1 \over 3}\) \({1 \over 2}\), cum 10 que sunt super 11 sint \({1 \over 3}\) \({1 \over 2}\) de 12, que 12 sunt uno plus quam 11 que sunt sub virgula.