127 Explicit³²² pars secunda noni capituli. Incipit tertia de equis qui comedunt ordeum in propositis diebus

Quinque equi comedunt sextaria 6 ordei in diebus 9; queritur in quot diebus³²³ eadem ratione decem equi comedent sextaria 16. Pone in superiori linea 5 pro equis et 6 pro ordeo et 9 pro diebus, retro videlicet scribendo, et sub 5 pones 10 equos, et 16 sextaria pone sub 6. Et multiplica 5 per 16, que per 9; erunt 720, que divide per 6 et per 10: exibunt dies 12. 128 Vel aliter: quia equi 5 comedunt sextaria 6 in diebus 9, ergo decem equi comedent³²⁴ duplum de sextariis 6 in totidem diebus, cum 10 equi sint duplum equorum 5. Rursus quia 10 equi comedunt sextaria 12³²⁵ in diebus 9, ergo ipsi comedent sextaria 16 in diebus 12³²⁶, qui proveniunt ex multiplicatione de 16 in 9 divisa per 12.

129 Possumus enim in hac questione 18 combinationes

\(C\) \(B\) \(A\) dies ordeum equi 9 6 5 \(F\) \(E\) \(D\) dies ordeum equi 12 16 10

³²⁷ proportionum ostendere, quas in sex lineis in figura cata prima monstrantur. Sit itaque numerus \(E\) linea prima, et \(F\) sit secunda, et \(D\) sit tertia, et \(A\) sit quarta, et \(B\) quinta, numerus quoque \(C\) sit linea sexta; et sint numeri³²⁸ \(A\), \(E\), \(C\) quedam coniunctio, que vocetur prima, numeri vero \(D\), \(B\), \(F\) sint³²⁹ coniunctio secunda. Proportio quidem uniuscuiusque numeri prime coniunctionis ad unumquemque numerum secunde est composita ex quattuor reliquis numeris; et sunt duo³³⁰ illorum antecedentes et duo consequentes. 130 Quare unaqueque³³¹ proportio illarum compositarum proportionum, que sunt 9, componitur secundum unam combinationem proportionum, quia cum proportio aliqua componitur ex primo antecedente et primo consequente et³³² ex secundo³³³ antecedente et secundo consequente, componetur etiam permutatim eadem³³⁴ proportio <ex proportione> quam habet³³⁵ primum antecedens ad secundum consequens et ex proportione quam habet secundum³³⁶ antecedens ad primum consequens.

131 Non enim mutantur facti ex antecedentibus neque ex consequentibus, cum ipsi facti numeri faciant compositam proportionem, que componitur ex duobus antecedentibus et ex duobus consequentibus predictis. Similiter proportio uniuscuiusque numeri secunde coniunctionis ad unumquemque numerum prime est composita ex quattuor reliquis numeris, quorum duo sunt antecedentes et duo consequentes. Unde fiunt alie 9 combinationes. 132 Et nos ostendamus compositionem proportionis primi³³⁷ numeri \(E\) ad secundum \(F\) esse compositam ex quattuor reliquis numeris, ex quibus numeri \(D\), \(B\) sunt antecedentes, reliqui vero \(A\), \(C\) sunt consequentes. Quod probabitur ita: quia ex multiplicatione numeri \(E\) in factum ex numeris \(A\), \(C\) divisa³³⁸ per factum ex numeris \(D\), \(B\) provenit numerus \(F\), ergo si multiplicatur factus ex numeris \(D\), \(B\) per \(F\) equabitur multiplicationi \(E\) in factum ex numeris \(A\), \(C\). 133 Quare

\(B\)   9 6 5 \(F\)     dies ordeum equi 12 16 10

³³⁹ proportionaliter est sicut factus ex numeris \(D\), \(B\) ad factum ex numeris \(A\), \(C\), ita \(E\) ad \(F\); ergo numeri \(D\), \(B\), ut dixi, sunt antecedentes et \(A\), \(C\) sunt consequentes. Componitur ergo proportio \(E\) ad \(F\) ex proportione \(D\) antecedentis ad \(A\) consequentem³⁴⁰ et ex proportione \(B\) similiter antecedentis ad \(C\) consequentem; vel proportio \(E\) ad \(F\) componitur ex permutatis proportionibus, scilicet ex ea quam habet numerus \(D\) ad numerum \(C\) et ex ea quam habet \(B\) ad \(A\); quod etiam demonstrabo in numeris alio modo. 134 Quoniam est sicut 10 ad 5, hoc est sicut numerus \(D\) ad numerum \(A\) ita factus ex numeris \(B\), \(D\) ad factum ex numeris \(B\), \(A\), hoc est sicut equi 10 sunt ad equos 5, ita equi 60 sunt ad equos 30; et sicut equi 60 sunt ad equos 30 ita sextaria 60 sunt ad sextaria 30. Rursus sicut 6 sextaria sunt ad 9 dies, hoc est sicut \(B\) est ad \(C\), ita factus ex numeris \(A\), \(B\) ad factum ex numeris \(A\), \(C\); hoc est sicut 6 sextaria sunt ad dies 9, ita sextaria 30 sunt ad dies 45. 135 Ergo est³⁴¹ sicut \(D\) ad \(A\) ita sextaria 60 ad sextaria 30, et sicut \(B\) ad³⁴² \(C\) ita sextaria 30 ad dies 45; ergo proportio ordei ad dies est sicut 60 ad 45³⁴³. Que proportio ostensa est esse composita ex ea quam habet \(D\) ad \(A\) et \(B\) ad \(C\); ergo est sicut 60 sextaria ad dies 45 ita sextaria 16 sunt ad quesitos dies, scilicet numerus \(E\)³⁴⁴ ad numerum \(F\); et sic proportio \(E\) ad \(F\) ostensa est esse composita ex \(D\) ad \(A\) et ex \(B\) ad \(C\), ut oportet. 136 Similiter ostenderem \(E\) ad \(F\) compositam esse ex \(D\)³⁴⁵ ad \(C\) et ex \(B\) ad \(A\), et sic habemus unam combinationem. Similiter potest ostendi, quod \(C\) ad \(F\) componitur ex reliquis quattuor numeris. Ex quibus rursus numeri \(D\), \(B\) sunt antecedentes, reliqui autem \(E\), \(A\) sunt consequentes, et est multiplicatio facti ex numeris \(A\), \(E\) in numerum \(C\), scilicet 720, equalis multiplicationi facti ex numeris \(D\), \(B\) antecedentibus in numerum \(F\); et sic habetur combinatio secunda. 137 Eodemque modo ostendetur \(A\), qui restat ex prima coniunctione, componi ad \(F\) ex quattuor reliquis numeris, quorum iterum numeri \(D\), \(B\) sunt antecedentes et reliqui, scilicet \(E\), \(C\), sunt consequentes; et sic habetur combinatio tertia.

138 Et sic ostensum est quod proportio uniuscuiusque trium numerorum prime coniunctionis ad numerum \(F\), qui est unus ex tribus numeris secunde coniunctionis, componitur ex duabus proportionibus reliquorum quattuor numerorum. Rursus supradicta ratione queratur quot equi comedant sextaria 16 in diebus 12. Describe in questione ordeum sub ordeo et dies sub diebus, et divides numerum factum ex tribus numeris prime compositionis, scilicet 720, per reliquos duos numeros, scilicet per 12 et per 6: exibunt 10 pro quesitis equis. 139 In hac autem questione supradicto modo potest ostendi quod proportio quam habet unusquisque numerorum prime coniunctionis ad 10, qui est alius numerus secunde, componitur ex duabus proportionibus reliquorum quattuor numerorum, quorum antecedentes sunt 12 ad 6, scilicet numeri \(F\), \(B\); et sic habentur tres alie combinationes in hac questione.

140 Et si proponatur quod equi 10 comedant sextaria 16 in diebus 12 et queratur quot sextaria comedent equi 5 in diebus 9. Modo in hac questione

dies ordeum equi 9 6 5 dies ordeum equi 12 16 10

³⁴⁶ deficit tertius numerus secunde coniunctionis; quare reliqui duo numeri eiusdem coniunctionis, scilicet 10 et 12, erunt divisores; 141 in quibus divides 720, que³⁴⁷ procreantur³⁴⁸ ex 5 vicibus 16 vicibus 9³⁴⁹: exibunt sextaria ordei 6, ut in hac tertia descriptione ostenditur, in qua certissime potest cognosci quod proportio uniuscuiusque numeri prime coniunctionis ad 6, qui est tertius ex numeris secunde, est composita ex duabus proportionibus quattuor reliquorum numerorum, ex quibus antecedentes sunt 10 et 12, reliqui duo sunt consequentes; et³⁵⁰ sic habentur novem combinationes. 142 Reliquas vero novem combinationes invenies ex compositione proportionis uniuscuiusque trium numerorum secunde coniunctionis ad unumquemque trium numerorum prime; que compositiones fiunt ex duabus proportionibus que fiunt a reliquis quattuor numeris, ex quibus semper in unaquaque combinatione erunt antecedentes duo ex numeris prime coniunctionis. Et notandum quod nullus ex predictis sex numeris habent proportionem compositam ad aliquem numerum sue coniunctionis ex duabus proportionibus reliquorum; et sunt ille proportiones duodecim.

143 Et si in questionibus supradictis ponerentur dies in medio equorum et ordei, ut in hac alia

ordeum dies equi 6 9 5       16 12 10

questione cernitur, tunc numeri prime coniunctionis erunt 5 et 9 et 16; reliqui essent numeri coniunctionis secunde, quod³⁵¹ cognosces ita: ponatur ut sit ignotus numerus ordei³⁵² inferioris linee; et quia equi 5 comedunt aliquam datam mensuram ordei, scilicet sextaria 6, in datis diebus, scilicet in 9, ergo equi 10 totidem ordeum comedent in diebus \({1 \over 2}\) 4, qui proveniunt ex multiplicatione de³⁵³ 5 in 9 divisa per 10.

144 Rursus cum in diebus \({1 \over 2}\) 4 equi 10 comedent sextaria 6, queritur quot sextaria comedent in diebus 12. Est ergo sicut \({1 \over 2}\) 4 sunt ad 6, ita 12 ad quesitum numerum ordei; quare multiplicanda sunt 12 per 6 et dividenda per \({1 \over 2}\) 4. Et quia est sicut numerus ad numerum, ita decuplus unius ad decuplum alterius, si multiplicaverimus ergo per 10 multiplicationem de 12 in 6, hoc est quod multiplicemus 10 vicibus 12 vicibus 6, et summam, que est 720, diviserimus per decuplum de \({1 \over 2}\) 4, scilicet per 5 et 9 que sunt in superiori linea, veniunt 16 pro numero ignoto ordei. 145 Quare si multiplicaverimus 5 per 9 vicibus 16³⁵⁴, equabitur multiplicationi de 10 vicibus 12 vicibus 6³⁵⁵; et sic 5 et 9 et 16³⁵⁶ faciunt primam coniunctionem, reliqui vero, scilicet 10 et 12 et 6, faciunt secundam. Unde cum aliquis ex predictis sex numeris fuerit ignotus quem volueris invenire, vide ex ipso numero de quali fuerit coniunctione; quia in reliquis duobus numeris sue coniunctionis divides factum ex tribus numeris relique coniunctionis et invenies quesitum numerum.