192 Incipit pars tertia de solutione quarumdam questionum secundum modum algebre et almuchabale, scilicet appositionis et restaurationis ²⁸⁴

Ad computationem quidem algebre²⁸⁵ et almulchabale tres proprietates que sunt in quolibet numero considerantur, que sunt radix, quadratus et numerus simplex. Cum itaque aliquis numerus multiplicatur in se et provenit aliquid, tunc factus ex multiplicatione quadratus est multiplicati, et multiplicatus sui quadrati est radix. 193 Ut cum multiplicatur 3 in se, veniunt 9. Sunt enim 3 radix de 9 et 9 sunt quadratus ternarii. Et cum numerus non habet respectum ad quadratum vel radicem, tunc simpliciter numerus appellatur. He autem in solutionibus questionum inter se equantur sex modis, ex quibus tres sunt simplices et tres compositi.

194 Primus quidem modus est quando quadratus, qui census dicitur, equatur radicibus; secundus quando census equatur numero; tertius quando radix equatur numero. Unde cum in aliqua questione invenientur census vel partes unius census equari radicibus vel numero, debent redigi ad equationem unius census per divisionem ipsorum in numerum censuum. 195 Verbi gratia: cum duo census equantur²⁸⁶ decem radicibus, divides radices per numerum census, scilicet 10 per 2: exibunt radices 5 que equantur uni censui, hoc est radix census est 5 et census est 25; quia quot radices equantur censui, tot unitates sunt in radice census.

196 Item si tres census equantur radicibus 12, tunc tertia pars trium censuum equatur tertie parti de radicibus 12, hoc est unus census equatur quattuor radicibus. Quare radix census est 4 et census est 16. Similiter si²⁸⁷ census \({1 \over 2}\) 3 equantur radicibus 21, divides 21 per \({1 \over 2}\) 3 et invenies quod unus census equatur radicibus 6. Et si \({1 \over 2}\) unius census equatur 5 radicibus, divides 5 per \({1 \over 2}\), hoc est multiplicabis 5 per 2 que sunt sub virga et divides per 1 quod est super virgam²⁸⁸: exibunt 10. Ergo unus census equatur 10 radicibus.

197 Et si \({2 \over 3}\)²⁸⁹ unius census equantur 8 radicibus, tunc census equatur²⁹⁰ radicibus 12, quia divisis 8 per \({2 \over 3}\)²⁹¹ veniunt 12. Hec omnia intelligantur cum census augmentatus vel diminutus equabitur alicui numero. Sed ut hec apertius habeantur, ponantur 5 census equari denariis 45. Divides ergo 45 per 5: venient denarii 9 qui equantur censui, hoc est census est 9 et radix eius est 3. 198 Similiter cum census \({1 \over 3}\) 4 equantur denariis 26, divides 26 per \({1 \over 3}\) 4, scilicet 78 per 13: exibunt 6, quibus equatur unus census. Quare radix eius est surda, cum sit radix numeri non quadrati. Et cum \({3 \over 4}\) unius census equantur denariis 12, tunc census equabitur denariis 16, quia divisis 12 per \({3 \over 4}\), scilicet 48 per 3, venient 16. Quare radix census est 4. Similiter facies cum radices vel partes unius radicis equantur numero.

His autem ostensis, reliquos tres modos compositos demonstremus.

199 Primus enim modus est quando census et radices equantur numero. Secundus quando radices et numerus equantur censui. Tertius modus est quando census et numerus equantur radicibus. Unde cum in aliqua questione invenietur census augmentatus vel diminutus cum compositione radicum et numeri, tunc omnia reducenda sunt ad censum unum. 200 Verbi gratia: duo census et decem radices equantur denariis 30; ergo unus census et 5 radices equantur denariis 15. Simili quoque modo, si tres census et 12 radices equantur denariis 39, divides hec omnia per numerum censuum, scilicet per 3: proveniet unus census et quattuor radices que equantur denariis 13. 201 Item si inveniantur radices 15 et denarii 60 que equentur censibus 5, divides hec omnia per numerum censuum, scilicet per 5, et invenies quod unus census equatur tribus radicibus et denariis 12. Item si \({4 \over 5}\) unius census et radices 10 equantur denariis 20²⁹², divides hec omnia per \({4 \over 5}\), scilicet multiplicabis radices 10 et denarios 20 per 5: exibunt radices 50 et denarii 100, que divides per 4, et sic invenies quod unus census et radices \({1 \over 2}\) 12 equentur denariis 25; et sic intelligas in similibus.

202 Et cum hec omnia operari sciveris et volueris invenire quantitatem census qui cum datis radicibus equetur numero dato, sic facias: accipe quadratum medietatis radicum et adde eum super numerum datum, et eius quod provenerit radicem accipe, de qua numerum medietatis radicum tolle, et quod remanserit erit radix quesiti census. 203 Verbi gratia: census et decem radices equantur²⁹³ 39. Dimidium itaque ex radicibus est 5, quibus in se multiplicatis faciunt 25, quibus additis cum 39 faciunt 64, de quorum radice, que est 8, si auferatur medietas radicum, scilicet 5, remanebunt 3 pro radice quesiti census. Quare census est 9 et ipsius decem radices²⁹⁴ sunt 30, et sic census et decem radices equantur 39.

204 Nam unde hec regula procedat, per duplicem figuram ostendere procurabo. Adiaceat siquidem tetragonum \(ABCD\) habens in singulis lateribus amplius quam ulnas 5, et accipiatur super latus \(AB\) punctus \(E\) et super latus \(AD\) punctus \(F\) et super latus \(BC\) punctus \(G\) et super latus \(CD\) punctus \(H\), et sit unaquaque rectarum \(BE\), \(CG\) et \(CH\) et \(DF\) ulnarum 5, et copulentur recte \(EH\) et \(FG\). 205 Et quia tetragonum est quadrilaterum \(AC\), erit latus \(DA\) equalis lateri \(BA\); et cum de equalibus equalia auferantur que remanent erunt equalia, quare si ex \(DA\) auferatur \(DF\) et ex \(BA\) auferatur \(BE\), quarum unaqueque est 5, remanebit siquidem \(EA\) equalis recte \(FA\). Sed recte \(AE\) equalis est recta \(FI\), cum equalis sit recta \(FG\) recte \(AB\); est enim recta \(IG\) equalis recte \(EB\). 206 Propter eadem²⁹⁵ ergo et recta \(EI\) equalis est recte \(AF\), cum recta \(EH\) sit equalis recte \(AD\) et recta \(IH\) recte \(FD\). Tetragona ergo sunt quadrilatera \(EF\) et \(GH\). Ponam itaque pro censu quesito quadrilaterum \(EF\), quod est ignotorum laterum, cuius radix est unaqueque rectarum \(EI\) et \(IF\); sed recte \(EI\) applicata est superficies rectiangula \(BI\), que est quinque radices census \(EF\), cum ipsa superficies applicata sit super radicem eius et sit 5 unaqueque rectarum \(EB\), \(IG\)²⁹⁶. 207 Similiter et²⁹⁷ superficies \(ID\) constat ex 5 radicibus census \(EF\), cum sit applicata super radicem ipsius, scilicet super latus \(IF\), et sit 5 unaqueque rectarum \(FD\) et \(IH\). Sed quia census et 10 radices equantur denariis 39, erunt ergo 39 predicte tres superficies, que sunt \(EF\), \(BI\), \(ID\); 208 quibus si addantur 25, scilicet tetragonum \(GH\), cuius unumquodque latus est 5, habebuntur 64 pro toto tetragono \(ABCD\); quorum radix, scilicet 8, est longitudo uniuscuiusque lateris eius. Quare si auferatur ex \(BA\) recta \(BE\), scilicet 5 de 8, remanebunt 3 pro linea \(EA\); ergo radix quesiti census est 3 et census est 9, quo addito cum decem²⁹⁸ suis radicibus faciunt 39, ut oportet.

209 Aliter: sit census quesitus tetragonum \(EI\), et super latus \(DE\) applicentur decem radices eius, scilicet superficies rectiangula \(DH\) cuius unumquodque²⁹⁹ laterum \(HE\) et \(LD\) sit 10, et dividatur recta \(HE\) in duo equa super \(T\). Et quoniam census \(ZD\) et eius 10 radices \(DH\) equantur denariis 39, ergo tota superficies rectiangula \(ZL\) est 39, que superficies constat ex \(IZ\) in \(HZ\). Recta quidem \(ZI\)³⁰⁰ equalis est recte³⁰¹ \(ZE\), cum sit tetragonum quadrilaterum \(EI\); 210 ergo ex ductu \(ZE\) in \(ZH\) proveniunt 39, quibus si addatur tetragonum linee \(ET\), quod est 25, habebuntur 64 pro tetragono linee \(TZ\); quare radix de 64, scilicet 8, est recta \(TZ\), de qua si auferatur recta \(TE\), que est 5, remanebunt 3 pro linea \(EZ\). Ergo radix census \(EI\) est 3 et census est 9, ut per alium modum invenimus.

211 Et cum ceciderit in solutione alicuius questionis quod census equetur radicibus et numero, tunc quadratum medietatis radicum addes super numerum et super radicem eius quod provenerit addes numerum medietatis radicum, et habebis radicem quesiti census. Verbi gratia: census equetur decem radicibus et denariis 39; addam siquidem quadratum medietatis radicum, scilicet 25, super 39; erunt 64, quorum radici, scilicet 8, superadde 5, scilicet medietatem radicum: provenient 13 pro radice quesiti census, quare census est 169.

212 Nam si unde hec regula procedit scire vis, adiaceat tetragonum \(ABCD\) cuius unumquodque latus sit plus quam 10, et protrahatur in ipso linea \(EF\) et sit 10 unaqueque rectarum \(EC\) et \(FD\), et dividatur \(EC\) in duo equa super \(G\) et sit census quesitus tetragonum \(BD\). 213 Quare decem radices³⁰² erit superficies \(ED\), cum sit applicata super latus \(EF\) quod est equale radici ipsius census, hoc est linee \(AB\), et est 10 unaqueque linearum \(EC\) et \(FD\). Remanebit ergo³⁰³ superficies \(FB\) 39, que proveniunt ex ductu \(FE\) in \(EB\). Sed \(FE\) est equalis recte \(BC\), ergo ex \(BE\) in \(BC\) proveniunt 39, quibus si addatur quadratus linee \(EG\), veniunt 64 pro quadrato linee \(BG\); cuius radici³⁰⁴ addatur linea \(GC\), scilicet 5: venient 13 pro linea \(BC\), que est radix quesiti census, quare census³⁰⁵ est³⁰⁶ 169 .

214 Et cum occurerit quod census et numerus equentur radicibus, scias hoc fieri non posse nisi numerus fiat equalis vel minor quadrato medietatis radicum; qui si equalis fuerit, habebitur pro radice census numerus medietatis radicum. 215 Et si numerus qui cum censu equatur radicibus fuerit minor quadrato medietatis radicum, extrahe ipsum numerum ex ipso quadrato, et eius quod remanserit radicem extrahe ex numero medietatis radicum. Et si id quod remanserit non erit radix quesiti census, tunc addes id quod extraxisti super numerum de quo extraxisti, et habebis radicem quesiti census.

216 Verbi gratia: census et 40 equantur 14 radicibus. Dimidiatis siquidem radicibus veniunt 7, de quorum quadrato, scilicet de 49, extrahe 40; remanent 9, quorum radicem, que est 3, extrahe de medietate radicum, scilicet de 7: remanebunt 4 pro radice quesiti census. Ergo³⁰⁷ census est 16, quibus additis cum 40 faciunt 56, que sunt radices 14 eiusdem census, cum ex ducta radice de 16 in 14 venient 56. 217 Vel radicem de 9 addes super 7: erunt 10 pro radice quesiti census, et sic census erit 100, quo addito cum³⁰⁸ 40 faciunt 140, que sunt radices 14 de 100, cum ex multiplicatione radicis de 100 in 14 provenient 140. Et sic cum non solvetur questio cum diminutione, solvetur sine dubio cum additione³⁰⁹.

218 Et si unde hec regula procedat nosse vis, adiaceat linea \(AB\) que sit 14³¹⁰, et dividam eam in duo equalia super \(G\) et in duo inequalia super \(D\); et constituam super unam ex inequalibus portionibus tetragonum. Constituatur primum super minorem portionem, que est \(DB\), tetragonum \(DZ\), et protrahatur \(ZE\) in directo in punctum \(I\), et sit recta \(ZI\) equalis recte \(AB\), et copuletur recta \(IA\)³¹¹. 219 Et quia recta \(ZB\) est radix census \(DZ\), et recta \(AB\) est 14, erit tota superficies \(AZ\) radices 14 ex censu \(DZ\). Et quia census et 40 equantur radicibus 14, erit superficies \(AE\) 40, que provenit ex \(ED\)³¹² in \(DA\), hoc est ex \(BD\) in \(DA\). 220 Quibus 40 si addatur quadratus sectionis \(DG\) habebuntur 49, scilicet quadratum linee \(GB\). Quare quadratus linee \(DG\) est 9, quorum radix, scilicet 3, est linea \(GD\), cui si addatur linea \(GA\) erit 10 tota linea \(AD\); et si auferatur \(GD\) ex \(GB\) remanebunt 4 pro linea \(DB\), que est radix census \(DZ\).

221 Et si super lineam \(AD\) constituatur census \(AL\), ut in hac alia figura, remanebit superficies \(LB\) 40, que provenit ex \(LD\) in \(DB\), hoc est ex \(AD\) in \(DB\); que 40 si extrahantur ex quadrato linee \(AG\) remanebunt 9, quorum radix, scilicet 3, est linea \(GD\)³¹³. Quare \(AD\) est 10; ergo radix census \(AL\) est 10, et census est 100, ut prediximus.

222 Cum his autem sex regulis possunt solutiones infinitarum questionum reperiri; sed oportet eos qui per earum modum procedere volunt scire ea que diximus in multiplicatione et divisione et extractione, seu additione radicum et binomiorum atque recisorum; quibus perfecte cognitis, quedam questiones super hec³¹⁴ proponantur.