58 Incipit pars tertia de questionibus arborum et similium¹⁵⁴

Est arbor cuius \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) latet sub terra, et sunt palmi 21. Queritur quanta sit arboris illius longitudo. Quia \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) reperiuntur in 12, intellige ipsam arborem esse in partes 12 equales

palmi partes 21 7 36 12

¹⁵⁵ divisam, quarum tertia et quarta, scilicet partes 7, sunt palmi 21. Quare proportionaliter est sicut 7 ad 21, ita partes 12 ad longitudinem arboris. 59 Et quia cum quattuor numeri sunt proportionales est equa multiplicatio primi in quartum multiplicationi secundi in tertium; quare si multiplicaveris secundum 21 per tertium 12 notos, et divides per primum numerum similiter notum¹⁵⁶, scilicet per 7, exibunt 36 pro quarto ignoto numero, scilicet pro illius arboris longitudine. Vel quia 21 tripla sunt de 7, accipe triplum de 12 et habebis similiter 36.

60 Est enim alius modus quo utimur, videlicet ut ponas pro re ignota aliquem numerum notum ad libitum, qui integraliter dividatur per fractiones que ponuntur in ipsa questione; et secundum positionem illius questionis cum ipso posito numero studeas invenire proportionem cadentem in solutione illius questionis. Verbi gratia: numerus quesitus huius questionis est longitudo arboris; quare pone ipsam esse 12, cum integraliter dividantur¹⁵⁷ per 3 et per 4 que sunt sub virgulis. 61 Et

veniunt pono 7 12 veniant   21 36

¹⁵⁸ quia dicitur quod¹⁵⁹ \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) arboris sunt 21, accipe \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) de 12 positis: erunt 7, que si essent 21 fortuitu utique haberemus propositum, videlicet quod illa arbor esset palmorum 12. Sed quia 7 non sunt 21, cadunt ergo proportionaliter: sicut¹⁶⁰ 7 ad 21 ita posita arbor ad quesitam, scilicet 12 ad 36. Quare consuevit dicere: “pro 12 que pono veniunt 7; quid ponam ut veniant 21?” Et cum ita dicitur, multiplicandi sunt insimul numeri extremi, scilicet 12 per 21, et summa dividenda est per reliquum numerum.

62 De arbore, de qua cum extrahitur \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) remanent 21¹⁶¹

Item est arbor, cuius \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) latet sub terra; residuum vero quod est super terram est palmi 21. Fac

palmi partes 21 5 \({2 \over 5}\) 50 12

¹⁶² duodecimas ex ipsa arbore: erunt partes equales 12, ex quibus abice \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) ipsarum, scilicet partes septem; remanebunt partes 5, que ponuntur esse palmis 21. Quare sicut partes 5 sunt ad 21, ita partes 12 erunt ad longitudinem arboris; quare multiplicationem de 12 in 21 divides per 5: exibunt palmi \({2 \over 5}\) 50. 63 Vel per secundum modum pone ipsam arborem esse palmorum 12, de quibus eiectis \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) eorum, scilicet 7, remanebunt palmi 5 super terram. Quare dices: pro 12 que pono veniunt 5; quid ponam ut veniant 21? Multiplica itaque extrema, scilicet 12 per 21, et divide per numerum medium: venient similiter \({2 \over 5}\) 50. 64 Que si probare vis, quia extractis \({7 \over 12}\) ex quacumque re¹⁶³ remanent \({5 \over 12}\) eiusdem rei, quare accipe \({5 \over 12}\) de \({2 \over 5}\) 50, quas dupliciter accipere potes. Accipe primum \({5 \over 12}\) de 48, scilicet \({1 \over 12}\) de 48, que sunt 4, quincupla: erunt 20. Post hec extrahe 48 de \({2 \over 5}\) 50; remanent \({2 \over 5}\) 2, de quibus fac quintas; erunt quinte 12, de quibus accipe iterum¹⁶⁴ \({5 \over 12}\); erunt quinte 5, scilicet 1, quod adde cum 20 inventis: erunt 21, et hoc volumus, ut extractis¹⁶⁵ \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) de \({2 \over 5}\) 50 remaneant 21. 65 Vel aliter: multiplica \({2 \over 5}\) 50 per 5 que sunt super 12: erunt 252, quibus divisis per 12 veniunt 21. Vel de¹⁶⁶ \({2 \over 5}\) 50 fac quintas: erunt quinte 252, de quibus abice \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) earum, scilicet 84 et 63: remanent quinte 105 unius palmi que sunt super terram, hoc est palmi 21.

66 De arbore vel numero, super quem si additum fuerit \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) erunt 38

Item si dixeris quod addita \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) ipsius arboris super arborem erunt 38, pones etiam supradicta

veniunt pono 19 12 veniant   38 24

¹⁶⁷ demonstratione secunde regule ut illa arbor sit 12, de quibus accipe \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\), scilicet 7, et adde super 12: erunt 19. Que cum vellent esse 38, dices: pro 12 que pono pro quantitate arboris veniunt in summa 19; quid ponam ut venient in eadem summa 38? Multiplicabis enim 12 per 38, scilicet primum numerum per ultimum, et divide per 19, scilicet per secundum. 67 Sed prius divide¹⁶⁸ 38 per 19; exibunt 2, que multiplica per 12: exibunt 24 pro ipsius arboris longitudine. Verbi gratia: \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) de 24 sunt 14, quibus additis cum 24 faciunt 38, et hoc volumus. Illud enim idem esset si dixeris: est numerus, super quem si addideris \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) ipsius fient¹⁶⁹ 38.

68

De arbore vel de numero, super quem si addatur residuum de \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) ipsius, surgit in 51

Rursus est arbor de qua extracta \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\), si residuum addatur super ipsam arborem surget in 51. Queritur illius arboris quantitas. Quare cum de ipsius queratur quantitate, ponatur ut ipsa sit 12, et extrahantur¹⁷⁰ inde \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\), scilicet 7; remanent 5, quibus additis cum 12 fiunt 17. Que cum vellent esse 51, dices: pro 12 que pono veniunt 17; quid ponam, ut veniant 51? Multiplica 12 per 51 et divide per 17, vel divide 51 per 17; exibunt 3, que multiplica per 12: reddent pro quantitate arboris 36. Verbi gratia: extracta \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) de 36, que sunt 21, remanent 15, quibus additis cum 36 reddunt 51, ut querebatur. Illud enim idem est si diceres: est numerus, super quem si addideris residuum de \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) ipsius surget in 51¹⁷¹.

69 De arbore vel numero, cuius \({4 \over 5}\) \({3 \over 4}\) sunt 33 plus¹⁷² arbore vel numero

Iterum est arbor, de quo acceptis \({4 \over 5}\) \({3 \over 4}\) et de collecta quantitate si extraxeris quantitatem illius

veniunt pono 11 20 veniant   33 60

¹⁷³ arboris, remanent 33. Queritur rursus quanta sit illius arboris longitudo. Et cum de ipsa queratur longitudine, pone ut ipsa sit 20, ideo quia in 20 reperiuntur \({4 \over 5}\) \({3 \over 4}\); de quibus 20 accipe \({4 \over 5}\) \({3 \over 4}\): 70 erunt 31, de quibus extrahe positum numerum pro quantitate arboris, scilicet 20; remanent 11. Que cum velint esse 33, dices¹⁷⁴: per 20 que pono in quantitate arboris perveniunt¹⁷⁵ 11; quid ponam ut perveniant 33? Multiplicabis 20 per 33 et divides per 11; quare divide 33 per 11: exibunt 3, que multiplica per 20: exibunt 60, et tot palmorum est arbor illa. 71 Verbi gratia \({3 \over 4}\) de 60 sunt 45, et \({4 \over 5}\) de 60 sunt 48, quibus insimul iunctis faciunt 93; de quibus si extraxeris quantitatem arboris, idest 60, remanebunt 33 ut quesitum est. Est enim illud idem si diceret¹⁷⁶: est numerus, de quo si acceperis \({4 \over 5}\) \({3 \over 4}\) facient ultra ipsum numerum 33¹⁷⁷; qui numerus est similiter 60. Explicatis quidem arborum regulis¹⁷⁸, nunc vero ad earum consimiles accedamus.

72 De inventione cuiusdam numeri, de quo \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) ipsius sit radix eiusdem numeri

Est numerus, de quo si acceperis \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) et summam que exierit si in se ipsam multiplicaveris faciet eundem numerum, hoc est quod erit radix illius numeri. Queritur quis¹⁷⁹ sit numerus ille. Quare

veniunt pono 3249 60 veniant   60 \({\phantom{1}1~~\phantom{1}2 \over 19~~19}\) 1

¹⁸⁰ pones iterum ut sit 60; de quibus accipe \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\), que sunt 57, et multiplica ea in semetipsa: erunt 3249, que vellent esse 60. 73 Dic ergo: pro 60 que pono pro quantitate numeri veniunt 3249; quid ponam ut perveniant tantum 60? Multiplicabis itaque 60 per 60; facient 3600, que divides per regulam de 3249 que est \({1~~\phantom{1}0~~\phantom{1}0 \over 9~~19~~19}\): exibunt \({\phantom{1}1~~\phantom{1}2 \over 19~~19}\) 1, et tot est numerus ille.

74 Verbi gratia: multiplica 1 per 19 et desuper¹⁸¹ adde 2 que sunt super 19, que multiplica per alium 19 et superadde 1: erunt 400, que sunt \({1 \over 19}\) decime none, hoc est trigentesime sexagesime prime, que ad maiorem intelligentiam scribantur sic \({400 \over 361}\); de quibus accipe \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\), que sunt \({380 \over 361}\), hoc est \({20 \over 19}\); quibus in se ipsis multiplicatis reddunt eadem \({400 \over 361}\), hoc est \({\phantom{1}1~~\phantom{1}2 \over 19~~19}\) 1 ut querebamus.

75 Aliter: quia \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\), scilicet \({19 \over 20}\) ipsius numeri, in se multiplicatis faciunt ipsum numerum, invenias numerum quo multiplicato per \({19 \over 20}\) faciat 1; quem¹⁸² invenies si diviseris 1 per \({19 \over 20}\), scilicet 20 per 19, ex qua divisione perveniunt \({20 \over 19}\) que sunt radix quesiti numeri, ut diximus. Quibus in se multiplicatis faciunt \({400 \over 361}\) pro quesito numero.

76 Quod etiam demonstrabo cum figura geometrica. Adiaceat quidem linea \(AB\) pro quesito numero, super quam constituatur superficies rectiangula \(AD\), latitudinem faciens lineam¹⁸³ \(AT\), que sit 1. Quare superficies \(AD\) est numerus quesitus, quia ex \(TA\) in \(AB\) provenit numerus \(AB\), qui est numerus quesitus. Et sumatur ex numero \(AB\) numerus \(AE\), qui sint \({19 \over 20}\) numeri \(AB\). 77 Et quia ex ductu \(AE\) in se proponitur provenire numerum \(AB\), manifestum est quod numerus \(AE\) maior est¹⁸⁴ unitate, cum maior sit numerus \(AB\) numero \(AE\); quare maior est \(AE\) unitate \(AT\)¹⁸⁵, et constituatur super rectam¹⁸⁶ \(AE\) tetragonum \(EZ\). Et quoniam ex ductis \({19 \over 20}\) numeri quesiti in se provenit numerus quesitus, ergo ex ductu \(AE\) in se provenit numerus \(AD\). 78 Sed ex ductu \(AE\) in se provenit tetragonum \(EZ\); ergo \(EZ\) equalis est¹⁸⁷ numero \(AD\). Ergo numerus \(EZ\) est numerus quesitus. Comuniter auferatur numerus \(AI\): remanebit numerus \(IB\)¹⁸⁸ equalis numero \(TK\). Sed¹⁸⁹ \(BI\) fit ex ductu \(EI\) in \(ID\), quia rectiangula est superficies \(BI\), et ex ductu quidem \(TI\) in \(IK\) provenit superficies rectiangula \(TK\). 79 Proportionales ergo sunt¹⁹⁰ numeri \(TI\), \(ID\), \(EI\), \(IK\), et est \(EI\) unum, cum sit equalis unitati \(AT\), et est sicut numerus \(TI\) primus ad secundum \(ID\) ita tertius \(EI\) ad quartum \(IK\); quare erit sicut \(TI\) ad \(TD\), hoc est sicut \(AE\) ad \(AB\), ita unitas \(EI\) ad numerum \(EK\), hoc est ad numerum \(AE\). Sed \(AE\) ad \(AB\) est sicut 19 ad 20. Quare et \(EI\) ad \(EK\) est sicut 19 ad 20: quare multiplicanda est unitas \(EI\) per 20 et summa est dividenda per 19, et venient \({20 \over 19}\) pro numero \(EK\), hoc est pro numero \(EA\), ut oportebat ostendere.

80 De inventione numeri cuius radix est residuum de¹⁹¹ \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) ipsius

Est numerus, de quo si extraxeris \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) et residuum¹⁹² in se ipsum multiplicaveris¹⁹³, faciet eundem

numerus 400

¹⁹⁴ numerum, hoc est quod erit radix illius numeri. Queritur quantum¹⁹⁵ sit numerus ille.

Pone ergo ut sit 60, ideo quia in 60 reperiuntur \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\); deinde accipe \({1 \over 3}\) de 60, scilicet 20, et \({1 \over 4}\) de 60, scilicet 15, et \({1 \over 5}\) de 60, scilicet 12, et \({1 \over 6}\) de 60, scilicet 10, et adde ea insimul: erunt 57, que extrahe de 60; remanent 3 que multiplica in se: faciunt 9, que 9 vellent esse 60. 81 Quare dices: pro 60 que pono veniunt 9; quid ponam ut veniant 60? Multiplicabis ergo 60 per 60 et divides per 9; exibunt 400. Sed cum regula de 9 sit \({1 \over 3}\) de \({1 \over 3}\), divide unum de illis 60 per 3: exibunt 20. Iterum divides alia 60 per alia 3 que in regula remanent de 9: exibunt similiter 20, quibus insimul multiplicatis reddunt similiter 400, et tot est numerus ille. Verbi gratia: extrahe \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) de 400, scilicet 380: remanebunt 20, que si in se multiplicaveris facient eadem¹⁹⁶ 400, ut oportet.

82 Aliter: quia extractis de quesito numero \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) eiusdem remanet \({1 \over 20}\) que est radix ipsius numeri; quare ex ducta \({1 \over 20}\) in se pervenit idem numerus. Quare invenias numerum qui cum multiplicatus fuerit per \({1 \over 20}\) unius integri, veniat 1; quem invenies¹⁹⁷ si diviseris 1 per \({1 \over 20}\), ex qua divisione proveniunt 20 que sunt radix predicti numeri, quibus in se multiplicatis reddunt 400 pro toto numero; que etiam monstrantur per figuram supradictam geometricam.

83 Inventio alterius numeri, cui cum superadditur \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) ipsius est radix numeri

Item si dictum fuerit: est numerus super quem si addideris \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) et summam collectam in se ipsam multiplicaveris, faciet eundem numerum, hoc est quod erit radix illius.

Pone itaque ut ipse numerus sit 60, super que adde \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) ipsius, id est 57; erunt 117, que multiplica in se: erunt 13689, que¹⁹⁸ vellent esse 60. Quare dicas: pro 60 que pono in quantitate numeri, veniunt 13689; quid ponam ut veniant 60? 84 Multiplicabis 60 per 60; erunt 3600, que divide

numerus \({400 \over 1521}\)

¹⁹⁹ per regulam de 13689: exibunt \({400 \over 1521}\), et tot erit numerus ille, cuius radicem etiam²⁰⁰ invenies si diviseris 1 per \({19 \over 20}\) 1; unde provenient \({20 \over 39}\) pro radice quesiti numeri, quibus in se multiplicatis reddunt \({400 \over 1521}\), ut supra.

85 De numero, cum superadditur ei residuum de \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) est radix ipsius numeri

Adhuc si dictum fuerit: est numerus, super quem si addideris residuum de \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) ipsius et summam²⁰¹ in se ipsam multiplicaveris, iterum eundem faciet numerum, hoc est quod erit radix illius.

Pone itaque ut ipse sit 60, de quo extrahe \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\): remanent 3, que adde cum 60; erunt 63, que in se multiplica²⁰²: erunt 3969, que velint esse 60. 86 Quare multiplica 60 per 60,

numerus \({400 \over 441}\)

²⁰³ erunt 3600, que divide per 3969: exibunt \({400 \over 441}\), et talis erit numerus ille. Vel adde \({1 \over 20}\) super 1, scilicet residuum de \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\); erunt \({1 \over 20}\) 1, in quibus divide 1: venient \({20 \over 21}\), que sunt radix predicti numeri²⁰⁴, quibus in se multiplicatis reddunt pro quesito numero similiter \({400 \over 441}\).

87 Rursus est numerus, de quo si acceperis \({5 \over 6}\)²⁰⁵ \({4 \over 5}\) \({3 \over 4}\) \({2 \over 3}\) et de collecta quantitate extraxeris ipsum numerum, residuumque si in se ipsum multiplicaveris, nimirum eundem faciet

numerus \({31,9 \over 41,41}\)

²⁰⁶ numerum, hoc est quod erit radix illius numeri.

Pone ut ipse sit 60, de quo accipe \({2 \over 3}\)²⁰⁷ que sunt 40, et \({3 \over 4}\) que sunt 45, et \({4 \over 5}\) que sunt 48, et \({5 \over 6}\) que sunt 50, et adde insimul: erunt 183, de quibus extrahe 60; remanent 123, que multiplica in se: erunt 15129. Quare dices: pro 60 que pono veniunt 15129; quid ponam ut veniant 60? Multiplicabis ergo 60 per 60 et divide per regulam de 15129: exibunt \({31~~\phantom{1}9 \over 41~~41}\), et tot erit numerus ille.