1174 Regula notabilis de quinque numeris ignotis reperiendis

Primus quidem cum secundo et tertio contineat quartum semel et dimidiam eius; et cum tertio et quarto contineat quintum bis et quartam eius. Cum quarto quidem et quinto contineat secundum ter et quintam eius. Cum quinto quoque et secundo contineat tertium quater et sextam eius.

Quia primus cum secundo et tertio continet quartum semel et dimidium, si ipsi tres numeri in summa sint \({1 \over 2}\) 1, quartus erit 1. 1175 Quare si summa dictorum fuerit 3, quartus erit 2; et sic quartus ex summa primi et secundi et tertii est \({2 \over 3}\). Similiter ex adiacentibus invenies quintum esse \({4 \over 9}\) ex summa primi et tertii et quarti; secundum \({5 \over 16}\) ex summa primi et quarti et quinti; tertium \({6 \over 25}\) primi et quinti et secundi. 1176 Quare pone \({2~~4~~\phantom{1}5~~\phantom{2}6 \over 3~~9~~16~~25}\), et adde 3 cum 2 que sunt super ipsa 3 prescripte virge; erunt 5, que multiplica per 4 et adde ter 9; erunt 47, que multiplica per 5 que sunt super 16 et adde ter novies sexdecim; erunt 667, que multiplica per 6 que sunt super 25: erunt 4002. 1177 Vel aliter: multiplica 6 per 16 et adde quinquies 6, que omnia per 9 et adde 4 vicibus 5 vicibus 6; quod totum per 3, addens 2 vicibus 4 vicibus 5 vicibus 6, scilicet 240: erunt similiter 4002. Deinde multiplica 3 per 16 que sunt sub virga, que per 4, que per 6: erunt 1152. 1178 Item multiplica 4 per 16 et 5 per 9; erunt 109, que per 2, que per 6 que sunt super virga; erunt 1308, que adde cum 1152 et 4002: erunt 6462, que serva. Et adde 240 inventa cum 1308: erunt 1548, que serva. Et multiplica 3 per 9, que per 16, que per 25; erunt 10800, de quibus extrahe inventa 1152 et 1308 et 240, nec non et multiplicationem de 3 que sunt sub virga in 4 ductam in 5 quam in 6 que sunt super virgam, scilicet 360: remanebunt 7740, que serva. 1179 Et quia unusquisque servatorum numerorum, scilicet 6462 et 1548 et 7740, dividitur integraliter per 18, accipe \({1 \over 18}\) ex unoquoque et habebis 359 et 86 et 430, que serva circa \({2 \over 3}\); et cresce virgulam versus dextram, reiterans in ea \({6 \over 25}\) et \({4 \over 9}\) et \({2 \over 3}\), ut hic ostenditur. Nam \({5 \over 16}\) reiterande non sunt, cum sint penultime a parte dextra. 1180 Et incipias ab 86, multiplicans ea per 25 addita in virga; venient 2150, que extrahe ex 430 ductis in 6 que sunt super ipsa 25, scilicet ex 2580; remanent 430, que multiplica per 9 addita; erunt 3870, que etiam per 3 similiter addita in virga; erunt 11610, super que adde multiplicationem de 2580 inventa in¹⁵³⁶ 4 que sunt super 9, quam in 2 que sunt super 3, scilicet 20640; erunt 32250, 1181 super que adde multiplicationem

6432   1548 \({2~~4~~\phantom{1}5~~\phantom{2}6 \over 3~~9~~16~~25}\) 7740   359   86 \({2~~4~~\phantom{1}5~~\phantom{2}6~~\phantom{2}6~~4~~2 \over 3~~9~~16~~25~~25~~9~~3}\) 430

¹⁵³⁷ de 86 predictis in 6 que sunt super 25, quam in 4, quam in 5, scilicet in¹⁵³⁸ coniunctum de 3 que sunt sub virga a parte dextra cum 2 que sunt super ea, que multiplicatio est 10320: erunt 42570, que sunt primus numerus. Deinde multiplica 359 posita super \({2 \over 3}\) per eadem 25; erunt 8975, de quibus extrahe multiplicationem de 430 servatis sub \({2 \over 3}\) in 6 que sunt super 25, scilicet 2580; remanent 6395, que multiplica per 9: erunt 57555. 1182 De quibus extrahe multiplicationem de 2580 in 4 que sunt super 9, scilicet 10320; remanent 47235, que multiplica per 3; erunt 141705, de quibus extrahe multiplicationem de 10320 in 2 que sunt super 3, scilicet 20640; remanent 121065, de quibus etiam extrahe multiplicationem de 359 in 6 que sunt super 25, quam in 4 que sunt super 9, quam in 5, scilicet in coniunctum¹⁵³⁹ de 3 et 2, quorum multiplicationum summa est 43080: remanent 77985, que sunt secundus numerus. 1183 Sed ut habeas ipsum et primum numerum in minoribus numeris, divide utrumque per 9 et habebis primum numerum 4730, secundum 8665. Deinde ut inveniamus tertium numerum, multiplica primum numerum, scilicet 4730, per 359, et secundum per 86, et coniunctum ex his duabus multiplicationibus divide per 430: exibunt 5682. Ex quorum trium numerorum summa accipe \({2 \over 3}\), et habebis pro quarto numero 12718, quo addito cum tertio numero et cum primo, et de eorum summa acceptis \({4 \over 9}\), reddent pro quinto numero 10280.