1032 Quattuor homines habent denarios; ex quibus primus dat secundo quantum ipse secundus habet et dimidium eius. Secundus dat tertio quantum ipse tertius habet et insuper tertiam eius. Tertius dat quarto homini quantum ipse quartus habet et quartam eius. Quartus quidem homo¹⁴³⁴ dat primo quantum ipsi remansit post dationem quam fecit secundo homini et insuper quintam eius; et habuerunt omnes equaliter.

1033 Quoniam primus dat secundo quantum ipse secundus habet et dimidium eius, ergo si secundus habet 2, primus dat ei 3; et sic habet 5. Quare hoc quod secundus habuit antea fuit \({2 \over 5}\) ex hoc quod habuit postea. Similiter secundum hanc investigationem tertius homo habuit primum \({3 \over 7}\) ex hoc quod habuit postea; 1034 et quartus homo habet¹⁴³⁵ \({4 \over 9}\); et primo remanserunt \({5 \over 11}\) ex hoc quod habuit postea, post dationem videlicet quam fecerat secundo homini. Pones ergo in ordinem \({2 \over 5}\) et \({3 \over 7}\) et \({4 \over 9}\) et \({5 \over 11}\); et post ipsas pone \({1 \over 4}\), ideo quia unusquisque post factas dationes inter se habuit quartam partem totius summe denariorum ipsorum quattuor hominum, sic¹⁴³⁶: \({1 \over 4}\) \({5 \over 11}\) \({4 \over 9}\) \({3 \over 7}\) \({2 \over 5}\). Deinde extrahe 5 de 11 que sunt sub ipsis 5; remanent 6, que multiplica per 1 quod est super 4; erunt 6, que adde cum multiplicatione de 1 quod est super 4 in 11; erunt 17, que multiplica per 4 que sunt super 9; erunt 68, que per 7, quod totum per 5 que sunt sub virgis: erunt 2380, et tot habuit quartus homo. 1035 Rursus accipe \({4 \over 9}\) et extrahe 4 de 9; remanent 5, per que multiplica 17 inventa; erunt 85, super que adde multiplicationem de 1 quod est super 4 in 11 ductam in 9, scilicet 99; erunt 184, que multiplica per 3 que sunt super 7, quod totum per 5 prime virge: erunt 2760, et tot habuit tertius homo. Rursus accipe \({3 \over 7}\) et extrahe 3 de 7; remanent 4, per que multiplica 184 inventa; erunt 736, super que adde multiplicationem de 1 quod est super 4 in 11 vicibus 9 vicibus 7, hoc est 693; erunt 1429, que multiplica per 2 que sunt super 5 prime virge: erunt 2858, et tot habuit secundus homo. 1036 Rursus accipe \({2 \over 5}\) et extrahe 2 de 5; remanent 3, per¹⁴³⁷ que multiplica 1429 inventa; erunt 4287, super que adde multiplicationem de 1 quod est super 4 in 5 que sunt super 11 vicibus 9, vicibus 7, vicibus 5 que sunt sub virgis, scilicet 1575: erunt 5862, et tot habuit primus homo. 1037 Additis ergo inventis quantitatibus quattuor hominum reddent pro tota summa eorum 13860, que summa invenitur ex multiplicatione etiam omnium numerorum qui sunt sub virgis, videlicet de 4 in 11 vicibus 9 vicibus 7 vicibus 5. Redige itaque inventos numeros in libris et soldis: erit summa eorum libre 57 et soldi 15. Et denarii primi hominis sunt libre 24 et soldi 8 et denarii 6; denarii quidem secundi hominis sunt libre 11, soldi 18 et denarii 2¹⁴³⁸; denarii siquidem tertii hominis sunt libre 11, soldi 10; denarii quoque quarti hominis sunt libre 9, soldi 18 et denarii 4.

1038 Et si proponatur post dationes predictas illis quattuor hominibus inequaliter remanere secundum aliquam datam proportionem, ut dicamus illud quod remansit primo¹⁴³⁹ fuit tantum et quarta ex hoc quod remansit secundo, et illud quod remansit secundo fuit tantum et tertia ex hoc quod remansit tertio homini; item illud quod remansit tertio homini fuit tantum et dimidium ex eo quod remansit quarto homini, invenias quidem numeros quattuor qui sunt in dicta proportione: erunt 5 et 4 et 3 et 2. 1039 Nam 5 est quantum 4 et quartam eius, et 4 quantum 3 et tertiam¹⁴⁴⁰ eius, et 3 quantum 2 et dimidium eius. Adde itaque hos¹⁴⁴¹ quattuor numeros in unum; erunt 14, a quibus denomina suprascriptos numeros: exibunt \({2 \over 14}\) et \({3 \over 14}\) et \({4 \over 14}\) et \({5 \over 14}\), que sunt partes que ex tota summa ipsi quattuor habuerunt post donationes supradictas, videlicet primus habuit ex tota summa \({5 \over 14}\), secundus \({4 \over 14}\), et cetera. Pone itaque has quattuor fractiones post alias superius inventas, scilicet post \({5 \over 11}\) \({4 \over 9}\) \({3 \over 7}\) \({2 \over 5}\).

1040 His itaque per ordinem positis, incipies a \({5 \over 11}\): extrahes 5 de 11; remanent 6, que multiplica per 5 que sunt super 14; faciunt 30, que adde cum multiplicatione de 2 que sunt super 14 in 11; erunt 52, que pone sub \({5 \over 11}\), et multiplica ea per 4 que sunt super 9, vicibus 7 vicibus 5, que 7 et 5 sunt sub virgis: erunt 7280, et tot habuit quartus homo. 1041 Deinde accedes ad \({4 \over 9}\): extrahes 4 de 9; remanent 5, per que multiplica inventa 52; erunt 260, quibus adde multiplicationem de 3 que sunt super 14 in 11 vicibus 9; erunt 557, que pone sub \({4 \over 9}\), et multiplica per 3 que sunt super 7, vicibus 5 que sunt sub prima virga: erunt 8355, et tot habuit tertius homo. 1042 Modo accedas ad \({3 \over 7}\): extrahes 3 de 7; remanebunt 4, per que multiplica 557 inventa, et superadde multiplicationem de 4 que sunt super 14 in 11 vicibus 9 vicibus 7; erunt 5000, que pone sub \({3 \over 7}\), et multiplica ea per 2 que sunt super 5 prime virge: erunt 10000, et tot habuit secundus homo. 1043 Deinde accedas ad \({2 \over 5}\): extrahes 2 de 5; remanent 3, que

quartus tertius secundus primus         7280 8355 10000 22875 \({2 \over 14}\) \({3 \over 14}\) \({4 \over 14}\) \({5 \over 14}\) \({5 \over 11}\) \({4 \over 9}\) \({3 \over 7}\) \({2 \over 5}\)         52 557 5000

¹⁴⁴² multiplica per 5000, et adde multiplicationem de 5 que sunt super 14 in 5 que sunt super 11, vicibus 9 vicibus 7 vicibus 5: erunt 22875, et tot habuit primus homo. Item multiplica 14 per 11 vicibus 9 vicibus 7 vicibus 5, et habebis summam eorum. 1044 Et quoniam unusquisque inventorum numerorum per 5 integraliter dividi potest, accipiatur quinta pars uniuscuiusque, ut habeamus in minoribus numeris denarios eorum; eruntque denarii primi hominis 4575, que sunt libre 19 et soldus 1 et denarii 3; secundi 2000, qui sunt libre 8 et soldi 6 et denarii 8; tertii 1671, qui sunt libre 6 et soldi 19 et denarii 3; quarti quidem hominis denarii erunt 1456, scilicet libre 6 et soldus 1 et¹⁴⁴³ denarii 4. Summa eorum libre 40 et soldi 8 et denarii 6.

1045 Nam si unde hec regula procedat noscere desideras, considera partem quam habuit primus homo de tota summa eorum, finitis dationibus inter eos. Propositum quidem est ipsum habuisse \({5 \over 14}\) totius summe; considera ergo unde habuit ipsos \({5 \over 14}\)¹⁴⁴⁴: dederat enim secundo homini suam et remansit ei aliquid, et accepit a quarto homine quantum eidem primo remanserat et insuper quintam eius. 1046 Quare si primus post dationem quam fecit secundo homini habuit 5, et quartus homo dedit ei 6, scilicet 5 et quintam eorum, et sic habuit 11, que 11 fuerunt \({5 \over 14}\) totius summe; ergo ex ipsis \({5 \over 14}\) fuerunt \({5 \over 11}\) ex denariis primi et \({6 \over 11}\) ex denariis quarti hominis. 1047 Nam \({5 \over 11}\) ex \({5 \over 14}\) (qui sic scribuntur: \(\textrm{o}{\phantom{1}5~~\phantom{1}5 \over 14~~11}\)¹⁴⁴⁵) ex tota summa sunt¹⁴⁴⁶ \({25 \over 154}\) eiusdem summe, et \({6 \over 11}\) ex \({5 \over 14}\) totius summe, que quartus homo dedit primo homini, sunt \({30 \over 154}\); hoc est quod proportio denariorum quos quartus homo dedit primo ad totam summam est sicuti 30 ad 154, et hoc est quod superius multiplicavimus 5 que sunt super 14 per 6 que remanserunt ex 11 extractis inde 5 que sunt super 11, cum habuimus 30. 1048 Propositum item est quarto homini remansisse \({2 \over 14}\)¹⁴⁴⁷ ex tota summa; fuit ergo proportio ex hoc quod remansit ei ad totam summam sicut 2 est ad 14. Nam sicut 2 est ad 14, ita 11 vicibus 2 erit ad 11 vicibus 14, hoc est 22 ad 154; et hoc est quod multiplicavimus 2 que sunt super 14 per 11 et habuimus 22. 1049 Addita ergo proportione quam quartus dedit primo homini cum¹⁴⁴⁸ proportione quam ei remansit, erit totum hoc quod quartus homo habuit cum datione quam ei fecit tertius homo ad totam summam sicut 52 est ad 154, scilicet ad numerum qui egreditur ex multiplicatione de 14 vicibus 11; et hoc fecimus superius, cum addimus 30 cum 22. 1050 Nam in hac proportione fuerunt ex denariis tertii hominis \({5 \over 9}\), et reliqui \({4 \over 9}\) fuerunt ex denariis quarti hominis, quia¹⁴⁴⁹ tertius homo dedit quarto quantum quartus habebat et quartam partem eius. Unde si ex dicta proportione, scilicet de \({52 \over 154}\), accipiemus \({4 \over 9}\), habebimus denarios quarti hominis. 1051 Nam \({4 \over 9}\) ex \({52 \over 154}\) accipiuntur sic: multiplicantur 4 per 52; faciunt 208, que denominanda sunt a numero qui egreditur ex multiplicatione de 154 in 9, hoc est a numero qui egreditur ex 14 vicibus 11 vicibus 9, scilicet a 1386. Ergo proportio denariorum quarti hominis ad totam summam est sicut 208 ad 1386, et ideo superius multiplicavimus 52 per 4 que sunt super 9. 1052 Et quoniam denarii quarti hominis ad totam summam sunt sicut 208 ad 1386, erunt ergo denarii quarti hominis ad totam summam sicut quinquies septuplum de 208 ad quinquies septuplum de 1386. Nam quinquies septuplum de 208 est illud quod superius fecimus, quando multiplicavimus 52 per 4 que sunt super 9, scilicet 208, vicibus 7 vicibus 5, et habuimus 7280 pro denariis quarti hominis. 1053 Similiter quinquies septuplum de 1386 est illud quod egreditur ex multiplicatione de 14 vicibus 11 vicibus 9 vicibus 7 vicibus 5¹⁴⁵⁰, et hoc est quod fecimus cum habuimus totam summam, scilicet 48510. Et quoniam est sicut 7280¹⁴⁵¹ ad 48510 ita denarii quarti hominis ad totam summam, ideo si summa est 48510, et quartus homo habebit¹⁴⁵² 7280, ut inventum est supra.

1054 Nunc vero accedamus ad inventionem denariorum tertii hominis. Invenimus enim superius ipsum habere \({5 \over 9}\) in suprascriptis \({52 \over 154}\). Quare multiplicavimus superius 5 per 52¹⁴⁵³, scilicet per 9 extractis inde 4 que sunt¹⁴⁵⁴ super 9; fuit ergo proportio denariorum quos tertius homo dedit quarto homini sicut 260 est ad numerum qui egreditur ex multiplicatione de 154 in 9, scilicet ad eum qui egreditur ex multiplicatione de 14 in 11 vicibus 9. 1055 Et quia eidem¹⁴⁵⁵ tertio homini remanserunt post hanc dationem \({3 \over 14}\) totius summe, fuit proportio ipsius remansionis ad totam summam sicut 3 ad 14. Nam sicut 3 ad 14, ita multiplicatio de 3 in 11 vicibus 9 est¹⁴⁵⁶ ad multiplicationem de 14 in 11 vicibus 9. Multiplicatio quidem de 3 in 11 vicibus 9 facit 297; ergo proportio denariorum qui remanserunt tertio homini post dationem quam fecit quarto homini ad totam summam est sicut 297 ad numerum qui egreditur ex multiplicatione de 14 in 11 vicibus 9. 1056 Quare proportio hec cum proportione dationis quam dedit quarto homini est ad totam summam sicut 297 et 260, hoc est sicut 557¹⁴⁵⁷ ad numerum qui egreditur ex multiplicatione de 14 in 11 vicibus 9; et hoc fecimus superius cum addidimus¹⁴⁵⁸ 297 cum 260 et posuimus summam¹⁴⁵⁹ eorum, scilicet 557, sub \({4 \over 9}\). 1057 In hac enim proportione, scilicet in qua 557 sunt ad numerum qui egreditur ex multiplicatione de 14 in 11 vicibus 9, est illud quod habuit tertius homo quando recepit¹⁴⁶⁰ dationem quam ei fecit secundus homo. Fuit datio quam secundus fecit tertio quantum tertius habebat et tertiam eius; ergo si tertius homo habebat 3, secundus dedit ei 4. Quare ex predicta proportione \({4 \over 7}\) fuerunt ex denariis secundi et \({3 \over 7}\) ex denariis tertii. 1058 Et ideo accipiende sunt \({3 \over 7}\) ex dicta proportione, scilicet multiplicanda sunt 557 per 3: erunt 1671, et numerus qui egreditur ex multiplicatione de 14 in 11 vicibus 9 multiplicandus est per 7, et habebitur proportio denariorum tertii hominis ad totam summam sicut 1671 sunt ad numerum qui egreditur ex multiplicatione de 14 in 11 vicibus 9 vicibus 7¹⁴⁶¹. Ideo multiplicationem de 1671 multiplicavimus per 5 et habuimus pro denariis tertii hominis 8355.

1059 Nunc vero accedamus ad inventionem denariorum secundi hominis. Inventum est quidem ipsum habere \({4 \over 7}\) ex proportione quam habet 557 ad numerum qui egreditur ex 14 vicibus 11 vicibus 9, propter dationem quam fecit tertio homini; ergo proportio ipsius dationis est ad totam summam sicut quater 557 ad numerum qui egreditur ex 14 vicibus 11 vicibus 9 vicibus 7. 1060 Et ideo multiplicavimus superius 557 per 4 que remanent de 7 extractis inde 3 que sunt super 7, et habuimus 2228; ergo datio quam secundus fecit tertio est ad totam summam sicut 2228 sunt ad numerum qui egreditur ex 14 vicibus¹⁴⁶² 11 vicibus 9 vicibus 7. Et quoniam post hanc dationem secundo remanserunt \({4 \over 14}\), fuit illa remansio ad totam summam sicut 4 sunt ad 14. 1061 Nam sicut 4 sunt ad 14, ita 4 vicibus 11 vicibus 9 vicibus 7, scilicet 2772, sunt ad 14 vicibus 11 vicibus 9 vicibus 7. Ergo proportio denariorum qui remanserunt secundo homini cum eis quos dedit tertio est ad totam summam sicut 2228 et 2772, hoc est 5000, ad numerum qui egreditur ex 14 vicibus 11 vicibus 9 vicibus 7. Et ideo posuimus superius 5000 sub \({3 \over 7}\); habuit enim secundus hanc proportionem cum datione quam ei dederat primus, que datio fuit quantum ipse secundus habebat et dimidium eius. 1062 Quare ex dicta proportione \({3 \over 5}\) fuerunt ex denariis primi hominis et \({2 \over 5}\) ex denariis secundi; ergo accipiende sunt \({2 \over 5}\) ex dicta proportione, hoc est multiplicanda sunt 5000 per 2 que sunt super 5: erunt 10000. Erunt itaque denarii secundi hominis ad totam summam sicut 10000 sunt ad numerum qui egreditur ex 14 vicibus 11 vicibus 9 vicibus 7 vicibus 5. Nam numerus qui egreditur ex his est¹⁴⁶³ summa: quare et 10000¹⁴⁶⁴ erunt denarii secundi hominis.

1063 Et quoniam, ut dictum est, primus habuit \({3 \over 5}\) in proportione quam 5000 habent ad 14 vicibus 11 vicibus 9 vicibus 7 propter dationem quam fecit secundo homini, ergo multiplicanda sunt 5000 per 3: erunt 15000. Ergo datio quam primus fecit secundo est ad totam summam sicut 15000 sunt ad numerum qui egreditur ex 14 vicibus 11 vicibus 9 vicibus 7 vicibus 5. 1064 Quare hoc quod dedit primus secundo fuit 15000, que addenda sunt cum his que eidem primo remanserunt post ipsam dationem¹⁴⁶⁵. Quam remansionem invenimus esse superius \({5 \over 11}\) ex \({5 \over 14}\) totius summe, hoc est sicut quinquies quinque sunt ad 14 vicibus 11, ita illa remansio est ad totam summam. 1065 Nam sicut quinquies quinque sunt ad 14 vicibus 11, ita quinquies quinque vicibus 9 vicibus 7 vicibus 5 sunt ad 14 vicibus 11 vicibus 9 vicibus 7 vicibus 5, scilicet ad totam summam; et ideo multiplicavimus superius 5 que sunt super 14 per 5 que sunt super 11, vicibus 9 vicibus 7 vicibus 5; et habuimus 7875 pro eo quod remansit primo post dationem quam fecit secundo; quibus additis cum 15000 que dedit secundo reddunt 22875 pro denariis primi hominis.

1066 Rursus si proponatur quod unusquisque illorum quattuor hominum suam dationem reliquis tribus per ordinem fecisset, et in fine illarum quattuor dationum equaliter habuissent; quoniam primus reliquis tribus dedit quantum ipsi habebant et dimidium eius, ergo si ipsi tres habebant 2 primus dedit eis 3; et sic illud quod habuerunt antea fuit \({2 \over 5}\) ex hoc quod habuerunt postea. 1067 Quare servabis \({2 \over 5}\) et invenies eodem modo \({3 \over 7}\) et \({4 \over 9}\) et \({5 \over 11}\), et pones ea¹⁴⁶⁶ cum \({1 \over 4}\) propter quartam partem quam in fine habuisse unusquisque proponitur: \({1 \over 4}\) \({5 \over 11}\) \({4 \over 9}\) \({3 \over 7}\) \({2 \over 5}\). Et incipies a \({5 \over 11}\), extrahens 5 de 11; remanent 6, que multiplica per 4 que sunt sub virga, et addes multiplicationem de 1 quod est super ipsa 4 in 5 que sunt super 11: erunt 29. 1068 Multiplica ergo 29 per 4 que sunt super 9, que per 3 que sunt super 7, que per 2 que sunt super 5: erunt 696, et tot habuit quartus homo. Item extrahe 4 de 9; remanent 5, que serva, et multiplica 4 que sunt sub virga per 11, que per 5 servata: erunt 220, quibus superadde multiplicationem de 1 quod est super 4 in 5 que sunt super 11, que per 4 que sunt super 9; erunt 240, que per 3, que per 2 que sunt super reliquis fractionibus: erunt 1440, et tot habuit tertius. 1069 Rursus incipias a 4 que sunt in capite virge, multiplicans ipsa per 11 vicibus 9 vicibus 4; per ipsa videlicet 4 que remanent de 7 extractis inde 3 que sunt super 7; erunt 1584, quibus adde multiplicationem de 1 in 5 vicibus 4 vicibus 3 que sunt super virgis; erunt 1644, que multiplica per 2 que sunt super 5: erunt 3288, et tot habuit secundus. 1070 Adhuc incipias a 4 vicibus 11 vicibus 9 vicibus 7, que per 3 que restant ex 5 extractis inde 2; erunt 8316, quibus superadde 120 que egrediuntur ex multiplicatione omnium numerorum qui sunt super virgis: erunt 8436, et tot habuit primus homo.

1071 Et si in fine dationum

\({2 \over 14}\) \({3 \over 14}\) \({4 \over 14}\) \({5 \over 14}\) \({5 \over 11}\) \({4 \over 9}\) \({3 \over 7}\) \({2 \over 5}\)

¹⁴⁶⁷ suprascriptarum primo remanserit \({5 \over 14}\) totius summe, secundo \({4 \over 14}\), tertio \({3 \over 14}\), quarto \({2 \over 14}\), scribe questionem in hunc modum. Post hec extrahes 5 de 11; remanent 6, que multiplica per 14 et adde multiplicationem de 2 que sunt super 14 in 5 que sunt super 11; erunt 94, que multiplica per 4 que sunt super 9, que per 3, que per 2 que sunt super virgas¹⁴⁶⁸: erunt 2256, et tot habuit quartus homo. 1072 Rursus incipe a \({3 \over 14}\), multiplicans 14 per 11 vicibus 5, que 5 restant de 9 extractis ex ipsis 4 que sunt super 9; erunt 770, super que adde multiplicationem de 3 que sunt super 14 in 5 que sunt¹⁴⁶⁹ super 11, vicibus 4 que sunt super 9; erunt 830, que multiplica per 3 que sunt super 7, que per 2 que sunt super 5: erunt 4980, et tot habuit tertius homo. 1073 Nunc incipias a \({4 \over 14}\), multiplicans 14 per 11 vicibus 9 vicibus 4, que 4 remanent de 7 extractis inde 3 que sunt super 7; erunt 5544, super que adde multiplicationem de 4 que sunt super 14 in 5 que sunt super 11, in 4 que sunt super 9, et in 3 que sunt super 7, scilicet 240; erunt 5784, que multiplica per 2 que sunt super 5: erunt 11568, et tot habuit secundus. 1074 Deinde incipias a \({5 \over 14}\), multiplicans 14 per 11 vicibus 9 vicibus 7 vicibus 3, que 3 remanent ex 5 extractis inde 2; erunt 29106, quibus superadde 5 que sunt super 14, vicibus 5 que sunt super 11, vicibus 4 que sunt super 9, vicibus 3 que sunt super 7, vicibus 2 que sunt super 5: erunt 29706¹⁴⁷⁰, et tot habuit primus homo.

1075 Investigatur hec regula sic: quoniam quartus homo, qui ultimam fecit dationem, dedit reliquis tribus quantum ipsi habebant et quintam eius, et ei remansit \({2 \over 14}\) totius summe, ut propositum est, ergo ex \({12 \over 14}\), scilicet ex hoc quod ipsi tres homines habuerunt, ipse quartus homo dedit \({6 \over 11}\). Sed \({6 \over 11}\) ex \({12 \over 14}\) totius summe sunt sicut 12 vicibus 6 ad numerum qui egreditur ex 14 vicibus 11. 1076 Et \({2 \over 14}\)¹⁴⁷¹ totius summe que remanent quarto homini post dationem suam sunt ad totam summam sicut est multiplicatio de 2 in 11 ad multiplicationem de 14 in 11; ergo hoc quod quartus homo habebat quando suam dationem reliquis fecit fuit ad totam summam sicut 12 vicibus 6 et 2 vicibus 11 sunt ad 14 vicibus 11. 1077 Sed 2 vicibus 11 sunt quantum 2 vicibus 6 cum 2 vicibus 5, et 12 vicibus 6 cum 2 vicibus 6 sunt quantum 14 vicibus 6; ergo illud quod habuit quartus homo quando suam dationem fecit fuit ad totam summam sicut 14 vicibus 6 et 2 vicibus 5 sunt ad 14 vicibus 11. Et hoc fecimus superius, quando multiplicavimus 14 vicibus 6, et addidimus multiplicationem de 2 que sunt super 14 in 5 que sunt super 11, et sic habuimus 94. 1078 Ergo illud quod habuit quartus homo quando fecit dationem suam fuit ad totam summam sicut 94 est ad numerum qui egreditur ex 14 vicibus 11. Sed hoc habuit ipse, cum iam receperat tres dationes ab aliis. 1079 Unde incipiamus ab ultima datione quam fecit sibi tertius homo, qui dedit ei quantum ipse habebat et quartam eius; hoc est si quartus homo¹⁴⁷² habuit tunc 4, et ille tertius dedit ei 5; ergo quartus homo habebat \({4 \over 9}\) ex dicta proportione, scilicet ex ea quam habet 94 ad 14 vicibus 11, quando accepit dationem a tertio homine. 1080 Nam proportio de \({4 \over 9}\) dicte proportionis est ad totam summam sicut 94 vicibus 4 sunt ad 14 vicibus 11 vicibus 9; et hoc est quod superius fecimus quando multiplicavimus 94 per 4 et habuimus 376; ergo proportio denariorum quos habebat quartus homo antequam reciperet dationem secundi hominis fuit ad totam summam sicut 376 sunt ad 14 vicibus 11 vicibus 9. Ex qua proportione fuerunt secundi hominis \({4 \over 7}\), quia dederat eidem quarto homini quantum ipse habebat et tertiam eius. 1081 Ergo relique \({3 \over 7}\) fuerunt quarti hominis, quas habuit cum datione quam fecit ei primus homo, que datio fuit \({3 \over 5}\) ex ipsis \({3 \over 7}\); ergo relique \({2 \over 5}\) ex tribus septimis ex dicta proportione, scilicet ex ea quam habet 376 ad 14 vicibus 11 vicibus 9, fuerunt denarii quarti hominis. Nam \({2 \over 5}\) ex \({3 \over 7}\) de 376 sunt ad totam summam sicut numerus qui egreditur de 376 vicibus 3 vicibus 2 ad numerum qui egreditur ex 14 vicibus 11 vicibus 9 vicibus 7 vicibus 5. 1082 Sed quia summam volo esse numerum qui egreditur ex 14 vicibus 11 vicibus 9 vicibus 7 vicibus 5, ideo numerus quarti hominis erit 2256, qui egreditur ex multiplicatione de 94 vicibus 4 vicibus 3 vicibus 2, scilicet de 376 vicibus 3 vicibus 2, ut superius fecimus. Simili quoque modo possunt investigari denarii reliquorum trium hominum, etiam et omnes consimiles questiones.