1240 Incipit pars nona¹⁵⁷⁶ de duplicatione scacherii et quorundam aliarum regularum

Duplicatio quidem scacherii duplici modo proponitur; quorum unus est cum sequens punctum sui antecedentis duplum sit, alius cum sequens punctum omnium antecedentium punctorum duplum esse proponatur. Unde qualiter utraque duplicatio fieri debeat, ad presens ostendere procuramus. 1241 Prima namque duplicatio duplici modo fieri potest, videlicet si de puncto in punctum duplicando usque ad ultimum punctum egrediendo operabimur. Alius modus est ut duplices tantum primum punctum et habebis duo, que duo multiplica in se: erunt 4¹⁵⁷⁷, que 4 sunt 1 magis numero duplicationis duorum punctorum. 1242 Verbi gratia: in primo puncto ponitur¹⁵⁷⁸ 1; in secundo 2, quibus iunctis faciunt 3, quibus tribus suprascripta 4 sunt 1 plus. Quibus 4 in se multiplicatis faciunt 16, qui numerus est uno magis duplicatione dupli duorum punctorum, videlicet de punctis 4. Verbi gratia: in primo est 1, in secundo 2, in tertio 4, in quarto 8, quibus insimul iunctis faciunt 15, que sunt 1 minus de 16. 1243 Item 16 in se multiplica: faciunt 256, que sunt 1 plus numero duplicationis dupli quattuor punctorum suprascriptorum, scilicet de punctis 8 que primam scacherii obtinent lineam. Verbi gratia: in primo est 1, in secundo 2, in tertio 4, in quarto 8, in quinto 16, in sexto 32, in septimo 64, in octavo 128; quibus insimul iunctis faciunt 255, quorum 255 suprascripta 256 sunt 1 plus, ut prediximus. 1244 Quare multiplicatis 256 in se faciunt 65536, que sunt 1 magis duplicatione dupli unius linee, scilicet de punctis 16. Propter eadem ergo multiplica 65536 in se: faciunt 4294967296, que similiter sunt uno magis numero duplicationis dupli duarum linearum, videlicet de punctis 32, que dimidium obtinent scacherii. 1245 Unde multiplica 4294967296 in se: reddunt 18446744073709551616, que sunt 1 magis duplicatione totius scacherii; quo numero in se ipso multiplicato, reddunt 1 magis duplicatione duorum scacheriorum, scilicet 340-282-366-920-938-463-463-374-607-431-768-211-456; et sic multiplicando possemus procedere in infinitum.

1246 Sed cum numerus duplicationis scacherii pro¹⁵⁷⁹ multitudine intelligi nequeat, qualiter apertius intelligi possit ostendere procuramus. Sumantur bizantii 65536 qui colliguntur ex duplicatione duarum linearum, scilicet 16 punctorum, et impleatur ex his arca una. 1247 Et eas cum ipsa arca duplicando per ordinem, et sic habebimus in septimo

civitates 65536 domus 65536 arce 65536 bizantii 65536

¹⁵⁸⁰ decimo puncto, videlicet in primo puncto tertie linee, arcas duas, in¹⁵⁸¹ secundo eiusdem linee arcas 4, in tertio 8, in quarto 16, in quinto 32, in sexto 64, in septimo 128, in ultimo eiusdem linee 256. 1248 In primo quarte linee 512, in secundo 1024, in tertio 2048, in quarto 4096, in quinto 8192, in sexto 16384, in septimo 32768, in ultimo habebis arcas 65536. Ex quibus si unam impleverimus domum, habebimus in primo puncto quinte linee domos 2, in secundo 4, in tertio 8; et sic duplicando per ordinem habebimus in ultimo puncto sexte linee domos 65536. 1249 Ex quibus si unam fecerimus civitatem, et per reliqua puncta iverimus duplicando, habebimus in ultimo puncto scacherii civitates 65536; ergo summa totius scacherii ascendit in civitates 65536, ex quibus unaquaque habet domos 65536, et in unaquaque domo sunt arce 65536, et in unaquaque arca sunt bizantii 65536, preter¹⁵⁸² quod in una arca earum oportet habere bizantium 1 minus supradicta demonstratione.

1250 Et si cum granis frumenti ipsum scacherium duplicare volueris et ex his quot naves onerate exeant, quarum unaquaque haberet modia 500 pisanos, quorum quodlibet est sextaria 24, quorum quodlibet ponderat libras 140, quarum unaquaque ponderat uncias 12, et¹⁵⁸³ unaquaque uncia ponderat denarios 25 de cantera, quorum unusquisque ponderat carrubas 6, quarum unaqueque ponderat grana frumenti 4. 1251 Disponantur hee omnes sub quadam virgula sic per ordinem \({1~~0~~\phantom{2}0~~\phantom{1}0~~\phantom{1}0\phantom{0}~~\phantom{2}0~~\phantom{5}0\phantom{0} \over 4~~6~~25~~12~~140~~24~~500}\); et numerum scacherii, scilicet 18446744073709551615, divides per suprascriptas partes que sunt sub virgula, et quicquid super 4 que sunt in capite virgule remanserit erunt grana, 1252 et quidquid supra 6 remanserit erunt carrube, et quicquid supra 25 erunt denarii de cantera, et quicquid supra 12 erunt uncie, et quicquid supra 140 erunt libre, et quicquid supra 24 erunt sextaria, et quicquid supra 500 remanserit erunt modia. 1253 Numerus vero qui ex divisione superaverit erit numerus navium oneratarum, ut hic ostenditur: \({3~~3~~\phantom{2}0~~\phantom{1}6~~115~~13~~123 \over 4~~6~~25~~12~~140~~24~~500}\) 1-525-028-445¹⁵⁸⁴; qui navium numerus quam infinitus et innumerabilis sit satis liquido hic deprehenditur. Et nota quod modia 500 uniuscuiusque navis sunt modia thalatia, scilicet de Romania 16000, vel modia Sorie 8000, vel salme Sicilie 4000.

1254 Secunda vero duplicatio scacherii, scilicet cum quislibet sequentium punctorum omnium antecedentium duplus esse proponitur, dupliciter inveniri potest. Primum quidem, ut de puncto in punctum usque ad finem numerando eas. Secundus vero modus est ut accipias 1 quod proponitur in primo puncto et addas eum cum 2 que ponuntur in secundo; erunt 3, que 3 multiplica in se; erunt 9, que 9 sunt numerus duplicationis primi puncti etiam et dupli secundi puncti, scilicet de punctis tribus. 1255 Verbi gratia: si in primo ponatur 1, in secundo duo, in tertio 6, scilicet duplum duorum antecedentium punctorum, summa eorum erit 9, ut prediximus. Que 9 si in se multiplicentur, faciet 81, qui numerus est duplicatio primi puncti, etiam et dupli duorum sequentium punctorum, scilicet de punctis 5. 1256 Verbi gratia: si in primo puncto ponitur 1, in secundo 2, in tertio 6, in quarto 18, in quinto 54, nimirum in 81 ascendunt; que 81 si in se multiplicaveris facient 6561, qui numerus est duplicatio primi puncti, etiam et dupli quattuor punctorum sequentium, scilicet de punctis 9. 1257 Verbi gratia: numerus primi puncti est 1, secundi 2, tertii 6, quarti 18, quinti 54, sexti 162, septimi 486, octavi 1458, noni 4374; quibus omnibus iunctis faciunt 6561. Que 6561 in se multiplica: faciunt 43046721, qui numerus, suprascriptis dispositis, est duplicatio primi puncti, etiam et dupli octo sequentium punctorum, scilicet de punctis 17. 1258 Unde si multiplicaveris 43046721 in se¹⁵⁸⁵, reddunt 1853020188851841 pro duplicatione primi puncti et dupli 16 punctorum, videlicet pro duplicatione punctorum 33; quo numero in se multiplicato, reddit 3433683820292512484657849089281 pro duplicatione totius scacherii, etiam et unius puncti amplius. 1259 Qui punctus duplum totius scacherii est, quare oportet ut tertia pars numeri suprascripti sit numerus duplicationis totius scacherii; quare diviso ipso numero per 3, reddit pro duplicatione totius scacherii 1-144-561-273-430-837-494-885-949-696-427.