461 De duobus hominibus qui duas bursas bizantiorum invenerunt

Item duo homines bizantios habentes qui duas bursas cum bizantiis invenerunt, in secunda quarum⁷⁹⁶ erant bizantii 13 plus quam in prima. Unde primus dixit secundo: si haberem primam bursam, haberem bis tantum quam tu. Cui alter respondit: et si ego haberem secundam bursam, haberem siquidem ter tantum quam tu. Queritur que sit quantitas bizantiorum illorum et bursarum.

462 Quia primus cum prima bursa habet bis tantum quam secundus, ergo habet ipse \({2 \over 3}\) cunctorum bizantiorum illorum et eiusdem prime burse. Propter eandem ergo et secundus cum secunda bursa habet \({3 \over 4}\) bizantiorum illorum duorum hominum et maioris burse. Et quia in prima bursa sunt bizantii 13 minus quam in maiori, ergo summa bizantiorum illorum duorum hominum et minoris burse est minor similiter bizantii 13 summa bizantiorum eorundem duorum hominum et maioris burse. 463 Quare reperies duos numeros, quorum unus sit 13 maior altero, et minor illorum dividatur per 3 integraliter et maior dividatur per 4; sintque 15 et 28. Quare pone 15 pro summa bizantiorum illorum et minoris burse, et 28 pone pro eorundem summa et maioris burse. 464 Et quia primus cum minori bursa habet \({2 \over 3}\) summe illorum et minoris burse, accipe \({2 \over 3}\) de 15, que sunt 10, et extrahe de 15: remanent 5, et tot habuit secundus. Eademque ratione accipe \({3 \over 4}\) de 28, que sunt 21, et extrahe de 28: remanent 7, et tot habuit primus. A quibus usque in 10 prescripta⁷⁹⁷ desunt 3, et tot invenerunt in minori bursa. Super que adde 13: erunt 16 in maiori⁷⁹⁸ bursa.

Vel aliter: adde 10 cum 21 prescriptis; erunt 31, de quibus extrahe 28 et 15 prescripta⁷⁹⁹: remanent 3 et 16 pro earundem bursarum quantitate.

465 De tribus hominibus et tribus bursis ab eis repertis

Item homines sint tres, et reperierunt tres bursas bizantiorum, in secunda quarum erant bizantii 10 magis quam in prima, et in tertia erant bizantii 13 magis quam in secunda, hoc est 23 magis quam in prima. Et primus illorum cum minori⁸⁰⁰ bursa habeat bis tantum reliquis, et secundus cum secunda bursa habeat ter tantum reliquis, et tertius cum maiori bursa habeat quater tantum. Et queratur similiter quot unusquisque habuerit et quot in unaquaque bursarum⁸⁰¹ reperierunt.

466 Quia primus cum minori bursa habet bis tantum reliquis, ergo habet cum eadem bursa \({2 \over 3}\) summe bizantiorum eorum et eiusdem burse. Propter eandem ergo et secundus cum bursa habet \({3 \over 4}\) bizantiorum illorum et secunde burse, et tertius cum maiori bursa habet \({4 \over 5}\) bizantiorum eorundem trium hominum et maioris burse. 467 Quare pones in ordinem \({4 \over 5}\) \({3 \over 4}\) \({2 \over 3}\), et reperias tres numeros quorum secundus sit 10 maior primo et tertius sit 13 maior secundo, et dividatur minor ipsorum integraliter per 3 et secundus per 4 et tertius per 5; eruntque 42 et 52 et 65, ex quibus minor, scilicet 42, habeatur pro summa bizantiorum eorum et minoris burse. Alter, scilicet 52, pro eorundem summa et secunde burse habeatur. Maior vero, scilicet 65, habeatur pro eorundem summa et maioris burse. 468 Deinde accipe \({2 \over 3}\) de 42: erunt 28, que sunt summa bizantiorum primi hominis et prime burse. Item accipe \({3 \over 4}\) de 52: erunt 39, que sunt summa bizantiorum secundi⁸⁰² hominis et secunde burse. Rursus accipe \({4 \over 5}\) de 65: erunt 52, que sunt summa bizantiorum tertii hominis et maioris burse. Adde ergo insimul bizantios 28 et bizantios 39 et bizantios 52: erunt bizantii 119, que sunt summa omnium bizantiorum illorum, etiam et trium bursarum. 469 Unde ut separentur⁸⁰³ ad invicem, adde iterum tres primos positos numeros, videlicet 42 et 52 et 65: erunt 159, que sunt summa eorundem trium hominum et bursarum. In qua unusquisque ter computatus existit, cum non debeat computari nisi tantum semel; ergo computatur unusquisque ipsorum bis magis quam oporteat⁸⁰⁴, et ideo 159 prescripta magis sunt de 119. 470 Unde extrahas 119 de 159: remanent 40, que sunt duplum bizantiorum illorum trium hominum propter binam superfluam computationem illorum. Quare divisis 40 per 2 exeunt 20, que sunt summa bizantiorum illorum trium hominum. Quibus extractis de 119 remanent bizantii 99 pro summa trium bursarum, de quibus extrahe bizantios 10 et bizantios 23⁸⁰⁵ qui inventi fuerunt in secunda et tertia bursa magis quam in prima; remanent bizantii 66, quos divide per numerum bursarum, scilicet per 3: exibunt bizantii 22 pro quantitate minoris burse. 471 Quibus superadditis bizantiis 10, erunt bizantii 32, et tot invenerunt in secunda bursa. Cum quibus superadde bizantios 13 quos in maiori bursa reperierunt magis quam in secunda: erunt bizantii 45, qui sunt bizantii maioris burse. Deinde ut habeas bizantios uniuscuiusque hominis, extrahe⁸⁰⁶ bizantios minoris burse, scilicet 22, de summa bizantiorum primi hominis et prime burse, scilicet de 28: remanent bizantii 6, et tot bizantios habet primus. 472 Iterum extrahe secundam bursam, videlicet bizantios 32, de summa bizantiorum secundi hominis et secunde burse, scilicet de bizantiis 39: remanent bizantii 7, et tot habuit secundus. Similiter extrahe bizantios maioris burse, videlicet 45, de summa eiusdem burse et tertii hominis, scilicet de 52: remanent bizantii 7, et tot habuit tertius. Per hanc enim regulam potes facere antecedentem de duobus hominibus, et de pluribus huiusmodi questionibus.

473 Item homines sint 4 et burse sint 4, quarum secunda sit 10 maior prima et tertia sit 13 maior secunda et quarta sit bizantii 19 maior tertia. Et primus habeat cum minori bursa bis tantum quam reliqui; et secundus ter tantum habeat cum secunda bursa; tertius quoque cum tertia bursa habeat quater tantum; quartus vero cum quarta bursa habeat similiter quinquies tantum quam reliqui.

474 Repertis itaque suprascriptis demonstrationibus \({5 \over 6}\) \({4 \over 5}\) \({3 \over 4}\) \({2 \over 3}\), reperies deinceps quattuor numeros, quorum secundus sit 10 maior primo, tertius sit 13 maior secundo, hoc est 23 maior primo, et quartus sit 19 maior tertio, hoc est 42 maior primo. Et hoc fecimus ut habeamus bizantios eorum et bursarum in numeros integros; eruntque 42 et 52 et 65 et 84, quos numeros iunge: erunt 243, que serva. Et accipe \({2 \over 3}\) primi numeri, scilicet de 42, erunt 28; et accipe \({3 \over 4}\) de 52, erunt 39; et \({4 \over 5}\) de 65, erunt 52; et accipe \({5 \over 6}\) de 84, erunt 70; et adde insimul, erunt 189, que extrahe de 243 servatis: remanent 54. 475 Qui numerus est triplum omnium bizantiorum eorum, quia in summa de 253 unusquisque bis⁸⁰⁷ computatur ultra quam debeat. Quare divide 54 per 3: exibunt 18, et tot habent inter omnes; quibus extractis de 189, remanebunt 171 pro summa bizantiorum quattuor bursarum, de quibus extrahe bizantios 10 et 23 et 42, qui reperti fuerunt in secunda et tertia et quarta bursa magis quam in prima; remanent 96⁸⁰⁸, quos divide per numerum bursarum, scilicet per 4: exibunt 24, qui numerus est summa⁸⁰⁹ minoris burse. 476 Quare bizantii secunde burse sunt 34, tertie sunt 47, quarte sunt bizantii 66, hoc est 19 magis tertia. Deinde extrahe bizantios minoris burse, scilicet 24, de suprascriptis 28: remanent bizantii 4, et tot habuit primus. Item extrahe bizantios secunde burse, videlicet 34 de 39, scilicet de bizantiis secundi hominis et secunde burse: remanent 5, et tot habuit secundus. 477 Rursus extrahe bizantios tertie burse, scilicet 47, de summa tertii hominis et eiusdem burse, scilicet de 52: remanent bizantii 5, et tot habuit tertius. Adhuc extrahe bizantios maioris burse⁸¹⁰, videlicet⁸¹¹ 66, de summa eiusdem burse et quarti hominis, scilicet de 70: remanent bizantii 4, et tot habuit quartus. Et sic studeas operari in omnibus similibus.

478 Vel aliter: de summa bizantiorum⁸¹² trium hominum et prime burse, scilicet de 42, extrahe \({2 \over 3}\) eorum, scilicet summam bizantiorum primi et prime burse: remanent 14 pro bizantiis secundi et tertii et quarti hominis. Similiter extrahe \({3 \over 4}\) secunde summe <de summa trium hominum et secunde burse>, scilicet de 52: remanent \({1 \over 4}\) eius, scilicet 13, pro summa tertii et quarti et primi hominis. Item de tertia summa, scilicet de 65, extrahe \({4 \over 5}\) quas⁸¹³ habet tertius homo cum tertia bursa: remanebit \({1 \over 5}\) eorum, scilicet 13, pro bizantiis quarti et primi et secundi hominis. 479 Rursus de maiori summa, scilicet de 84, extrahe \({5 \over 6}\) eorum: remanebit \({1 \over 6}\) eorundem, scilicet 14, pro bizantiis primi et secundi et tertii hominis. Adde itaque hos quattuor inventos numeros: erunt 54, in quibus unusquisque hominum ter computatus est. Quare summa eorum est \({1 \over 3}\) de 54, scilicet 18, ut prediximus; quibus extractis de prima summa⁸¹⁴, scilicet de 42, remanebunt 24 pro bizantiis prime burse. 480 Similiter bizantios secundi et tertii et quarti hominis, scilicet 14, extrahe de summa eorum, scilicet de 18: remanent 4 pro bizantiis primi. Item bizantios tertii et quarti et primi, scilicet 13, extrahe de 18: remanent 5 pro bizantiis secundi hominis. Eodemque modo de 18 extrahe bizantios quarti et primi et secundi, scilicet 13, et bizantios primi et secundi et tertii, scilicet 14: remanebunt pro bizantiis tertii hominis 5 et 4 pro bizantiis quarti⁸¹⁵.