1001 Quattuor homines sunt, quorum primus et secundus et tertius habent denarios 27. Secundus itaque et tertius et quartus habent denarios 31. Tertius et quartus et primus habent denarios 34. Quartus vero et primus et secundus habent denarios 37. Queritur quot unusquisque habeat.

Adde hos quattuor numeros in unum: erunt 129, qui numerus est triplum totius summe denariorum illorum quattuor hominum, ideo quia in ipsam summam unusquisque eorum ter computatus est. 1002 Quare diviso ipso per 3, reddit¹⁴⁰⁴ 43 pro eorum summa; ex qua si extraxeris denarios primi et secundi et tertii hominis, scilicet 27, remanebunt¹⁴⁰⁵ quarto homini denarii 16. Item si ex ipsis denariis 43 extraxeris denarios 31 secundi et tertii et quarti hominis remanebunt primo homini denarii 12. 1003 Rursus si de denariis 43 extraxeris 34,

primus 12 secundus 9 tertius 6 quartus 16

¹⁴⁰⁶ scilicet denarios tertii et quarti et primi hominis, remanebunt secundo denarii 9. Et adhuc si de denariis 43 extraxeris denarios 37 quarti et primi et secundi hominis, remanebunt tertio denarii 6. Coniunctis itaque denariis 12 primi hominis cum 9 secundi et cum 6 tertii et cum 16¹⁴⁰⁷ quarti, nimirum suprascripta reddunt 43.

1004 Item si propositum fuerit quod inter primum et secundum hominem habeant denarios 27, et inter secundum et tertium habent denarios 31, et inter tertium et quartum 34, inter quartum et primum 37. Consimiles huius positionis quandoque solvi possunt, quandoque non. Unde ut ipse que solvi possunt ab his que¹⁴⁰⁸ solvi non possunt cognoscantur, talem tibi tradimus evidentiam, videlicet ut addas numerum primi et secundi cum numero tertii et quarti, et si eorum summa equalis fuerit numero secundi et tertii, et quarti et primi, tunc solubilis erit questio; si autem inequalis fuerit, tunc eam non posse¹⁴⁰⁹ solvi cognoscas. 1005 Ut in hac questione, in qua primus et secundus habent 27 et tertius et quartus habent 34, ergo inter omnes quattuor habent denarios 61. Nam secundus et tertius habent 31 et quartus et primus habent 37, ergo inter omnes quattuor habent 31 et 37, hoc est denarios 68. Quod est impossibile, cum per aliam computationem¹⁴¹⁰ invenimus eos habere 61; ergo questio ista est insolubilis.

1006 Sed ut eam proponamus solubilem, habeant inter quartum et primum hominem 30; reliqui vero habeant per ordinem sicut superius diximus. Unde cum primus et secundus habent 27 et tertius et quartus habent 34, inter omnes ergo habent 61. Et cum secundus et tertius habent 31 et quartus et primus habent 30, ergo inter omnes habent similiter 61. 1007 Quare

primus 10 secundus 17 tertius 14 quartus 20

¹⁴¹¹ questio solubilis est, et solvitur sic: quod primus habeat ad libitum quantum volueris ex ipsis denariis 27 quos habet cum secundo. Pone ergo ut habeat 10; quare secundus habebit reliquos, videlicet 17. Et quia inter secundum et tertium hominem habent 31, ex quibus secundus habet 17, reliquos vero, scilicet 14, habet tertius; qui cum habeat cum quarto homine 34, ergo quartus habet denarios 20.

1008 Item sunt quinque homines, quorum quattuor per ordinem habent sine quinto

primus 11 secundus 8 tertius 5 quartus 3 quintus 15

¹⁴¹² 27, alii vero sine primo 31, alii vero sine secundo 34, alii sine tertio 37, alii sine quarto 39, et queratur quot unusquisque habeat¹⁴¹³. Adde ipsos quinque numeros in unum: erunt 168, qui numerus est quadruplum summe denariorum illorum quinque, ideo quia in prescriptis 168 unumquemque ipsorum, si bene consideraveris, quater esse computatum cognosces. 1009 Quare divide 168 per 4: exibunt pro eorum summa denarii 42. Ex quibus si extraxeris denarios 27 quos quattuor homines habent per ordinem, remanebunt quinto denarii 15. Propter eandem ergo, si ex ipsis 42 extraxeris 31 et 34 et 37 et 39, remanebunt primo homini denarii 11, secundo denarii 8, tertio denarii 5, quarto denarii 3.

1010 Et si propositum fuerit quod primus et secundus et tertius habent denarios 27, secundus vero cum tertio et cum quarto denarios 31, et tertius et quartus et quintus denarios 34, quartus quoque cum quinto et primo denarios 37, quintus autem cum primo et secundo habent denarios 39. Additis his¹⁴¹⁴ numeris in unum, faciunt 168, ut superius invenimus; quem numerum divide per 3, ideo quia unusquisque in ipso numero ter computatus est: exibunt pro summa illorum denarii 56. 1011 Et¹⁴¹⁵ ut habeamus denarios uniuscuiusque, dupliciter facere demonstramus. Primum quidem, ut addas quantitatem primi et secundi et tertii hominis, scilicet 27, cum quantitate denariorum quarti et quinti et primi, scilicet cum 37: erunt 64, in quo numero primus bis computatus est; quare necessario sequitur quot superhabundantia que est a summa ipsorum 5 hominum usque in 64, scilicet 8, sit quantitas denariorum primi hominis. 1012 Quo invento, adde denarios secundi et tertii et quarti hominis, scilicet 31, cum denariis quinti et secundi et primi hominis, scilicet cum 39: erunt 70, in qua summa secundus homo bis computatus est. Quare extrahe 56 de 70: remanent secundo homini denarii¹⁴¹⁶ 14. 1013 Quibus additis cum denariis primi hominis, scilicet cum 8, erunt 22, quos extrahe ex

primus 8 secundus 14 tertius 5 quartus 12 quintus 17

¹⁴¹⁷ denariis 27 quos habent inter primum et secundum et tertium hominem: remanent ipsi tertio denarii 5, quos adde cum denariis 14 secundi hominis, et extrahe summam de quantitate denariorum secundi et tertii et quarti hominis, scilicet de 31: remanebunt quarto denarii 12, quos adde cum denariis tertii hominis, scilicet cum 5, et extrahe summam de denariis 34 quos habent inter tertium et quartum et quintum: remanebunt quinto denarii¹⁴¹⁸ 17.

1014 Vel aliter: de summa ipsorum omnium, videlicet de denariis 56, extrahe suprascriptos numeros quos tres¹⁴¹⁹ illorum habent per ordinem, scilicet 27 et 31 et 34 et 37 et 39, et sic remanebunt quarto et quinto homini denarii 29, quinto et primo denarii 25, primo et secundo denarii 22, secundo et tertio denarii 19, tertio et quarto denarii 17. 1015 Adde ergo denarios primi et secundi hominis, scilicet 22, cum denariis tertii et quarti, videlicet cum 17, et cum denariis quinti et primi hominis, scilicet cum 25: erunt denarii 64, in qua summa primus bis computatus est et omnes alii semel. Unde quot habet a¹⁴²⁰ 56, scilicet a summa eorum, usque in 64, scilicet 8, tot habet primus. Quibus inventis, omnes alios levissime invenire potes, videlicet ut extrahas ipsos denarios 8 primi hominis ex denariis¹⁴²¹ primi et secundi, scilicet de 22: remanebunt secundo homini denarii 14. 1016 Quibus extractis de denariis 19 secundi et tertii hominis, remanebunt tertio homini denarii 5; quibus extractis de denariis tertii et quarti, scilicet de denariis 17, remanebunt quarto homini denarii 12; quibus extractis de denariis quarti et quinti hominis, videlicet de denariis 29, remanebunt quinto homini denarii 17, ut per alium modum invenimus.

1017 Vel aliter: adde denarios secundi et tertii hominis cum denariis quarti et quinti, scilicet 19 cum 29: erunt 48, a quibus usque in summam¹⁴²² ipsorum, scilicet in 56¹⁴²³, desunt 8, et tantum habet primus, ut prediximus. Potes enim de pluribus hominibus ex his que dicta sunt doctrinam habere, cum duo illorum, vel tres, vel plures in numeros¹⁴²⁴ positionis adiuncti fuerunt. Et nota quia si homines pares fuerint possunt quandoque insolubiliter¹⁴²⁵ proponi, quorum notitiam in regula quattuor hominum superius demonstravimus.