35 De societate trium hominum⁶⁴

Tres homines societatem fecerunt, quorum primus misit libras 17, secundus libras 29, tertius libras 42, et lucrati fuerunt libras 100. Primum describes questionem ut hic ostenditur; deinde adde portiones illorum in unum, scilicet libras 17 cum 29 et cum libris 42: erunt libre 88, quibus 88 reperies regulam, que est \({1~~\phantom{1}0 \over 8~~11}\), et multiplicabis portionem uniuscuiusque⁶⁵ socii in lucro et divides per \({1~~\phantom{1}0 \over 8~~11}\) et habebis portionem lucri contingentem unicuique. 36 Nam si libre et soldi et

④ 3000 ⓪ ① ③ \(\phantom{4}\)30 tertii secundi primi 100 42 29 17   ⓪ ④ ⑤ £ d. s. £ d. s. £ d. s. £ \({\phantom{1}0~~\phantom{1}0~~\phantom{1}0 \over 11~~12~~20}\) 100 \({\phantom{1}6~~\phantom{1}6~~14 \over 11~~12~~20}\) 47 \({\phantom{1}1~~\phantom{1}1~~19 \over 11~~12~~20}\) 32 \({\phantom{1}4~~\phantom{1}4~~\phantom{1}6 \over 11~~12~~20}\) 19

denarii unicuique de lucro contingentes in una multiplicatione et in una divisione reperire volueris, invenies⁶⁶ illud quod tibi minuit de \({\phantom{1}1~~\phantom{1}0 \over 12~~20}\) in virgula divisionis predicte, scilicet in \({1~~\phantom{1}0 \over 8~~11}\), in qua cum non habeas nisi tantum \({1 \over 8}\) de prescriptis \({\phantom{1}1~~\phantom{1}0 \over 12~~20}\), minuit tibi \({1 \over 30}\) inter utrumque. 37 Vel quia \({\phantom{1}1~~\phantom{1}0 \over 12~~20}\) est regula denariorum unius libre, scilicet de 240, divide 240 per 8: exibunt 30 pro his⁶⁷ que minuunt tibi de \({\phantom{1}1~~\phantom{1}0 \over 12~~20}\), ut prediximus; que si commiserimus cum \({1~~\phantom{1}0 \over 8~~11}\), habebimus \({\phantom{1}1~~\phantom{1}0~~\phantom{1}0 \over 11~~12~~20}\). 38 Quare multiplicabis lucrum, scilicet 100, per 30, ut sicuti augentur 30 in divisione ita augeantur in multiplicatione: erunt 3000, que⁶⁸ pone super 100 in questione, et multiplicabis libras 17 primi socii per 3000 et divides per \({\phantom{1}1~~\phantom{1}0~~\phantom{1}0 \over 11~~12~~20}\): exibunt libre \({\phantom{1}4~~\phantom{1}4~~\phantom{1}6 \over 11~~12~~20}\) 19. 39 Item multiplica libras 29 secundi socii per 3000 et divide per \({\phantom{1}1~~\phantom{1}0~~\phantom{1}0 \over 11~~12~~20}\): exibunt libre \({\phantom{1}1~~\phantom{1}1~~19 \over 11~~12~~20}\) 32, quas pone in questione sub secundo, scilicet sub 29. Deinde multiplica 42, scilicet portionem tertii socii, per 3000: erunt 126000, que divide per \({\phantom{1}1~~\phantom{1}0~~\phantom{1}0 \over 11~~12~~20}\); exibunt libre \({\phantom{1}6~~\phantom{1}6~~14 \over 11~~12~~20}\) 47, quas pone in questione sub 42, scilicet sub tertio socio.

40 Nam si portionem lucri uniuscuiusque in unum per regulam colligere volueris, facies secundum quod superius demonstravimus in societatibus duorum sociorum, videlicet ut ponas \({1~~0~~0 \over 11~~12~~20}\) sub 100, scilicet sub lucro⁶⁹. Deinde collige 6 que sunt super 11 in virgula lucri tertii socii cum 1 quod est super 11 in virgula lucri secundi et cum 4 que sunt super 11 in virgula lucri primi: erunt 11, que divide per 11 que sunt sub virgula posita sub 100: exibit inde 1, et remanet 0. 41 Pone 0 super 11 et 1 serva in manu, cum quo iunge 6 et 1 et 4 que sunt super 12 omnium trium virgularum: facient denarios 12, quos divide per 12 que sunt sub virgula posita sub 100; exibit soldus 1 et remanet 0. Pone 0 super 12 et retineas in manu soldum 1, cum quo iunge soldos 14⁷⁰ et 19 et 6 qui sunt super 20 earundem trium virgularum; erunt 40, que divide per 20: exibunt libre 2 et remanet 0. Pone 0 super 20 et libras 2 retineas in manu, cum quibus iunges libras 47 et libras 32 et libras 19, que sunt ante prescriptas tres virgulas: erunt libre 100, ut oportet.

42 De eodem

Item sunt tres homines, quorum unus misit libras \({7 \over 20}\) 69 et alter misit libras \({11 \over 20}\) 83, tertius quoque misit libras 91, et lucrati fuerunt libras 112⁷¹. Describe questionem ut hic ostenditur, et tunc facies soldos de portione uniuscuiusque socii sic: multiplices 69, scilicet portionem primi socii, per suam virgulam, hoc est per 20 et super addes 7: erunt soldi 1387, quos pones super libras \({7 \over 20}\) 69. Quod idem si feceris de portione secundi, habebis super ipsam soldos 1671. Similiter multiplica libras 91 per 20 ut facias soldos ex eis: erunt soldi 1820, quos pones super libras 91. 43 Et nota quod si in portionibus capitalis ipsorum, vel etiam in aliqua ipsarum⁷², ponerentur denarii cum ipsis libris, oporteret facere denarios ex portione uniuscuiusque socii, sicuti in hac quod fecimus soldos ex unaquaque portione propter⁷³ soldos qui sunt cum libris ipsorum. Ergo unus misit soldos 1387, alter soldos 1671, tertius soldos 1820. Quare addes prescriptos soldos in unum: erunt soldi 4878, cuius numeri regula hec est \({1~~0~~\phantom{2}0\phantom{1} \over 3~~6~~271}\). 44 Nam cum oporteat habere in capite

③ ⑤ ⑩ ① 4480 \(\phantom{£}\) 1820 1671 1387 \(\phantom{44}\)40 £ tertius secundus primus 112 91 \({11 \over 20}\) 83 \({7 \over 20}\) 69 pensa per 11 ④ ⑧ ③   d. s. £ d. s. £ d. s. £   \({2~~\phantom{2}7\phantom{1}~~\phantom{1}9~~15 \over 3~~271~~12~~20}\) 41 \({0~~263~~\phantom{1}3~~\phantom{1}7 \over 3~~271~~12~~20}\) 38 \({1~~\phantom{2}0\phantom{1}~~11~~16 \over 3~~271~~12~~20}\) 31

virgule divisionis \({\phantom{1}1~~\phantom{1}0 \over 12~~20}\), et ex eis non habeamus in ipsa virgula nisi tantum \({1 \over 6}\), scimus quia minuit nobis \({1~~\phantom{1}0 \over 2~~20}\), hoc est 40 ex ipsis \({\phantom{1}1~~\phantom{1}0 \over 12~~20}\). Pones ergo 40 super lucrum et multiplicabis 40 per ipsum lucrum, scilicet per 112; erunt 4480, que pone super 40, et coaptabis \({1~~\phantom{1}0 \over 2~~20}\) in virgula divisionis sic: \({1~~\phantom{2}0\phantom{1}~~\phantom{1}0~~\phantom{1}0 \over 3~~271~~12~~20}\)⁷⁴. 45 Quam virgulam pones sub unoquoque consocio et multiplicabis 4480 per 1387 et divides per \({1~~\phantom{2}0\phantom{1}~~\phantom{1}0~~\phantom{1}0 \over 3~~271~~12~~20}\): exibunt pro portione lucri primi socii libre \({1~~\phantom{2}0\phantom{1}~~11~~16 \over 3~~271~~12~~20}\) 31. Item multiplica 4480 per 1671⁷⁵ et divide per \({1~~\phantom{2}0\phantom{1}~~\phantom{1}0~~\phantom{1}0 \over 3~~271~~12~~20}\): exibunt libre \({0~~263~~\phantom{1}3~~\phantom{1}7 \over 3~~271~~12~~20}\) 38 pro portione lucri secundi socii. Similiter si multiplicaveris 4480 per 1820 et diviseris per \({1~~\phantom{2}0\phantom{1}~~\phantom{1}0~~\phantom{1}0 \over 3~~271~~12~~20}\), habebis portionem lucri tertii socii.

46 Possumus enim aliter portionem lucri tertii hominis ex repertis portionibus reliquorum reperire, videlicet ut addas 1 quod est super 3 in virgula primi socii cum 0 quod est super 3 de virgula secundi socii: erit 1, a quo usque in 3 que sunt sub virgula tertii desunt 2, que pone super ipsa⁷⁶ 3 et pro expleto semel ternario retineas in manu 1, quod 1 est \({\phantom{2}1\phantom{1}~~\phantom{1}0~~\phantom{1}0 \over 271~~12~~20}\) unius libre. 47 Ergo addes ipsum 1 cum 0 quod est super 271 in virgula primi socii et cum 263 que sunt super 271 in virgula secundi: erunt 264, a quibus usque in 271 desunt 7, que pone super 271 de virgula tertii socii; et quia semel explevisti 271, retinebis semel unitatem in manu. 48 Que unitas est \({\phantom{1}1~~\phantom{1}0 \over 12~~20}\) unius libre, scilicet denarius 1, que adde cum denariis 11 qui sunt super 12 de virgula primi socii et cum denariis 3 qui sunt super 12 secundi: erunt denarii 15, a quibus usque in duplum 12, scilicet in 24, desunt denarii 9, quos pone super 12 de virgula tertii socii et pro expleto duplo de 12 retinebis in manu 2, que sunt \({2 \over 20}\) unius libre, hoc est soldi 2. 49 Cum quibus adde soldos 16 qui sunt super 20 de virgula primi socii, et cum soldis 7 qui sunt super 20 de virgula secundi: erunt soldi 25, a quibus usque in soldos 40, scilicet in duplum de 20, desunt soldi 15.

50 Et nota quia ideo dicimus a 25 usque in 40, quia 25 sunt plus 20; unde si essent plus quam 40, quereremus differentiam que esset ab ipsis usque in triplum de 20, et sic intelligas de omnibus aliis similibus. Pones ergo soldos 15 super 20 de virgula tertii socii et pro expleto⁷⁷ duplo de 20 retinebis in manu libras 2, cum quibus addes libras 31 primi socii et libras 38 secundi: erunt libre 71, a quibus usque⁷⁸ in summam lucri, scilicet in libras 112, desunt libre 41, quas pones ante virgulam tertii socii et habebis in portionem lucri ipsius libras \({2~~\phantom{2}7\phantom{1}~~\phantom{1}9~~15 \over 3~~271~~12~~20}\) 41, ut in questione ostenditur⁷⁹. 51 Nam si suprascripta omnia probare volueris, probabis ea per modum prioris pense, quia cum portionem lucri ultimi socii per portiones lucri reliquorum inveneris, nequaquam per reliquum modum similes questiones probare poteris. Est enim pensa lucri primi socii 3 per 11, secundi 8, tertii 4, ut super ipsis portionibus in questione reperitur.

52 De eodem

Et si proponatur quod primus illorum misisset libras \({1 \over 3}\) 69, secundus libras \({1 \over 4}\) 83, tertius libras \({1 \over 5}\) 91, et lucrati essent libras \({7 \over 20}\) 127, descripta questione ut hic ostenditur, potes duobus modis procedere. Per primum quidem reperiatur numerus in quo sint rupti qui positi sunt in portionibus capitalis ipsorum, scilicet \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\); qui numerus est 60, per quem multiplica unamquamque portionem, scilicet \({1 \over 3}\) 69 et habebis super ea 4160, et \({1 \over 4}\) 83 et⁸⁰ habebis super ea 4995, et \({1 \over 5}\) 91 et habebis super ea 5472. 53 Vel per alium modum multiplica 69 per suam virgulam, hoc est per 3 et adde 1; erunt 208, que multiplica per 4, que per 5 que sunt sub virgulis: erunt similiter 4160. Item multiplica 83 per 4 et adde 1; erunt 333, que multiplica per 5 que sunt sub virgula tertii socii; erunt 1645, que multiplica per 3 que sunt sub virgula primi: erunt similiter 4995. Rursum multiplica 91 per 5 et adde 1; erunt 456, que multiplica per 4, que per 3 que sunt sub reliquis virgulis: erunt similiter 5472, que addes cum 4995 et cum 4160; erunt 14627. 54 In quibus divides multiplicationem lucri in prescriptis tribus numeris, quod sic fit: multiplicabis libras 127 per eorum virgulam; erunt soldi 2547, quos

② ⑤ ④ ② 30564 5472 4995 4160 \(\phantom{305}\)12       2547       lucrum tertius secundus primus \({7 \over 20}\) 127 \({1 \over 5}\) 91 \({1 \over 4}\) 83 \({1 \over 3}\) 69   ③ ① ④   d. s. £ d. s. £ d. s. £   \({\phantom{1}1090~~10~~12 \over 14627~~12~~20}\) 47 \({\phantom{1}5181~~\phantom{1}9~~\phantom{1}9 \over 14627~~12~~20}\) 43 \({\phantom{1}8356~~\phantom{1}4~~\phantom{1}4 \over 14627~~12~~20}\) 36

⁸¹ pones super libras \({7 \over 20}\) 127⁸² et multiplicabis eos per 12 ut habeas ipsa⁸³ sub virgulis divisionum post 20 que sunt sub virgula lucri; erunt 30564, que multiplicabis per 4160 et divides per \({\phantom{14}1\phantom{27}~~\phantom{1}0~~\phantom{1}0 \over 14627~~12~~20}\): exibunt \({\phantom{1}8356~~\phantom{1}4~~\phantom{1}4 \over 14627~~12~~20}\) 36 pro portione lucri primi socii. Item multiplicabis 30564 per 4995 et divides similiter per \({\phantom{14}1\phantom{27}~~\phantom{1}0~~\phantom{1}0 \over 14627~~12~~20}\): exibunt libre \({\phantom{1}5181~~\phantom{1}9~~\phantom{1}9 \over 14627~~12~~20}\) 43 pro portione lucri secundi socii. 55 Item si multiplicaveris 30564 per 5472 et diviseris per \({\phantom{14}1\phantom{27}~~\phantom{1}0~~\phantom{1}0 \over 14627~~12~~20}\), habebis portionem tertii socii. Nam si ex repertis portionibus lucri reliquorum sociorum ipsam portionem invenire desideras, adde 8356 que sunt super 14627 de virgula primi socii cum 5181 que sunt super 14627 secunde virgule: erunt 13537, a quibus usque in 14627 desunt 1090, que pone super 14627 in virgula tertii socii; 56 et pro semel expletis 14627 retinebis 1, cum quo addes 4 que sunt super 12 prime virgule et 9 que sunt super 12 secunde: erunt denarii 14, a quibus usque in duplum⁸⁴ 12, scilicet in 24, desunt denarii 10, quos pone super 12 de virgula tertii socii; 57 et⁸⁵ pro expletis denariis 24 retinebis in manu soldos 2. Cum quibus addes soldos 4 qui sunt super 20 prime virgule et soldos 9 secunde; erunt soldi 15, a quibus usque in soldos 27, hoc est ut expleatur una libra cum ipsis soldis 7 qui sunt super virgulam lucri, desunt soldi 12; 58 quos pones super 20 in virgula tertii socii et retinebis 1 pro ipsa expleta libra. Cum qua addes libras 36 primi socii et libras 43 secundi: erunt libre 80, a quibus usque in libras⁸⁶ 127, scilicet in lucrum⁸⁷, desunt libre 47. Quas pone ante virgulam tertii socii et habebis pro portione lucri ipsius libras \({\phantom{1}1090~~10~~12 \over 14627~~12~~20}\) 47, ut superius in questione ostenditur⁸⁸.