703 Modus alius de quinque hominibus in emptione unius equi

Item homines sint quinque, quorum primus et secundus petunt reliquis tribus \({1 \over 2}\) suorum bizantiorum, secundus vero et tertius petunt reliquis \({1 \over 3}\), tertius et quartus petunt reliquis \({1 \over 4}\), quartus et quintus petunt reliquis \({1 \over 5}\), quintus et primus petunt reliquis \({1 \over 6}\); et sic proponunt ipsum emere equum¹⁰⁵⁵.

704 Quamvis duo¹⁰⁵⁶ illorum insimul petant, tamen non

positio prima \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) \({1 \over 2}\) secunda \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) \({1 \over 2}\) 1

¹⁰⁵⁷ dissimilatur hec questio a suprascriptis in quibus unus petit omnibus reliquis; quare pones in ordinem petitiones ipsorum sicut in margine cernitur, et vocabis ipsas primam positionem. 705 Sub qua describas secundam positionem et multiplicabis singulariter 60, in quibus reperiuntur rupti secunde positionis, per numeros qui sub virgulis sunt¹⁰⁵⁸ prime, scilicet per 2 et per 3 et per 4 et per 5 et per 6, et divides primam multiplicationem per 1 secunde positionis, secundam per 2, tertiam per 3, quartam per 4, quintam per 5, ut superius fecimus in questione quattuor hominum et trium, et habebis 120 et 90 et 80 et 75 et 72, quibus omnibus insimul iunctis faciunt 437, in quibus unusquisque ipsorum ter computatus est, cum duo illorum semper per ordinem petant reliquis. 706 Quare cum 437 integraliter non dividatur per 3, triplicabis residuum quod remanet tribus illorum per ordinem post dationem quam dant suis petitoribus. Quod residuum est

equus 257

¹⁰⁵⁹ 60, quibus triplicatis faciunt 180, que sunt residuum quod remanet tribus illorum per ordinem post emptionem equi, cum summa quinque hominum fuerit 437. Quare extracto residuo suprascripto a summa, scilicet 180 de 437, remanent pro pretio equi bizantii 257.

707 Et quia tertius et quartus et quintus dant suis petitoribus, scilicet primo et secundo, quantum eis remanet, scilicet 180, extrahes 180 de pretio equi: remanebunt 77, et tot bizantios habent inter primum et secundum hominem. Item quia quartus et quintus et primus homo dant secundo et tertio medietatem dicti residui, ut in secunda positione cernitur, extrahes dimidium residui, scilicet 90, de pretio equi: remanebunt pro bizantiis secundi et tertii 167. 708 Eademque ratione, extracta \({1 \over 3}\) et \({1 \over 4}\) et \({1 \over 5}\)¹⁰⁶⁰ eiusdem residui, scilicet 60 et 45 et 36, de pretio equi, remanebunt pro bizantiis tertii et quarti 197, et pro bizantiis quarti et quinti 212, et pro bizantiis quinti et primi 221. 709 Et ut separentur¹⁰⁶¹ bizantii uniuscuiusque ad invicem, adde 77 primi et secundi cum bizantiis 197 tertii et quarti et cum 221 quinti et primi: erunt 495, in quibus 495 primus bis computatus est. Est enim summa quinque hominum 437; ergo differentiam que est a 437 usque in 495, scilicet 58, habet primus homo. 710 Quibus 58 extractis¹⁰⁶² de

primus 58 secundus 19 tertius 148 quartus 49 quintus 163

¹⁰⁶³ bizantiis primi et secundi hominis, scilicet de 77, remanebunt secundo homini bizantii 19; quibus extractis de bizantiis secundi et tertii, scilicet de 167, remanent 148 pro bizantiis tertii hominis; quibus extractis de bizantiis tertii et quarti hominis, scilicet de 197, remanent 49 quarto homini; quibus extractis de bizantiis quarti et quinti hominis, scilicet de 212, remanebunt quinto homini 163; quibus additis cum bizantiis 58¹⁰⁶⁴ primi hominis inventis, reddunt 221, ut pro bizantiis quinti et primi invenimus. Unde hec questio solubilis est.

711 Possemus enim ponere in similibus questionibus ut plures quam duo peterent reliquis suas petitiones, quas solveres ordine suprascripto. Et scias quia si homines fuerint pares et duo vel plures per ordinem petant reliquis, erunt questiones eorum quandoque solubiles, quandoque non. Quare ponamus unam questionem insolubilem et aliam solubilem de quattuor hominibus, ut habeas melius notitiam cognoscendi solubiles ab insolubilibus.

712 Questio insolubilis

Sint ergo quattuor homines, quorum primus et secundus petant reliquis \({1 \over 2}\), secundus et tertius reliquis \({1 \over 3}\), tertius et quartus \({1 \over 4}\), quartus¹⁰⁶⁵ et primus petant reliquis \({1 \over 5}\).

Invenies per primam et secundam positionem¹⁰⁶⁶ quod summa eorum est 73 et residuum quod remanet duobus illorum per ordinem est 24, quibus extractis de 73 remanent 49 pro pretio equi. 713 Et quia tertius et quartus dant primo et secundo tantum quantum eis remanet, scilicet 24, cum quibus 24 primus et secundus habent 49, ergo primus et secundus habent 25. Similiter, quia quartus et primus¹⁰⁶⁷ dant tertio et secundo dimidium residui, scilicet 12, extrahe 12 de 49: remanent 37 pro bizantiis secundi et tertii. 714 Item extrahe 8, scilicet \({1 \over 3}\) de 24, de 49: remanent 41 pro bizantiis tertii et quarti, quod est impossibile. Est enim summa eorum 73, ex quibus primus et secundus habent 25; quare tertius et quartus deberent habere 48, scilicet residuum quod est a 25 usque in 73.

715 Vel aliter: quia primus et secundus petunt¹⁰⁶⁸ tertio et quarto \({1 \over 2}\) et tertius et quartus petunt primo et secundo \({1 \over 4}\), ideo invenias que partes¹⁰⁶⁹ sunt pretium equi ex summa hominum quattuor; quas invenies inventis bizantiis primi¹⁰⁷⁰ et secundi, et tertii et quarti, tamquam essent bizantii duorum hominum, secundum¹⁰⁷¹ quod demonstravimus in regula duorum hominum. Scilicet pone quod primus et secundus sint unus homo et tertius et quartus sint alius; et tunc petat primus secundo \({1 \over 2}\) et secundus primo \({1 \over 4}\). 716 Quare primus, scilicet inter primum et secundum, habent 4; secundus, scilicet inter tertium et quartum 6; et pretium equi est 7, ideo quia addito dimidio de 6 super 4 vel \({1 \over 4}\) de 4 super 6, faciunt 7; que 7 de 4¹⁰⁷² et de 6 insimul iunctis sunt \({7 \over 10}\): ergo pretium equi est \({7 \over 10}\) de summa illorum quattuor. Deinde videas que partes sint pretium equi ex eadem summa, secundum petitiones quas petunt secundus et tertius quarto et primo et quartus et primus secundo et tertio. 717 Nam secundus et tertius petunt quarto et primo \({1 \over 3}\) et quartus et primus petunt secundo et tertio \({1 \over 5}\), unde per regulam duorum hominum predictam, invenies secundum et tertium habere 5, quartum et primum 6, pretium equi 7; quod pretium, scilicet 7, de 5 et de 6, scilicet de 11, sunt \({7 \over 11}\): ergo pretium equi de summa quattuor hominum est \({7 \over 11}\). Invenimus enim primum ipsum pretium esse \({7 \over 10}\) de eadem summa, quod est inconveniens: insolubilis est ergo questio ista.

718 Quare ponamus aliam questionem solubilem, in qua primus et secundus petant reliquis \({1 \over 2}\), secundus et tertius \({3 \over 7}\), tertius et quartus \({3 \over 11}\), quartus et primus petant reliquis \({5 \over 13}\). Hanc enim questionem qualitercumque per istos¹⁰⁷³ duos modos considerabis, invenies eam solubilem esse. Unde si processeris secundum quod dictum est donec omnes bizantios¹⁰⁷⁴ duorum illorum per ordinem habueris, invenies quod primus et secundus habent 11, inter secundum et tertium 13, inter tertium et quartum 16, inter quartum et primum 14, et pretium equi est 19.

719 Nam in separatione unius ab altero nil aliud dicendum est, nisi quod de bizantiis 11 quos habent inter primum et secundum habeat primus homo quantum vis, ut dicamus 5; quare secundus habet 6, tertius 7 cum habeat cum secundo 13, et quartus 9 cum habeat 16 cum tertio; quibus 9 additis cum 5 primi hominis faciunt 14, ut pro summa quarti et primi hominis reperta erant.

720 Questio solubilis cum homines sint septem¹⁰⁷⁵

Et si homines essent 7, et primus et secundus et tertius querant reliquis \({1 \over 2}\), secundus vero et tertius et quartus petant reliquis \({1 \over 3}\), tertius et quartus et quintus petant \({1 \over 4}\), quartus et quintus et sextus \({1 \over 5}\), quintus, sextus, septimus \({1 \over 6}\), sextus, septimus, primus \({1 \over 7}\), septimus, primus et secundus reliquis quattuor \({1 \over 8}\) bizantiorum suorum, et preponant¹⁰⁷⁶ emere ipsum equum.

721 Posita positione secunda sub prima¹⁰⁷⁷, tunc 420, in

positio prima \({1 \over 8}\) \({1 \over 7}\) \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) \({1 \over 2}\) positio secunda \({1 \over 7}\) \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) \({1 \over 2}\) 1

¹⁰⁷⁸ quibus inveniuntur rupti¹⁰⁷⁹ secunde positionis, multiplica per 2¹⁰⁸⁰ prime et divide per 1¹⁰⁸¹ secunde: erunt 840. Item multiplica 420 per 3 prime positionis et divide per 2 secunde, hoc est \({1 \over 2}\) de 420 multiplica per 3: erunt 630. Similiter tertiam de 420 multiplica per 4, et quartam per 5, et quintam per 6, et sextam per 7, et septimam per 8: erunt 560¹⁰⁸² et 525 et 504 et 490 et 480; quibus iunctis cum 630 et cum 840, erunt in summa bizantiorum ipsorum 4029. 722 Et quia semper petitur quattuor ipsorum, unusquisque quater computatur in dicta summa. Unde multiplica 420 per 4: erunt 1680 pro residuo illorum quattuor, quibus extractis de 4029, remanent pro pretio equi bizantii 2349. Deinde divide 1680 per 1 prime positionis et extrahe de 2349: remanent primo et secundo et tertio 669. 723 Item extrahe de 2349 medietatem et tertiam et quartam et quintam et sextam et septimam de 1680, scilicet 840 et¹⁰⁸³ 560 et 420 et 336 et 280 et 240: remanebunt secundo et tertio et quarto bizantii 1509; tertio, quarto et quinto 1789; quarto, quinto, sexto 1929; quinto, sexto, septimo 2013; sexto, septimo, primo 2069; septimo, primo, secundo 2109.

724 Deinde ut separentur ab invicem, iunge bizantios secundi, tertii et quarti cum bizantiis quinti, sexti, septimi, scilicet¹⁰⁸⁴ 1509 cum 2013; erunt 3523, quos extrahe de summa illorum omnium, scilicet de 4029: remanent primo homini bizantii 507. Item adde¹⁰⁸⁵ bizantios tertii et quarti et quinti cum bizantiis sexti, septimi, primi, et extrahe summam eorum de 4029: remanent secundo homini bizantii 171, quibus iunctis cum 507 primi, reddunt pro bizantiis primi et secundi 678, que sunt 9 plus de bizantiis primi et secundi et tertii. 725 Quare tertius homo habet debitum ipsos 9, vel hec questio est insolubilis. Sit itaque¹⁰⁸⁶ solubilis cum debito tertii hominis; deinde ut habeamus bizantios quarti, extrahe debitum tertii, scilicet 9, de bizantiis secundi, scilicet de 171: remanent 162. 726 Ergo secundus et tertius habent 162, quibus extractis de bizantiis secundi et tertii et quarti, scilicet de 1509, remanent quarto 1347; de quibus extractis 9, videlicet debitum tertii, habebunt inter tertium et quartum 1338; a¹⁰⁸⁷ quibus usque in bizantios tertii et quarti et quinti, scilicet in 1789, sunt 451, et tot habet quintus; quibus iunctis cum bizantiis quarti, et extractis de bizantiis quarti et quinti et sexti, scilicet de 1929, remanent sexto homini 131; quibus etiam et bizantiis quinti extractis de 2013 quinti, sexti et septimi, habebit septimus 1431.

727 Sine debito enim alicuius illorum solvitur ordine modi suprascripti, cum primi tres petant reliquis tertiam¹⁰⁸⁸, secundi \({1 \over 4}\), tertii \({1 \over 5}\), alii \({1 \over 6}\), alii \({1 \over 7}\), alii \({1 \over 8}\), alii \({1 \over 9}\). Habet enim primus 1077, secundus 717, tertius 489, quartus 1637, quintus 997, sextus 657, septimus 1749, et equus valet 3963.