102 De bolsonalia cum venditur ad numerum

²⁵¹ Quidam habet libras 13 et soldos 7 cuiusdam bolsonalie, de qua intrant in

£ pis. unc. arg. s. bol.   15     \({3 \over 4}\) 3 31 153     \({13 \over 20}\) 7 12 267

²⁵² libra soldi 31. Et in libra ipsius continentur uncie \({3 \over 4}\) 3, et libra argenti valet libras²⁵³ \({13 \over 20}\) 7 pisanorum. Queritur quot pisaninos de suprascripta²⁵⁴ bolsonalia habuerit. Facies²⁵⁵ soldos de libris \({7 \over 20}\) 13: erunt soldi 267, quos pones sub soldis²⁵⁶ 31 ut sint soldi sub soldis, ut in hac questione ostenditur. 103 Et multiplicabis 267 per numerum de \({3 \over 4}\) 3, scilicet per 15, que per numerum de \({13 \over 20}\) 7, hoc est per 153, et divides summam per 31 et per 12 et per omnes ruptos, videlicet per 4 et per 20: exibunt libre \({1~~20~~\phantom{1}9~~11 \over 4~~31~~12~~20}\) 20²⁵⁷ pisanorum pro pretio de libris 13 et soldis 7 predicte bolsonalie.

104 Et si vis scire quot pisaninos valeat soldus 1 dicte bolsonalie, describe²⁵⁸ 1 pro ipso

£ pis. unc. arg. s. bol.   15     \({3 \over 4}\) 3 31 153     \({13 \over 20}\) 7 12 1

²⁵⁹ soldo sub soldis 31, ut hic ostenditur; et multiplicabis ipsum 1 per \({3 \over 4}\) 3, que per \({13 \over 20}\) 7, et divides per 12 et per 31, hoc est quod multiplicabis dictum 1 per 15, que per 153; erunt 2295, que divides per \({1~~\phantom{1}0~~\phantom{1}0~~\phantom{1}0 \over 4~~31~~12~~20}\): exibunt \({3~~15~~\phantom{1}6~~\phantom{1}1 \over 4~~31~~12~~20}\), hoc est denarii \({3~~15 \over 4~~31}\) 18, qui sunt denarii \({1 \over 2}\) 18 et amplius \({1 \over 124}\) unius denarii. 105 Ergo habito pretio unius soldi predicte bolsonalie, possumus per eum reperire pretium quarumlibet librarum vel soldorum vel denariorum, secundum quod superius in antecedenti capitulo demonstravimus.

106 De eodem²⁶⁰

Et si²⁶¹ de suprascripta bolsonalia habueris tantum denarios 9²⁶² ad

£ pis. unc. arg. s. bol.   15     \({3 \over 4}\) 3 372 153     \({13 \over 20}\) 7 12 9

²⁶³ cambiandum²⁶⁴, aut de soldis 31 facies²⁶⁵ denarios, qui sunt 372, et pones eos super denarios 9 suprascriptos²⁶⁶, ut in hac descriptione ostenditur, aut de denariis 9 facies partes unius soldi, scilicet \({3 \over 4}\), et pones eos sub 31, ut inferius in alia descriptione ostenditur. 107 Nam in superiori descriptione multiplicabis denarios 9 per 15, que per 153, et divides per regulam de 372, que est \({1~~0~~\phantom{1}0 \over 3~~4~~31}\), et per 12 et per ruptos, hoc est per \({1~~0~~0~~\phantom{1}0~~\phantom{1}0~~\phantom{1}0 \over 3~~4~~4~~31~~12~~20}\) . Evitabis

£ pis. unc. arg. s. bol.   15     \({3 \over 4}\) 3 31 153     \({13 \over 20}\) 7 12 \({3 \over 4}\)

²⁶⁷ inde \({1 \over 3}\) de 15, hoc est quod multiplicabis 9 per tertiam partem de 15, scilicet per 5, que per 153; erunt 6885, que divides per \({1~~0~~\phantom{1}0~~\phantom{1}0~~\phantom{1}0 \over 4~~4~~31~~12~~20}\): exibit²⁶⁸ \({1~~2~~27~~\phantom{1}1~~\phantom{1}1 \over 2~~8~~31~~12~~20}\)²⁶⁹. 108 In alia vero descriptione multiplicabis 3 que sunt super 4 per 15, que per 153; erunt similiter 6885, que divides per 31 et per 12 et per omnes ruptos, hoc est per \({1~~0~~\phantom{1}0~~\phantom{1}0~~\phantom{1}0 \over 4~~4~~31~~12~~20}\): exibunt \({1~~2~~27~~\phantom{1}1~~\phantom{1}1 \over 2~~8~~31~~12~~20}\)²⁷⁰, hoc est denarii \({1~~2~~27 \over 2~~8~~31}\) 13²⁷¹.

109 De eodem

Item sint²⁷² libre \({\phantom{1}5~~\phantom{1}9 \over 12~~20}\) 13 cuiusdam bolsonalie, que sit ad uncias \({1 \over 8}\) 5 argenti, et in libra ipsius sint

£ pis. unc. arg. s. bol.   41 125   \({1 \over 8}\) 5 \({1 \over 4}\) 31     ⑩ 67   3233 \({3 \over 8}\) 8 12 \({5 \over 12}\) 269

²⁷³ soldi 31 et denarii 3, hoc est soldi \({1 \over 4}\) 31, et libra argenti valeat libras 8 et soldos 7 et denarios 6, hoc est libras \({3 \over 8}\) 8. Fac soldos de libris \({\phantom{1}5~~\phantom{1}9 \over 12~~20}\) 13: erunt soldi \({5 \over 12}\) 269, quos pones²⁷⁴ sub soldis \({1 \over 4}\) 31 ut hic ostenditur. 110 Et multiplicabis 269 per suam virgulam: erunt 3233, que pone super \({5 \over 12}\) 269, et super ipsa pone pensam ipsorum, que est 10 per 11. Similiter facies de \({1 \over 8}\) 5, et habebis 41 super ipsa, quorum pensa est 8. Hoc idem facies de \({3 \over 8}\) 8, et habebis 67, et pro pensa 1, et super \({1 \over 4}\) 31 habebis 125. 111 Deinde multiplicabis 3233 per 41 et per 67 et per 4 que sunt sub²⁷⁵ virgula de 31; et divides summam per regulam de 125, que est \({1~~0~~0 \over 5~~5~~5}\), et per 12 et per ruptos trium reliquorum numerorum, scilicet per 12 et per 8 et per 8; et aptabis ruptos et evitabis et probabis semper: exibunt libre \({1~~3~~\phantom{1}7~~\phantom{1}8~~\phantom{1}8~~16 \over 2~~6~~10~~10~~12~~20}\) 30 pro pretio dictarum librarum 13 et soldi 9 et denarii 5.

112 De eodem

Et si pretium unius soldi eiusdem bolsonalie reperire volueris, describes 1 sub \({1 \over 4}\) 31, et multiplicabis ipsum 1 per 41; erunt 41, que multiplicabis per 67; erunt 2747, que relinques

£ pis. unc. arg. s. bol.   41 125 \({\phantom{1}7~~\phantom{1}4~~\phantom{1}3~~\phantom{1}2 \over 10~~10~~12~~20}\) \({1 \over 8}\) 5 \({1 \over 4}\) 31       67     \({3 \over 8}\) 8 12 1

²⁷⁶ multiplicare per 4 que sunt sub virgula post 31 et non divides per 4 que sunt in regula de 8 que sunt sub 41; ergo divides 2747 per 125 et per 12 et per 2 que remanent de 8 que sunt sub virgula sub 41, et per 8 que sunt sub virgula sub 67, et aptabis ruptos: exibunt \({\phantom{1}7~~\phantom{1}4~~\phantom{1}3~~\phantom{1}2 \over 10~~10~~12~~20}\), ut in hac descriptione ostenditur, hoc est parum minus de denariis \({1 \over 2}\) 27, videlicet \({3 \over 5}\) unius denarii minus per unamquamque libram. 113 Et hoc cognoscitur ita: quod pretium soldi est denariorum \({\phantom{1}7~~\phantom{1}4 \over 10~~10}\) 27, hoc est denarii \({47 \over 100}\) 27, a quibus usque in denarios²⁷⁷ \({1 \over 2}\) 27 desunt \({3 \over 100}\) unius denarii, ergo si unicuique soldi defuerint \({3 \over 100}\) unius denarii, et libre, scilicet soldi 20, deerunt \({60 \over 100}\), hoc est \({3 \over 5}\) unius denarii, ut prediximus.

114 De eodem

Item si queratur pretium de denariis \({1 \over 2}\) 8 eiusdem bolsonalie, aut de soldis \({1 \over 4}\) 31 facies denarios, qui sunt 375, et pones sub eis dictos denarios \({1 \over 2}\) 8, vel de ipsis denariis \({1 \over 2}\) 8 facies partes unius soldi, scilicet \({1~~\phantom{1}8 \over 2~~12}\), et pones ipsas sub soldis \({1 \over 4}\) 31, ut sint soldi sub soldis, ut in hac descriptione ostenditur. 115 Et multiplicabis denarios 8 per suam

£ pis. unc. arg. s. bol.   41 125   \({1 \over 8}\) 5 \({1 \over 4}\) 31       67   17 \({3 \over 8}\) 8 12 \({1~~\phantom{1}8 \over 2~~12}\)

²⁷⁸ virgulam: erunt 17, que multiplicabis per 41, que per 67, que per 4 que sunt sub virgula post 31, et divides per 125 et per 12 et per ruptos, scilicet per \({1~~\phantom{1}0 \over 2~~12}\) et per 8 et per 8, et evitabis et coaptabis, et exibunt \({1~~6~~\phantom{1}5~~\phantom{1}4~~\phantom{1}7~~\phantom{1}1 \over 3~~8~~10~~10~~12~~20}\), hoc est denarii \({1~~6~~\phantom{1}5~~\phantom{1}4 \over 3~~8~~10~~10}\) 19.

116 Item quidam habet²⁷⁹ soldos 11 et denarios 7, hoc est soldos \({7 \over 12}\) 11 cuiusdam bolsonalie que est ad uncias \({1 \over 4}\) 3²⁸⁰, et intrant in libra ipsius bolsonalie soldi 28 et denarii \({1 \over 2}\) 5, hoc est soldi \({1~~\phantom{1}5 \over 2~~12}\) 28, et libra argenti valet libras \({7 \over 20}\) 8. Describes questionem ut hic ostenditur, et multiplica 28 per suam virgulam: erunt 683. Similiter multiplica omnes numeros per suas virgulas²⁸¹, et habebis 13 super \({1 \over 4}\) 3 et 167 super \({7 \over 20}\) 8 et 139 super \({7 \over 12}\) 11.

£ pis. unc. arg. s. bol.   13 683   \({1 \over 4}\) 3 \({1~~5 \over 2~~12}\) 28       167   139 \({7 \over 20}\) 8 12 \({7 \over 12}\) 11

²⁸² 117 Et tunc multiplicabis 139 per 13, que per 167, que per ruptos qui sunt cum²⁸³ 28, scilicet per 2 et per 12, et divides summam per 683 et per 12 et per ruptos trium numerorum multiplicatorum, scilicet per 12 et per²⁸⁴ 4 et per 20, et evitabis et coaptabis; et sic habebis \({1~~624~~\phantom{1}4~~18 \over 2~~683~~12~~20}\) pro pretio de soldis \({7 \over 12}\) 11 dicte bolsonalie.

118 Et sic poteris quarumlibet²⁸⁵ bolsonaliarum²⁸⁶ pretia per demonstratum modum sexte proportionis reperire, que proportio est composita ex duabus datis proportionibus. Et cum proportio aliqua est composita ex quotcumque proportionibus, tunc proportio proportionum ipsa appellatur. Que compositio qualiter fiat lucidius demonstrabo. 119 Sit summa aliqua, de qua efficitur summa secunda per datam duorum numerorum proportionem; et de secunda summa fit tertia per proportionem duorum quorumlibet numerorum; et de tertia eodem modo efficitur²⁸⁷ quarta, et sic deinceps. Tunc prime summe proportio ad ultimam dicitur esse composita ex omnibus datis proportionibus, scilicet que proportio est facti numeri ex omnibus antecedentibus ad factum numerum ex consequentibus, eadem est prime summe ad ultimam.

120 Verbi gratia: quidam habuit bizantios 100, de quibus in primo foro de duobus fecit tria; in secundo²⁸⁸ de quattuor quinque; in tertio ex sex fecit septem. Pone has proportiones in una virga sic: \({2~~4~~6 \over 3~~5~~7}\), et sunt omnes antecedentes super virga et consequentes sub ipsis. Et quia in primo foro de duobus fecit tria, prima summa²⁸⁹ ad secundam est sicut 2 ad 3, quare prima summa²⁹⁰ est \({2 \over 3}\) secunde; de qua cum de 4 fecit²⁹¹ 5, est proportio secunde summe ad tertiam sicut 4 est ad 5. Quare secunda summa est \({4 \over 5}\) tertie summe; et sic prima summa est \({2 \over 3}\)²⁹² de \({4 \over 5}\) tertie²⁹³ summe; de qua tertia summa cum de 6 fiunt²⁹⁴ 7, est tertia summa \({6 \over 7}\) quarte summe²⁹⁵. 121 Quare prima summa est \({2 \over 3}\)²⁹⁶ de \({4 \over 5}\) ex²⁹⁷ \({6 \over 7}\)²⁹⁸ ultime quesite summe²⁹⁹; quarum duarum summarum proportio est sicut facti numeri ex antecedentibus ad factum ex consequentibus. Et est factus³⁰⁰ ex antecedentibus 48, qui³⁰¹ est similis prime summe, qui procreatur ex multiplicatione antecedentium in se, scilicet de 2 in 4, que in 6; factus quidem ex consequentibus est 105, quia ter quinque ductis in 7 faciunt 105, et adsimilatur³⁰² ultime summe.

122 Ergo si a principio pro prima summa habeantur 48, pro quarta habebuntur 105, quia³⁰³ si de 105 acceperis \({6 \over 7}\) venient³⁰⁴ 90 pro tertia summa, de quibus si acceperis \({4 \over 5}\) venient³⁰⁵ 72 pro secunda summa, de quibus si acceperis \({2 \over 3}\) venient³⁰⁶ 48 pro prima summa. Vel aliter: si de 48 de 2 feceris tria, veniunt 72; de quibus si de 4 feceris 5, veniunt 90; de quibus etiam si de 6 fient³⁰⁷ 7, hoc est quod³⁰⁸ \({1 \over 6}\) de 90 multiplices per 7, veniunt 105. 123 Ergo proportio de 48 ad 105 est composita ex³⁰⁹ tribus datis proportionibus, scilicet ex ea quam 2 habent ad 3 et ex ea quam 4 habent ad 5 et ex ea quam 6 habent ad 7. Et quia est sicut 48 ad 105, ita prima est ad quesitam summam, quare si prima summa fuerit 100, multiplicanda sunt per 105 et dividenda per 48.

124 Vel si³¹⁰ hoc³¹¹ secundum modum baracti operari³¹² vis, pone primam proportionem in una linea, scilicet 2 et 3; et sub 3 pone antecedentem secunde proportionis, scilicet 4; post que pone 5, et super 5 in superiori linea pone antecedentem tertie proportionis,

7 6 3 2         \({3 \over 4}\) 218 5 4 100

³¹³ scilicet 6; post que pone 7, et 100 pone sub 2; quibus multiplicatis per 3, quibus per 5, quibus per 7, reddent summam multiplicationis facti ex consequentibus in 100; quam divides per antecedentes, scilicet per \({1~~0~~0 \over 2~~4~~6}\), hoc est per \({1~~0 \over 6~~8}\): exibunt \({3 \over 4}\) 218 pro ultima summa.

125 Et si proponatur quod ultima summa fuerit 100, et vis³¹⁴ invenire

7 6 3 2         100 5 4 \({5 \over 7}\) 45

³¹⁵ primam, pones 100 sub 7, ut in hac alia patet descriptione; et multiplica 100 per factum ex antecedentibus, hoc est per 6, que per 4, que per 2, et divides per consequentes, scilicet per \({1~~0~~0 \over 3~~5~~7}\)³¹⁶: exibunt \({5 \over 7}\) 45 pro prima summa. Ex hoc quidem manifestum est quod composita proportio³¹⁷ ex datis³¹⁸ quantiscumque³¹⁹ proportionibus est³²⁰ numerus factus ex omnibus antecedentibus ad numerum factum ex consequentibus.

126 Nam si proportionem de proportione extrahere vis, multiplica antecedentem illius proportionis de qua aliam extrahere vis per consequentem alterius et³²¹ habebis antecedentem residue proportionis; et ex multiplicatione duorum residuorum numerorum habebis consequentem. Verbi gratia: proportionem de 3 ad 4 volumus extrahere ex proportione de 2 ad 5. Pro prima proportione pone \({3 \over 4}\) et pro secunda pone \({2 \over 5}\), et multiplica 2 per 4: erunt 8, et 3 per 5: erunt 15, que pone sub 8, et habebis residuam proportionem. Quam si addideris cum proportione que 3 habent ad 4, nimirum proportio quam 24 habent ad 60, scilicet quam 2 habent ad 5 proveniet.