38 Incipit pars secunda secundi capituli

Cum autem tres figuras per tres figuras quis multiplicare voluerit, universalem regulam ei leviter edocemus. Scilicet ut scribatur gradus unius numeri contra gradum alterius, hoc est unitates¹³¹ sub unitatibus, decene sub decenis et centene sub centenis, et multiplicetur prima superioris numeri per primam subterioris, et ponat unitates super primum gradum numerorum et decene serventur in manu. 39 Et multiplicet primam¹³² superioris per secundam subterioris et primam¹³³ subterioris per secundam superioris, et addat utrasque¹³⁴ multiplicationes cum servatis decenis¹³⁵, et ponat unitates et decenas servet. Et multiplicet primam superiorem per tertiam inferiorem, et primam subteriorem per tertiam superiorem et secundam per secundam, et addat tres dictas multiplicationes cum numero servato, et ponat unitates super tertium gradum, et per unamquamque decenam¹³⁶ servet in manu 1. 40 Et multiplicet secundam superioris numeri per tertiam subterioris et secundam inferioris per tertiam superioris, et de collecta summa ponat unitates et decenas reservet¹³⁷. Et multiplicet tertiam per tertiam, et addat cum servatis decenis, et ponat unitates et postea ponat decenas si superfuerint positis unitatibus. Et sic¹³⁸ habebit multiplicationem¹³⁹ quorumlibet numerorum trium figurarum¹⁴⁰, sive equales fiant sive inequales.

41 Ad cuius rei evidentiam sint equales numeri 345 et 345 quos¹⁴¹

prima 345   345 secunda 5   345   345 tertia 25   345   345 quarta 025   345   345 quinta 9025   345   345 ultima 119025   345   345

¹⁴² insimul multiplicare oporteat, qui collocentur ad invicem sicuti in pagina collocati esse cernuntur, et multiplicet 5 per 5, erunt 25. Ponat 5 super utraque 5 sicuti in secunda descriptione cernitur, et pro decenis servet in manu 2. 42 Et multiplicet 5 superioris numeri¹⁴³ per 4 subterioris et 5 inferioris per 4 superioris, quibus additis cum 2 servatis erunt 42. Ponat 2 super utraque 4 sicuti in tertia continetur descriptione, et serventur¹⁴⁴ pro quattuor decenis 4¹⁴⁵. Et multiplicet 5 superioris per 3 subterioris et 5 inferioris per 3 superioris et 4 per 4, et summa ipsarum trium multiplicationum addatur cum 4 in manu servatis: erunt 50. 43 Ponat 0 super utraque 3, ut in quarta descriptione ostenditur, et serventur¹⁴⁶ in manu 5. Et multiplicet 4 superioris per 3 inferioris¹⁴⁷ et 4 inferioris per 3 superioris, et addantur¹⁴⁸ cum 5: erunt 29. Ponat 9 post 0, ut in quinta patet descriptione, et serventur in manu 2; et multiplicet 3 per 3, erunt 9, que addat cum 2: erunt 11, que ponat, ut in sexta et ultima descriptione ostenditur.

44 Que multiplicatio si recta est per supradictum modum cognoscitur, videlicet ut addantur figure de 345 superioribus et demantur¹⁴⁹ inde 9: remanebunt 3. Similiter fiat de 345 inferioribus et¹⁵⁰ remanebunt similiter 3, et multiplicentur 3 per 3, erunt 9¹⁵¹, de quibus demantur¹⁵² 9: remanet 0 quod habeat¹⁵³ pro pensa. Tunc colligantur figure que sunt in summa multiplicationis, scilicet 1 et 1 et 2 et 5, erunt 9, de quibus trahantur¹⁵⁴ 9: remanet 0 ut oportet. 45 Assignabo quidem quare multiplicatio secunde figure per secundam additur¹⁵⁵ cum multiplicatione primarum figurarum in tertias. Quia ut dictum est primus gradus quemcumque¹⁵⁶ multiplicat ipsum gradum facit; secundus gradus quemcumque¹⁵⁷ multiplicat secundum gradum facit ab ipso¹⁵⁸ quem multiplicat. Et sic cum¹⁵⁹ primus gradus multiplicat¹⁶⁰ tertium, tertium gradum facit. 46 Et cum secundus multiplicat secundum, facit eundem, scilicet tertium, qui est secundus ab ipso¹⁶¹ quem multiplicat. Ergo oportet ut¹⁶² multiplicatio secundi gradus per secundum iungatur multiplicationibus primarum¹⁶³ in tertias¹⁶⁴. Sequitur¹⁶⁵ multiplicatio secundarum figurarum in tertias, de qua provenit quartus gradus, scilicet secundus ab eo quem multiplicat. Ad ultimum multiplicatur tertius gradus per tertium, de qua multiplicatione provenit quintus gradus, scilicet tertius ab eo quem¹⁶⁶ tertius gradus¹⁶⁷ multiplicat. 47 Et hac ratione ex his que procreantur ex multiplicatione¹⁶⁸ primarum in tertias et secunde in secundam posuimus unitates in tertio gradu et servavimus decenas ad quartum gradum, et ex his que procreantur ex multiplicatione secundarum in tertias et ex decenis servatis posuimus unitates in quarto gradu et servavimus decenas ad quintum gradum; que decene adduntur¹⁶⁹ cum multiplicatione tertii gradus in tertium, et ponuntur unitates¹⁷⁰ eorum in quinto gradu et decene in sexto; et sic habetur multiplicatio supradicta.

48 De eodem

Item si voluerit multiplicare 607 cum 607, collocatis¹⁷¹

368449 607 607

¹⁷² numeris, multiplicet 7 per 7: erunt 49. Ponat 9 et retineat¹⁷³ 4, et multiplicet 7 per 0 et 7 per 0 in cruce et addantur cum 4 servatis: erunt 4, que ponat. Et multiplicet 7 per 6 et 7 per 6 et 0 per 0, erunt 84. Ponat 4, retineat 8, et multiplicet 0 per 6 et 0 per 6 et addantur¹⁷⁴ cum 8¹⁷⁵: erunt 8. Et ponat 8, et multiplicet 6 per 6: erunt 36; ponat 6 et 3, et sic habebit¹⁷⁶ pro summa dicte multiplicationis 368449.

49 De eodem

Item si

608400 78Ø 78Ø

¹⁷⁷ voluerit multiplicare 780 per 780, dematur de utrisque 780 suum 0: remanebit 78 et 78; et multiplicet 78 per 78: erunt 6084, ante que¹⁷⁸ ponantur duo zephyra, et habebitur pro summa dicte multiplicationis 608400.

50 Item si voluerit multiplicare 900 cum 900, demantur zephyra de utroque

810000 9ØØ 9ØØ

¹⁷⁹ numero, et multiplicet 9 per 9: erunt 81, quibus anteponantur zephyra quattuor, scilicet pro quattuor demptis zephyris de utroque 900, et habebitur pro summa dicte multiplicationis 810000.

51 De eodem cum inequalibus numeris

Si autem inequales numeros quis multiplicare voluerit, eadem via¹⁸⁰ et ordine erunt multiplicandi. Ut si oportuerit multiplicare 123 cum 456, scribantur ad invicem numeri ut supra dictum est, et¹⁸¹ multiplicentur 3 per 6, erunt 18. Ponantur 8, retineatur 1 et multiplicentur 3 per 5, erunt 15, que addantur cum 1 servato, erunt 16, et 6 per 2 et addantur cum 16: erunt 28. 52 Ponantur 8 et

proba est 0 56088   123   456

¹⁸² retineantur 2, et multiplicentur 3 per 4 et 6 per 1 et 2 per 5, et addantur¹⁸³ cum 2 servatis: erunt 30. Ponatur 0, retineantur¹⁸⁴ 3, et multiplicentur 2 per 4 et 5 per 1 et addantur cum 3 servatis: erunt 16. Ponantur 6 et retineatur¹⁸⁵ 1, cum quo addatur multiplicatio de 1 in 4: erunt 5 que ponantur, et habebitur pro summa multiplicationis dicte¹⁸⁶ 56088. 53 Si autem hec probare voluerit, iungantur figure de 123: erunt 6, et figure de 456: erunt 15, de quo numero demantur¹⁸⁷ 9: remanebunt 6, que multiplicentur cum 6: erunt 36, quibus per 9 divisis remanet 0 quod pro pensa habeatur. Tunc colligantur figure que sunt in summa¹⁸⁸ multiplicationis: erunt 27, quibus per novenarium divisis remanet 0 ut expedit pro pensa remanere.

54 Item si proponatur multiplicare 370 cum 451, quamvis per supradictam doctrinam multiplicari possint¹⁸⁹, tamen cum zephyrum sit in primo gradu unius numerorum, scilicet de 370, aliter multiplicari doceantur¹⁹⁰, scilicet ut dematur ipsum 0 de 370: remanebunt 37, que multiplicentur¹⁹¹ cum¹⁹² 451. Erit itaque illorum multiplicatio duarum figurarum per tres, que multiplicatio sic fieri docetur. Scribantur 37 super 51 de 451, et multiplicentur 7 per 1: erunt 7 que ponantur. 55 Et 7 per 5 et 1 per 3 multiplicentur: erunt 38. Ponantur 8 et

166870 37 451

¹⁹³ retineantur 3; et 7 per 4 et 3 per 5 multiplicatis et additis cum 3 servatis erunt 46. Ponantur 6 et¹⁹⁴ retineantur 4, et multiplicentur 3 per 4 et addantur cum 4 servatis: erunt 16, et¹⁹⁵ ponantur 6 et 1 et habebimus pro summa¹⁹⁶ multiplicationis duarum illarum figurarum in tres 16687. Quibus anteponatur 0 pro demto 0 de 370: exibunt¹⁹⁷ 166870. Hac itaque via quelibet due figure per quaslibet tres figuras multiplicantur.

56 Item si queratur multiplicatio de 320 per 570, dematur 0 de

182400 32 57

¹⁹⁸ utroque numero: remanebunt 32 et 57, qui numeri insimul multiplicentur: erunt 1824, quibus anteponantur duo zephyra et habebitur pro summa dicte multiplicationis 182400.

Nunc¹⁹⁹ vero satis de trium figurarum multiplicatione dictum fore arbitrantes, quatuor figurarum adinvicem multiplicationum doctrinam diligenter ostendamus.