315 Divisi⁴²⁰ 10 in duas partes et divisi unam per aliam et quod provenit addidi parti per quam divisi, et fuit \({1 \over 2}\) 5. Pone pro prima parte rem, que sit \(A\), et pro secunda 10 minus re, que sit \(BG\); et dividatur \(A\) per \(BG\), et proveniat \(GD\). Ergo \(BD\) est \({1 \over 2}\) 5, de qua si auferatur \(BG\), scilicet 10 minus re, remanebit⁴²¹ res minus denariis \({1 \over 2}\) 4 pro numero \(GD\). 316 Et quia numerus \(A\) ⁴²² divisus est per \(BG\) et provenit \(GD\), si multiplicaveris \(BG\) in \(GD\), nimirum \(A\) provenit. Ergo multiplica 10 minus re per rem minus denariis \({1 \over 2}\) 4, que multiplicatio sic fit: ex 10 in rem additam veniunt decem res, et ex re diminuta in \({1 \over 2}\) 4 diminuta veniunt res \({1 \over 2}\) 4 addite, et sic habentur res \({1 \over 2}\) 14 addite; et ex 10 additis in \({1 \over 2}\) 4 diminuta veniunt 45 dragme⁴²³ diminute; et ex⁴²⁴ re addita in rem diminutam provenit census diminutus. 317 Et sic pro quesita multiplicatione habentur res \({1 \over 2}\) 14 censu diminuto et⁴²⁵ denariis 45, que equantur rei. Restaura ergo utrique parti diminuta, et etiam de utraque tolle rem, et veniet census et denarii 45 qui equantur rebus \({1 \over 2}\) 13. Extrahe ergo 45 ex quadrato medietatis radicum, scilicet de \({9 \over 16}\) 45: remanebunt \({9 \over 16}\), quorum radix, que est \({3 \over 4}\), si de⁴²⁶ medietate radicum, scilicet de \({3 \over 4}\) 6, auferatur, remanebunt 6 que equantur rei; quare reliqua portio, scilicet \(BG\), est 4.

318 Divisi 10 in duas partes et divisi unam per aliam, et quod provenit addidi parti divise, et hoc ⁴²⁷ totum multiplicavi per aliam partem, et fuit 30. Ponam siquidem rem pro parte divisa, que sit \(AB\), et pro alia parte ponam 10 minus re, que sit \(G\); et dividatur \(AB\) in \(G\) et proveniat \(BD\). 319 Ergo ex \(AD\) in \(G\) proveniunt 30; sed ex \(AB\) in \(G\) proveniunt 10 res minus censu, et ex \(BD\) in \(G\) reddit⁴²⁸ res divisa; et sic pro \(AD\) in \(G\) veniunt res 11 minus censu, que equantur 30⁴²⁹. Adde ergo censum utrique parti et habebis censum et denarios 30, qui equantur 11 rebus. Operare ergo per illud, et invenies primam partem fuisse 6, secundam 4.

320 Divisi 10 in duas partes et divisi unam partem per aliam, et hoc⁴³⁰ quod exiit multiplicavi per⁴³¹ divisam partem et fuerunt 9. Sit itaque prima pars \(A\), que sit res; secunda sit \(B\), que est 10 minus ⁴³² re; et dividatur \(A\) per \(B\) et veniet \(D\). Ergo ex \(D\) in \(A\) veniunt 9, quod idem est si dividatur quadratus numeri \(A\) per \(B\). 321 Ergo⁴³³ si multiplicabis \(B\), scilicet 10 minus re in 9, proveniet quadratus numeri \(A\), scilicet census; ergo denarii 90 minus 9 rebus, que proveniunt ex 9 in 10 minus re, equantur censui. Restauratis itaque 9 rebus, veniet quod census et 9 rebus equantur denariis 90, et⁴³⁴ cetera; eritque prima pars 6, secunda 4.

322 Est census, de quo si auferantur 72 remanebit radix eius. Ex hac quidem positione cognoscitur quod res et denarii 72 equantur censui; quare quadratum medietatis unius, scilicet \({1 \over 4}\), adde super 72; erunt \({1 \over 4}\) 72, super quorum radicem, scilicet super \({1 \over 2}\) 8, adde \({1 \over 2}\): erunt 9, que sunt radix census, et census quesitus est 81.

323 Sunt duo numeri, quorum maior excedit minorem in 6; et divisi minorem per maiorem et provenit \({1 \over 3}\). Pone pro minori rem; quare maior erit res et denarii 6. Et quia ex divisione minoris per maiorem provenit \({1 \over 3}\), ergo si multiplicabitur \({1 \over 3}\) per maiorem⁴³⁵ numerum provenit numerus divisus, scilicet minor. 324 Ex multiplicatione quidem maioris numeri per \({1 \over 3}\) provenit tertia rei et denarii 2, que equantur rei. Abice ergo \({1 \over 3}\) rei ab utraque parte: remanebunt \({2 \over 3}\) rei, que equantur denariis 2. Reintegra ergo rem tuam, et veniet res⁴³⁶ que equatur 3; ergo minor numerus est 3, super quem adde 6: erunt 9 pro maiori numero.

325 Aliter: sit ⁴³⁷ maior numerus \(AB\) et \(AC\) sit minor; ergo \(CB\) est 6. Et quia diviso \(AC\) in \(AB\) provenit \({1 \over 3}\), ergo proportio \(AB\) ad \(AC\) est sicut 3 ad 1; et cum diviseris, erit sicut 2 ad 1 ita \(BC\) ad \(CA\); ergo \(AC\) est dimidium ex \(CB\). Vel⁴³⁸ quia diviso⁴³⁹ \(AC\) per \(AB\) provenit \({1 \over 3}\) unius integri, erit \(AC\) tertia ex \(AB\); quare si triplicetur⁴⁴⁰ \(AC\) erunt tres res que equantur rei et sex⁴⁴¹ dragmis, et cetera.

326 Est numerus, de quo eieci tertiam eius et denarios 4, et eius quod remansit proieci quartam, et quod remansit fuit radix primi numeri. Pone pro ipso numero censum de quo abice tertiam; remanebunt due tertie census, de quo etiam abice 4; remanebunt \({2 \over 3}\) census minus denariis 4, de quibus abice quartam: remanebunt \({3 \over 4}\) duarum tertiarum census minus \({3 \over 4}\) de denariis 4, hoc est medietas census minus denariis 3, que equantur⁴⁴² radici positi census. 327 Restaura ergo 3 denarios⁴⁴³: remanebit medietas census que equatur rei et denariis 3, quare census equatur duabus radicibus et denariis 6. Adde ergo super 6 quadratum medietatis radicum, scilicet 1; erunt 7, super quorum radicem, que est surda, adde 1, scilicet medietatem numeri radicum: proveniet utique binomium pro radice quesiti census, quod binomium est radix de 7 et denarius 1; quod cum in se multiplicaveris, provenient 8 et radix de 28 pro quesito censu.

328 Est census, de quo proieci tertiam et quod remansit⁴⁴⁴ multiplicavi per tres radices ipsius, et provenit idem census. Tu scis quia cum multiplicatur tertia radicis per tres radices, tunc provenit inde unus census, quare \({2 \over 3}\) quesiti census equantur tertie radicis; quare radix quesiti⁴⁴⁵ census est \({1 \over 2}\), quo in se multiplicato facit \({1 \over 4}\) pro quantitate census.

329 Item est census de quo extraxi 3 radices ipsius et addidi eas cum 4 radicibus residui, et fuerunt 20. Pone pro ipso censu tetragonum \(ABGD\), cuius radix est \(BG\); et ⁴⁴⁶ auferatur ex linea \(BG\) recta \(GE\), que sit 3, cui equalis sit recta \(DZ\); et copuletur \(EZ\). 330 Ergo superficies \(ED\) equatur tribus radicibus census \(BD\); qua extracta ex superficie \(BD\) remanet superficies \(BZ\), cuius 4 radices cum superficie \(ED\) sunt 20. Ergo si ex 20 auferantur tres radices census⁴⁴⁷ \(BD\) remanebunt 20 minus tribus radicibus, que equantur 4 radicibus superficiei \(BZ\). 331 Quare quarta pars ex 20 minus tribus radicibus, scilicet 5 minus \({3 \over 4}\) unius radicis, equatur uni radici superficiei \(BZ\). Quare multiplicetur 5 minus \({3 \over 4}\) radicis in se: erunt denarii 25 et \({9 \over 16}\) census⁴⁴⁸ minus radicibus \({1 \over 2}\) 7, que equantur superficiei \(BZ\), hoc est censui \(BD\) minus tribus radicibus suis, que sunt superficies \(ED\). 332 Quare si⁴⁴⁹ comuniter addantur⁴⁵⁰ res \({1 \over 2}\) 7, erunt \({9 \over 16}\) census et denarii 25 que equantur censui et rebus \({1 \over 2}\) 4. Unde si⁴⁵¹ comuniter auferantur \({9 \over 16}\) census, remanebunt \({7 \over 16}\) census et res \({1 \over 2}\) 4 que equantur denariis 25. Redige ergo hec omnia ad censum unum, scilicet multiplica ea per 16 et divide⁴⁵² per 7, et erit census unus et res \({2 \over 7}\) 10 que equantur denariis \({1 \over 7}\) 57, super quos adde quadratum medietatis radicum, et cetera; et invenies radicem \(BG\) esse 4 et censum \(BD\) 16⁴⁵³.

333 Et si proponatur quod tres radices census⁴⁵⁴ \(BD\) cum quattuor radicibus residui, scilicet superficiei \(BZ\), equantur censui \(BD\) et denariis 4, extrahe ergo ex censu et denariis 4 radices 3, remanebit census et denarii 4 minus tribus radicibus, que equantur 4 radicibus superficiei \(BZ\). 334 Sed superficies \(BZ\) equatur censui \(BD\) minus tribus suis ⁴⁵⁵ radicibus, ergo superficies \(BZ\) cum denariis 4 equatur 4 radicibus ipsius. Pone ergo pro superficie \(BZ\) censum, qui⁴⁵⁶ cum denariis 4 equatur 4 radicibus. Extrahe ergo 4 ex quadrato medietatis radicum, scilicet de 4: remanet zephyrum, quo addito vel diminuto a medietate radicum reddit⁴⁵⁷ 2 pro radice positi census. 335 Quibus 2 in se multiplicatis reddunt 4 pro ipso censu, scilicet pro superficie \(BZ\); que etiam fit ex \(BE\) in \(EZ\), hoc est ex \(BE\) in \(BG\). Ergo ex ductu \(BE\) in \(BG\) veniunt 4; dividatur ergo \(EG\) in duo equa super \(I\)⁴⁵⁸: erit unaqueque portio \(EI\) et \(IG\) \({1 \over 2}\) 1; et quia ex \(BE\) in \(BG\) proveniunt 4, si eis addatur quadratus linee \(EI\)⁴⁵⁹, scilicet \({1 \over 4} 2\)⁴⁶⁰, habebuntur pro quadrato linee \(BI\) \({1 \over 4}\) 6. 336 Quare si super eorum radicem, scilicet super \({1 \over 2}\) 2, addatur linea \(IG\), scilicet \({1 \over 2}\) 1, habebuntur 4 pro linea \(BG\); quare census \(BD\)⁴⁶¹ est 16, cuius 3⁴⁶² radices, scilicet superficies \(ED\) sunt 12. Remanent ergo 4 pro superficie \(BZ\), cuius quattuor radices sunt 8, quibus additis cum 12 reddunt denarios 4 super censum \(BD\), ut querebatur.

337 Et si dicatur: est census de quo extraxi 8 radices et addidi eas cum 10 radicibus residui, et provenit census et denarii 21. Eodemque modo invenies censum qui cum 21 equetur decem suis radicibus; eritque 9 vel 49, unus quorum habeatur pro superficie \(BZ\). Quam si ponimus esse 9, erit tetragonum \(BD\) ratiocinatum⁴⁶³. 338 Quod sic probatur: quia ex ductu \(BE\) in \(BG\) provenient 9, si addatur quadratus numeri \(EI\), scilicet 16, erunt 25, quorum radix, scilicet 5, est linea \(BI\); quibus si addatur \(IG\), scilicet 4, erit tota \(BG\) ratiocinata⁴⁶⁴, que erit 9; quare census \(BD\) est 81, et si ex \(IB\) auferatur \(IE\), remanebit \(EB\)⁴⁶⁵ unum. 339 Et si ponam superficiem \(BZ\) 49 erit radix eius 7, et est media in proportione inter \(BE\) et \(EZ\). Quare ex \(BE\) in \(EZ\), hoc est ex \(BE\) in \(GB\), veniunt 49; quibus si addantur 16, scilicet quadratus numeri \(EI\), provenient 65, super quorum radicem si addatur \(IG\), erit tota \(BG\)⁴⁶⁶ binomia quinta, scilicet radix de 65 et denarii 4. Et si auferatur \(IE\) ex \(IB\) remanebit \(EB\) recisum quod est radix de 65 minus 4; que⁴⁶⁷ multiplicata per \(EZ\), scilicet per radicem de 65 et per 4, provenient 49 pro superficie \(BZ\).

340 Adhuc si dictum fuerit: est census, cuius 4 radices multiplicavi per 5 radices eius, et quod provenit fuit quattuor census⁴⁶⁸ et denarii 48. Ex ductis quidem 4 radicibus in 5 radices proveniunt 20 census, qui equantur quattuor censibus et denariis 48; quare⁴⁶⁹ si comuniter auferantur 4 census, remanebunt 16 census qui equantur denariis 48. Quare divide 48 per 16, venient 3 pro quantitate quesiti census.

341 Item est census, cuius \({1 \over 13}\) equatur \({1 \over 7}\) radices eius. Reduc ergo hec omnia ad censum unum, et erit quod census equatur radici \({6 \over 7}\) 1; ergo radix census est \({6 \over 7}\) 1, qua radice in se multiplicata reddit \({169 \over 49}\) .

Item est⁴⁷⁰ census quem si multiplicas in quadruplum ipsius veniunt 20. Erit eius regula quod cum multiplicas ipsum in se proveniunt 5. Ipse namque est radix⁴⁷¹ 5.

342 Item est census quem in tertiam sui multiplicavi, et provenit 10. Erit eius consideratio quoniam cum multiplicas ipsum in se proveniunt 30. Dic ergo quod census est radix de 30.

Item est census, quo multiplicato per quadruplum ipsius, provenit tertia dragme⁴⁷². Ergo si multiplicabitur ille census in duodecuplum ipsius provenit unum; ergo ille census radix⁴⁷³ est \({1 \over 12}\).

343 Item est census, quo multiplicato in radicem ipsius provenit triplum census primi. Erit eius consideratio quoniam cum multiplicas radicem census in tertiam ipsius provenit census. Dico quod istius census tertia pars⁴⁷⁴ est radix eius, et ipse est 9.

344 Item multiplicavi tertiam census et denarium 1⁴⁷⁵ in quartam eius et duos denarios, et provenit census et augmentum 13 denariorum. Pone pro ipso censu rem; et multiplica tertiam rei in quartam⁴⁷⁶ eius et provenit duodecima pars census, et tertiam rei in duos denarios, et quartam rei in denarium, et denarium in duos denarios; 345 et sic habebis duodecimam census et \({11 \over 12}\) rei et denarios 2, que equentur rei et denariis 13⁴⁷⁷. Tolle ergo ab utraque parte \({11 \over 12}\) rei et duos denarios, remanebit itaque duodecima⁴⁷⁸ census, que equatur duodecime rei et denariis 11. Multiplica ergo hec omnia per 12, et veniet census qui equatur uni rei⁴⁷⁹ et denariis 132, et cetera.

346 Est numerus, de quo si auferatur \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) et denarii 4, remanebit siquidem radix eius. Pone pro ipso numero rem, et extrahe ex eo \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) et denarios 4, remanebunt itaque \({5 \over 12}\) rei minus denariis 4, que sunt radix posite rei. Quare multiplica ea in se, et quod provenerit equabitur rei. Nam multiplicatis \({5 \over 12}\) rei in se proveniunt \({25 \over 144}\) census, et ex duplo de \({5 \over 12}\) rei in denariis 4 diminutis veniunt res \({1 \over 3}\) 3 diminute, et ex denariis 4 diminutis in⁴⁸⁰ denarios 4 diminutos veniunt denarii 16 additi, que omnia⁴⁸¹ equantur rei. 347 Adde ergo utrique parti res \({1 \over 3}\) 3: venient res \({1 \over 3}\) 4 que equantur \({25 \over 144}\) census et denariis 16. Reddige⁴⁸² ergo hec omnia ad censum unum, scilicet multiplica unumquemque ipsorum numerorum per 144 et divide unamquamque multiplicationem per 25, et venient radices \({24 \over 25}\) 24, que equantur censui et denariis \({4 \over 25}\) 92, et cetera; et invenies censum esse binomium, scilicet \({12 \over 25}\) 12 et radicem de \({369 \over 625}\) 63.

348 Et si dictum fuerit quod multiplicato predicto residuo, scilicet \({5 \over 12}\) rei minus denariis 4 in se, faciat 12 ultra primum numerum, tunc eodem ordine erunt \({25 \over 144}\) census et denarii 4 qui equantur radicibus \({1 \over 3}\) 4; et cum redigeris ea ad censum unum, erit census et denarii \({1 \over 25}\) 23 qui equantur radicibus \({24 \over 25}\) 24. Operare ergo per ea, et invenies quesitum numerum esse 24.

349 Multiplicavi numerum per 4 radices ipsius, et provenit septuplum ipsius. Nunquam multiplicabitur numerus aliquis per aliquid, ex qua multiplicatione proveniet septuplum multiplicati, nisi multiplicetur ipse numerus per 7; ergo cum multiplicatur quesitus numerus per 4 radices eius, tunc ipse multiplicatur per 7. Unde manifestum est quod radices 4 predicti numeri equentur denariis 7; ergo radix eius est \({3 \over 4}\) 1, quod provenit ex 7 divisis in 4; qua⁴⁸³ radice in se multiplicata proveniunt \({1 \over 16}\) 3 pro quesito numero.

350 Item est numerus de quo proieci quartam ipsius, residuumque multiplicavi per⁴⁸⁴ 4 radices eius, et provenit sexcuplum⁴⁸⁵ illius. Et quia ex multiplicatione de \({3 \over 4}\) quesiti numeri in 4 radices eius provenit sexcuplum⁴⁸⁶ eius, si multiplicatur⁴⁸⁷ pars extracta, scilicet \({1 \over 4}\), per 4 radices predictas, provenit duplum eiusdem numeri. 351 Ergo si multiplicabitur numerus quesitus per 4 radices eius, nimirum proveniet octuplum⁴⁸⁸ eiusdem numeri; ergo 4 radices equantur denariis 8; ergo radix quesiti numeri est 2 et ipse numerus est 4.

352 Item numerus est⁴⁸⁹ de quo proieci 4 radices ipsius et de residuo accepi⁴⁹⁰ \({1 \over 4}\), et fuit equale radicibus 4. Ergo cum \({1 \over 4}\) pars residui equatur 4 radicibus, totum ergo residuum equabitur radicibus 16; quibus si addantur radices 4 que fuerunt proiecte, totus numerus quesitus equabitur 20 radicibus; quare radix eius est 20 et ipse numerus est 400.

353 Item est numerus, de quo proieci 3 radices ipsius et quod remansit fuit radix quadrupli ipsius numeri. Pro quadruplo predicto accipe radicem de 4, que est 2, et adde eam cum 3 propter tres radices: erunt 5, que sunt radix numeri quesiti, et ipse numerus est 25.

354 Rursus est numerus quo multiplicato per \({2 \over 3}\) ipsius proveniunt 5. Dic ergo: cum ex multiplicatione predicta venient 5, si⁴⁹¹ multiplicabitur idem numerus per tertiam ipsius provenient \({1 \over 2}\) 2; ergo si numerus multiplicabitur in se faciet \({1 \over 2}\) 7; ergo ipse numerus est radix de \({1 \over 2}\) 7. 355 Nam si vis scire qualiter ipse multiplicetur per \({2 \over 3}\) ipsius, multiplica ipsum in se; erunt \({1 \over 2}\) 7, et multiplica \({2 \over 3}\) ipsius in se; erunt \({4 \over 9}\), quas partes accipe de \({1 \over 2}\) 7; erunt \({1 \over 3}\) 3, que multiplica per \({1 \over 2}\) 7: venient 25, quorum radix, scilicet 5, est summa quesite multiplicationis, ut oportet.

356 Item est numerus de quo extracta tertia ipsius et denariis 6, residuum si in se multiplicabitur reddet duplum ipsius numeri. Quamvis hec ad unam ex 6 regulis algebre produci valeat, tamen qualiter proportionaliter fieri debeat indicabo. Sit itaque numerus ⁴⁹² quesitus linea \(AB\), de quo auferatur linea \(BG\) que sit tertia numeri \(AB\): remanebit numerus \(AG\) \({2 \over 3}\) numeri \(AB\); de quo etiam auferatur linea \(GD\), que sit 6: remanebit ergo numerus \(AD\), qui est radix ex duplo numeri \(AB\). 357 Quare reperiendus est numerus qui cum multiplicatus fuerit per numerum \(AG\) faciat duplum numeri \(AB\), eritque 3. Ergo multiplicatio numeri \(AG\) in 3 equatur multiplicationi numeri⁴⁹³ \(AD\) in se; ergo est sicut \(AG\) ad \(AD\) ita \(AD\) ad 3. Maior est \(AG\) quam \(AD\); maior ergo \(AD\) quam 3. 358 Auferantur itaque 3 ex numero \(AD\), sitque \(AE\); et quoniam est sicut \(AG\) ad \(AD\) ita \(AD\) ad \(AE\), erit ergo cum diviseris sicut notus \(GD\) ad \(DA\) ita \(DE\) ad \(EA\) notum. Multiplicabis ergo \(GD\) notum in \(AE\) notum, scilicet 6 per 3: erunt 18, quibus equatur multiplicatio \(ED\) in \(AD\). 359 Quare si superaddatur quadratus medietatis numeri \(AE\), scilicet \({1 \over 4}\) 2, erunt \({1 \over 4}\) 20, super quorum radicem, scilicet super \({1 \over 2}\) 4, adde medietatem numeri \(AE\), que est \({1 \over 2}\) 1: veniunt 6 pro numero \(AD\), cui addantur 6, scilicet numerus DG: erit numerus \(AG\) 12, que sunt \({2 \over 3}\) numeri \(AB\). Multiplicentur⁴⁹⁴ ergo 12 per 3 et dividantur per 2, vel super 12 addatur medietas eorum: venient 18 pro toto numero \(AB\)⁴⁹⁵.

360 Et si proponatur quod ex ductu \(AD\) in se proveniat numerus \(AB\) cum augmento denariorum 18, invenies numerum quo multiplicato per numerum \(AG\) faciat equale numero⁴⁹⁶ \(AB\); eritque \({1 \over 2}\) 1, qui sit linea \(AE\). Ergo ex \(AE\) in \(AG\) provenit numerus \(AB\); ergo si ex ipsa multiplicatione auferatur multiplicatio ex \(AE\) in \(DG\), scilicet ex \({1 \over 2}\) 1 in 6, remanebit multiplicatio \(AE\) in \(AD\) equalis numero \(AB\), diminutis inde 9. 361 Sed ex \(AD\) in se provenit 18 ultra numerum \(AB\); ergo multiplicatio \(AD\) in se superat⁴⁹⁷ multiplicationem ex \(AE\) in \(AD\) in 27. Sed multiplicatio \(AD\) in se equatur duabus multiplicationibus, que sunt ex \(AE\) in \(AD\) et ex \(ED\) in \(AD\); ergo multiplicatio \(ED\) in \(AD\) est 27, cui addatur quadratus medietatis numeri \(AE\)⁴⁹⁸, scilicet \({9 \over 16}\): erunt \({9 \over 16}\) 27, super quorum radicem, que est \({1 \over 4}\) 5, si addideris \({3 \over 4}\), scilicet dimidium numeri \(AE\), venient 6 pro numero \(AD\); super quem si addideris numerum \(DG\) erunt 12 pro numero \(AG\); super quem si addideris dimidium eius erit totus numerus \(AB\) 18.

362 Adhuc est numerus de quo proieci⁴⁹⁹ tertiam eius et denarios 6 et quod remansit multiplicavi per 5, et rediit⁵⁰⁰ idem numerus. Sit itaque linea \(AB\) numerus quesitus, ⁵⁰¹ cuius tertia sit \(BC\), et \(CD\) sit 6, et linea \(GH\) sit 5, et auferatur ex \(GH\) numerus \(GF\), qui sit \({1 \over 2}\) 1, in quo multiplicatur numerus \(AC\)⁵⁰²: facit numerum \(AB\), et \(AD\) in \(GH\) facit similiter numerum \(AB\). 363 Quare est sicut \(CA\) ad \(DA\) ita \(HG\) ad \(FG\); erit ergo cum dividetur sicut \(CD\) primus ad \(DA\) secundum ita \(HF\) tertius ad \(FG\) quartum. Ergo multiplicatio \(CD\) in \(FG\), scilicet de 6 in \({1 \over 2}\) 1, que multiplicatio est 9, equatur multiplicationi \(DA\) ignoti in \(HF\) notum. Quare si dividantur 9 per \(HF\), scilicet per \({1 \over 2}\) 3, venient \({4 \over 7}\) 2 pro numero \(AD\), cui si addatur numerus \(DC\), erit \(AC\) \({4 \over 7}\) 8. Super que si addatur dimidium eorum, scilicet \(CB\), que est tertia pars, cum tertia unius numeri sit medietas residui, venient \({6 \over 7}\) 12 pro toto numero \(AB\)⁵⁰³.

364 Et⁵⁰⁴ si ex \(AD\) in 5, scilicet in \(GH\), proveniant 24 ultra numerum \(AB\), erit tunc multiplicatio \(GF\) in \(AD\) novem minus multiplicatione \(GF\) in \(AC\); que 9 proveniunt⁵⁰⁵ ex \(GF\) in \(DC\), hoc est ex \({1 \over 2}\) 1 in 6. Ergo ex \(GF\) in \(AD\) proveniunt 9 diminuta de numero \(AB\)⁵⁰⁶; que si addantur super 24 erunt 33, que proveniunt ex \(FH\) in \(AD\). Quare si dividantur 33 per \({1 \over 2}\) 3, scilicet per \(FH\), venient \({3 \over 7}\) 9 pro numero \(AD\); quare numerus \(AC\) est \({3 \over 7}\) 15, quibus si addatur dimidium eorum, scilicet \({5 \over 7}\) 7, erunt \({1 \over 7}\) 23 pro toto numero \(AB\).

365 In quadam negotiatione quidam habuit libras 12 capitalis, cum quibus lucratus est aliquid in mensibus tribus; super quod totum, scilicet super capitale et lucrum, quidam alius addidit libras 11, et cum his omnibus lucratus est proportionaliter secundum quod lucratus fuerat primum; et in capite duodecim mensium lucratus est aliquid aliud, et fuit totum lucrum duodecim mensium et trium libre 9. Queritur quot ex ipso lucro cadat unicuique ipsorum, vel quot lucrabatur in unoquoque mense per libram.

366 Ponam pro libris 12 lineam \(AB\), et pro lucro earum trium mensium lineam \(BC\), et iaceat linea \(EG\) equalis linee \(AC\), et auferam ab ea lineam \(FG\) equalem linee BC: remanebit \(EF\) equalis linee \(AB\). Et addam linee \(EG\) lineam \(DE\), que sit 11; erit ergo tota \(DF\) 23, et sit \(GH\) lucrum numeri \(DG\) in uno anno. 367 Erit ergo coniunctum ex \(GH\) et⁵⁰⁷ \(BC\) 9, et quia annus ⁵⁰⁸ quadruplus est trium mensium accipiam ex \(GH\) quartam eius, que sit \(GI\); erit ergo \(GI\) lucrum in tribus mensibus totius numeri \(DG\). Quare proportionaliter est sicut⁵⁰⁹ \(AB\) ad \(BC\) ita \(DG\) ad \(GI\), et quia numerus \(GH\) quadruplus est numeri \(GI\), erit sicut \(AB\) ad \(BC\) ita quadruplum ex \(DG\) ad \(GH\). 368 Permutatim ergo sicut quadruplum ex \(DG\) ad \(AB\) ita \(GH\) ad \(BC\). Coniunctim ergo sicut quadruplum ex \(DG\) cum \(AB\) ad \(AB\) ita coniunctum ex \(GH\) et \(BC\) ad \(BC\). Cum enim quattuor quantitates proportionales sunt, erit multiplicatio prime in quartam sicut multiplicatio secunde in tertiam. Quare quod fit ex coniuncto quadrupli \(DG\) cum \(AB\) in \(BC\), est sicut illud quod fit ex \(AB\) in coniunctum ex \(GH\) cum \(BC\). Est enim \(AB\) 12 et \(GH\) cum \(BC\) sunt 9, quorum multiplicatio surgit in 108. 369 Ergo multiplicatio coniuncti ex quadruplo \(DG\) cum \(AB\) in \(BC\) surgit similiter in 108. Deinde ut reducatur hec questio ad unam ex questionibus algebre, ponam lucrum \(BC\) rem, quare et \(FG\) erit similiter res. Ergo quadruplum totius \(DG\) est 92 et quattuor res, cum quibus si addatur numerus \(AB\), qui est 12, erit coniunctio quadrupli \(DG\) cum \(AB\) 104 et quattuor res. Que omnia multiplicata in \(BC\), scilicet⁵¹⁰ in rem, faciunt quattuor census et 104 radices que equantur libris 108. 370 Quare quarta pars eorum⁵¹¹, scilicet census et radices 26, equantur quarte de 108, scilicet 27. Unde si dimidium radicum in se multiplicabitur surget in 169, cum quibus additis 27 faciunt 196, de quorum radice, scilicet de 14, si auferatur dimidium radicum suprascriptarum, remanebit 1 pro quantitate rei. Ergo \(BC\) cum sit res, est libra 1, qua divisa per menses 3 veniet pro lucro duodecim librarum in uno mense denarii 80; quibus divisis per libras 12 venient denarii \({2 \over 3}\) 6, et tot lucrabatur per libram in unoquoque mense. 371 Deinde ut habeantur contingentes⁵¹² unicuique, addam \(BC\) super \(AB\); provenient libre 13, super quas addam lucrum ipsarum duodecim mensium, quod est librarum 4 et soldorum 6 et denariorum 8: venient in summa libre \({1 \over 3}\) 17 pro portione capitalis et lucri primi hominis; de quibus si auferatur capitale ipsius, scilicet libre 12, remanebunt pro lucro ipsius libre \({1 \over 3}\) 5. Reliquum, scilicet libre \({2 \over 3}\) 3, remanet pro lucro unius anni contingente ei qui miserat 11.

372 Inveniat quis numerum quo multiplicato in se et in radicem de 10 faciat ⁵¹³ nonuplum ipsius numeri. Ponam pro ipso numero rem, que sit linea \(AB\), et addam ei lineam \(BG\), que sit radix de 10, et ordinabo super rectam \(AB\) quadratum \(DB\), et per punctum \(G\) protraham lineam \(GZ\) equidistantem utrique rectarum \(BE\) et \(AD\), et ducam rectam \(DE\) in punctum \(Z\). 373 Et erit tota superficies \(DG\) rectiangula nonuplum numeri \(BA\) hoc modo: ex ductu quidem \(BA\) in se provenit tetragonum \(BD\), et ex ductu \(EB\) in \(BG\), hoc est \(BA\) in \(BG\), provenit superficies \(EG\); ergo ex ductu \(BA\) in se et in radicem de 10 provenit superficies \(DG\), que est nonuplum numeri \(BA\), hoc est numeri \(DA\). 374 Et quia \(BA\) posuimus⁵¹⁴ rem esse, erit ergo et \(DA\) res, scilicet radix, et tota superficies \(DG\), cum sit nonupla⁵¹⁵ numeri \(DA\), equabitur 9 radicibus. Quare tota \(GA\) est 9; de quibus si auferatur recta \(GB\), que est radix de 10, remanebit pro quesito numero \(BA\) 9 minus radice de 10.

375 Et si dicatur quod ex ductu \(AB\), scilicet numeri dicti, in se et in radicem de 10, proveniat nonuplum quadrati quod fit a numero \(BA\), ponam iterum \(BA\) rem, et ex ductu eius in se provenit census \(BD\); et ex ductu \(BA\), hoc est \(BE\), in \(BG\), que est radix 10, provenit radix 10 censuum, quia multiplicata⁵¹⁶ radix in se facit censum, et radix 10 in se facit 10. 376 Multiplica ergo 10 in censum, et provenient 10 census; quorum accipe radicem, et erit radix 10 censuum, que est superficies \(EBG\). Ergo census et radix decupli ipsius est nonuplum ipsius census, hoc est quod equatur⁵¹⁷ 9⁵¹⁸ censibus. Comuniter si auferatur census, remanebit radix 10 censuum equalis 8 censibus, hoc est superficies \(EG\) est octuplum tetragoni \(BD\). Ergo est sicut 8 ad 1 ita superficies \(EG\) ad quadratum \(DB\). 377 Sed sicut superficies \(GE\) ad quadratum \(BD\) ita numerus \(GB\) ad numerum \(BA\); ergo est sicut 8 ad 1 ita \(GB\) ad \(BA\). Sed \(BG\) est nota, cum sit radix de 10; ergo si multiplicaverimus radicem de 10 in 1 et diviserimus per 8, veniet⁵¹⁹ utique radix de \({10 \over 64}\) unius dragme pro numero \(BA\); quare quadratum \(BD\) est \({10 \over 64}\) unius dragme. Nam ex ductu \(EB\) in \(BG\), scilicet ex radice de \({10 \over 64}\) in radicem de 10, venit⁵²⁰ radix \({100 \over 64}\); que radix est \({10 \over 8}\), hoc est dragme \({1 \over 4}\) 1; qui denarius \({1 \over 4}\) 1 procul dubio octuplum est de \({10 \over 64}\), hoc est quadrati \(BD\).

378 Item est numerus, quo multiplicato in se et in radicem de 10 proveniunt 20. Ergo per ea que dicta sunt invenimus, si pro ipso numero ponamus⁵²¹ rem, quod⁵²² census et radix 10 censuum equatur 20. Et tunc si ponamus suprascriptam lineam, invenies quod census et tot radices eius quot unitates sunt in radice de 10 equantur 20. 379 Quare ⁵²³ dividam rectam \(GB\) in duo equa super punctum \(I\), et erit recta \(IB\) radix quarte partis de 10, scilicet de \({1 \over 2}\) 2; et tota superficies \(DG\) est 20, que provenit ex \(DA\) in \(AG\), hoc est ex \(BA\) in \(GA\). Quibus 20 si addatur quadratus linee \(IB\), scilicet \({1 \over 2}\) 2, venient \({1 \over 2}\) 22 pro quadrato linee \(IA\). 380 Quare si ex radice de⁵²⁴ \({1 \over 2}\) 22 auferatur radix de \({1 \over 2}\) 2, scilicet ex \(IA\) tollatur \(IB\), remanebit radix de 10 pro numero \(BA\); ergo tota \(GA\) est radix de 40, que duabus radicibus⁵²⁵ de 10 equatur. Nam si ducatur \(BA\) in se proveniunt 10, et ex ductu \(BA\) in \(BG\) proveniunt alia 10, cum unaqueque ipsarum sit radix de 10.

381 Multiplicavi octuplum radicis cuiusdam numeri per triplum radicis ipsius et provenienti summe addidi denarios 20, et fuit totum illud equale quadrato ipsius. Pone siquidem pro ipso numero rem; quare pro octuplo radicis ipsius habebuntur octo radices ipsius, et pro triplo radicis eius habebuntur radices 3, et ex multiplicatione octo radicum ipsius in tres radices⁵²⁶ eius veniet viguplum quadruplum ipsius numeri. 382 Et quia posuimus⁵²⁷ ipsum numerum esse rem, veniet ex dicta multiplicatione radices 24; quibus si addatur 20 erunt 24 res et denarii 20 que equantur censui, scilicet quadrato quesiti numeri. Quare dimidia radices; erunt 12, quibus in se ductis⁵²⁸ erunt 144, quibus adde 20: erunt 164, super quorum radice adde medietatem radicum, et habebis radicem de 164 et denarios 12 pro quesito numero, qui numerus est binomium quintum. Quod binomium si multiplicaverimus per 24 et addiderimus 20, equabitur multiplicationi⁵²⁹ ipsius binomii in se.

383 Et si dicatur: multiplicavi radicem octupli cuiusdam numeri in radicem ⁵³⁰ tripli eius, et provenienti summe addidi 20, et ex hoc toto provenit quadratum ipsius numeri. Ponam pro ipso numero lineam \(BG\) et describam super ipsam tetragonum⁵³¹ \(BD\), et auferam ab eo superficiem \(BF\), que sit 20: remanebit superficies \(FG\) equalis multiplicationi radicis octupli numeri \(BG\) in radicem tripli eius, que multiplicatio est⁵³² radix vigupli quadrupli quadrati \(BD\). 384 Ergo ex ductu \(FE\), hoc est \(BG\), in \(EG\), provenit numerus multiplicationis radicis octupli numeri \(BG\) in radicem tripli eius. Sed ex multiplicatione octupli numeri \(BG\) in triplum eius provenit viguplum quadruplum quadrati \(BD\); quod etiam provenit ex quadrato \(BD\) ducto in 24. Quare si multiplicaverimus radicem de 24 per⁵³³ radicem quadrati \(BD\), scilicet per⁵³⁴ numerum \(BG\), proveniet radix vigupli quadrupli quadrati \(BD\), quod idem provenit ex \(EG\) in \(BG\). 385 Ergo \(EG\) est radix de 24; que si dividatur in duo equa supra punctum \(H\), erit utique \(EH\) radix 6. Et quia ex ductu \(BE\) in \(EF\), hoc est ex \(BE\) in \(BG\), proveniunt 20, quibus si addiderimus quadratum numeri \(EH\), quod est 6⁵³⁵, habebitur⁵³⁶ 26 pro quadrato linee \(BH\)⁵³⁷; ergo numerus \(BH\) est radix de 26. 386 Cui si addatur numerus \(HG\) habebitur pro quesito numero \(BG\) radix de 26 et radix de 6, que nomina faciunt binomium sextum; quod binomium in se multiplicatum faciunt 32 et radicem de 624 pro quantitate numeri \(BD\). De quibus si auferatur superficies \(BF\), que est 20, remanebunt pro superficie \(FG\) 12 et radicem de 624; que etiam habebuntur ex ductu radicis de 24 in radices de 26 et de 6. Nam ex ductu radicis de 24 in radicem de 6 veniunt 12, et ex radice de 24 in radicem de 26 provenit radix de 624⁵³⁸, ut oportet.

387 Rursus multiplicavi radicem sexcupli cuiusdam averis in radicem quincupli eius et addidi decuplum ipsius averis et denarios 20, et fuerunt hec omnia sicut multiplicatio ipsius averis in se. Ponam pro ipso avere rem, et multiplicabo radicem sexcupli eius in radicem quincupli eius, hoc est radicem 6 rerum in radicem 5 rerum: proveniet radix 30 censuum, quia cum multiplicatur res in rem facit census, ergo cum multiplicatur radix rei in radicem rei provenit radix census. 388 Deinde addam super radicem 30 censuum decuplum unius rei et denarios 20 et habebo 10 res et radicem 30 censuum⁵³⁹ et denarios 20, que equatur multiplicationi rei in se, hoc est censui⁵⁴⁰. In hac cadit regula radicum et numeri que equantur censui.

389 Ad hoc ⁵⁴¹ itaque demonstrandum adiaceat quadratum equilaterum et equiangulum \(AG\), cuius latus est \(BG\), et ponam \(BG\) rem; ergo quadratum \(AG\) est equale radici 30 censuum et 10 radicibus et 20 dragmis. Quare abscindamus a quadrato \(AG\) superficiem rectiangulam⁵⁴² \(AE\) que sit radix 30 censuum⁵⁴³, et ex⁵⁴⁴ superficie \(FG\) auferatur superficies \(FH\), que sit equa⁵⁴⁵ 10 radicibus census \(AG\), quare \(EH\) est 10: remanebit ex toto quadrato \(AG\) superficies \(IG\), que erit 20. 390 Et quoniam superficies \(AE\) est radix 30 censuum⁵⁴⁶ et provenit ex multiplicatione \(AB\) in \(BE\), et \(AB\)⁵⁴⁷ est res, necessario sequitur \(BE\) radicem esse de 30, quia ex multiplicatione rei in radicem numeri provenit radix census, ergo ex multiplicatione rei in radicem de 30 provenit radix 30 censuum. Addamus ergo \(BE\) cum \(EH\), et erit tota \(BH\) 10 et radix⁵⁴⁸ de 30, que est binomialis quarta; et dividamus eam in duo equa ad punctum \(C\), et erit unaqueque linearum \(BC\) et \(CH\) 5 et radix de \({1 \over 2}\) 7. 391 Et quia superficies \(IG\) est 20, que⁵⁴⁹ provenit ex ductu \(IH\) in \(HG\), hoc est ex \(BG\) in \(HG\), si super 20 addamus multiplicationem ex \(CH\) in se, que est \({1 \over 2}\) 32 et radix de 750⁵⁵⁰, habebitur pro quadrato linee \(CG\) \({1 \over 2}\) 52 et radix de 750. Ergo \(CG\) est radix de \({1 \over 2}\) 52 et radicis de 750⁵⁵¹, cui si addamus lineam \(CB\) habebitur pro tota \(BG\), scilicet pro quesito avere, radix de \({1 \over 2}\) 52 et radicis de 750⁵⁵² et denarii 5 et radix denariorum \({1 \over 2}\) 7; que omnia sunt secundum propinquitatem circa \({2 \over 3}\) 16.

392 Divisi 10 in duas partes et multiplicavi unam in aliam et quod provenit divisi per differentiam que est inter utramque partem, et provenit radix 6. Pone pro una illarum duarum partium rem et pro alia 10 diminuta re, et multiplica unam in aliam et venient 10 res diminuto censu⁵⁵³, que divide per differentiam que est inter utramque partem, scilicet per 10 diminutis duabus rebus: provenit⁵⁵⁴ utique radix 6. 393 Sed quando multiplicatur id quod provenit ex aliqua divisione in dividentem numerum provenit numerus divisus semper; ergo si multiplicaverimus radicem de 6 in 10 minus duabus rebus provenit 10 res diminuto censu. Sed ex multiplicatione radicis de 6 in 10 minus duabus rebus provenit radix de 600 diminuta radice 24 censuum, que equantur 10 rebus diminuto censu. Adde ergo utrique parti censum et radicem 24 censuum⁵⁵⁵, et veniet census et radix 600 que equantur 10 rebus et radici 24 censuum. 394 In hoc equantur radices censui et numero, quod ostendam in ⁵⁵⁶ figura: ponam rectam \(AB\) rem et applicabo ei superficiem rectiangulam \(AC\) continentem censum predictum et radicem 600 denariorum; et quia invenimus hec equari 10 rebus et radici 24 censuum, erit linea \(BC\) 10 et radix⁵⁵⁷ 24; quia cum multiplicatur res in 10 et radice de 24 proveniunt 10 res et radix 24 censuum, que equantur superficiei \(AC\), scilicet censui et radici sexcentorum. 395 Quare si abscindamus de superficie \(AC\) quadratum equilaterum et equiangulum \(AG\), qui erit census, remanebit superficies \(DC\) radix sexcentorum; que radix provenit ex \(DG\) in \(GC\), hoc est ex \(BG\) in \(GC\). Unde si diviserimus lineam \(BC\) in duo equa ad punctum \(E\), erit multiplicatio \(BG\) in \(GC\) cum quadrato linee \(EG\) sicut quadratus linee \(BE\). 396 Unde si a quadrato linee \(BE\) auferatur superficies que fit ex \(BG\) in \(GC\), remanebit quadratus linee \(GE\). Est enim \(BE\) 5 et radix 6, scilicet medietas 10 et radicis 24; quare ex \(BE\) in se provenit⁵⁵⁸ 31 et radix sexcentorum, de quibus si auferatur id quod provenit ex \(BG\) in \(GC\), quod est radix 600, remanebunt 31 pro quadrato linee \(GE\). 397 Ergo linea \(GE\) est radix 31, que si auferatur ex \(BE\) remanebit \(BG\) 5 et radix 6 minus radice 31, que sunt res, scilicet una partium de 10. Que si auferatur ex 10 remanebunt pro alia parte 5 et radix 31 minus radice de 6; quibus duabus partibus insimul multiplicatis faciunt radicem 744⁵⁵⁹ minus denariis 12, quia ex ductis 5 in 5 veniunt 25, et ex ductu radicis 6 in radicem 31 additis provenit una radix de 186 addita, et ex ductu radicis 6 diminute in radicem 31 diminutam provenit alia radix addita de 186. 398 Et sic habemus 25 et duas radices de 186, hoc est 25 et unam radicem de 744; de quibus si auferamus multiplicationem radicis 6 addite⁵⁶⁰ in radicem 6 diminutam et multiplicationem radicis 31 addite in radicem 31 diminutam, que faciunt 37 integra, remanebit radix de 744 minus integris 12. Multiplicationes⁵⁶¹ vero radicis 6 addite in 5 et radices 31 addite in 5 relinquimus, opponentes eas multiplicationibus de 5 in radicem 31 diminutam et radices 6 diminute in 5. 399 Deinde si⁵⁶² acceperimus differentiam que est inter utramque partem, que est 2⁵⁶³ radices de 31 minus duabus radicibus de 6, et multiplicaverimus eam in radicem de 6, nimirum redibit⁵⁶⁴ radix de 744 diminutis 12 dragmis, quia⁵⁶⁵ ex multiplicatione radicis de 6 in duabus radicibus de 6 diminutis proveniunt 12 diminuta.

400 Item divisi 10 in duas partes et multiplicavi unam earum in radicem⁵⁶⁶ 8 et aliam in se, et proieci⁵⁶⁷ quod provenit ex multiplicatione unius partis in radicem de 8 ex eo quod provenit ex multiplicatione alterius partis in se, et remanserunt denarii 40. Pone pro una partium rem et pro alia 10 diminuta re, et multiplica rem in radicem 8, et provenit radix 8 censuum⁵⁶⁸. 401 Et multiplica 10 minus re in se: erunt 100 et census diminutis 20 rebus. Abice ergo ex his radicem 8 censuum⁵⁶⁹: remanebunt 40, ergo radix 8 censuum⁵⁷⁰ et 40 equantur censui et 100 diminutis 20 rebus. Adde ergo 20 res utrique parti et tolle ab utraque parte denarios 40: remanet census et denarii 60 equales⁵⁷¹ 20 radicibus et radici⁵⁷² 8 censuum. 402 Dimidia ergo radices; erunt 10 et radix de 2, que multiplica in se: erunt 102 et radix 800, de quibus abice 60⁵⁷³ que sunt cum censu; remanebunt 42 et radix⁵⁷⁴ de 800, quorum radicem⁵⁷⁵ abice de medietate radicum: remanebunt 10 et radix de 2 diminuta radice de 42 et radicis de 800 pro quantitate rei. Residuum⁵⁷⁶ quod est usque in 10, scilicet radix de 42 et⁵⁷⁷ radicis 800 diminuta radice de 2, est alia pars que multiplicata fuit in se. Et est hec operatio que antecedentem figuram.

403 Vel aliter: pone pro prima parte rem et pro alia⁵⁷⁸ 10 diminuta re, et multiplica rem in se et provenit census, et 10 diminuta rem multiplica per radicem 8 et veniet radix de 800 diminuta radice 8 censuum; super que adde 40 in quibus superat hec, et erit radix 800 et 40 diminuta radice 8 censuum que equentur censui. Adde ergo radicem 8 censuum utrique parti, et erit census et radix 8 censuum que equantur denariis 40 et radici de 800⁵⁷⁹. 404 In hac census et radices equantur numero, quod per figuram geometricam demonstrare curavi. Ponam superficiem \(AD\) equalem^{580 581} censui et radici 8 censuum, et auferatur ab ea census \(AG\): remanebit⁵⁸² superficies \(ED\) radix 8 censuum et provenit ex ductu \(GE\) in \(GD\), et est \(GE\) res, quare \(GD\) est radix 8 denariorum. Et quia census et radix 8 censuum, scilicet superficies \(AD\), equantur 40 dragmis et radici 800, ergo superficies \(AD\) est 40 et radix de 800, et provenit ex \(AB\) in \(BD\), hoc est ex \(BG\) in \(BD\). 405 Dividatur ergo recta \(GD\) in duo equa ad punctum \(I\), cui iacet in directo recta \(BG\); quare superficies \(BG\) in \(BD\), scilicet 40 et radix de 800, cum quadrato linee \(IG\)⁵⁸³, quod est 2, equantur quadrato linee \(BI\); ergo quadratum \(BI\) est 42 et radix 800. Quare \(BI\) est radix de 42 et radicis 800; de qua si auferatur recta \(GI\), que est radix de 2, remanebunt pro recta \(BG\), scilicet pro re, radix de 42 et radicis 800 minus radice de 2, ut per alium modum invenimus.