173 Disgregatio de \({19 \over 53}\)³⁶⁸

Item si \({19 \over 53}\) in singulas partes disgregare vis, quamvis sint ex quarta differentia cum uno plus de 53³⁶⁹ dividatur per uno minus de 19, unde pro \({19 \over 53}\) habebis \({1 \over 159}\) \({1 \over 53}\) \({1 \over 3}\); tamen qualiter per septimam regulam fieri debeat ostendamus. Divisio enim de 53 in 19 cadit inter 2 et 3; quare habemus \({1 \over 3}\)³⁷⁰ pro maiori singulari parte que de \({19 \over 53}\) accipi potest³⁷¹. Et³⁷² extrahe tertium de 53, scilicet \({2 \over 3}\) 17, de 19; remanebit³⁷³ \({1 \over 3}\) 1, hoc est \({1~~\phantom{5}1 \over 3~~53}\): ergo singulares partes de \({19 \over 53}\) sunt \({1 \over 159}\)³⁷⁴ \({1 \over 53}\) \({1 \over 3}\), ut per regulam quarte differentie invenimus.

174 Per hanc enim regulam non posses³⁷⁵ ita leviter facere singulares partes de \({20 \over 53}\). Unde invenies eas per aliam regulam, videlicet multiplicando 20 per aliquem numerum qui multas habeat regulas, ut prediximus. Multiplicatis quidem 20 per 48 et divisis per 53 et per 48³⁷⁶ reddunt \({\phantom{5}6~~18 \over 53~~48}\); que 18 sunt \({1 \over 8}\) \({1 \over 4}\) de 48, vel \({1 \over 24}\) \({1 \over 3}\), et 6 que sunt super 53 sunt \({1 \over 8}\) de 48; quare erit \({1~~\phantom{5}0 \over 8~~53}\), cum ipsa 6 sint super 53. 175 Ergo³⁷⁷ pro singularibus partibus de \({20 \over 53}\) habes³⁷⁸ \({1~~\phantom{5}0 \over 8~~53}\) \({1 \over 8}\) \({1 \over 4}\) vel \({1~~\phantom{5}0 \over 8~~53}\) \({1 \over 24}\) \({1 \over 3}\), et sic studeas in omnibus similibus operari. Et cum non possis per unam ex prescriptis regulis congruas singulares partes quorumlibet similium habere, studeas eas per aliquam aliarum invenire.

176 Et notandum quia sunt multi rupti qui aptandi sunt antequam disgregentur in singulares partes, scilicet cum maior numerus non dividatur per minorem, et habeant³⁷⁹ ad invicem aliquam comunem regulam ut \({6 \over 9}\), quorum unusquisque numerus integraliter per 3 dividitur³⁸⁰. Quare divides utrumque eorum per 3; exibunt 2 super virgam et 3 sub ipsa³⁸¹, hoc est \({2 \over 3}\), que sunt ex tertia differentia cum uno plus de 3³⁸² dividantur per 2; quare sunt \({1 \over 6}\) \({1 \over 2}\). 177 Similiter et³⁸³ \({6 \over 8}\), quorum numerorum uterque dividitur per 2, unde reducuntur in \({3 \over 4}\) et sunt \({1 \over 4}\) \({1 \over 2}\) per secundam differentiam, et sic intelligas³⁸⁴ de similibus. Et si plures rupti fuerint³⁸⁵ sub una virgula, oportet ut reducantur in uno rupto sub virgula, ut \({1~~3 \over 2~~8}\), que sunt \({7 \over 16}\). Et reducuntur sic: multiplicantur³⁸⁶ 3 que sunt super 8 per 2 et additur³⁸⁷ 1³⁸⁸, et sic habemus³⁸⁹ 7; et multiplicantur³⁹⁰ 2 per 8 que sunt sub virgula; fiunt 16, que 16 ponimus sub virgula et super ipsa ponimus 7³⁹¹.

178 Item \({2~~3~~4 \over 3~~5~~9}\) sunt \({71 \over 135}\), que inveniuntur secundum suprascriptum modum, scilicet multiplicando 4 que sunt super 9 per 5 et addendo 3, que per 3 et addendo 2; et sic habemus 71 super virgulam. Et ex multiplicatione de 3 in 5 que³⁹² in 9 habemus 135 sub virgula; que \({71 \over 135}\) secundum septimam³⁹³ regulam disgegatur in \({1 \over 270}\) \({1 \over 45}\) \({1 \over 2}\).

179 Et notandum quia quando per septimam regulam maiorem partem acceperis que minor numerus fuerit de maiori, et relique singulares partes que remanserint³⁹⁴ minus quam pulcre evenerint, relinque ipsam³⁹⁵ maiorem partem et operaberis³⁹⁶ per aliam sequentem partem que minor sit ea. Ut si maior pars fuerit \({1 \over 5}\) operaberis³⁹⁷ cum sexta³⁹⁸, et si fuerit \({1 \over 7}\) operaberis³⁹⁹ cum \({1 \over 8}\). 180 Verbi gratia: in \({4 \over 49}\) maior pars est \({1 \over 13}\), qua extracta de \({4 \over 49}\) remanent \({\phantom{1}3~~\phantom{4}0 \over 13~~49}\), scilicet \({3 \over 637}\), que per quartam differentiam sunt \({1~~0 \over 319~~637}\) \({1 \over 637}\)⁴⁰⁰ \({1 \over 319}\)⁴⁰¹ \({1 \over 13}\); ergo pro \({4 \over 49}\) habemus \({\phantom{31}1~~\phantom{63}0 \over 319~~637}\) \({1 \over 637}\)⁴⁰² \({1 \over 319}\), que minus quam pulcre sunt. 181 Quare relinque \({1 \over 13}\) et operare cum \({1 \over 14}\), qua extracta de \({4 \over 49}\) remanent \({1~~0 \over 2~~49}\)⁴⁰³, hoc est \({1 \over 98}\); et sic per \({4 \over 49}\) habemus \({1 \over 98}\) \({1 \over 14}\), que partes pulcriores sunt suprascriptis partibus. Et reperiuntur alio modo, scilicet ut dividas 4 que sunt super 49 per regulam de 49, exibunt \({4~~0 \over 7~~7}\), que per tertiam compositam differentiam sunt \({\phantom{1}1~~0 \over 14~~7}\) \({1~~0 \over 2~~7}\). Nam \({1~~0 \over 2~~7}\) est \({1 \over 14}\) et \({\phantom{1}1~~0 \over 14~~7}\) est \({1 \over 98}\), et sic pro \({4 \over 49}\) habemus similiter \({1 \over 98}\) \({1 \over 14}\).