101 Explicit pars prima ultimi capituli. Incipit secunda de questionibus geometrie pertinentibus

Est asta iuxta quandam turrim erecta, habens in longitudine pedes viginti; queritur, si pes aste separetur a turri pedibus 12, quot pedibus caput aste descenderit. Sit itaque turris linea \(AB\) ex qua accipiatur \(BC\) equalis date aste, et protrahatur linea \(BD\) in plano, que sit pedum 12; et iaceat asta \(DG\) equalis linee \(BC\), et sic fit trigonum¹⁸¹ rectiangulum ab asta \(DG\) et a plano \(DB\) et a muro \(BG\)¹⁸², et est angulus rectus ipsius qui sub \(GBD\). 102 Et quoniam ut Euclides¹⁸³ testatur in penultima sui primi libri, quod in trigonis rectiangulis quadratus lateris subtendentis angulum rectum equatur quadratis duobus reliquorum¹⁸⁴ duorum laterum angulum rectum continentium; quare quadratus aste \(DG\), scilicet 400, equatur duobus quadratis linearum \(DB\) et \(BG\). 103 Sed quadratus linee \(DB\) est notus, cum ipsa sit nota; quare si auferatur quadratus ipsius, scilicet 144, ex 400, remanebunt pro quadrato linee \(BG\) 256, quorum radix, scilicet 16, est linea \(BG\); qua extracta ex linea \(BC\)¹⁸⁵, remanebunt 4 pro descensu capitis aste \(GC\).

104 Et si protrahatur pes aste donec caput eius descenderit pedibus 4 et queratur quantum pes elongabitur a turri; in hac ponitur notum latus \(BG\), quia extractis 4 ex linea \(EB\) que est longitudo aste, remanent 16 pro¹⁸⁶ linea \(GB\); quorum quadratus si auferatur ex quadrato aste \(DG\), scilicet 256 ex 400, remanebunt 144 pro quadrato linee \(BD\), que est separatio pedis aste a turri. 105 Et si fuerit nota altitudo \(GB\) et planum \(BD\), et ignoraveris¹⁸⁷ longitudinem aste \(DG\), addes quadratos linearum \(BG\) et \(BD\)¹⁸⁸ in unum, scilicet 256 et 144: erunt 400, quorum radix, scilicet 20, est asta \(DG\); et hec memorie commenda, cum sint multum utilia.

106 In quodam plano sunt erecte due aste que distant in solo pedibus 12, et minor asta est alta pedibus 35, maior quoque pedibus 40. Queritur, si maior asta ceciderit super minorem, in qua parte ipsius erit contactus earum. Sit itaque minor asta linea \(AB\), maior vero \(GD\), et copuletur recta \(DA\); et quia quadratus maioris aste est plus duobus quadratis linearum \(AB\) et \(BD\), scitur quod linea \(DA\) est minor¹⁸⁹ quam linea \(DG\). 107 Quare protrahatur linea \(DA\) in punctum \(E\) et sit equalis recta \(DE\) recte \(DG\); ergo si asta \(DG\) ceciderit super punctum \(A\), faciet lineam \(DE\). Erit ergo trigonum ABD rectiangulum; quare quadratus linee \(AD\) equatur duobus quadratis linearum \(AB\) et \(BD\). Adde ergo insimul quadratos earum, scilicet 1225 et 144: erunt 1369, quorum radix, scilicet 37¹⁹⁰, est linea \(DA\); quibus extractis ex linea \(DE\), scilicet ex asta \(DG\), remanebunt 3 pro linea \(AE\).

108 Et si minor asta ceciderit super maiorem, extrahe 144 de 1225: remanent 1081, quorum radicem accipe in asta \(DG\), sitque \(DF\); in puncto ergo \(F\) erit contactus¹⁹¹ aste minoris. Et ut hoc apertius videas, protrahe lineam \(BF\): ipsa erit subtendens angulum rectum qui est ad \(D\), quare quadratus linee \(BF\) equatur duobus quadratis linearum¹⁹² \(FD\) et \(DB\); qui quadrati, scilicet 1081 et 144, insimul iuncti, faciunt 1225, quorum radix, scilicet 35, est linea \(BF\), que est equalis aste \(BA\), ut oportet.

109 In quodam plano sunt due turres, quarum una est alta passibus 30, altera 40, et distant in solo passibus 50; infra quas est fons ad cuius centrum volitant due aves pari volatu, descendentes pariter ex altitudine ipsarum. Queritur distantia centri ab utraque turri.

110 Sit itaque maior turris linea¹⁹³ \(AB\), minor sit ¹⁹⁴ \(GD\), spatium quod erit inter eas est linea \(BD\), et copulentur summitates earum cum linea \(AG\), que dividatur in duo equa super punctum \(E\), a quo protrahatur linea \(EF\) equidistans linee \(AB\) et \(GD\); et a puncto \(E\) protrahatur linea \(EZ\) faciens angulos rectos super linea \(AG\) . 111 Dico quod punctus \(Z\) est centrum fontis, quod probabitur ita: protrahantur a puncto \(Z\) due recte, que sint \(ZA\) et \(ZG\), que sunt volatus avium, quos ostendam esse equales. Quia linea \(ZA\) est subtendens angulum rectum in triangulo \(ZAE\), ideo quadratus ipsius equatur duobus quadratis linearum \(ZE\), \(EA\). 112 Similiter quadratus linee \(ZG\) est equalis duobus quadratis linearum \(GE\) et \(EZ\)¹⁹⁵. Sed \(GE\) est equalis \(EA\) et quadratus linee \(EZ\) est comunis in predictis duobus trigonis; quare \(GZ\) et \(AZ\) sunt equales, et hoc volumus.

113 Sed si secundum numerum procedere vis, adde passus utriusque turris, scilicet 40 cum 30: erunt 70, quorum dimidium, scilicet 35, est linea \(EF\). Nam et dimidium spatii \(BD\) est 25, quod est quelibet linearum \(BF\) et \(FD\); et accipe differentiam que est a minori turri usque in 35, que est 5, in quibus multiplica 35; erunt 175, que divide per dimidium spatii, scilicet per 25: exibunt 7 pro linea \(FZ\), cum quibus si addantur 25, scilicet linea \(DF\), erit linea \(DZ\) 32. 114 Et si auferantur 7 ex linea \(FB\), remanebunt 18 pro linea \(ZB\); quorum quadratus si addatur cum quadrato turris \(BA\), scilicet 324 cum 1600, erunt 1924 pro quadrato linee \(ZA\), cui etiam equatur quadratus linee \(ZG\), cum proveniat ex additione quadratorum linearum \(ZD\) et \(DG\), scilicet de 1024 et de 900; et hoc volumus.

115 Et notandum quod si¹⁹⁶ quadratus maioris turris esset equalis duobus quadratis qui fiunt¹⁹⁷ a spatio \(BD\) et a minori turri, tunc centrum fontis esset punctus \(B\) qui est pes¹⁹⁸ maioris turris; et si quadratus ipsius maioris turris superhabundaret super summam predictorum quadratorum, tunc centrum erit extra maiorem turrim; quod invenies eodem modo. 116 Verbi gratia: sit spatium \(BD\) quod est differentia turrium 10 et turres sint eedem, ut in¹⁹⁹ hac alia cernitur formula; et protrahatur linea \(DB\)²⁰⁰ in infinitum super punctum \(I\)²⁰¹ et a puncto \(E\) protrahatur linea \(EF\), nec non et linea \(EZ\) faciens angulos rectos super lineam \(AG\). 117 Quare ostendentur²⁰² ex his que diximus linee \(ZA\) et \(ZG\) sibi invicem esse equales; nam si prescripta 175 diviseris per spatium \(DF\), quod est 5, nimirum 35 venient pro spatio \(FZ\); quare centrum \(Z\) distat a pede minoris turris, scilicet a puncto \(D\), passibus 40; ex quibus si extrahatur spatium \(DB\), scilicet 10, remanebunt 30 pro spatio \(BZ\) quod est extra maiorem turrim. Et nota quod si²⁰³ super lineam \(DI\) protrahetur in plano linea ab utraque parte in infinitum²⁰⁴, tunc in quacumque parte ipsius linee velles posset esse centrum predicte fontis.

118 Et si a centro fontis due aves insimul discesserint et pari volatu super altitudines duarum turrium ab utraque parte fontis existentium uno et eodem momento devenerint, et vis scire utriusque turris altitudinem, et sit centrum predictum longe a minori turri passibus 32, a maiori passibus 18, sic facies: 119 quadratum minoris spatii de quadrato maioris extrahe, scilicet 324 de 1024: remanebunt 700, que serva, et pone altitudinem minoris turris ad libitum, sitque 30, super quorum quadratum adde 700 servata: erunt 1600, quorum radix, scilicet 40, erit altitudo maioris turris.

120 Et si proponatur quod maior turris sit altior minore passibus 8, dimidium de 8 serva et adde insimul distantias centri a turribus, scilicet 18 et 32: erunt 50, quorum dimidium, scilicet 25, extrahe de 32; remanent 7, que multiplica per eadem 25; erunt 175, que divide per 4 servata: exibunt \({3 \over 4}\) 43 pro linea \(EF\), super que adde 4; erunt \({3 \over 4}\) 47 pro altitudine maioris turris, de quibus extractis 8 in quibus ipsa excedit minorem, remanebunt \({3 \over 4}\) 39 pro minori turri.

121 Quidam habuit libras 100, de quibus lucratus est in quodam foro aliquid; ex quibus omnibus lucratus est in alio foro proportionaliter secundum quod lucratus fuerat in primo foro, et habuit libras 200. Pone \(A\) pro libris 100 et \(B\) pro eo quod habuit inter capitale et lucrum in primo foro, et \(G\) sit 200. 122 Quia est sicut \(A\) ad \(B\) ita \(B\) ad \(G\), erit multiplicatio \(A\) in \(G\) equalis quadrato numeri \(B\). Ergo multiplicabis 100 per 200: erunt 20000, quorum radix, que est circa libre 141 et soldi 8 et denarii \({1 \over 8}\) 5, est numerus \(B\); de quibus auferantur libre 100 capitalis, remanebunt libre 41 et soldi 8 et denarii \({1 \over 8} 5\)²⁰⁵.

123 Rursus quidam habuit libras 100, cum quibus fecit unum viagium et lucratus est nescio quot; et tunc accepit alias libras 100 in societate et cum his omnibus lucratus est eadem ratione qua lucratus fuerat in primo viagio, et sic habuit libras 299. Queritur quot lucratus fuit per libram. 124 Sit \(A\) 100, de quibus habeat numerum \(B\) in primo viagio; super quem addantur libre 100 societatis, et proveniat quantitas \(GCD\), de qua \(GC\) sit 100; et ex quantitate \(GCD\) habeat in secundo viagio libras 299, que sint numerus \(E\), et dividatur \(GC\) in duo equa super \(Z\). Et quia est sicut \(A\) ad \(B\) ita \(GD\) ad \(E\), erit multiplicatio ex \(B\) in \(GD\) equalis multiplicationi \(A\) in \(E\). 125 Sed multiplicatio \(A\) in \(E\), scilicet de 100 in 299, est 29900, quibus equatur multiplicatio ex \(B\) in \(GD\). Sed \(CD\) est equalis \(B\); erit ergo multiplicatio \(GD\) in \(CD\) 29900; quibus si addatur quadratus numeri \(ZC\), scilicet 2500, erunt 32400²⁰⁶, quorum radix, scilicet 180, est numerus \(ZD\); ex quibus si auferatur 50, scilicet \(ZC\), remanebunt 130 pro numero \(CD\). 126 Sed \(CD\) est equalis \(B\); ergo \(B\) est 130, qui fuit capitale et lucrum primi viagii; de quibus si auferantur²⁰⁷ libre 100 capitalis, remanent libre 30 pro lucro. Ergo ex libris 100 lucratus fuit 30; centesima pars quarum, scilicet soldos 6, lucratus fuit per libram in unoquoque viagio.

127 Item quidam habuit libras 100, de quibus et de eorum proficuo lucratus est semper equaliter in tribus foris, et in fine habuit libras 200. Queritur quot in unoquoque habuit foro.

Hic intelliguntur quattuor numeri continui proportionales, ex quibus primus et quartus sunt noti, scilicet libre 100 et libre 200; reliquos oportet nos invenire. 128 Et quoniam ut²⁰⁸ Euclides dicit, inter duos cubos numeros duo medii intercidunt numeri continuati cum ipsis in proportione²⁰⁹ continua, ideo cubicentur 100: erunt 1000000, quorum proportio est ad cubum denariorum primi fori sicut primus numerus ad quartum, ut Euclides ostendit. 129 Et quia quartus numerus, scilicet 200, est duplum primi, duplica 1000000: erunt 2000000 pro cubo denariorum primi fori; quibus etiam duplicatis faciunt 4000000 pro cubo denariorum secundi fori; quibus duplicatis faciunt 8000000, scilicet cubum ducentarum librarum quas ipse habuit in ultimo foro. 130 Ergo reperias radicem cubicam numerorum primi et secundi fori et habebis quesita secundum propinquitatem²¹⁰, cum ipsi numeri radicem cubicam non habeant.

Sed si primus numerus eorum et ultimus essent cubi, vel habentes proportionem inter se sicut cubus numerus ad cubum numerum, tunc interciderent inter eos duo numeri ratiocinati. 131 Verbi gratia: sit primus numerus 24, quartus vero sit 81, quorum proportio est sicut cubus 8 ad cubum 27. Unde si vis invenire numeros intercedentes accipe radices cuborum²¹¹, eruntque 2 et 3, in quorum proportione cadunt numeri intercidentes; 132 quare triplum primi numeri divides per 2, vel dimidium eius, quod est 12, triplica: venient 36 pro secundo numero; quorum dimidio iterum triplicato, venient pro tertio numero 54; quorum etiam dimidio iterum triplicato, provenit²¹² quartus numerus 81, ut volebamus.

133 Et notandum quod quando in similibus inter primum numerum et ultimum, scilicet inter capitale et id quod habuit in fine suorum viagiorum, unus intercidit numerus ut in duobus foris, tunc proportio ipsorum trium numerorum dicitur esse duplicata in ea quam habet ultimus numerus ad primum numerum; hoc est sicut ultimus numerus est ad primum²¹³ ita quadratus secundi numeri est ad quadratum primi et quadratus ultimi ad quadratum secundi; et dicitur duplicata quia quadratus numerus surgit ex duobus numeris equalibus. 134 Et cum duo intercidunt numeri²¹⁴, tunc ipsorum quattuor numerorum proportio dicitur esse triplicata, hoc est sicut ultimus est ad primum ita cubus secundi ad cubum primi, et cubus tertii ad cubum secundi, et cubus ultimi ad cubum tertii; et dicitur triplicata quia omnis cubus numerus surgit ex tribus equalibus numeris, ut 8 qui surgit ex tribus binariis. 135 Et cum tres interciderent numeri, ut in questione quattuor viagiorum, tunc proportio ipsorum quinque numerorum erit quadruplicata; hoc est sicut proportio quinti²¹⁵ ad primum ita quadratus quadrati uniuscuiusque consequentis²¹⁶ erit ad quadratum quadrati sui antecedentis; 136 et dicitur quadruplicata quia omnis quadratus quadrati surgit ex quattuor numeris equalibus, ut 81 qui surgit ex quattuor ternariis; et sic per ordinem ascendit proportio ex additione intercidentium numerorum. 137 Nam quincuplata proportio est in cubis quadratorum vel in quadratis cuborum, ex quibus est 32 qui surgit ex 5 binariis, vel ex multiplicatione cubi binarii in quadratum eius. Sexcuplata vero proportio est in cubis cuborum, qui numeri oriuntur ex sex numeris equalibus; ex quibus²¹⁷ si acceperis radicem quadratam, proveniet numerus cuius radix cubica est latus ipsorum numerorum. 138 Verbi gratia ut in 729, quorum radix quadrata est 27, quorum radix cubica est 3, qui numerus est latus de 729 secundum has multiplicitates.

Ex his autem habetur quod quando extremi numeri, scilicet capitale et id quod habetur in fine duorum viagiorum, non habeant²¹⁸ proportionem inter se sicut quadratus numerus ad quadratum numerum, tunc numerus intercidens inter eos erit radix numeri non quadrati. 139 Et cum tres fuerint viagii et extremi non habuerint proportionem sicut cubus numerus ad cubum numerum, tunc unusquisque duorum intercidentium numerorum erit radix cubica numeri non cubi. Et si²¹⁹ quattuor fuerint viagii et extremi non habuerint proportionem inter se sicut quadratus numeri quadrati ad quadratum quadrati, tunc unusquisque trium intercidentium numerorum erit radix radicis numeri²²⁰ non quadrati quadrati²²¹; et sic intelligas in reliquis.

140 Quidam habens bizantios, cum quibus lucratus est in quodam foro ita quod inter capitale et proficuum habuit bizantios 80; de quibus lucratus est in alio foro eadem ratione quod lucratus fuerat prius, et habuit aliquid; et fuerit proportio capitalis ad ultimum numerum sicut est proportio quadrati de 5 ad quadratum de 9, hoc est sicut 25 est ad 81. 141 Multiplicabis itaque 5 per 9: erunt 45, quorum proportio ad 80 est sicut 25 ad quesitum capitale, et sicut 81 ad ultimum numerum. Quare multiplicanda sunt 25 et 81 per 80 et dividenda utraque multiplicatio per 45: exibunt pro capitali bizantii \({4 \over 9}\) 44 et pro ultimo numero bizantii 144.

142 Eadem regula retinetur²²² cum dicitur: inveniantur duo numeri ex quibus \({1 \over 5}\) unius sit \({1 \over 9}\) alterius et insimul multiplicati faciant 80. Erit²²³ primus numerus \({2 \over 3}\) 6, scilicet radix de \({4 \over 9}\) 44 predictis, et alius numerus erit 12, scilicet radix de 144. 143 Et inveniuntur ita: quia \({1 \over 5}\) primi numeri est \({1 \over 9}\) secundi, inveniendi sunt duo numeri quorum \({1 \over 5}\) unius est \({1 \over 9}\) alterius²²⁴, eruntque 5 et 9. Multiplica ergo 5 per 80 et divide per 9, et 9 per 80 et divide per 5: exibunt \({400 \over 9}\) et 144 integra, quorum radices, scilicet \({20 \over 3}\) et 12, sunt quesiti numeri.

144 Et si vis invenire duos numeros ex quibus \({2 \over 5}\) unius sint \({4 \over 9}\) alterius et insimul multiplicati facient 60, invenies ergo duos numeros ex quibus \({2 \over 5}\) unius sint \({4 \over 9}\) alterius, eruntque in minoribus numeris 9 et 10. Multiplica ergo secundum regulam suprascriptam 10 per 60 et divide per 9: exibunt \({2 \over 3}\) 66, quorum radix est primus numerus. Item multiplicationem de 9 in 60 divide per 10: erunt 54, quorum radix est secundus numerus.

145 Si vis invenire duas radices in integris, quarum quadrati insimul coniuncti faciant quadratum numerum, scilicet habentem radicem, accipe duos numeros quadratos vel habentes inter se proportionem quadratorum, et sint ambo pares vel impares; et multiplica unum in alium, et venientis numeri radicem accipe, que erit una ex radicibus quesitis. 146 Deinde aggrega numeros prescriptos, et egredietur numerus par²²⁵ cum²²⁶ ambo sint pares vel impares; cuius numeri dimidium accipe et ex ipsa medietate minorem numerum extrahe, residuumque erit alia radix. 147 Verbi gratia: sint duo quadrati numeri 1 et 9, quibus coniunctis faciunt 10 et ex multiplicatione unius in alium surgit 9, cuius radix est 3, que habeas pro radice. Et extrahe minorem numerum, scilicet 1, ex medietate decenarii: remanebunt 4 pro alia radice.

148 Inveniuntur hec per unam ex suprascriptis diffinitionibus, scilicet cum numerus dividitur in duas equales partes et in duas inequales, erit multiplicatio minoris partis per maiorem cum quadrato numeri qui est a minori parte usque ad medietatem totius numeri divisi, equalis quadrato dicte medietatis. 149 Quare ponamus iterum pares numeros habentes proportionem inter se sicut quadratus numerus ad quadratum numerum, et sint 8 et 18, quorum proportio est sicut 4 ad 9, qui sunt numeri quadrati; qui insimul iuncti faciunt 26, cuius dimidium est 13. Ergo 26 divisus est in duas partes inequales, scilicet in 8 et in²²⁷ 18, et in duas²²⁸ equales, scilicet in 13 et 13; 150 est ergo multiplicatio de 8 in 18 cum quadrato quinarii qui est ab 8 in 13 equalis multiplicationi de 13 in se. Sed ex multiplicatione 8 in 18 surgit 144, qui est quadratus, cuius radix est 12; et ex multiplicatione quinarii in se, qui est alia radix, surgit 25; et sic habentur 169, cuius radix est 13.

151 Aliter: est quidem manifestum quod omnes quadrati numeri componuntur ex²²⁹ aggregatione²³⁰ imparium numerorum per ordinem. Ut si super 1, qui est quadratus et est primus inpar, addatur 3 qui est secundus impar, habebitur 4, qui est secundus quadratus; super quem si²³¹ addatur tertius impar numerus, scilicet 5²³², tertius quadratus, scilicet²³³ 9, procreatur; et sic in infinitum ex continua collectione imparium quadrati per ordinem oriuntur. 152 Quare si acceperimus aliquem quadratum numerum imparem vel ortum ex duobus vel pluribus imparibus numeris continuis, et summam reliquorum imparium ab unitate acceperimus, nimirum duos quadratos habebimus, qui coniuncti aliquem quadratum numerum reddent. 153 Verbi gratia: accipiamus 49 pro uno quadrato; et colligamus omnes impares qui sunt ab uno usque in 47, scilicet multiplicemus 24 in se, et habebitur 576 pro secundo quadrato, cuius radix est 24; et radix de 49 est 7, et summa horum quadratorum est 625, quorum radix est 25. Similiter si posueris²³⁴ duos vel plures numeros continuos impares quorum coniunctio faciat quadratum numerum, radix quidem ipsius erit una ex quesitis radicibus; summe vero reliquorum imparium radix, qui sunt ab ipsis usque ad unitatem, erit alia.