68 Pars quarta secundi capituli

Cum autem quemlibet numerum quinque figurarum²³⁸ per quemlibet numerum eiusdem gradus quis multiplicare voluerit, scilicet quinque figuras per quinque, collocatis numeris²³⁹ multiplicet primam²⁴⁰ per primam et ponat, et primam per secundam et primam per secundam et ponat, et primam per tertiam et primam per tertiam et secundam per secundam et ponat, et primam per quartam et primam per quartam et secundam per tertiam et secundam per tertiam et ponat, 69 et primam per quintam et primam per quintam et secundam per quartam et secundam per quartam et tertiam per tertiam et ponat, et secundam per quintam et secundam per quintam et tertiam per quartam et tertiam per quartam et ponat, et tertiam per quintam et tertiam per quintam et quartam per quartam et ponat, et quartam per quintam et quartam per quintam et ponat, et quintam per quintam et ponat²⁴¹. Et sic habebit multiplicationem quorumlibet numerorum quinti gradus.

70 Et ut hoc apertius demonstretur, quedam multiplicatio proponatur ut per eam equales et inequales multiplicationes eiusdem gradus intelligantur. Ut si voluerit multiplicare 12345 per 12345, descriptis numeris

152399025 12345 12345

ut supra docuimus, multiplicet 5 per 5: erunt 25; ponat 5 et²⁴² retineat 2. Et 5 per 4 et 5 per 4 et addat cum 2 servatis: erunt 42; ponat 2 et retineat 4. Et 5 per 3 et 5 per 3 et 4 per 4 et addat cum 4 servatis: erunt 50; ponat 0 et²⁴³ retineat 5. Et 5 per 2 et 5 per 2 et 4 per 3 et 4 per 3 et addat cum 5 servatis: erunt 49; ponat 9 et²⁴⁴ retineat 4. 71 Et 5 per 1 et 5 per 1 et 4 per 2 et 4 per 2 et 3 per 3 et addat cum 4 servatis: erunt 39; ponat 9 et retineat 3. Et 4 per 1 et 4 per 1 et 3 per 2 et 3 per 2 et addat cum 3 servatis: erunt 23; ponat 3 et retineat 2. Et 3 per 1 et 3 per 1 et 2 per 2 et addat cum 2 servatis: erunt 12; ponat 2 et retineat 1. Et 2 per 1 et 2²⁴⁵ per 1 et addat cum 1 servato: erunt 5, que ponat; et 1 per 1 erit 1 quod ponat, et sic habebit summam dicte multiplicationis²⁴⁶.

72 Ostendam rursus hunc modum multiplicandi procedere ex his que accidunt inter numeros sibi invicem²⁴⁷ proportionales. Nam cum tres numeri proportionales sunt, ita quod sicut primus est ad secundum ita secundus sit²⁴⁸ ad tertium, tunc multiplicatio primi in tertium equatur multiplicationi secundi in se. Et cum quattuor numeri sunt proportionales²⁴⁹, fueritque sicut primus ad secundum ita tertius ad quartum, tunc multiplicatio primi in quartum equa est²⁵⁰ multiplicationi secundi in tertium, ut in Euclide reperitur. 73 Ascendit enim numerus in²⁵¹ infinitum per gradus continuos; quia sicut primus gradus est ad secundum ita secundus²⁵² ad tertium et tertius ad quartum et unusquisque antecedentium ad suum consequentem. Quare multiplicatio secundi gradus in se facit²⁵³ eundem gradum factum ex multiplicatione primi in tertium, et multiplicatio secundi gradus²⁵⁴ in tertium facit gradum²⁵⁵ factum ex multiplicatione primi in quartum. 74 Incipitur quidem in²⁵⁶ multiplicationibus a figuris primi gradus, ex qua multiplicatione aut provenit numerus primi gradus aut terminans in ipso. Et ideo ex multiplicatione prime figure per primam ponuntur unitates super primum gradum et decene servantur ad secundum, cum quibus adduntur multiplicationes primarum in secundas, et provenit numerus secundi gradus vel terminans in ipso. Quare ponuntur unitates super secundum gradum et pro unaquaque decena que habetur servatur 1 ad tertium gradum. 75 Deinde multiplicantur²⁵⁷ prime per tertias et additur cum eis multiplicatio secunde in secundam, quia multiplicatio secundi gradus in secundum²⁵⁸ facit eundem gradum quem²⁵⁹ facit multiplicatio primorum graduum²⁶⁰ in tertios. Et ideo ex multiplicationibus primarum figurarum in tertias et secundarum in secundas ponuntur unitates super tertium gradum. Post hec multiplicantur prime per quartas et secunde per tertias, cum sint in quattuor gradibus proportionalibus, quia sicut primus est²⁶¹ ad secundum ita tertius ad quartum; et provenit ex ipsis multiplicationibus numerus terminans in quarto gradu. 76 Et idcirco ponuntur unitates super quartum gradum, et multiplicantur²⁶² postea prime per quintas et secunde per quartas et tertie per tertias, quia est sicut²⁶³ primus gradus ad secundum ita quartus ad quintum; quare multiplicatio secundi gradus in quartum facit gradum factum ex multiplicatione primi in quintum, scilicet quintum gradum. 77 Et est rursus secundus gradus ad tertium sicut tertius ad quartum; quare multiplicatio tertii gradus in tertium facit gradum factum ex multiplicatione secundi in quartum, scilicet quintum gradum, et ideo ponuntur unitates super quintum gradum. Et sic²⁶⁴ secundum proportionalitatem efficitur summa quorumlibet numerorum multiplicationis.

78 Et hec possunt manifeste intelligi in his que secuntur. Et notandum quia sicut primus gradus est ad secundum ita penultimus est ad ultimum, et sicut primus est ad tertium ita tertius ab ultimo est ad ultimum, et sicut primus est ad quartum ita quartus ab ultimo est ad ultimum, et cetera. In hac siquidem multiplicatione quinque figurarum in quinque, post positionem quinte figure super quintas, multiplicantur secunde per quintas et tertie per quartas, 79 que multiplicationes faciunt sextum gradum, quia cum secundus gradus multiplicat quintum sextum gradum facit, quem facit multiplicatio tertiarum in quartas, cum sit sicut²⁶⁵ secundus²⁶⁶ gradus ad tertium ita quartus ad quintum. Deinde multiplicantur tertie per quintas et quarta²⁶⁷ per quartam, et provenit septimus²⁶⁸ gradus, quia cum tertius gradus multiplicat quintum, facit tertium gradum a²⁶⁹ quinto, scilicet septimum. 80 Deinde multiplicantur²⁷⁰ quarte per quintas, que faciunt octavum gradum. Ad ultimum multiplicatur²⁷¹ quinta per quintam, que²⁷² facit²⁷³ nonum gradum, et sic habetur summa dicte multiplicationis. Per²⁷⁴ hec enim que de multiplicatione dicta sunt²⁷⁵, quilibet ingeniosus potest perfectam doctrinam multiplicandi habere. Tamen ut rudes hic perfectam habeant doctrinam, multiplicationem²⁷⁶ octavi gradus ostendere procuravi.