80 Probatio suprascripte divisionis

Verum si prescriptam divisionem per pensam novenarii probare voluerit, accipiat pensam de 13976, que sunt 8, et servet eam ex parte. Et iterum accipiat pensam exeuntis numeri, scilicet de 607, que sunt 4, et multiplicet eam per pensam de 23, que sunt 5: erunt 20, de quibus accipiat pensam que sunt 2, et addat eam cum 15 que sunt super virgulam de 23: erunt 17, quorum pensa sunt 8, sicuti superius ex parte servavimus. 81 Verbi gratia: quoniam ex divisore ducto in exeuntem numerum provenit divisus numerus, ergo si multiplicamus probam divisoris per probam exeuntis veniet proba divisi numeri. Sed ex diviso numero per 23 remanserunt 15, quibus extractis de 13976, remanent²⁶⁰ 13961, quibus divisis per 23, veniunt 607; ergo ex multiplicatione de 23²⁶¹ in 607 proveniunt 13961. 82 Quare si multiplicatur²⁶² proba²⁶³ de 607 que est 4 per probam de 23²⁶⁴ que est 5, veniunt 20, quorum proba, scilicet 2, est²⁶⁵ proba de 13961, quibus additur proba de 15 que supersunt, que est 6: faciunt 8, scilicet probam²⁶⁶ de 13976, et hoc volui demonstrare. Possunt enim multiplicationes²⁶⁷, additationes²⁶⁸, minutiones seu divisiones numerorum aliter per alias quasdam pensas probari, scilicet per eam de²⁶⁹ 7 et de omnibus numeris hasam existentibus, ut per 11 vel²⁷⁰ per 13 et deinceps. Quam doctrinam, secundum quod nobis videbitur congruum, in sequentibus demonstrabimus²⁷¹. 83 Item si voluerit dividere 24059 per 31, describat 31 sub 24059²⁷² et ponat sub zephyrum 7, ideo quia 31²⁷³ sunt circa 30 et sunt plus. Unde si acceperimus \({1 \over 3}\) de 24, scilicet extracta prima figura de 240, habebimus pro tertia parte²⁷⁴ 8 que sunt plus quam 7. Unde ponemus, ut diximus, 7 sub zephyro²⁷⁵, et secundum prescriptum ordinem multiplicet ipsa 7 per 3 de 31: erunt 21²⁷⁶, que extrahat de 24; remanent 3, que ponat super 4 et multiplicet eadem 7 per 1 de 31: erunt²⁷⁷ 7, que extrahat de 30; remanent 23, que ponat super 30 et dampnet ipsa 3, si vult; vel si non vult, ea in corde habeat²⁷⁸ pro dampnatis. 84 Item copulet ipsa 23 cum 5: erunt 235; et ponat iterum

1\(\phantom{59}\) 22\(\phantom{59}\) 338\(\phantom{9}\) 24059 31 776 \({3 \over 31}\) 776

²⁷⁹ prescripta ratione 7 sub 5, scilicet minus tertia²⁸⁰ parte de 23, et multiplicet ipsa per 3²⁸¹; erunt 21, que extrahat de 23: remanent 2; ponat 2 super 3 et dampnet ipsa 23 et copulet ipsa cum 5: faciunt 25; et semper intelligat antecedentium cum consequentibus copulationes. Et multiplicet eadem 7 per 1; erunt²⁸² 7, que extrahat de 25: remanent 18; ponat ipsa super 25 et dampnet ipsa 25²⁸³. 85 Post hec accipiat \({1 \over 3}\) de 18 suprascripta ratione: erunt 6. Unde ponat 6 sub 9 et sub 1 de 31; quibus positis, multiplicet ipsa per 3 de 31; erunt 18, per que dampnet superposita 18 et multiplicet eadem 6 per 1; erunt 6, que extrahat de 9; remanent²⁸⁴ 3, que ponat super virgulam de 31 ex parte descripta²⁸⁵. Et sic habebis pro quesita divisione \({3 \over 31}\) 776, ut in hac descriptione cernitur.

86 Volo demonstrare unde hic modus dividendi proveniat. Posuimus quidem 7²⁸⁶ sub tertio gradu numeri dividendi, que²⁸⁷ multiplicavimus per 3²⁸⁸ que sunt in ultimo gradu divisoris et occupant secundum gradum, cum sint sub secundo gradu dividendi numeri, et ex ipsa multiplicatione provenit numerus terminans in quarto gradu, quia tertius gradus quemcumque gradum multiplicat tertium gradum facit ab ipso quem multiplicat, vel facit numerum terminantem in ipso. 87 Nam quartus gradus tertius est²⁸⁹ a secundo. Et ideo extraximus multiplicationem de 7 in 3, scilicet 21, de 24 que terminantur in quarto gradu, et posuimus 3 super eundem quartum gradum, scilicet super 4, et intelleximus copulationem 3²⁹⁰ cum 0 quod est in tertio gradu numeri dividendi, que copulatio²⁹¹ est 30. Et multiplicamus rursus eadem 7 per 1 quod est in primo gradu divisoris; et quia in hac multiplicatione multiplicamus tertium gradum per primum, quod est idem quod multiplicare primum per tertium, 88 et ideo multiplicationem de 7 in 1, scilicet 7, extraximus de 30, que 30 terminantur in tertio gradu, quia ex multiplicatione tertii gradus in primum vel primi in tertium provenit numerus tertii gradus, vel terminans in ipso gradu; et posuimus 23 super 30 vel in loco eorum, et copulavimus ipsa 23 cum 5 que sunt in secundo gradu, et habuimus 235, que terminantur in secundo gradu; et posuimus in secundo gradu alia 7 que multiplicamus iterum per 3 divisoris, hoc est secundum gradum per secundum²⁹², ex qua multiplicatione provenit numerus tertii gradus vel terminans in ipso; 89 et ideo extraximus 21 de 23, cum ambo terminentur in tertio gradu, et 2 que remanserunt posuimus super 3, et intelleximus copulationem eorum cum 5 sequentibus, que copulatio est 25, et terminantur²⁹³ in secundo gradu, de²⁹⁴ quibus extraximus multiplicationem de 7 in 1, scilicet secundi gradus in primum, ex qua multiplicatione provenit numerus secundi gradus vel terminans in ipso; remanserunt 18 in eisdem gradibus in quibus sunt 25, scilicet 1 in tertio gradu et 8 in secundo; 90 et copulavimus ipsa 18 cum 9 primi gradus: fuerunt 189, et posuimus 6 in primo gradu exeuntis numeri et multiplicavimus ea per 3, scilicet primum gradum per secundum, ex qua multiplicatione provenit numerus terminans in secundo gradu, que multiplicatio fuit 18, pro quibus deleri fecimus supradicta 18, cum terminentur in secundo gradu. Et multiplicavimus eadem 6 per 1, et fuerunt 6 in primo gradu, que extraximus de 9 que sunt in eodem gradu; remanserunt 3, quibus divisis per 31, proveniunt \({3 \over 31}\), et sic habuimus \({3 \over 31}\) 776; et secundum hoc intelligas in similibus divisionibus²⁹⁵.

91 Nam si prescripte divisionis probam per pensam de 7 cognoscere cupit, accipiat pensam per²⁹⁶ 7 de 24059, hoc est superfluum eiusdem numeri in 7 divisi²⁹⁷, quod superfluum sic erit accipiendum: dicatur de \({1 \over 7}\) de 24, remanent 3; de 30 eundo, scilicet copulando, remanent 2; de 25 remanent 4; de 49 remanet 0 pro quesito superfluo, quod habeatur pro pensa. Eodemque modo accipiat pensam de 776, que sunt 6, et multiplicet ipsa per pensam de 31 que sunt sub virgula, hoc est per 3: erunt 18, que dividat per 7; remanent 4, que addat cum 3 que sunt super virgulam de 31: erunt 7, que dividat per 7; remanet 0, ut oportebat pro pensa remanere.