142 De secunda differentia²⁹⁹

Secunda differentia est quando maior numerus non dividitur per minorem, sed de minori possunt fieri tales partes quod per quamlibet ipsarum maior dividitur³⁰⁰. Cuius differentie regula est ut de minori facias partes per quas maior dividi possit et dividatur maior per unamquamque ipsarum partium, et habebis singulares partes que minor fuerit ex maiore. 143 Verbi gratia: volumus disgregare \({5 \over 6}\) in singulas partes unius integri. Quia 6 non dividuntur per 5, negatur³⁰¹ \({5 \over 6}\) ex prima esse differentia³⁰²; sed quia 5 dividuntur in duas partes, scilicet in 3 et in 2, per quamlibet quarum maior, scilicet 6, dividitur, affirmatur³⁰³ esse \({5 \over 6}\)³⁰⁴ de secunda³⁰⁵ differentia. Unde divisis 6 per 3 et per 2, reddunt 2 et 3, pro quibus 2 accipitur \({1 \over 2}\) et pro 3 accipe \({1 \over 3}\); ergo \({5 \over 6}\) sunt \({1 \over 3}\) \({1 \over 2}\) unius integri.

144 Vel aliter: disgregatis \({5 \over 6}\) in \({3 \over 6}\) et \({2 \over 6}\), erit unaquaque illarum duarum virgularum de prima differentia, scilicet \({3 \over 6}\) sunt \({1 \over 2}\), et \({2 \over 6}\) sunt \({1 \over 3}\); unde \({5 \over 6}\) sunt \({1 \over 3}\) \({1 \over 2}\), ut prediximus. Similiter si \({7 \over 8}\) resolveris in \({4 \over 8}\) et in \({2 \over 8}\) et in \({1 \over 8}\), habebis \({1 \over 2}\) pro \({4 \over 8}\) et \({1 \over 4}\) pro \({2 \over 8}\) et \({1 \over 8}\) pro \({1 \over 8}\), hoc est pro \({7 \over 8}\) habebis \({1 \over 8}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 2}\)³⁰⁶. Habet enim hec secunda differentia similiter partem compositam et partem revolutam compositam. De³⁰⁷ parte quidem composita sunt \({3~~\phantom{1}0 \over 4~~10}\), quia \({3 \over 4}\) per secundam differentiam sunt \({1 \over 4}\) \({1 \over 2}\); quare pro \({3~~\phantom{1}0 \over 4~~10}\) habentur composite \({1~~\phantom{1}0 \over 2~~10}\) et \({1~~\phantom{1}0 \over 4~~10}\), hoc est \({1 \over 20}\) et \({1 \over 40}\). 145 Similiter pro \({5~~0 \over 8~~9}\) habentur \({1~~0 \over 2~~9}\) et \({1~~0 \over 8~~9}\), cum \({5 \over 8}\) sint \({1 \over 2}\) et \({1 \over 8}\). Sed³⁰⁸ \({5~~\phantom{1}0 \over 8~~10}\), cum sint de prima differentia revoluta, non resolves in \({1~~\phantom{1}0 \over 2~~10}\) et \({1~~\phantom{1}0 \over 8~~10}\), cum per³⁰⁹ primam differentiam³¹⁰ revolvantur in \({\phantom{1}5~~0 \over 10~~8}\) que sunt \({1~~0 \over 2~~8}\); et hoc contingit propter comunitatem quam habent 5 que sunt super 8 cum 10. 146 De parte quidem revoluta composita huius differentie sunt \({3~~\phantom{1}0 \over 5~~10}\), que revolvuntur in \({\phantom{1}3~~0 \over 10~~5}\), que sunt \({1~~0 \over 5~~5}\) et \({1~~0 \over 10~~5}\), hoc est \({1 \over 25}\) et \({1 \over 50}\), quia \({3 \over 10}\) simpliciter rediguntur in³¹¹ \({1 \over 5}\) et \({1 \over 10}\); quare \({\phantom{1}3~~0 \over 10~~5}\) composite resolventur³¹² in \({1~~0 \over 5~~5}\) et in³¹³ \({\phantom{1}1~~0 \over 10~~5}\)³¹⁴. Similiter pro \({5~~0 \over 7~~8}\) habentur \({5~~0 \over 8~~7}\), scilicet \({1~~0 \over 2~~7}\) et \({1~~0 \over 8~~7}\), et sic intelligas in similibus.

147 Sed quia partes prime et secunde differentie pre ceteris in negotiationibus necessarias esse cognoscimus, in quibusdam tabulis disgregationes partium quorumdam numerorum ostendere presentialiter procuramus, quas cordetenus addiscere studeas, ut que in hac parte dicere volumus melius³¹⁵ intelligas.