481 De quattuor hominibus et una bursa

Habeant cum bursa primus et secundus duplum denariorum tertii, secundus quidem et tertius triplum quarti, tertius quoque et quartus quadruplum primi, quartus autem et primus habeant similiter cum bursa quincuplum denariorum secundi.

Huius enim questionis solutionem invenies per inventionem proportionis denariorum burse ad denarios primi hominis sic. 482 Quoniam primus et secundus cum bursa habent duplum tertii⁸¹⁶, medietas denariorum primi et secundi et burse est quantum denarii tertii hominis. Similiter ex reliquis propositionibus⁸¹⁷ habetur quod \({1 \over 3}\) secundi et tertii hominis et burse est quantum denarii quarti hominis, et \({1 \over 4}\) tertii hominis et quarti et burse est quantitas denariorum primi, et \({1 \over 5}\) denariorum quarti et primi et⁸¹⁸ burse est quantitas denariorum secundi. 483 Et quoniam \({1 \over 2}\) primi et secundi et burse est quantitas tertii, tertia pars medietatis primi et secundi et burse, scilicet \({1 \over 6}\) eorum, est \({1 \over 3}\) tertii hominis. Comuniter adiungantur \({1 \over 3}\) denariorum secundi et burse: erunt \({1 \over 6}\) primi et \({1 \over 2}\) secundi et burse quantum \({1 \over 3}\) secundi et tertii et burse. 484 Sed \({1 \over 3}\) secundi et tertii et burse est quantitas quarti; ergo \({1 \over 6}\) primi et \({1 \over 2}\) secundi et burse sunt quantitas denariorum quarti hominis. Quare \({1 \over 4}\) de \({1 \over 6}\) denariorum primi, hoc est \({1 \over 24}\), et \({1 \over 4}\) de \({1 \over 2}\), scilicet \({1 \over 8}\) denariorum secundi et burse, sunt \({1 \over 4}\) denariorum quarti hominis. Comuniter addatur \({1 \over 4}\) tertii et burse: erit \({1 \over 24}\) primi cum \({1 \over 8}\) secundi et cum \({1 \over 4}\) tertii et cum \({3 \over 8}\) burse quantum \({1 \over 4}\) denariorum tertii et quarti et burse. 485 Sed \({1 \over 4}\) tertii hominis et quarti et burse est quantitas primi; ergo \({1 \over 24}\) primi et \({1 \over 8}\) secundi et \({1 \over 4}\) tertii et \({3 \over 8}\) burse sunt quantum denarii primi. Quare quinta pars eorum, scilicet \({1 \over 120}\) primi et \({1 \over 40}\) secundi et \({1 \over 20}\) tertii et \({3 \over 40}\) burse, sunt \({1 \over 5}\) denariorum primi. Comuniter adiungatur \({1 \over 5}\) quarti hominis et burse: erunt \({1 \over 120}\) primi et \({1 \over 40}\) secundi et \({1 \over 20}\) tertii et \({1 \over 5}\) quarti et \({11 \over 40}\) burse quantum \({1 \over 5}\) quarti hominis et primi et burse. 486 Sed \({1 \over 5}\) quarti et primi et burse est quantitas denariorum secundi; ergo \({1 \over 120}\) primi et \({1 \over 40}\) secundi et \({1 \over 20}\) tertii et \({1 \over 5}\) quarti et \({11 \over 40}\) burse sunt quantitas secundi. Comuniter auferatur \({1 \over 40}\) secundi: remanebunt \({1 \over 120}\) primi et \({1 \over 20}\) tertii et \({1 \over 5}\) quarti et \({11 \over 40}\) burse quantum \({39 \over 40}\) denariorum secundi. 487 Sunt enim denarii quarti hominis \({1 \over 3}\) denariorum secundi et tertii et burse, quare \({1 \over 5}\) quarti hominis est \({1 \over 15}\) secundi et tertii et burse; ergo \({1 \over 120}\) primi et \({1 \over 15}\) secundi et \({1 \over 15}\) et \({1 \over 20}\)⁸¹⁹ tertii, scilicet \({7 \over 60}\) ipsius, et \({11 \over 40}\) et⁸²⁰ \({1 \over 15}\), scilicet \({41 \over 120}\) burse, sunt \({39 \over 40}\) secundi. Comuniter auferatur \({1 \over 15}\) secundi: remanebunt \({1 \over 120}\) primi et \({7 \over 60}\) tertii et \({41 \over 120}\) burse quantum \({109 \over 120}\) secundi⁸²¹, quia si de \({39 \over 40}\) cuiusvis rei auferatur \({1 \over 15}\) eiusdem, nimirum \({109 \over 120}\) ipsius remanebunt. 488 Et quia denarii tertii hominis sunt \({1 \over 2}\) denariorum primi et secundi et burse, ergo \({7 \over 60}\) tertii erunt \({7 \over 120}\)⁸²² primi et secundi et burse; ergo \({1 \over 120}\) et \({7 \over 120}\), hoc est \({1 \over 15}\) primi et \({7 \over 120}\) secundi et \({41 \over 120}\) et \({7 \over 120}\), hoc est \({2 \over 5}\) burse, sunt \({109 \over 120}\) denariorum secundi. Comuniter auferantur \({7 \over 120}\)⁸²³ secundi: remanebunt \({1 \over 15}\) primi et \({2 \over 5}\) burse quantum \({17 \over 20}\) denariorum secundi, 489 quia si de \({109 \over 120}\) auferantur \({7 \over 120}\) remanent \({102 \over 120}\) que sunt \({17 \over 20}\), ut dictum est. Et quia denarii secundi sunt \({1 \over 5}\) primi et quarti et burse, ergo \({17 \over 20}\) secundi sunt \({17 \over 100}\) primi et quarti et burse. Quare \({1 \over 15}\) primi et \({2 \over 5}\) burse sunt \({17 \over 100}\) primi et quarti et burse. Comuniter auferantur⁸²⁴ \({1 \over 15}\) primi et \({17 \over 100}\) burse: remanebunt \({31 \over 300}\) primi et \({17 \over 100}\) quarti quantum \({23 \over 100}\) burse. 490 Sunt enim omnes denarii quarti hominis \({1 \over 3}\) denariorum secundi et tertii et burse, quare \({17 \over 100}\) quarti sunt \({17 \over 300}\) secundi et tertii et burse; ergo \({31 \over 300}\) primi et \({17 \over 300}\) secundi et tertii et burse sunt \({23 \over 100}\) burse. Comuniter auferantur \({17 \over 300}\) burse: remanebunt \({31 \over 300}\) primi et \({17 \over 300}\) secundi et tertii quantum \({13 \over 75}\) burse. Et quia omnes denarii tertii hominis sunt \({1 \over 2}\) primi et secundi et burse, ergo \({17 \over 300}\) tertii hominis sunt \({17 \over 600}\) primi et secundi et burse. 491 Quare \({31 \over 300}\) et \({17 \over 600}\), scilicet \({79 \over 600}\) primi, et \({17 \over 300}\) et \({17 \over 600}\), scilicet \({17 \over 200}\) secundi et \({17 \over 600}\) burse sunt quantum \({13 \over 75}\) burse. Comuniter auferantur \({17 \over 600}\) burse: remanebunt \({79 \over 600}\) primi cum \({17 \over 200}\) secundi quantum \({29 \over 200}\) burse. Et quia \({17 \over 20}\) secundi, ut inventum est supra, sunt \({1 \over 15}\) primi et \({2 \over 5}\) burse, decima pars de \({17 \over 20}\) secundi, scilicet \({17 \over 200}\) ipsius, erit \({1 \over 150}\) primi et \({1 \over 25}\) burse; ergo \({79 \over 600}\) et \({1 \over 150}\) primi, scilicet⁸²⁵ \({83 \over 600}\) eiusdem, cum \({1 \over 25}\) burse sunt \({29 \over 200}\) burse. 492 Comuniter auferatur \({1 \over 25}\) burse: remanebunt \({83 \over 600}\) primi quantum \({21 \over 200}\) burse. Quare reperiendi sunt duo numeri, quorum \({83 \over 600}\) primi sint \({21 \over 200}\) secundi; erunt 63 et 83. Quare si primus homo habet 63, bursa est 83. Et quia \({1 \over 15}\) primi et \({2 \over 5}\) burse sunt \({17 \over 20}\) secundi, accipe \({1 \over 15}\) de 63 et \({2 \over 5}\) de 83, et habebis \({2 \over 5}\) 37 pro \({17 \over 20}\) denariorum secundi. 493 Quare est sicut 17 ad 20, ita \({2 \over 5}\) 37 ad denarios secundi; multiplicabis⁸²⁶ ergo \({2 \over 5}\) 37 per 20 et divides per 17: exibunt 44, et tot habuit secundus. Quibus additis cum denariis primi⁸²⁷ et burse, scilicet cum 63 et 83, erunt 190, quorum dimidium, scilicet 95, habeas pro denariis tertii, cum primus et secundus et bursa habeant duplum tertii. Quibus 95 additis cum denariis secundi et burse erunt 222, quorum tertia pars, scilicet 74, est quantitas denariorum quarti hominis.

494 Modus alius de tribus hominibus et una bursa

Sint itaque denarii primi et secundi cum bursa duplum denariorum tertii, secundi quoque et tertii triplum primi, tertii vero et primi quadruplum secundi. Ex positione predicta invenies denarios tertii hominis esse \({1 \over 3}\) summe denariorum trium hominum et burse, primi esse \({1 \over 4}\), secundi \({1 \over 5}\). Quare pone ipsam summam⁸²⁸ esse 60, de qua primus habet \({1 \over 4}\), scilicet 15; secundus \({1 \over 5}\), scilicet 12; tertius \({1 \over 3}\), scilicet 20. Quibus omnibus extractis de 60, remanent 13 pro denariis burse.

495 De quattuor hominibus et una bursa, cum duo illorum dicant reliquis; questio insolubilis

Denarii quidem primi et secundi cum bursa sint duplum denariorum tertii et quarti, secundi vero et tertii sint triplum quarti et primi, tertii autem et quarti sint quadruplum primi et secundi, quarti quoque et primi similiter cum bursa sint quincuplum denariorum secundi et tertii. Hec questio est insolubilis, et cognoscitur sic. 496 Quoniam primus et secundus cum bursa habent duplum tertii et quarti⁸²⁹, ideo denarii tertii et quarti hominis sunt \({1 \over 3}\) summe denariorum quattuor hominum et burse. Similiter ex precedentibus habetur quod denarii quarti et primi sunt \({1 \over 4}\) eiusdem summe et denarii primi et secundi sunt \({1 \over 5}\) eiusdem summe, nec non et denarii secundi et tertii sunt \({1 \over 6}\). 497 Et quia inter primum et secundum habent quintam predicte summe et inter tertium et quartum habent tertiam, ergo inter omnes quattuor habent \({1 \over 5}\) \({1 \over 3}\), hoc est \({32 \over 60}\). Habent etiam inter primum et quartum quartam et inter secundum et tertium sextam; ergo inter omnes quattuor habent \({1 \over 6}\) \({1 \over 4}\), scilicet \({25 \over 60}\) predicte summe. Ostensum est enim ipsos habere per primam computationem \({32 \over 60}\) predicte summe; ergo \({25 \over 60}\) ipsius summe sunt \({32 \over 60}\) eiusdem, quod est inconveniens, et hoc volui demonstrare.

498 De quinque hominibus et una bursa

Primus quidem et secundus habeant cum bursa duplum trium reliquorum hominum, secundus et tertius triplum, tertius et quartus quadruplum, quartus et quintus quincuplum, quintus et primus habeant similiter sexcuplum trium reliquorum hominum.

Ex hac quidem positione cognoscitur tertium et quartum et quintum hominem habere \({1 \over 3}\) summe denariorum quinque hominum et burse; 499 quartum quoque et quintum et primum \({1 \over 4}\); quintum et primum et secundum \({1 \over 5}\); primum et secundum et tertium \({1 \over 6}\); secundum et tertium et quartum \({1 \over 7}\). Pone pro eorum summa et bursa 420, qui numerus dividitur integraliter per partes predictas. Et accipe per ordinem \({1 \over 7}\) \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) ex ipsis, et habebis denarios tertii et quarti et quinti hominis 140; denarios quoque quarti et quinti et primi 105⁸³⁰; quinti, primi et secundi 84⁸³¹; primi et secundi et tertii 70; similiter et denarii⁸³² secundi et tertii et quarti erunt 60. 500 Quibus quinque numeris insimul iunctis, reddunt pro triplo denariorum quinque hominum 459, cum unusquisque ter computatus sit in prescriptis numeris. Quare accipe \({1 \over 3}\) de 459 cum cadat in integrum: exibunt 153 pro summa denariorum hominum; qua extracta de 420, remanent 267 pro denariis burse. Post hec adde denarios primi et secundi et tertii cum denariis quarti et quinti et primi, scilicet 70 cum 105: erunt 175, et tot habent inter omnes, primo bis computato. 501 Quare extrahe 153, scilicet summa eorum, de 175: remanent 22, et tot habet primus. Quos adde cum denariis tertii et quarti et quinti: erunt 162, et tot habent inter primum et tertium et quartum <et quintum>. Sed inter omnes quinque habent tantum 153; quare hec questio est insolubilis, nisi ponamus secundum hominem habere debitum 9 que sunt a 153 in 162. 502 Adde itaque denarios 22 cum debito secundi, scilicet extrahe 9 de 22; remanent 13, quos extrahe de 70: remanent 57, <et tot habet tertius>. De quibus extrahe 9, scilicet debitum secundi; remanent 48, quos extrahe de denariis secundi et tertii et quarti, scilicet de 60: remanent 12, et tot habet quartus. Quos adde cum 57; erunt 69, quos extrahe de 140: remanent 71⁸³³, et tot habet quintus.