503 Incipit pars quinta de emptione equorum inter consocios secundum datam proportionem⁸³⁴

Duo homines bizantios habentes invenerunt equum ad vendendum. Quem cum ipsi emere voluissent, primus dixit secundo: si dares mihi \({1 \over 3}\) tuorum bizantiorum haberem pretium equi. Cui alter petiit \({1 \over 4}\) suorum bizantiorum et equi pretium similiter⁸³⁵ habere proposuit. Queritur pretium equi et bizantios uniuscuiusque.

504 Pone in ordinem \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\), et extrahe 1 quod est super 3⁸³⁶ ex ipsis 3; remanent 2, que multiplica per 4: erunt bizantii 8, et tot habuit primus. Item 1 quod est super 4 extracto ex ipsis 4, remanent 3, que multiplica per 3: reddunt bizantios 9, et tot habuit alter. Rursus multiplica 3 per 4; erunt 12, de quibus tolle 1 quod exiit ex multiplicatione de 1 quod est super 3 in 1 quod est super 4: remanent bizantii 11 pro pretio equi⁸³⁷. Procedit enim hec regula ex regula proportionum, scilicet ex inventione proportionis bizantiorum unius ad bizantios alterius; que proportio invenitur sic.

505 Inventio proportionis⁸³⁸ bizantiorum unius ad bizantios⁸³⁹ alterius; ex qua proportione procedit regula suprascripta⁸⁴⁰

Quoniam primus cum \({1 \over 3}\) bizantiorum secundi habet quantum⁸⁴¹ secundus cum \({1 \over 4}\) bizantiorum primi, si comuniter auferatur \({1 \over 3}\) bizantiorum secundi, remanebit primus equalis duobus tertiis bizantiorum secundi et \({1 \over 4}\) bizantiorum sui. Item si auferatur comuniter \({1 \over 4}\) bizantiorum primi, remanebunt \({3 \over 4}\) bizantiorum primi quantum \({2 \over 3}\) bizantiorum secundi. Unde reperiendi sunt duo numeri, quorum \({3 \over 4}\) unius sit \({2 \over 3}\) alterius. 506 Multiplicabis

8 9 \({2 \over 3}\) \({3 \over 4}\)

⁸⁴² ergo 4 que sunt sub virgula de \({3 \over 4}\) per 2 que sunt super virgulam de \({2 \over 3}\): erunt 8, et hoc est quod superius multiplicavimus 2, scilicet 1 extracto de 3, per 4, et habuimus pro bizantiis primi hominis 8. 507 Item ut habeas alium numerum, multiplicanda sunt 3 que sunt sub virgula de \({2 \over 3}\) per 3 que sunt super virgulam de \({3 \over 4}\): erunt 9, et hoc est quod fecimus superius cum extraximus 1 de 4 et residuum, scilicet 3, multiplicavimus per 3, et habuimus 9 pro bizantiis secundi hominis.

508 Vel aliter, ut possimus demonstrare inventionem pretii equi. Quia 8 et 9 sunt

primus 8 secundus 9 pretium 11

⁸⁴³ numeri quorum \({3 \over 4}\) unius sunt \({2 \over 3}\) alterius, redigantur ipsa 8 et 9 in partes alicuius numeri, ut acceptis ipsis partibus ex numero illo, habeamus bizantios uniuscuiusque. Redigantur enim in partes de 12, cum \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) reperiantur in ipsis⁸⁴⁴. 509 Sunt enim 8 de 12 due tertie et 9 tres quarte; unde primus homo habet \({2 \over 3}\) ex quovis numero et secundus habebit \({3 \over 4}\) eiusdem numeri. Sitque numerus ille 12, de quibus si acceperis \({3 \over 4}\) \({2 \over 3}\) habebimus bizantios illorum. Accepimus enim superius \({2 \over 3}\) de 12 cum 1 dempto de 3, scilicet 2, multiplicavimus per 4. 510 Sunt enim 2 de 3 due tertie; multiplicatis quidem 2 per aliquem numerum, numerus qui exierit ex multiplicatione erit \({2 \over 3}\) ex numero qui procreabitur ex multiplicatione de 3 in ipso numero in quo multiplicata fuerint 2; unde multiplicatio de 2 in 4, scilicet 8, est \({2 \over 3}\) multiplicationis de 3 in 4, scilicet de 12. Similiter accepimus \({3 \over 4}\) de 12 cum 1 dempto⁸⁴⁵ de 4, scilicet 3, multiplicavimus per 3. 511 Deinde quia primus habet \({2 \over 3}\) alicuius numeri ex quo alius habet \({3 \over 4}\), et ad emendum equum primus petit secundo \({1 \over 3}\) suorum bizantiorum, ergo petit \({1 \over 3}\) de \({3 \over 4}\) illius numeri de quo secundus homo⁸⁴⁶ habet \({3 \over 4}\). Nam \({1 \over 3}\) de \({3 \over 4}\) ipsius numeri est \({1 \over 4}\) eiusdem numeri; ergo primus petit secundo \({1 \over 4}\) ipsius numeri de quo ipse habet \({2 \over 3}\); qua habita⁸⁴⁷, habebit primus \({1 \over 4}\) \({2 \over 3}\) ipsius numeri de quo ipse habet \({2 \over 3}\). Nam \({1 \over 4}\) \({2 \over 3}\) ipsius numeri est \({11 \over 12}\) eiusdem numeri. 512 Et quia cum primus habeat \({1 \over 4}\) \({2 \over 3}\), scilicet \({11 \over 12}\), ipsius numeri de quo ipse habet \({2 \over 3}\), et habeat pretium equi, ergo \({11 \over 12}\) ipsius numeri est pretium equi. Habet primus \({2 \over 3}\) de 12, scilicet 8, et secundus \({3 \over 4}\), scilicet 9, et pretium equi est \({11 \over 12}\) de 12, scilicet 11. Unde cum superius de multiplicatione de 3 in 4 extraximus multiplicationem de 1 in 1, tunc remanserunt \({11 \over 12}\) de numero ex quibus primus habet \({2 \over 3}\) et secundus \({3 \over 4}\), scilicet de 12. Per hanc enim proportionum regulam multe alie diverse questiones solvi possunt, ut in sequentibus demonstrabimus.

513 ⁸⁴⁸ De⁸⁴⁹ solutione eiusdem questionis per modum Arabum

Pone primum habere rem. Quare secundus habebit pretium equi minus quarta rei, cum secundus petat primo quartam suorum bizantiorum ut habeat pretium equi. Et quia primus petit secundo \({1 \over 3}\) suorum bizantiorum, ergo petit ei \({1 \over 3}\) pretii equi minus tertia quarte unius rei, et sic habet rem minus \({1 \over 12}\) rei et tertiam pretii equi que equantur pretio equi. 514 Comuniter auferatur tertia pretii equi: remanebunt \({11 \over 12}\)⁸⁵⁰ rei que equantur \({2 \over 3}\) pretii equi. Ergo \({11 \over 12}\) bizantiorum primi sunt \({2 \over 3}\) pretii equi. Et quia \({11 \over 12}\)⁸⁵¹ de \({2 \over 3}\) alicuius numeri equantur \({2 \over 3}\) de \({11 \over 12}\) eiusdem, ergo primus habebit \({2 \over 3}\) ipsius numeri de quo pretium equi est \({11 \over 12}\). Quare si numerus ille fuerit 12, primus habebit 8 et pretium equi erit 11 ut superius invenimus. Similiter si posueris rem pro bizantiis secundi, et operabis eodem⁸⁵² modo, invenies \({11 \over 12}\) bizantiorum secundi esse \({3 \over 4}\) pretii equi. Quare secundus habet \({3 \over 4}\) de 12, scilicet 9.

515 Aliter⁸⁵³ cum pretium equi sit certa quantitas

Et si proponatur quod pretium equi

11 9 8 25

⁸⁵⁴ sit bizantii 15, invenies primum bizantios 8 primi hominis et 9 secundi et 11 equi; et multiplicabis singulariter 8 et 9 per 15 et divides singulariter per 11, et invenies primum hominem habere bizantios \({10 \over 11}\) 10, secundum⁸⁵⁵ \({3 \over 11}\) 12.

516 ⁸⁵⁶ Vel⁸⁵⁷ si hoc operari per modum Arabum volueris, pone secundum habere rem.

primus \({10 \over 11}\) 10 secundus \({3 \over 11}\) 12 equus 15

⁸⁵⁸ Quare primus habebit pretium equi, scilicet 15, minus tertia rei, ex quibus secundus petit quartam, et sic habebit rem minus \({1 \over 12}\), hoc est \({11 \over 12}\) rei, et insuper habet quartam de bizantiis 15, scilicet \({3 \over 4}\) 3, que equantur bizantiis 15. Quare si comuniter auferantur \({3 \over 4}\) 3, remanebunt \({11 \over 12}\) bizantiorum secundi equales de bizantiis \({1 \over 4}\) 11. Et sic reducta est hec questio ad unam ex regulis arborum, ad eam videlicet in qua ponuntur \({11 \over 12}\) arboris esse \({1 \over 4}\) 11. Quare multiplicabis \({1 \over 4}\) 11 per 12 et divides per 11: exibunt \({3 \over 11}\) 12 pro bizantiis secundi hominis. Quorum tertia, scilicet \({1 \over 11}\) 4, si extraxeris de 15, remanebunt \({10 \over 11}\) 10 pro bizantiis primi hominis. Quos etiam invenies si posueris rem pro bizantiis primi et operabis ordine supradicto.

517 De emptione equi inter tres homines, cum unus petat alteri tantum per ordinem

Item homines sint tres, et primus

\({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\)

⁸⁵⁹ petat secundo \({1 \over 3}\) suorum bizantiorum, et secundus petat tertio quartam, et tertius primo quintam, et proponat unusquisque ipsum emere equum. Positis petitionibus ipsorum sic: \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\), extrahe 1 de 3: remanent 2, que 2 multiplica per 4 que sunt sub alia virgula: erunt 8, super que adde multiplicationem de 1 quod est super 3 in 1 quod est super 4: erunt 9, que multiplica per 5 que sunt sub alia virgula: erunt bizantii 45, et tot habuit primus. 518 Item extrahe 1 quod

primus 45 secundus 48 tertius 52 equus 61

⁸⁶⁰ est super 4 ex ipsis 4; remanent 3, que multiplica per 5, et superadde multiplicationem de 1 quod est super 4 in 1 quod est super 5; erunt 16, que multiplica per 3 de prima virgula: erunt 48, et tot habuit secundus. Rursus extrahe 1 quod est super 5 ex ipsis 5; remanent 4, que multiplica per 3 prime virgule et superadde multiplicationem de 1 quod est super 5 in 1 quod est super 3; erunt 13, que multiplica per 4: erunt 52, et tot bizantios habuit tertius. 519 Item multiplica numeros qui sunt sub virgulis, scilicet 3 per 4 que per 5; erunt 60, super que cum homines sint impares adde multiplicationem de 1 quod est super 3 in 1 quod est super 4, quam multiplicatam per 1 quod est super 5, que multiplicatio facit tantum 1: erunt 61, et tot bizantios valuit equus. Nam si homines essent pares, extraheres multiplicationem numerorum qui sunt super virgulas ex multiplicatione numerorum qui sunt sub virgulis, ut in antecedente questione fecimus. Procedit enim hec ex proportionis regula sic.

520 Inventio proportionis quam habet primus ad secundum, ex qua proportione⁸⁶¹ procedit regula suprascripta

Quoniam primus cum \({1 \over 3}\) bizantiorum secundi, et secundus cum \({1 \over 4}\) bizantiorum tertii, et tertius cum \({1 \over 5}\) bizantiorum primi, habent tantum pretium equi, ergo primus cum \({1 \over 3}\) bizantiorum secundi habuit quantum secundus cum \({1 \over 4}\) bizantiorum tertii et quantum tertius cum \({1 \over 5}\) bizantiorum primi. Et quia primus cum \({1 \over 3}\) bizantiorum secundi habet quantum secundus cum \({1 \over 4}\) bizantiorum tertii, si comuniter auferatur \({1 \over 3}\) bizantiorum secundi, habebit⁸⁶² primus quantum \({2 \over 3}\) bizantiorum secundi et quantum \({1 \over 4}\) bizantiorum tertii. 521 Item quia secundus cum \({1 \over 4}\) bizantiorum tertii habet quantum tertius cum \({1 \over 5}\) bizantiorum primi, si comuniter auferatur \({1 \over 4}\) bizantiorum tertii, habebit secundus homo quantum \({3 \over 4}\) bizantiorum tertii et quantum \({1 \over 5}\) bizantiorum primi. Rursus quia tertius homo cum \({1 \over 5}\) bizantiorum primi habet quantum primus cum \({1 \over 3}\) bizantiorum secundi, si comuniter auferatur \({1 \over 5}\) bizantiorum primi, remanet tertius homo equalis \({4 \over 5}\) de bizantiis⁸⁶³ primi et de \({1 \over 3}\) bizantiorum secundi. 522 Sed⁸⁶⁴ demonstratum⁸⁶⁵ est quod primus homo habet \({2 \over 3}\) de bizantiis secundi et quartam de bizantiis tertii. Nunc ostendendum est que pars sint⁸⁶⁶ bizantii primi de bizantiis secundi tantum, que ostenduntur sic: quoniam tertius homo habet \({4 \over 5}\) de bizantiis primi et \({1 \over 3}\) de bizantiis secundi, quarta pars de bizantiis tertii est⁸⁶⁷ \({1 \over 4}\) de \({4 \over 5}\) de bizantiis primi et de \({1 \over 3}\) de bizantiis secundi. 523 Quarta vero pars de \({4 \over 5}\) bizantiorum primi est \({1 \over 5}\) bizantiorum primi, et quarta pars de \({1 \over 3}\) bizantiorum secundi est \({1 \over 12}\) biziantiorum secundi; ergo quarta pars bizantiorum tertii est \({1 \over 5}\) bizantiorum primi et \({1 \over 12}\) bizantiorum secundi. Ergo primus habet \({1 \over 12}\) \({2 \over 3}\), scilicet \({3 \over 4}\), bizantiorum secundi et \({1 \over 5}\) bizantiorum suorum, cum habeat \({2 \over 3}\) bizantiorum secundi et \({1 \over 4}\) bizantiorum tertii. Et quia bizantii primi hominis sunt \({3 \over 4}\) bizantiorum secundi et \({1 \over 5}\) bizantiorum suorum, si comuniter auferatur \({1 \over 5}\) bizantiorum primi, remanebunt \({4 \over 5}\) bizantiorum primi quantum \({3 \over 4}\) bizantiorum secundi. 524 Quare reperiendi sunt duo numeri quorum \({4 \over 5}\) unius sint \({3 \over 4}\) alterius: erunt 15 et 16. Nam \({4 \over 5}\) de 15 sunt quantum \({3 \over 4}\) de 16; ergo in qua proportione est 15 ad 16, in eadem proportione sunt bizantii primi hominis ad bizantios secundi. 525 Deinde invenienda est proportio bizantiorum primi ad bizantios tertii, quam proportionem invenies sic. Quia primus, ut prediximus, habet \({2 \over 3}\) bizantiorum secundi et \({1 \over 4}\) bizantiorum tertii, videas de \({2 \over 3}\) bizantiorum secundi que partes sint⁸⁶⁸ de bizantiis tertii et primi hominis. Omnes enim bizantii secundi hominis sunt \({3 \over 4}\) bizantiorum tertii et \({1 \over 5}\) bizantiorum primi; quare \({2 \over 3}\) bizantiorum secundi sunt \({1 \over 2}\) bizantiorum tertii et \({2 \over 15}\) bizantiorum primi. 526 Ergo bizantii primi hominis sunt \({1 \over 4}\) \({1 \over 2}\), scilicet \({3 \over 4}\), bizantiorum tertii et \({2 \over 15}\) bizantiorum suorum. Quare si comuniter auferantur \({2 \over 15}\) bizantiorum primi, remanebunt \({13 \over 15}\) bizantiorum⁸⁶⁹ primi quantum \({3 \over 4}\) bizantiorum tertii. Ergo reperiendi sunt duo numeri, quorum \({13 \over 15}\) unius sint \({3 \over 4}\) alterius: erunt 45 et 52; ergo in qua proportione sunt 45 ad 52, in eadem proportione sunt bizantii primi hominis ad bizantios tertii. 527 Et quia proportio bizantiorum primi ad bizantios secundi est sicut 15 ad 16, eritque similiter proportio primi hominis ad secundum sicut est triplum de 15, scilicet 45, ad triplum de 16, scilicet ad 48; ergo si primus habet 45, et secundus⁸⁷⁰ habet 48, et tertius 52. 528 Et quia bizantii primi hominis, scilicet 45, sunt \({3 \over 4}\) de 60, in quo reperiuntur petitiones ipsorum, scilicet \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\), ideo accepimus superius \({3 \over 4}\) de 60 cum habuimus bizantios primi hominis. Quam acceptionem accepimus sic: extraximus 1 de 3 et 2 que remanserunt multiplicavimus per 4, et habuimus 8; quare accepimus tunc \({2 \over 3}\) de 12, que oriuntur ex multiplicatione de 3 in 4. 529 Et cum super 8 iunximus multiplicationem de \({1 \over 3}\) in \({1 \over 4}\), scilicet cum multiplicavimus 1 quod est super 3 per 1 quod est super 4; tunc habuimus \({1 \over 12}\) \({2 \over 3}\), scilicet \({3 \over 4}\) de 12, que \({3 \over 4}\) fuerunt 9; que 9 cum multiplicavimus per 5, habuimus \({3 \over 4}\) de 60, scilicet 45, scilicet ex numero qui procreatur ex multiplicatione de 12 in 5; ex quibus 12 fuerunt 9, ut diximus, \({3 \over 4}\). 530 Similiter cum habuimus superius bizantios secundi hominis, multiplicavimus 1 extracto de 4, scilicet 3, per 5 et superaddidimus multiplicationem de 1 quod est super 4 in 1 quod est super 5, et sic habuimus 16 pro \({4 \over 5}\) de 20, que 20 oriuntur ex multiplicatione de 4 in 5 que sunt sub virgulis. 531 Que 16 cum multiplicavimus per 3, accepimus \({4 \over 5}\) ex numero qui oritur ex 20 suprascriptis⁸⁷¹ in 3, scilicet de 60, quia bizantii secundi hominis sunt \({4 \over 5}\) de eisdem 60. Eademque ratione, cum invenimus superius bizantios tertii hominis, accepimus \({13 \over 15}\) de 60, sicut bizantii 52 sunt \({13 \over 15}\) de eisdem 60. Et quia primus habet \({3 \over 4}\) de 60 et secundus habet \({4 \over 5}\) de 60, et primus petit secundo \({1 \over 3}\) suorum bizantiorum, ergo petit ei \({1 \over 3}\) de \({4 \over 5}\) de 60, scilicet \({1 \over 15}\) \({1 \over 5}\)⁸⁷² de 60. 532 Qua petitione, scilicet \({1 \over 15}\) \({1 \over 5}\), addita cum \({3 \over 4}\) de 60 primi hominis, reddit pro pretio equi \({1 \over 15}\) \({1 \over 5}\) \({3 \over 4}\) de 60; que partes sunt \({1 \over 60}\) de 60 plus ex ipsis 60, et ideo superius super 60 que exeunt ex multiplicationibus numerorum qui sunt sub virgulis, scilicet de 3 in 4 que in 5, addidimus multiplicationem numerorum qui sunt super virgulas, scilicet de 1 in 1, quam in 1; ex qua multiplicatione exiit tantum 1, scilicet \({1 \over 60}\) de 60, et sic habuimus pretium equi, ut prediximus.

533 Ex huius regule consideratione quedam alia oritur questio, videlicet de homine qui habuit ziros 3, quorum primus tenet \({2 \over 3}\) secundi et \({1 \over 4}\) tertii sicut superius invenimus primum hominem habere, et secundus tenet \({3 \over 4}\) tertii ziri et \({1 \over 5}\) primi sicut secundus homo habet, et tertius zirus tenet \({4 \over 5}\) primi ziri et \({1 \over 3}\) secundi sicut tertius homo habet. Unde primus zirus tenet modia⁸⁷³ 45, secundus 48, tertius 52, ut pro bizantiis trium hominum inventi sunt.

534 Alia questio de tribus hominibus secundum suprascriptum modum

Item si primus petat secundo \({2 \over 3}\) suorum, et secundus petat tertio homini \({4 \over 7}\) suorum, et tertius

\({5 \over 9}\) \({4 \over 7}\) \({2 \over 3}\)

querat primo \({5 \over 9}\). In hac enim positione similiter est operandum, scilicet ut describantur petitiones eorum in ordinem sicut in margine cernitur. Deinde extrahantur 2 que sunt super 3 ex ipsis 3; remanet 1, quod multiplicetur per 7 et addatur multiplicatio de eisdem 2 per 4; erunt 15, que multiplicentur⁸⁷⁴ per 9: erunt 135, et tot bizantios habuit primus. 535 Item extrahantur 4 de 7; remanent 3, que multiplicentur⁸⁷⁵ per 9 et superaddatur

primus 135 secundus 141 tertius 154 pretium equi 229

⁸⁷⁶ multiplicatio de 4 in 5, idest 20; erunt 47, que multiplicentur per 3: erunt 141, et tot bizantios habuit secundus. Rursus extrahe 5 de 9; remanent 4, que multiplicentur per 3; erunt 12, quibus superaddatur multiplicatio de 5 in 2; erunt 22, que multiplicentur per 7: erunt 154, et tot bizantios habuit tertius. 536 Et multiplicentur 3 per 7 que per 9; erunt 189, quibus superaddantur 40 que exeunt ex multiplicatione numerorum qui sunt super virgulas⁸⁷⁷, scilicet de 2 in 4 que in 5: erunt 229, que habeantur pro pretio equi. Origo huius regule dicenda non est, cum materia ipsius satis aperte in antecedente questione per regulam proportionum demonstrata sit.

537 De eodem cum quattuor hominibus

Verum si homines quattuor extiterint, et primus petat secundo tertium suorum bizantiorum, et

\({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\)

⁸⁷⁸ secundus tertio \({1 \over 4}\) suorum, et tertius petat quarto \({1 \over 5}\) suorum, et quartus primo querat \({1 \over 6}\); et sic unusquisque equum emere proposuerit.

538 Describe in ordinem \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\); deinde extrahe 1 quod est super 3 de⁸⁷⁹ eisdem 3; remanent 2, que multiplica per 4; erunt 8, quibus superadde multiplicationem de 1 quod est super 3 in 1 quod est

primus 264

⁸⁸⁰ super 4; erunt 9, que multiplica per 5 et tolle inde multiplicationem de 1 quod est super 3 in 1 quod est super 4, quam in 1 quod est super 5; remanent 44, que multiplica per 6: erunt 264, et tot habuit primus. 539 Et sic semper in principio est extrahendus numerus qui est super virgulam de numero qui est sub virgula illius que quesita est ab ipso homine cuius summa tunc invenimus, sicuti modo de primo homine fecimus. Deinde est multiplicandus per numerum qui est sub sequenti virgula et tunc erit addenda multiplicatio superiorum numerorum; et sic semper usque in finem quotcumque homines fuerint, semel extrahendo et semel addendo gradieris. In fine autem nec addere nec extrahere debes.

540 Quare ut inveniantur bizantii secundi hominis, extrahatur 1 quod est super 4

secundus 285 tertius 296 quartus 315 pretium equi 359

⁸⁸¹ ex ipsis 4, quia ipse petit \({1 \over 4}\); remanent 3, que multiplica per 5; erunt 15, quibus superadde 1 quod exiit ex multiplicatione de 1 quod est super 4 in 1 quod est super 5; erunt 16, que multiplica per 6; erunt 96, de quibus extrahe multiplicationem de 1 quod est super 4 in 1 quod est super 5, quam⁸⁸² in 1 quod est super 6; quod cum non sit nisi tantum 1, remanent 95, que multiplica per 3: erunt 285, et tot habuit secundus. 541 Item ut habeantur bizantii tertii hominis, extrahe 1 quod est super 5 de ipsis 5; remanent 4, que multiplica per 6; erunt 24, quibus superadde 1 quod exiit ex multiplicatione unius quod est super 5 in 1 quod est super 6; erunt 25, que multiplica per 3; erunt 75, de quibus extrahe mutiplicationem de 1 quod est super 5 in 1 quod est super 6 quam in 1 quod est super 3; remanent 74, que multiplica per 4: erunt 296, et tot habuit tertius. 542 Item extrahe 1 de 6; remanent 5, que multiplica per 3; erunt 15, quibus superadde 1; erunt 16, que multiplica per 4; erunt 64, de quibus extrahe 1 quod exiit ex multiplicatione unius quod est super 6 in 1 quod est super 3 quam⁸⁸³ in 1 quod est super 4; remanent 63, que multiplica per 5: erunt 315, et tot habuit quartus homo. 543 Et multiplica 3 per 4, que per 5, que per 6: erunt 360. Item multiplica 1 quod est super 3 per 1 quod est super 4 quod per 1 quod est super 5 quod per 1 quod est super 6: erit 1, quod extrahe de 360 ideo quia homines sunt pares: remanent 359, que sunt pretium equi.

544 Qualiter suprascripta regula procedat ex regula proportionum

Materia huius regule secundum regulam proportionum hec est: quia primus cum \({1 \over 3}\) bizantiorum secundi habet pretium equi, sicut secundus cum \({1 \over 4}\) bizantiorum tertii et sicut tertius cum \({1 \over 5}\) bizantiorum quarti et sicut quartus cum \({1 \over 6}\) bizantiorum primi; ergo primus cum \({1 \over 3}\) bizantiorum secundi habet quantum secundus cum \({1 \over 4}\) bizantiorum tertii, et quantum tertius cum \({1 \over 5}\) bizantiorum quarti, et quantum quartus cum \({1 \over 6}\) bizantiorum primi. 545 Et quoniam primus cum \({1 \over 3}\) bizantiorum secundi habet quantum secundus cum \({1 \over 4}\) bizantiorum tertii, si comuniter auferatur \({1 \over 3}\) bizantiorum secundi invenies primum hominem habere \({2 \over 3}\) bizantiorum secundi et \({1 \over 4}\) bizantiorum tertii. Similiter cum secundus cum \({1 \over 4}\) bizantiorum tertii habeat quantum tertius cum \({1 \over 5}\) bizantiorum quarti, si comuniter auferatur \({1 \over 4}\) bizantiorum tertii, habebit \({3 \over 4}\) bizantiorum tertii et \({1 \over 5}\) bizantiorum quarti. 546 Similiter si supradicto modo procedere sciveris, invenies quod tertius homo habet \({4 \over 5}\) bizantiorum quarti hominis et \({1 \over 6}\) bizantiorum primi, et quod quartus homo habet \({5 \over 6}\) bizantiorum primi et \({1 \over 3}\) bizantiorum secundi. 547 Quibus per ordinem cognitis, invenienda est proportio primi hominis ad bizantios secundi, quam inveniemus sic: quia primus habet \({2 \over 3}\) bizantiorum secundi et \({1 \over 4}\) bizantiorum tertii, redigemus hanc \({1 \over 4}\) in partes bizantiorum primi et secundi, quod facere non possumus nisi primum redigatur ipsa \({1 \over 4}\) in partes bizantiorum quarti hominis et primi. Quod facies sic: quia bizantii tertii hominis sunt \({4 \over 5}\) de bizantiis quarti et \({1 \over 6}\) de bizantiis primi, ergo \({1 \over 4}\) bizantiorum tertii est \({1 \over 5}\) de bizantiis quarti et \({1 \over 24}\) de bizantiis primi hominis⁸⁸⁴. 548 Ergo bizantii primi hominis sunt \({2 \over 3}\) bizantiorum secundi et \({1 \over 5}\) bizantiorum quarti et \({1 \over 24}\) bizantiorum suorum. Si comuniter auferatur \({1 \over 24}\) bizantiorum primi, erunt \({23 \over 24}\) bizantiorum primi \({2 \over 3}\) bizantiorum secundi et \({1 \over 5}\) bizantiorum quarti. 549 Et quoniam bizantii quarti hominis sunt \({5 \over 6}\) bizantiorum primi et \({1 \over 3}\)⁸⁸⁵ bizantiorum secundi, ergo \({1 \over 5}\) bizantiorum quarti hominis est \({1 \over 6}\) bizantiorum primi et \({1 \over 15}\) bizantiorum secundi; ergo \({23 \over 24}\) bizantiorum primi sunt \({1 \over 15}\) \({2 \over 3}\), scilicet \({11 \over 15}\) bizantiorum secundi, et \({1 \over 6}\) bizantiorum suorum. Comuniter auferatur \({1 \over 6}\) bizantiorum primi: erunt \({19 \over 24}\) bizantiorum primi \({11 \over 15}\) bizantiorum secundi.

550 Quare reperiendi sunt duo numeri, quorum \({19 \over 24}\) unius sint \({11 \over 15}\) alterius; eruntque 264 et 285, qui sunt bizantii primi et secundi, ut in suprascripta regula invenimus. Itaque si duxeris⁸⁸⁶ bizantios secundi hominis in partes bizantiorum tertii, sicut reduximus bizantios primi hominis in partes secundi, invenies quod \({37 \over 45}\) bizantiorum secundi sunt \({19 \over 24}\) bizantiorum tertii. Quare invenies duos numeros, quorum \({37 \over 45}\) unius sint \({19 \over 24}\) alterius; eruntque 855 et 888. 551 Sunt enim in hac proportione 855 secundi hominis; in alia invenimus 285 pro bizantiis secundi hominis; ergo redigenda sunt suprascripta 855 in 285. Est igitur⁸⁸⁷ 285 tertia pars de 855; quare divides 888 per 3, evenient 296 pro bizantiis tertii hominis. Rursus suprascripto ordine reduc bizantios tertii hominis in proportione bizantiorum quarti; eruntque \({7 \over 8}\) bizantiorum tertii \({37 \over 45}\) bizantiorum quarti. 552 Quare invenies duos numeros, quorum \({7 \over 8}\) unius sint \({37 \over 45}\) alterius; eruntque 296 et 315, ut superius pro bizantiis tertii et quarti hominis invenimus. Bizantii vero primi hominis, scilicet 264, sunt \({11 \over 15}\) de 360, que 360 proveniunt ex multiplicatione numerorum qui sunt sub virgulis, scilicet de 3 in 4 que in 5 que in 6⁸⁸⁸. 553 Unde cum superius in inventione bizantiorum primi hominis extraximus 1 de 3, remanserunt 2, que 2 sunt \({2 \over 3}\) de 3; et multiplicatis ipsis 2 per 4, ut superius fecimus, habuimus 8 pro \({2 \over 3}\) de 12 que proveniunt ex multiplicatione de 3 in 4, super que 8 cum addidimus 1, scilicet multiplicationem de 1 quod est super 3 in 1 quod est super 4, habuimus 9, scilicet \({3 \over 4}\) ex eisdem 12par 554 Que 9 cum multiplicavimus per 5, habuimus 45 pro \({3 \over 4}\) de 60, que exeunt ex multiplicatione dictorum 12 in dictis 5; ex quibus 45 cum extraximus 1 quod exiit ex multiplicatione trium unitatum que sunt super virgas de 3 et de 4 et de 5, remanserunt 44; que 44 sunt \({11 \over 15}\) de 60. Nam extracto \({1 \over 60}\) de \({3 \over 4}\), remanent \({11 \over 15}\). Est enim 1 suprascriptum \({1 \over 60}\) de 60; quia cum multiplicatur 1 quod est super 3 per 1 quod est super 4 quod in 1 quod est super 5, tunc accipitur \({1 \over 3}\) de \({1 \over 4}\) de \({1 \over 5}\), hoc est \({1 \over 60}\).

555 Item cum multiplicavimus 44 per 6, habuimus 264 pro \({11 \over 15}\) de bizantiis 360, ut prediximus. Unde si in reliquis tribus hominibus hanc materiam inspexeris, invenies in inventione bizantiorum uniuscuiusque quod accepimus ipsorum partes de 360. Nam bizantii secundi hominis, scilicet 285, sunt \({19 \over 24}\) de 360, et bizantii tertii hominis, scilicet 296, sunt \({37 \over 45}\) de 360, et bizantii quarti hominis, scilicet 315, sunt \({7 \over 8}\) de 360. 556 Et ita has partes in suprascripta regula nos accepisse invenies. Et quia primus habet \({11 \over 15}\) de 360 et ad habendum pretium equi petit secundo \({1 \over 3}\) suorum bizantiorum, ergo petit ei \({1 \over 3}\) de \({19 \over 24}\) de 360, sicuti secundus habet. Que \({1 \over 3}\) est \({1 \over 72}\) \({1 \over 4}\) de 360; quibus \({1 \over 4}\) \({1 \over 72}\)⁸⁸⁹ additis cum \({11 \over 15}\) faciunt \({1 \over 360}\) de 360 minus ex ipso 360; et ideo in inventione bizantiorum equi extrahitur multiplicatio⁸⁹⁰ numerorum qui sunt super virgulas⁸⁹¹, scilicet 1, ex multiplicatione numerorum qui sunt sub virgulis, et habentur pro pretio equi bizantii 359.

557 Egreditur hinc

primum vas 264 secundum 285 tertium 296 quartum 315

⁸⁹² questio ipsius qui habet vasa 4, quorum primum tenet \({2 \over 3}\) secundi et \({1 \over 4}\) tertii, secundum \({3 \over 4}\) tertii et \({1 \over 5}\) quarti, tertium \({4 \over 5}\) quarti et \({1 \over 6}\) primi, quartum tenet \({5 \over 6}\) primi et \({1 \over 3}\) secundi. Primum vas tenet metra 264, secundum 285, tertium 296, quartum 315.

558 Inventio⁸⁹³ proportionis primi ad secundum in quinque hominum questione⁸⁹⁴

Et si homines essent⁸⁹⁵ quinque, quorum primus ad emendum equum peteret secundo \({1 \over 3}\) suorum bizantiorum, secundus tertio peteret \({1 \over 4}\), tertius quarto peteret \({1 \over 5}\), quartus quinto peteret \({1 \over 6}\), et quintus primo peteret \({1 \over 7}\); 559 et si⁸⁹⁶ vis scire in qua proportione sunt bizantii unius illorum ad bizantios sui sequentis, videas quidem suprascripto modo que pars sint bizantii uniuscuiusque de bizantiis duorum sequentium per ordinem. Bizantii vero primi sunt \({2 \over 3}\) bizantiorum secundi et \({1 \over 4}\) bizantiorum tertii. Secundi sunt \({3 \over 4}\) bizantiorum tertii et \({1 \over 5}\) bizantiorum quarti. Tertii sunt \({4 \over 5}\) bizantiorum quarti et \({1 \over 6}\) bizantiorum quinti. Quarti sunt \({5 \over 6}\) bizantiorum quinti et \({1 \over 7}\) bizantiorum primi. 560 Bizantii autem quinti sunt \({6 \over 7}\) bizantiorum primi et \({1 \over 3}\) bizantiorum secundi. Sunt enim, ut diximus, bizantii primi hominis \({2 \over 3}\) secundi et \({1 \over 4}\) bizantiorum tertii. Bizantii vero tertii sunt \({4 \over 5}\) bizantiorum quarti et \({1 \over 6}\) bizantiorum quinti⁸⁹⁷; quare \({1 \over 4}\) bizantiorum tertii est \({1 \over 5}\) bizantiorum quarti et \({1 \over 24}\) bizantiorum quinti; ergo bizantii primi hominis sunt \({2 \over 3}\) secundi et \({1 \over 5}\) bizantiorum quarti et \({1 \over 24}\) bizantiorum quinti. 561 Sunt enim omnes bizantii quarti hominis \({5 \over 6}\) bizantiorum quinti et \({1 \over 7}\) bizantiorum primi. Quare \({1 \over 5}\) bizantiorum quarti est \({1 \over 6}\) bizantiorum quinti et \({1 \over 35}\) bizantiorum primi. Ergo bizantii primi sunt \({2 \over 3}\) bizantiorum secundi et \({1 \over 24}\) \({1 \over 6}\), scilicet \({5 \over 24}\) bizantiorum quinti, et \({1 \over 35}\) bizantiorum suorum. Comuniter auferatur \({1 \over 35}\) bizantiorum primi: erunt \({34 \over 35}\) bizantiorum primi \({2 \over 3}\) bizantiorum secundi et \({5 \over 24}\) bizantiorum quinti. 562 Sunt enim omnes bizantii quinti hominis \({6 \over 7}\) bizantiorum primi et \({1 \over 3}\) bizantiorum

primus 1855 secundus 1998 tertius 2092 quartus 2145 quintus 2256 pretium equi 2521

⁸⁹⁸ secundi. Quare \({5 \over 24}\) bizantiorum quinti sunt \({5 \over 28}\) bizantiorum primi et \({5 \over 72}\) bizantiorum secundi; ergo \({34 \over 35}\) bizantiorum primi hominis sunt \({5 \over 72}\) \({2 \over 3}\), scilicet \({53 \over 72}\) bizantiorum secundi et \({5 \over 28}\) bizantiorum suorum. Comuniter auferantur \({5 \over 28}\) bizantiorum primi: erunt \({111 \over 140}\) bizantiorum primi \({53 \over 72}\) bizantiorum secundi. 563 Eademque via potes invenire proportiones aliorum per ordinem, cum quibus poteris habere originem suprascripte regule; quam regulam in quinque aliis hominibus inferius recitabimus. Habet enim primus suprascriptorum hominum bizantios 1855. Secundus bizantios 1998. Tertius bizantios 2092. Quartus bizantios 2145. Quintus bizantios 2256. Et pretium equi est bizantii 2521.

564 Alia questio de quinque hominibus

Item homines sint quinque, et primus petat secundo \({2 \over 3}\) suorum bizantiorum,

\({8 \over 19}\) \({6 \over 13}\) \({5 \over 11}\) \({4 \over 7}\) \({2 \over 3}\)

⁸⁹⁹ secundus itaque petat tertio \({4 \over 7}\), tertius vero petat quarto \({5 \over 11}\) et quartus petat quinto \({6 \over 13}\); quintus namque petat primo \({8 \over 19}\).

Describantur minuta petitionum ipsorum per ordinem⁹⁰⁰ sic: \({8 \over 19}\) \({6 \over 13}\) \({5 \over 11}\) \({4 \over 7}\) \({2 \over 3}\), et multiplicentur omnes numeri insimul qui sunt sub virgulis: erunt 57057. 565 Quibus, cum homines sint impares, superaddatur multiplicatio numerorum qui sunt super virgulas⁹⁰¹, idest de 2 in 4 que in 5 que in 6 que in 8⁹⁰²: erunt 58977, que habeantur pro pretio equi. Et ut habeantur bizantii primi hominis, extrahendus est superior numerus de virgula sue petitionis de numero inferiori eiusdem virgule, idest 2 de 3⁹⁰³; remanet 1, quod⁹⁰⁴ per 7; erunt 7, quibus⁹⁰⁵ superadde multiplicationem de 2 in 4; 566 erunt 15, que multiplica per 11; erunt 165, de quibus deme multiplicationem de 2 in 4, que in 5; remanent 125, que multiplica per 13; erunt 1625, quibus superadde multiplicationem de 2 in 4, que in 5, que in 6; erunt 1865, que multiplicentur per 19: erunt 35435, et tot habuit primus. 567 Item extrahes 4 que sunt super 7 de ipsis 7; remanent 3, que multiplica per

primus 35435 secundus 35313 tertius 41412 quartus 38643 quintus 44057 equus 58977

⁹⁰⁶ 11; erunt 33, cui superadde multiplicationem de 4 in 5⁹⁰⁷; erunt 53, que multiplica per 13; erunt 689, de quibus extrahe multiplicationem de 4 in 5, que in 6, idest 120; remanent 569, que multiplica per 19⁹⁰⁸; erunt 10811, quibus superadde multiplicationem de 4 in 5, que in 6, que in 8, idest 960; erunt 11771, que multiplica per 3: erunt 35313, et tot habuit secundus. 568 Item extrahe 5 de 11; remanent 6, que multiplica per 13; erunt 78, quibus superadde multiplicationem de 5 in 6; erunt 108, que multiplica per 19; erunt 2052, de quibus extrahe multiplicationem de 5 in 6, que in 8, idest 240; remanent 1812, que multiplica per 3; erunt 5436, quibus superadde multiplicationem de 5 in 6, que in 8, que in 2, idest 480; erunt 5916, que multiplica per 7: erunt 41412⁹⁰⁹ et tot habuit tertius. 569 Et si de quarto et quinto homine secundum datam et ostensam materiam invenire studueris, reperies quod quartus homo habuit bizantios 38643 et quintus habuit 44057; et sic de pluribus facere poteris.

570 Alia questio de quattuor hominibus

Verum si homines fuerint 4, et primus petat secundo \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\), secundus tertio \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\), tertius quarto \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\), quartus primo \({1 \over 7}\) \({1 \over 6}\). De \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) facies \({7 \over 12}\), de \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) facies \({9 \over 20}\), de \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) facies \({11 \over 30}\), de \({1 \over 7}\) \({1 \over 6}\) facies \({13 \over 42}\), et operaberis postea secundum quod supra docuimus, et invenies primum habere 176274, secundum 200772, tertium 205820, quartum 238830, et pretium equi esse 293391.