159 De septima differentia

Septima differentia est quando nulla suprascriptarum differentiarum³⁴⁴ contingit, cuius regula est multum utilis; per hanc enim quarundam suprascriptarum differentiarum partes melius quam per³⁴⁵ ipsarum³⁴⁶ regulas quandoque inveniuntur, videlicet partes secunde et quarte et quinte et sexte differentie. Unde partes ipsarum quattuor differentiarum per hanc septimam regulam semper sunt repetende, ut possis pulchriores partes vel per ipsarum regulas, vel per hanc subtilius reperire.

160 Est huius differentie regula ut dividas maiorem numerum per minorem; et cum ipsa divisio integra non fuerit, considera inter quos duos numeros illa divisio ceciderit. Si inter 3 et 4 ceciderit, scies quia minor³⁴⁷ numerus de maiori est minus quam \({1 \over 3}\) et plus quam \({1 \over 4}\) ipsius; et si inter 4 et 5 ceciderit, erit minus <quam> \({1 \over 4}\) et plus quam \({1 \over 5}\); et sic intelligas de omnibus duobus numeris inter quos illa divisio ceciderit. 161 Deinde accipe maiorem partem que minor numerus fuerit de maiori, et residuum quod inde remanebit serva. Quod si fuerit ex aliqua suprascriptarum differentiarum, operare per eam; et si illud residuum non fuerit ex aliqua suprascriptarum differentiarum, tunc ex ipso residuo accipies maiorem partem; et hoc facies donec remanebunt partes alicuius suprascriptarum differentiarum, vel donec habueris omnes singulares partes que minor fuerit de maiori. 162 Verbi gratia: volumus singulares partes de \({4 \over 13}\) facere. Divisio quidem de 13 in 4 cadit inter 3 et 4; quare \({4 \over 13}\) unius integri sunt minus de \({1 \over 3}\) unius integri et plus quam \({1 \over 4}\). Quare cognoscimus quod \({1 \over 4}\) est maior singularis³⁴⁸ pars que de \({4 \over 13}\) accipi potest. 163 Nam \({13 \over 13}\) faciunt unum integrum; quare quarta pars eorum, scilicet \({1~~\phantom{1}3 \over 4~~13}\), est \({1 \over 4}\) unius integri. Quare extrahe \({1~~3 \over 4~~13}\) de \({4 \over 13}\), remanebunt \({3~~\phantom{1}0 \over 4~~13}\), que per secundam differentiam sunt \({1~~1~~\phantom{1}0 \over 4~~2~~13}\), hoc est \({1 \over 52}\) \({1 \over 26}\); vel quia \({3~~\phantom{1}0 \over 4~~13}\) sunt \({3 \over 52}\), que per secunde differentie regulam sunt similiter \({1 \over 52}\) \({1 \over 26}\). Ergo pro \({4 \over 13}\) habemus tres singulares partes, scilicet \({1 \over 52}\) \({1 \over 26}\) \({1 \over 4}\).

164 Aliter partes de \({3 \over 52}\) per hanc septimam regulam potes reperire. Videlicet ut dividas 52³⁴⁹ per 3: exeunt 17 et plus, quare \({1 \over 18}\) est maior pars que in \({3 \over 52}\) sit. Unde divisis 52 per 18, exeunt \({8 \over 9}\) 2³⁵⁰; quibus extractis de 3, remanet \({1~~\phantom{5}0 \over 9~~52}\), scilicet \({1 \over 468}\). Ergo pro \({3 \over 52}\) habemus \({1 \over 468}\) \({1 \over 18}\); quare pro \({4 \over 13}\) habemus \({1 \over 468}\) \({1 \over 18}\) \({1 \over 4}\).

165 Item sic facies singulares partes de \({9 \over 61}\): divide 61 per 9, exibunt 6 et amplius, quare habebis \({1 \over 7}\) pro maiori singulari parte de \({9 \over 61}\). Divides itaque 61 per 7; exibunt \({5 \over 7}\) 8, que sunt sexagesime prime, quas extrahe de \({9 \over 61}\); remanebunt \({2~~\phantom{6}0 \over 7~~61}\), hoc est \({2 \over 427}\), que³⁵¹ \({2 \over 427}\) sunt \({1 \over 214}\) et \({\phantom{21}1~~\phantom{42}0 \over 214~~427}\) secundum tertiam differentiam. Ergo \({9 \over 61}\) sunt \({\phantom{21}1~~\phantom{42}0 \over 214~~427}\) \({1 \over 214}\) \({1 \over 7}\) unius integri. Vel pro \({2~~\phantom{6}0 \over 7~~61}\) habentur per tertiam compositam differentiam³⁵² \({1~~\phantom{6}0 \over 4~~61}\) et \({\phantom{2}1~~\phantom{6}0 \over 28~~61}\), quare pro \({9 \over 61}\) habentur \({1 \over 1708}\) \({1 \over 244}\) \({1 \over 7}\).

166 Item hunc eundem modum³⁵³ de \({17 \over 29}\) volumus demonstrare. Divisis quidem 29 per 17, exiit 1 et amplius; quare cognoscimus \({17 \over 29}\) magis³⁵⁴ esse medietate³⁵⁵ unius integri. Et notandum est quia tres tertie, vel quattuor quarte, vel \({5 \over 5}\) vel \({6 \over 6}\) faciunt unum integrum; similiter \({29 \over 29}\) faciunt unum integrum. Ex quibus si acceperimus medietatem, scilicet \({1~~14 \over 2~~29}\), et extraxerimus eas de \({17 \over 29}\), remanebunt \({1~~\phantom{2}2 \over 2~~29}\), hoc est \({5 \over 58}\): quare \({17 \over 29}\) sunt \({5 \over 58}\) \({1 \over 2}\), de quibus \({5 \over 58}\) oportet facere singulares partes, scilicet per hanc eandem differentiam. 167 Quare divide 58 per 5; exibunt 11 et amplius. Unde cognoscitur quod \({1 \over 12}\) est maior singularis pars que sit in \({5 \over 58}\); unde accipiatur \({1 \over 12}\) de \({58 \over 58}\), scilicet de integro, erunt \({5~~\phantom{5}4 \over 6~~58}\), a quibus usque in \({5 \over 58}\) deest \({1~~\phantom{5}0 \over 6~~58}\), hoc est \({1 \over 348}\); et sic habebis pro \({17 \over 29}\) tres singulares partes, scilicet \({1 \over 348}\) \({1 \over 12}\)³⁵⁶ \({1 \over 2}\).