149 De homine qui emit modia 90 quinque³⁹⁷ bladarum

Quidam emit Constantinopolim modia 90³⁹⁸ inter frumentum et milium et fabas et ordeum et lenticulas pro bizantiis \({1 \over 4}\) 21, ea videlicet ratione, quod modia centum frumenti vendebantur pro bizantiis 29, ordei vero pro bizantiis 25, milii autem pro bizantiis 22, fabarum namque³⁹⁹ bizantiis 18 et lenticularum bizantiis 16. 150 Queritur quantum emit de unaquaque blada. Sic facies: vide quantum valeant modia 100 commixtarum bladarum, cum modiis 90 ex eis valeant bizantios \({1 \over 4}\) 21. Ut hoc scias, multiplica modia 100 per bizantios \({1 \over 4}\) 21 et divide per 90: exibunt bizantii \({11 \over 18}\) 23 pro pretio centum modiorum. 151 Unde ut⁴⁰⁰ redigatur hec questio ad monetarum consolamen,

122 122 122   267 267 \({7 \over 54}\) 1 \({7 \over 54}\) 1 \({7 \over 54}\) 1   \({17 \over 36}\) 2 \({17 \over 36}\) 2 16 18 22   25 29 modia modia modia \({11 \over 18}\) 23 modia modia \({2 \over 10}\) 12 \({2 \over 10}\) 12 \({2 \over 10}\) 12   \({7 \over 10}\) 26 \({7 \over 10}\) 26

⁴⁰¹ dicendum est: habeo monetam ad uncias 29 et ad 25 et ad 22 et ad 18 et ad 16 et ex eis volo facere monetam ad uncias \({11 \over 18}\) 23 et consolare ex eis libras 90. Quare describe questionem in hunc modum et adde insimul pretium de carioribus bladis⁴⁰², scilicet bizantios 29 cum bizantiis 25: erunt 54. 152 Et quia duas bladas insimul iunxisti, divide 54 per 2; exibunt 27, de quibus extrahe bizantios \({11 \over 18}\) 23: remanent bizantii \({7 \over 18}\) 3, qui numerus est proportio trium vilium bladarum. Quare divides⁴⁰³ \({7 \over 18}\) 3 per ipsas tres bladas: exibit \({7 \over 54}\) 1, que pone super bizantios 22 et super 18 et super 16, ut in descriptione ostenditur⁴⁰⁴. Et adde insimul pretium aliarum trium bladarum, scilicet 22 et 18 et 16; erunt 56, que divide per 3: exibunt \({2 \over 3}\) 18, a quibus usque in \({11 \over 18}\) 23 desunt \({17 \over 18}\) 4, qui sunt proportio cariarum bladarum. 153 Quare divide \({17 \over 18}\) 4 per 2: exibunt \({17 \over 36}\) 2, que pone super 29 et super 25. Quibus ita descriptis, redigitur hec questio ad societatum questiones, videlicet quod unus misit \({17 \over 36}\) 2 et alter totidem et tertius \({7 \over 54}\) 1 et quartus et quintus totidem et lucrati sunt modia 90. Unde oportet ut facias de unoquoque numero centesimas octavas, quia in 108 reperiuntur predicti rupti. 154 Et describe unumquemque ipsorum super suum numerum, et sic habebis 267 super 29 et super 25 et 122 super 22 et super 18 et super 16. Quibus insimul additis, scilicet 267 et 267 et 122 et 122 et 122, erunt 900, in quorum regula divide multiplicationem de modiis 90 in unumquemque prescriptorum numerorum. 155 Vel quia 90 sunt \({1 \over 10}\) de 900, accipe \({1 \over 10}\) de suprascriptis numeris: exibunt de frumento modia \({7 \over 10}\) 26 pro bizantiis \({\phantom{1}3~~\phantom{1}4~~\phantom{1}7 \over 10~~10~~10}\)⁴⁰⁵ 7 et de ordeo modia \({7 \over 10}\) 26 pro bizantiis \({\phantom{1}5~~\phantom{1}7~~\phantom{1}6 \over 10~~10~~10}\)⁴⁰⁶ 6 et de milio modia \({2 \over 10}\)⁴⁰⁷ 12 pro bizantiis \({\phantom{1}4~~\phantom{1}8~~\phantom{1}6 \over 10~~10~~10}\)⁴⁰⁸ 2 et de fabis modia \({2 \over 10}\)⁴⁰⁹ 12 pro bizantiis \({\phantom{1}6~~\phantom{1}9~~\phantom{1}1 \over 10~~10~~10}\) 2⁴¹⁰ et de lenticulis modia \({2 \over 10}\) 12 pro bizantio \({\phantom{1}2~~\phantom{1}5~~\phantom{1}9 \over 10~~10~~10}\) 1.

156 Aliter de emptione bladarum

Verum si inequaliter de unaquaque predictarum bladarum se habuisse proposuerit⁴¹¹, aliter quam superius in inequalitate⁴¹² monetarum diximus hic dicere volumus, ut tripliciter similes questiones solvere valeas. Pone ut emisset ex una ipsarum quantum vis. Nam ut magis veniat expeditum, pone ut emisset ex ea que valet bizantios 25 modia 5, ideo quia ipsa modia 5 valent bizantios \({1 \over 4}\) 1; que modia 5 extrahe de 90: remanent modia 85⁴¹³; et \({1 \over 4}\) 1⁴¹⁴ extrahe de \({1 \over 4}\) 21: remanent bizantii⁴¹⁵ 20. 157 Modo restant consolare nobis⁴¹⁶ modia 85 pro bizantiis 20 inter reliquas quattuor bladas. Unde ad libitum pones ut ex ea que valet⁴¹⁷ bizantios 16 emisset modia 25, que valent bizantios 4; remanent modia 60 ad consolandum pro bizantiis 16 cum reliquis tribus bladis. 158 Iterum sumes ad libitum ut emisset modia 10 de ea que valet centenarium⁴¹⁸ bizantios 18, que modia 10 valent bizantios \({4 \over 5}\) 1. Unde discomputatis modiis 10 de 60 et bizantiis \({4 \over 5}\) 1⁴¹⁹ de 16⁴²⁰, remanent modia 50 ad consolandum pro bizantiis⁴²¹ \({1 \over 5}\) 14 inter ipsam cuius centenarium valet bizantios 22 et eam que valet bizantios 29. 159 Quare dicendum est: si modia 50⁴²² duarum commixtarum bladarum valent bizantios \({1 \over 5}\) 14, quantum valent modia 100? Multiplicabis siquidem 100 per \({1 \over 5}\) 14 et divides per 50, hoc est duplicabis ea: exibunt bizantii \({2 \over 5}\) 28. 160 Dices itaque: habeo monetam ad

\({3 \over 5}\)   \({2 \over 5}\) 6 22   29   \({2 \over 5}\) 28

⁴²³ 29 et ad 22 et volo ex eis facere libras 50 monete ad \({2 \over 5}\) 28. Descripto siquidem prescripto consolamine ut superius edocetur, accipe differentiam que est a 22 usque in \({2 \over 5}\) 28, scilicet \({2 \over 5}\) 6, et scribe ea super 29; et a \({2 \over 5}\) 28 usque in 29 desunt \({3 \over 5}\), quas pone super 22 et fac societatem de \({2 \over 5}\) 6 et de \({3 \over 5}\), qui⁴²⁴ faciunt 7, in quibus divide multiplicationem de \({2 \over 5}\) 6 in 50: exibunt modia⁴²⁵ \({5 \over 7}\) 45⁴²⁶, et tantum emit de illa de 29. Et iterum divides in eadem 7 multiplicationem de \({3 \over 5}\) in 50: exibunt modia \({2 \over 7}\) 4, et tantum emit de illa que valet⁴²⁷ bizantios 22.

161 Aliter de eisdem bladis⁴²⁸

Verum si proposuerit se emisse ex illa de 29 tantum quantum emit et⁴²⁹ de illa de 25⁴³⁰ quartam partem ipsius et de illa de 22 tantum quantum emit et de ipsa de 18⁴³¹ quartam partem ex ea de 22 et de illa de 16 quintam ex ipsa de 18, et sic habuit prescriptis conditionibus ex ipsis quinque bladis modia 90 pro bizantiis \({1 \over 4}\) 21, sic est faciendum: ut describatur questio sicut inferius⁴³² cernitur, et quia de ipsa de 25 emit quartam partem de ipsa de 29, ergo quater tantum emit de ipsa de 29 quam ex ipsa de 25. 162 Unde ponenda sunt 4 super 29 et 1 super 25, et multiplicanda 4 per 29: erunt 116, et 1 per 25: erunt 25, que iunge cum 116; erunt 141, que divide per iunctionem de 4 cum 1, scilicet per 5: exibunt bizantii \({1 \over 5}\) 28, et tantum valuit centum modiorum illarum predictarum duarum⁴³³ bladarum ita videlicet commixtarum. 163 Item eadem ratione⁴³⁴, quia cum de ipsa de 22 emerit quantum emit et ex ipsa de 18 quartam partem ipsius et ex ipsa de 16 quintam quam ex ipsa de 18, querendum est de \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\)⁴³⁵ in quali reperiantur numero, scilicet in 20, que describantur⁴³⁶ super 22. Et accipias quartam partem ipsorum, que est 5, et describas ea super 18 et iterum accipias \({1 \over 5}\) ipsorum, que est 1, et ponas eum super 16. Et multiplica 20 per 22: erunt 440, et 5⁴³⁷ per 18: erunt 90, et unum per 16: erunt 16, que adde cum 90 et cum 440; erunt 546, que divide per iunctionem de 20 cum 5 et cum 1, scilicet per 26: exibunt 21, et tantum valet centum illarum trium reliquarum bladarum in dicta proportione commixtarum.

164 Quapropter ut redigatur⁴³⁸ hec questio ad monetarum consolamen dices: habeo monetam ad \({1 \over 5}\) 28 et ad 21 et volo inde facere libras 90 monete ad uncias \({1~~5 \over 2~~9}\) 23. Quod consolamen si magistraliter secundum artem facere cupis, descripto ipso consolamine, multiplica 28 per 5 et adde⁴³⁹ 1; erunt 141, que multiplica per 9 et per 2 que sunt sub virgula de 23: erunt 2538, que pone super 28. Item multiplica 21 per 2 et per 9 de virgula de 23 et per 5 de virgula de 28⁴⁴⁰: erunt 1890, que pone super 21. 165 Item multiplica 23 per 9 et adde 5, que per 2 et

differentia   differentia 413   235 1890   2538 21   \({1 \over 5}\) 28   2125     \({1~~5 \over 2~~9}\) 23

⁴⁴¹ adde 1; erunt 425, que per 5 que sunt sub virgula que est cum 28: erunt 2125, que pone super \({1~~5 \over 2~~9}\) 23. Et iterum dices: habeo monetam ad 2538 et ad 1890 et volo facere inde libras 90 ad uncias⁴⁴² 2125. Unde differentia⁴⁴³ que est a 1890 usque in 2125, scilicet 235, ponenda est super \({1 \over 5}\) 28, et differentia que est a 2125 usque in 2538, scilicet 413, ponenda est super 21⁴⁴⁴. 166 Iunge siquidem 413 cum 235: erunt 648, in quorum regula, que est \({1~~0~~0 \over 8~~8~~9}\), dividenda⁴⁴⁵ esset multiplicatio de modiis 90 supradictis in 235, et summa que exiret esset summa modiorum duarum illarum⁴⁴⁶ bladarum superius coniunctarum, scilicet de 29 et 25. Sed ut dividatur pars unius ab altera, multiplica prescriptam multiplicationem, scilicet de 235 in 90, per 4 que⁴⁴⁷ sunt super 29 in descriptione et divide per coniunctionem eiusdem 4 cum 1 quod positum est super 25, idest per 5, et per⁴⁴⁸ prescriptam virgulam, scilicet per \({1~~0~~0~~\phantom{1}0 \over 4~~9~~9~~10}\). 167 Nam cum evidentissime videatur⁴⁴⁹ regulam de 90 in prescripta virgula esse, id est \({1~~\phantom{1}0 \over 9~~10}\), non oportet multiplicare 235 per 90, sed relinques laborem multiplicationis ut iterum relinquas laborem divisionis eorundem 90, et remanebunt tantum 235⁴⁵⁰ per 4 multiplicanda et per \({1~~0 \over 4~~9}\) dividenda. De quibus etiam si evitaveris \({1 \over 4}\), remanebunt 235 dividenda per 9: exibunt modia \({1 \over 9}\) 26, et tantum emit de ipsa de 29. Item eodem modo et ordine multiplica 235 per 1 quod est super 25; erunt 235, que divide similiter per \({1~~0 \over 4~~9}\): exibunt \({3~~4 \over 4~~9}\) 6, et tantum emit de ipsa de 25. 168 Rursus ut haberetur quantitas reliquarum trium bladarum insimul coniunctarum, multiplicanda essent⁴⁵¹ 413 in modia 90 et in \({1~~0~~0 \over 8~~8~~9}\) dividenda. Sed ut separentur ad invicem, multiplicanda est illa multiplicatio, scilicet de 413 in 90, per 20 que posita sunt super 22, et dividenda per eandem regulam, scilicet per \({1~~0~~0 \over 8~~8~~9}\) et per 26 que sunt summa eorundem 20 et de 5 que sunt super 18 et de 1 quod est super 16, optime in virgula omnia coaptata sic: \({1~~0~~0~~0~~\phantom{1}0 \over 2~~8~~9~~9~~13}\), et sic habebitur quantitas de ea quam emerit⁴⁵² ad rationem de 22. 169 Sed cum rursus evidentissime videatur⁴⁵³ de prescriptis 90 esse⁴⁵⁴ \({1 \over 9}\) sub virgula divisionis, \({1 \over 9}\) de 90 accipe, que est 10, et multiplica ea per 413: erunt 4130, que multiplica iterum per medietatem de 20, ideo quia potes relinquere \({1 \over 2}\) quod est in virgula; erunt 41300, que divide per \({1~~0~~\phantom{1}0 \over 8~~9~~13}\) tantum: exibunt modia \({4~~5~~\phantom{1}1 \over 8~~9~~13}\) 44, et tantum emit de illa de 22. 170 Iterum ut habeas illud quod emit de⁴⁵⁵ 18, multiplica 413 per 5, scilicet per octavam decimam partem⁴⁵⁶ de 90, ideo quia⁴⁵⁷ possibile est relinquere de dicta divisione, scilicet de \({1~~0~~0~~0~~\phantom{1}0 \over 2~~8~~9~~9~~13}\)⁴⁵⁸, regulam⁴⁵⁹ de 18 que est \({1~~0 \over 2~~9}\), qua extracta de virgula remanebit

1 5 20 1 4 16 18 22 25 29 \({1~~6~~\phantom{1}2 \over 8~~9~~13}\) 2 \({5~~3~~\phantom{1}0 \over 8~~9~~13}\) 11 \({4~~5~~\phantom{1}1 \over 8~~9~~13}\) 44 \({3~~4 \over 4~~9}\) 6 \({1 \over 9}\) 26

⁴⁶⁰ ut dividatur tantum in \({1~~0~~\phantom{1}0 \over 8~~9~~13}\) multiplicatio 413⁴⁶¹ in 5 et adhuc in alia 5 que sunt posita super 18. Que tota multiplicatio est 10325, que divide per \({1~~0~~\phantom{1}0 \over 8~~9~~13}\): exibunt modia \({5~~3~~\phantom{1}0 \over 8~~9~~13}\) 11, et tantum emit de ipsa de 18. 171 Item ut habeatur quantitas de ea quam⁴⁶² emit de⁴⁶³ 16, multiplica 413 per 5, scilicet per octavam decimam de 90: erunt 2065, que multiplica per 1 que est super⁴⁶⁴ 16; erunt similiter 2065, que divide per \({1~~0~~\phantom{1}0 \over 8~~9~~13}\): exibunt modia \({1~~6~~\phantom{1}2 \over 8~~9~~13}\) 2, et tantum emit de illa de 16, ut in descriptione ostenditur.