1 Incipit capitulum tertium decimum de regula elchataym, qualiter per ipsam fere omnes questiones abbaci solvuntur

Elchataym quidem arabice, latine duarum falsarum positionum regula interpretatur, per quas fere omnium questionum solutio invenitur. Ex quibus una est illa per quam in tertia parte duodecimi capituli regulas arborum et similium solvere docuimus. In quibus totum elchataym, scilicet duas positiones, ponere non oportet, cum per unam earum ipse questiones solvi possint. Et tamen qualiter ipse et multe alie questiones per elchataym solvi debeant volumus demonstrare. 2 Ponuntur enim ipse due false positiones fortuitu, unde occurrunt quandoque ambe minores veritate, quandoque maiores, quandoque una maior et altera minor, et invenitur solutionum veritas secundum proportionem differentie unius positionis ad aliam, hoc est quod cadit in regula quarte proportionis, in qua tres numeri sunt noti, per quos quartus ignotus, scilicet solutionis veritas, reperitur. 3 Quorum primus numerus est differentia numeri unius false positionis ad aliam, secundus est adpropinquatio que fit veritati per ipsam differentiam, tertius est residuum quod est ad adpropinquandum veritati. Que qualiter fiant, primum in regula cantarii demonstrare volumus, ut ipsis tribus differentiis subtiliter in cantario demonstratis aliarum questionum solutiones per elchataym subtiliter valeas intelligere.

4 Valeat enim cantare, scilicet rotuli 100, libras 13, et queratur quantum valeat rotulus 1. Ponimus fortuitu quod rotulus 1 valeat soldum 1; ergo rotuli 100, scilicet cantare valebit ea ratione soldos 100, scilicet libras 5. Sed quia pretium cantarii est libre 13, ideo hec prima positio falsa est, et distat a veritate libris 8, scilicet differentia que est a libris 5 usque ad libras 13. 5 Unde pro pretio ipsius rotuli ponamus soldos 2, scilicet soldum 1 plus prima positione, qua¹ ratione cantare valebit soldos 200, scilicet libras 10. Et hec similiter positio falsa est et longe a veritate libris 3, scilicet differentia que est a libris 10 usque in libras 13. Nam in prima positione fuimus longe a veritate libris 8, in secunda libris 3. 6 Ergo per differentiam que est a prima positione in secundam², scilicet per soldum 1, adpropinquavimus veritati libras 5, scilicet

libre soldi 5 1     3 \({3 \over 5}\)

³ differentiam⁴ que est a libris 8 usque in libras 3, et desunt adhuc ad adpropinquandum⁵ libre 3. Quare dices: per denarios 12 quos addidi pretio rotuli unius adpropinquavi pretio cantarii libras 5; quid superaddam ergo pretio eiusdem rotuli, ut adpropinquem libras 3 que desunt supra secundam positionem a pretio eiusdem cantarii? 7 Multiplica ergo extremos numeros et divides per medium secundum quod in regulis arborum et similium demonstravimus, videlicet 12 per 3 et divides per 5 qui est medius numerus: exibunt denarii \({1 \over 5} 7\), quibus additis super soldos 2 qui positi fuerunt in secunda positione, habebis pro pretio unius rotuli soldos 2 et denarios \({1 \over 5}\) 7.

8 Fuerunt enim iste due positiones minores veritate. Nunc ergo proponamus que sint ambe maiores. Ponatur ergo fortuitu quod rotulus 1 valeat soldos 4, qua ratione totum cantare valeret⁶ libras 20, scilicet libras 7 plus quam debeat: ergo hec positio falsa est. Ponatur ergo in secunda positione soldos 3 pro pretio ipsius rotuli, scilicet denarii 12 minus quam in prima positione; qua ratione totum cantare valeret libras 15, scilicet libras 2 magis quam debeat. 9 Unde et hec similiter falsa est. Nam pro denariis 12 quos minuimus in secunda positione de pretio unius rotuli, adpropinquavimus libras 5, scilicet differentiam⁷ que est a libris 7 usque in 2; remanent ipse due libre adhuc ad adpropinquandum⁸. 10 Unde dices: pro denariis 12 quos minui de pretio rotuli, adpropinquavi veritati libras 5; quid minuam de secunda positione, ut adpropinquem libras 2? Multiplica ergo extremos, scilicet 12 per 2, et divides per medium, scilicet per 5: exibunt denarii \({4 \over 5}\) 4, quibus extractis de soldis 3 secunde positionis, remanebunt similiter pro pretio illius rotuli soldi 2 et denarii \({1 \over 5}\) 7.

11 Item ut una positio sit maior et altera minor, ponamus pro pretio illius rotuli soldos 3; qua ratione cantare valeret libras 15, scilicet libras 2 magis quam debeat. Et ponamus in secunda positione pro pretio rotuli soldos 2; qua ratione cantare valeret libras 10, quod est 3 minus quam debeat. Ergo pro denariis 12 quos minuimus in secunda positione, minuimus libras 2 que in prima positione superant et libras 3 que in secunda positione minuunt. 12 Ergo pro ipsis denariis 12 minuimus libras 5 a prima positione in secundam⁹, cum non restarent ad minuendum nisi libre 2; vel crevimus libras 5 a secunda positione in primam, cum non

pretium rotuli den. sol. \({1 \over 5} 7\) 2

¹⁰ restarent ad crescendum nisi tantum libre 3. Quare hoc dupliciter dicere¹¹ potes. Primum quidem dic: pro denariis¹² 12 quos minuimus de prima positione, minuimus libras 5; quid minuemus ex eadem, ut minuamus tantum libras 2? Multiplica 12 per 2 et divides per 5: exibunt denarii \({4 \over 5}\) 4 , quibus extractis de soldis 3 prime positionis remanent soldi 2 et denarii \({1 \over 5}\) 7 pro pretio illius rotuli.

13 Vel dic: pro denariis 12 quos crevi a secunda positione in primam¹³, crevi libras 5; quid adcrescam super ipsam secundam positionem, ut adcrescantur¹⁴ libre 3? Multiplica ergo 12 per 3 et divides per 5: exibunt denarii \({1 \over 5}\) 7, quibus additis cum soldis 2 secunde positionis, habebis similiter pro pretio illius rotuli soldos 2 et denarios \({1 \over 5}\) 7.

14 Est enim alius modus elchataym, qui regula augmenti et diminutionis appellatur, in quo ponuntur errores sub positionibus suis et multiplicatur error primus per positionem secundam et error secundus per positionem primam. Et si errores fuerint ambo diminuti vel ambo additi, extrahitur minor summa predictarum multiplicationum de maiori et residuum¹⁵ dividitur per differentiam errorum et sic invenitur solutio questionum. 15 Et si unus error fuerit¹⁶ additus et alter diminutus, tunc adduntur insimul ambe multiplicationes et summa dividitur per errorum coniunctionem. Verbi gratia: posuimus superius pro pretio¹⁷ unius rotuli soldum 1, cum quo erravimus in libris 8 diminutis; quare pones 8 sub 1 et notabis minus super 8, cum sint diminuta. 16 Deinde quia in secunda positione posuimus soldos 2 pro pretio

soldi 13 soldi 3   16 soldi   soldi 1   2 minus   minus 8   3 differentia errorum 5

¹⁸ eiusdem rotuli et erravimus adhuc in libris 3 diminutis, pones soldos 2 ante primam positionem et sub ipsis pone errorem eorum, scilicet libras 3, super quas notabis iterum minus, cum sint iterum deficientes. 17 Et multiplicabis soldos 2 per numerum primi erroris: erunt soldi 16; et soldus 1 per numerum erroris secundi: erunt soldi 3. Et quia ambo errores fuerunt diminuti, extrahe minorem multiplicationem de maiori, scilicet 3 de 16: remanent soldi 13, quibus divisis per differentiam errorum, scilicet per 5, veniunt soldi \({3 \over 5}\) 2 ut superius invenimus.

18 Rursus cum superius fecimus venire errores ambo addentes,

differentia multiplicationis 8 13 21 soldi   soldi 4   3 plus   plus libre   libre 7 5 2 differentia errorum

¹⁹ posuimus in prima positione soldos 4 et erravimus cum libris 7 additis, et in secunda positione posuimus soldos 3 et erravimus iterum cum libris 2 additis, ut in hac alia patet descriptione. 19 Quare multiplicabis positionem secundam per numerum erroris primi, scilicet per 3: erunt soldi 21; et 2 per 4: erunt soldi 8; et quia ambo errores fuerunt superhabundantes, divide differentiam multiplicationum per differentiam errorum, scilicet 13 per 5, et habebis similiter soldos \({3 \over 5}\) 2.

20 Rursus cum fecimus primum eorum deficere et alium

additum ex multiplicationibus 4 13 9 soldi   soldi 2   3 minus   plus 3 5 2 differentia errorumadditum ex erroribus

²⁰ superhabundare, posuimus pro²¹ pretio unius rotuli in prima positione soldos 2 et in secunda soldos 3, et primus error fuit 3 diminuta et secundus 2 addita, ut in hac alia cernitur descriptione. 21 Quare multiplicabis 3 per 3 et 2 per 2: erunt soldi 9 et soldi 4, quos adde insimul, cum unus ex erroribus sit diminutus et alter additus; erunt soldi 13, quos divide per coniunctum ex erroribus, hoc est per 5: exibunt similiter soldi \({3 \over 5}\) 2, hoc est soldi 2 et denarii \({1 \over 5}\) 7, ut superius invenimus.

22 Nam ut unde hec proveniant demonstrentur, adiaceat ignotus numerus \(AB\), scilicet vera solutio alicuius questionis que solvi possit per elchataym; ex quo numero sumatur numerus \(AG\) notus pro prima positione, cuius error sit numerus \(EZ\) deficiens, et pro secunda positione sumatur iterum ex numero \(AB\) numerus \(AD\) similiter notus, cuius error sit numerus \(IZ\) similiter deficiens, et est notus unusquisque numerorum \(EZ\), \(IZ\). 23 Quare differentia que est inter utrumque errorem, scilicet numerus \(EI\), est notus. Similiter \(GD\)²², numerus qui est inter utramque positionem, est notus, cum numeri positionum²³, scilicet \(AG\) et \(AD\), sint noti; sed numerus \(BD\) restat ignotus, cum totus \(AB\) sit ignotus. Oportet itaque, si questio fuerit solubilis per elchataym, ut sit sicut \(EI\) notus ad \(IZ\) notum ita \(GD\) notus ad \(DB\)²⁴ ignotum.

24 ^[1] Quare secundum primum modum multiplicavimus²⁵ \(IZ\) per \(GD\) et divisimus²⁶ per \(EI\), scilicet multiplicavimus²⁷ errorem secundum per differentiam positionum²⁸ et divisimus²⁹ summam per differentiam errorum³⁰, et habuimus³¹ notum numerum \(DB\), quem addidimus³² super secundam positionem, scilicet super \(AD\), et sic habuimus³³ notum³⁴ numerum \(AB\), scilicet solutionem posite questionis.

25 Sed secundum alium modum multiplicavimus³⁵ errorem primum per positionem secundam, scilicet \(EZ\) per \(AD\), et³⁶ extraximus³⁷ multiplicationem erroris secundi in positionem primam, scilicet numeri \(IZ\) in numerum \(AG\), et divisimus³⁸ residuum per numerum \(EI\), et habuimus³⁹ totum numerum \(AB\). Et hoc provenit quia cum multiplicatur numerus \(EZ\) in numerum \(AD\), tunc multiplicantur numeri \(EI\), \(IZ\) in numerum \(AD\). 26 Sed cum multiplicatur numerus \(IZ\) in numerum \(AD\), tunc multiplicatur numerus \(IZ\) in numeros \(AG\) et \(GD\): ergo cum⁴⁰ multiplicatur numerus \(EZ\) in numerum \(AD\), tunc multiplicatur numerus \(EI\) in numerum \(AD\) et numerus \(IZ\) in numeros \(AG\) et \(GD\). 27 Sed multiplicatio \(IZ\) in \(GD\) est sicut multiplicatio \(EI\) in \(DB\), cum sit sicut \(EI\) ad \(IZ\) ita \(GD\) ad \(DB\). Quare cum multiplicatur \(EZ\) in \(AD\), tunc multiplicatur \(EI\) in numeros \(AD\) et \(DB\), hoc est in totum numerum \(AB\), et numerus \(IZ\) in numerum \(AG\). 28 Unde si ex multiplicatione numeri \(EZ\) in \(AD\), scilicet erroris primi in positionem secundam, auferatur multiplicatio numeri⁴¹ \(IZ\) in numerum \(AG\), scilicet erroris secundi in positionem primam, remanet multiplicatio numeri \(EI\) in numerum \(AB\); que multiplicatio si dividatur per eundem \(EI\), scilicet per differentiam errorum, nimirum numerum \(AB\) provenire necesse est; quod oportebat ostendere.

29 Rursus sit numerus \(AB\) ignotus vera solutio alicuius questionis que solvi possit per elchataym, et sit numerus \(AF\) positio prima et numerus \(AC\) secunda; et sint⁴² ambo positiones maiores numeri \(AB\), quare errores earum erunt addentes. Et sit numerus \(GI\) error prime positionis et \(GK\) secunde. 30 Oportet itaque ut sit sicut \(IK\) ad \(KG\) ita \(CF\) notus ad \(CB\) ignotum. Quare superius in primo modo multiplicavimus⁴³ \(KG\), scilicet errorem secundum, per \(CF\), scilicet per differentiam positionum, et divisimus⁴⁴ summam per numerum \(IK\), scilicet per differentiam errorum, et habuimus⁴⁵ numerum \(BC\); quem extraximus⁴⁶ ex \(AC\), scilicet ex positione secunda, et⁴⁷ remanet⁴⁸ numerus \(AB\).

31 Sed secundum alium modum multiplicavimus⁴⁹ numerum \(GI\) per numerum \(AC\), scilicet errorem primum per positionem secundam, et extraximus⁵⁰ inde multiplicationem numeri \(KG\) in numerum \(AF\), scilicet erroris secundi in positionem primam, et quod remanet⁵¹ divisimus⁵² per numerum \(IK\), scilicet per differentiam errorum, et habuimus⁵³ similiter notum numerum \(AB\), qui erat ignotus. 32 Et hoc fuit quia cum multiplicatur numerus \(GI\) in numerum \(AC\), scilicet error primus in positionem secundam, tunc multiplicantur numeri \(GK\) et \(KI\) in numerum \(AC\). Sed cum multiplicatur numerus \(KI\) in numerum \(AC\), tunc multiplicatur numerus \(KI\) in numeros \(AB\) et BC. 33 Nam multiplicatio \(KI\) in \(BC\) equatur multiplicationi \(GK\) in \(CF\)⁵⁴, cum sit sicut \(IK\) ad \(KG\) ita \(FC\) ad \(CB\); ergo cum multiplicatur numerus \(GI\) in numerum \(AC\), tunc multiplicatur numerus \(GK\) in numeros \(AC\) et \(CF\), hoc est in totum numerum \(AF\), et numerus \(KI\) in numerum \(AB\). 34 Quare si ex ductu \(GI\) in \(AC\), scilicet primi erroris in positionem secundam, auferatur multiplicatio \(GK\) in \(AF\), scilicet erroris secundi in positionem primam⁵⁵, remanebit multiplicatio numeri \(KI\) in numerum \(AB\); que multiplicatio cum dividitur per \(KI\), scilicet per differentiam errorum, provenit numerus \(AB\), scilicet solutio questionum, et hoc volui demonstrare.

35 Iterum adiaceat numerus \(AB\) ignotus, qui sit solutio alicuius questionis que solvi possit per elchataym, et ex ipso accipiatur numerus \(AG\) notus pro positione prima, cuius error sit numerus \(EZ\) deficiens, et pro positione secunda habeatur numerus \(AD\) notus, qui est maior numero \(AB\), cuius error sit numerus \(ZI\) . 36 Oportet itaque ut si questio solvi poterit per elchataym, ut sit sicut \(GD\) ad \(BG\) ita \(EI\) ad \(EZ\), hoc est quod sit sicut differentia que est inter positiones ad differentiam que est a prima positione in numerum quesitum, ita coniunctum ex erroribus ad errorem primum. 37 Et quia ita fuit superius, cum per primum modum operati fuimus, multiplicavimus errorem primum per differentiam positionum, scilicet \(EZ\) per \(GD\), et divisimus summam per coniunctum ex erroribus, scilicet per numerum \(EI\), et habuimus numerum⁵⁶ \(GB\); quem addidimus super⁵⁷ positionem primam, scilicet super \(AG\), et fuit notus numerus \(AB\) qui fuerat ignotus. 38 Vel quia fuit sicut \(GD\) ad \(BD\) ita \(EI\) ad \(ZI\), ideo multiplicavimus \(ZI\) per \(GD\), scilicet errorem⁵⁸ secundum per differentiam positionum, et divisimus summam per numerum \(EI\), scilicet per coniunctum ex erroribus, et habuimus numerum⁵⁹ \(BD\), quem extraximus ex numero \(AD\), scilicet ex positione secunda, et remansit numerus \(AB\), scilicet solutio.

39 Per secundum vero modum multiplicavimus errorem primum per positionem secundam, scilicet \(EZ\) per \(AD\), et errorem secundum per positionem primam, scilicet \(ZI\) per \(AG\); quas multiplicationes congregavimus et eorum summam divisimus per coniunctum ex erroribus, scilicet per \(EI\), et habuimus solutionem quesitam, scilicet numerum \(AB\). 40 Et hoc fuit quia cum multiplicatur numerus \(EZ\) per numerum \(AD\), tunc multiplicatur \(EZ\) in numeros \(AG\) et \(GD\); quibus multiplicationibus cum additur multiplicatio \(ZI\) in \(AG\), tunc habetur summa multiplicationum numerorum \(EZ\), \(ZI\) in numerum \(AG\), et multiplicationis \(EZ\) in \(GD\). 41 Sed multiplicationes \(EZ\) in \(AG\) et \(ZI\) in \(AG\) equantur multiplicationi totius \(EI\) in numerum \(AG\); ergo cum multiplicatur \(EZ\) in \(AD\) et \(ZI\) in \(AG\), tunc multiplicatur \(EI\) in \(AG\) et \(EZ\) in \(GD\). Sed multiplicatio \(EZ\) in \(GD\) est sicut multiplicatio \(EI\) in \(GB\), quia est sicut \(IE\) ad \(ZE\) ita \(DG\) ad \(BG\). Unde cum multiplicatur \(EZ\) in \(AD\) et \(ZI\) in \(AG\), tunc multiplicatur \(EI\) in numeros \(AG\) et \(GB\), hoc est in totum numerum \(AB\). 42 Ergo cum multiplicatur \(EZ\) in \(AD\), hoc est error primus in positionem secundam, et \(ZI\) in \(AG\), hoc est error secundus in positionem primam, tunc⁶⁰ coniunctum ex ipsis multiplicationibus equatur multiplicationi numeri \(EI\) in numerum \(AB\). Quare cum eorum summa dividitur per \(EI\), qui est coniunctum ex erroribus, provenit numerus \(AB\); quod oportebat ostendere.

43 His itaque demonstratis, restat ostendere qualiter positiones poni debeant et eorum errores inveniri⁶¹ secundum diversitatem questionum. Et ut hec apertius demonstrentur, hunc capitulum in duas partes divisi. In prima quarum ostendam solvere quasdam ex questionibus que solute sunt per primas regulas in precedentibus capitulis. In secunda tractabitur super solutionem quarundam aliarum questionum, de quibus nulla fuit mentio in hoc libro.