979 De homine qui emit 100 staria frumenti

Quidam emit staria frumenti 100 pro bizantiis 100, ex quibus vendidit staria 50 ad rationem de stariis \({1 \over 4} 1\) pro bizantio 1, et alia 50 vendidit ad rationem de \({3 \over 4}\) unius starii pro bizantio 1. Queritur quantum ipse in ipsis 100 stariis fuit lucratus.

980 Quia vendidit staria 50 ad rationem de stario \({1 \over 4}\) 1, fac quartas de \({1 \over 4}\) 1: erunt 5. Et de stariis 50 fac quartas; erunt 200, quas divide per 5: exibunt bizantii 40, et tantum vendidit ipse illa staria 50. Item quia vendidit alia staria 50 ad rationem de \({3 \over 4}\) unius starii pro bizantio 1, facies quartas de illis stariis 50; erunt 200, quas divide per 3: exibunt bizantii \({2 \over 3}\) 66, et tantum vendidit alia 50 staria¹³⁵⁹. 981 Quibus additis cum bizantiis 40, scilicet cum pretio illorum 50 stariorum, erunt bizantii \({2 \over 3}\) 106, et tantum vendidit totum frumentum; ex quibus extractis bizantiis 100 capitalis, remanent pro ipsius lucro bizantii \({2 \over 3}\) 6. Aliter: quia vendidit quartas 3 et 5 pro bizantio 1, divide 100 per \({1~~0 \over 3~~5}\): exibunt similiter pro lucro bizantii \({2 \over 3}\) 6. Hec enim regula pro multis aliis similibus tibi sufficiat.

982 Est numerus qui cum dividitur per 2, vel per 3, vel per 4, aut per 5, seu per 6, semper superat ex eo 1 indivisibile; per 7 vero integraliter dividitur. Queritur qui sit numerus ille.

Quia preponitur quod semper numerus ille¹³⁶⁰ superat 1 cum dividetur per 2, vel per 3, vel per 4, vel per 5, vel per 6; ergo extracto ipso 1 de numero, dividetur residuum per unumquemque suprascriptorum integraliter. 983 Quare reperias numerum in quo reperiantur \({1 \over 2}\) \({1 \over 3}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 5}\) \({1 \over 6}\)¹³⁶¹; eritque numerus ille 60, quem divide per 7: superant 4, qui vellent esse 6, ideo quia totus numerus per 7 dividitur; ergo numerus qui fuerit unum minus eo, cum per 7 dividatur, 6 inde superare necesse est, hoc est 1 minus septenario numero. Quare duplicetur 60, vel triplicetur, vel multiplicetur per alium quemlibet numerum donec multiplicatio ascendat in talem numerum, qui cum dividatur per 7, remaneant inde 6. Eritque numerus ille 5, in quo 60 multiplicanda sunt. 984 Ex qua multiplicatione veniunt 300, quibus superaddatur 1: erunt 301, et talis est numerus ille. Similiter si 420, qui integraliter dividuntur per omnes predictos numeros, addideris cum 301 semel, vel quotiens volueris, procreabitur numerus quesitus semper, videlicet qui dividetur integraliter per 7, et per omnes reliquos cum divisus fuerit, remanebit 1.

985 Per hanc enim regulam invenimus alium numerum, qui cum dividitur in

numerus 25201 numerus 698377681

¹³⁶² quemlibet numerorum qui sunt a binario usque in decenarium, semper superat 1, et per 11 dividitur integraliter; qui numerus est 25201. Item si 698377681 dividatur per aliquem numerorum qui sit a 2 usque in 23, semper reperies quod remanebit 1; per 23 vero dividitur integraliter; qui numerus similiter per suprascriptam regulam invenitur.

986 De eodem¹³⁶³

Item est numerus, qui cum dividitur per 2 superat 1, per 3 superant 2, per 4 superant 3, per 5

numerus 119

¹³⁶⁴ superant 4, per 6 superant 5, per 7 vero dividitur. Quare¹³⁶⁵ inveniendus est numerus in quo reperiantur \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) \({1 \over 2}\); eritque 60, de quo tolle 1: remanent 59. Qui cum non possit dividi integraliter per 7, duplicabis 60, vel triplicabis, vel per aliquem alium numerum multiplicabis ipsum, donec ex multiplicatione aliquis numerus eveniat qui cum dividatur per 7 remaneat 1. Duplicatis quidem 60, faciunt 120, qui cum dividitur per 7 superat 1; quo extracto, remanent 119 pro quesiti numeri quantitate¹³⁶⁶.

987 De eodem

Item est numerus qui cum dividitur per 2 superat 1, per 3 superant 2, per 4 superant 3, et sic deinceps usque quod per 10 superant 9; per 11 vero dividitur. Primum quidem reperias numerum in quo inveniantur \({1 \over 10}\) \({1 \over 9}\) \({1 \over 8}\) \({1 \over 7}\) \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) \({1 \over 2}\), quem sic reperire tibi demonstramus¹³⁶⁷. 988 Accipe primum 60, in quo reperiuntur ex predictis¹³⁶⁸ ruptis \({1 \over 10}\) \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) \({1 \over 2}\), et multiplica ea per 7: erunt 420. Que cum debeas multiplicare per 8 et per 9, relinques quod non multiplicabis ea per 4 que sunt ex regula de 8 neque per 3 que sunt ex regula de 9, ideo quia \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) reperiuntur in suprascriptis 60. 989 Ergo

numerus   2519 numerus 4655851199

¹³⁶⁹ multiplicabis 420 per 2 que¹³⁷⁰ remanent ex regula de 8; erunt 840, que multiplicabis per 3 que¹³⁷¹ remanent ex regula de 9: erunt 2520, qui est minor numerus in quo reperiuntur omnes rupti prescripti, et vocatur in geometria minimus commensuratus¹³⁷² omnium numerorum qui sunt sub decenario. 990 Deinde extrahe 1 de 2520: remanent 2519, que cum dividatur integraliter per 11, habemus absque labore nostrum propositum, hoc est quod 2519 est quesitus numerus.

Nam cum 4655851199 dividitur per aliquem numerum qui sit minor de 23, semper remanet 1 minus ipso numero per quem dividitur, et¹³⁷³ per 23 integraliter dividitur. Et de 698377681 divisio per suprascriptos usque in 22 semper superat 1; per 23 vero dividitur.