1277 Quidam habuit bizantios 100, et transivit per duodecim civitates; et oportebat ut in unaquaque illarum civitatum daret decimam suorum bizantiorum quos deferebat secum. Queritur quot remanserint ei post exitum duodecim civitatum.

Quia dabat decimam in unaquaque civitate, sequebatur necessario quod sibi remanerent novem decime omnium¹⁶⁰⁶ bizantiorum quos ipse detulerat¹⁶⁰⁷ in ipsa civitate. 1278 Quare pones \({9 \over 10}\) duodecies per ordinem in quadam virga terminante in circulo a sinistra, sic: 100 \(\textrm{o}{\phantom{1}9~~\phantom{1}9~~\phantom{1}9~~\phantom{1}9~~\phantom{1}9~~\phantom{1}9~~\phantom{1}9~~\phantom{1}9~~\phantom{1}9~~\phantom{1}9~~\phantom{1}9~~\phantom{1}9 \over 10~~10~~10~~10~~10~~10~~10~~10~~10~~10~~10~~10}\); et multiplica in unum omnia 9 que sunt super virga, scilicet 9 per 9 que per 9; erunt 729, que multiplica in se: erunt 531441, que sunt summa sex novenariorum. 1279 Quam summam multiplica in seipsam: reddunt 282429536481¹⁶⁰⁸ pro summa

residuum \({\phantom{1}1~~\phantom{1}8~~\phantom{1}4~~\phantom{1}6~~\phantom{1}3~~\phantom{1}5~~\phantom{1}9~~\phantom{1}2~~\phantom{1}4~~\phantom{1}2 \over 10~~10~~10~~10~~10~~10~~10~~10~~10~~10}\) 28

¹⁶⁰⁹ omnium novenariorum, que multiplica per 100 et divide per omnia 10 que sunt sub virgula: exhibunt bizantii \({\phantom{1}1~~\phantom{1}8~~\phantom{1}4~~\phantom{1}6~~\phantom{1}3~~\phantom{1}5~~\phantom{1}9~~\phantom{1}2~~\phantom{1}4~~\phantom{1}2 \over 10~~10~~10~~10~~10~~10~~10~~10~~10~~10} 28\) pro eo quod ei remansit in fine. Unde si volueris cognoscere quot bizantios inter omnes civitates dedit, de bizantiis quidem centum¹⁶¹⁰ extrahes 28 cum suis fractionibus; residuumque¹⁶¹¹ erit quesitum.

1280 ¹⁶¹² Quod invenies sic: protrahe aliam virgulam, sub qua sint decies 10 in ordinem pro decem decenis¹⁶¹³ que sunt sub virgula suprascripti residui, et accipe 1 quod est super prima 10 in sinistra parte et extrahe eum de 10; 1281 et remanent 9, que pone super priora 10 virge protracte, et retine in manu 1, ideo quia ex ipso 1 quod est super 10 et ex ipso novenario semel perficitur decenarius numerus. 1282 Cum quo 1 servato in manu adde 8 que sunt super sequentia 10; erunt 9, que extrahe de 10: remanet 1, quod pone super 10 noni gradus protracte virge, et retine 1 in manu. 1283 Cum quo adde 4 que sunt super 10 octavi gradus; erunt 5, que extrahe de 10: remanent 5, que pone super 10 octavi gradus et retine in manu 1. Cum quo adde 6 que sunt super 10 septimi gradus; erunt 7, que extrahe de 10: remanent 3, que 3 pone super 10 septimi gradus et retine 1, quod adde cum 3 que sunt super 10 sexti gradus virge; erunt 4, que extrahe de 10: 1284 remanent 6, que pone super 10 sexti gradus et retine 1, quod adde cum 5 que sunt super 10 quinti gradus, et extrahe de 10: remanent 4 super 10 quinti gradus et retineas in manu 1, quod adde cum 9 que sunt super 10 quarti gradus, et extrahe de 10: remanet 0 super 10 quarti gradus et retine in manu 1, 1285 quod adde cum 2 que sunt super 10 tertii gradus et extrahe de 10: remanent 7 super 10¹⁶¹⁴ tertii gradus et retine 1, quod adde cum 4 que sunt super 10 secundi gradus et extrahe de 10: remanet 5 super 10 secundi gradus et retineas 1. 1286 Cum

summa exitus \({\phantom{1}9~~\phantom{1}1~~\phantom{1}5~~\phantom{1}3~~\phantom{1}6~~\phantom{1}4~~\phantom{1}0~~\phantom{1}7~~\phantom{1}5~~\phantom{1}7 \over 10~~10~~10~~10~~10~~10~~10~~10~~10~~10} 71\)

¹⁶¹⁵ quo adde 2 que sunt super 10 primi gradus et extrahe de 10: remanent 7 super 10 primi gradus protracte <virgule> et retineas 1, quod adde cum bizantiis 28¹⁶¹⁶ et¹⁶¹⁷ extrahe de bizantiis 100: remanent bizantii 71 ante ipsam virgulam, ut hic ostenditur \({\phantom{1}9~~\phantom{1}1~~\phantom{1}5~~\phantom{1}3~~\phantom{1}6~~\phantom{1}4~~\phantom{1}0~~\phantom{1}7~~\phantom{1}5~~\phantom{1}7 \over 10~~10~~10~~10~~10~~10~~10~~10~~10~~10}\) 71, pro hoc quod dedit inter omnes illas civitates.

1287 Nam si hoc quod dederit vel quod ei remanserit de civitate in civitatem¹⁶¹⁸ scire volueris, extrahe decimam ex illis 100 bizantiis quos dedit in prima civitate, scilicet bizantios 10: remanent ei 90 bizantii. De quibus bizantiis 90 extrahe decimam, scilicet bizantios 9 quos dedit in secunda civitate: remanent ei bizantii 81. 1288 De quibus bizantiis 81 extrahe decimam, scilicet bizantios \({1 \over 10}\) 8 quos dedit in tertia civitate: remanent bizantii \({9 \over 10}\) 72. De quibus accipe decimam quam dedit in quarta civitate, que duplici modo accipitur. Primus modus est ut multiplices 72 per suam virgulam, scilicet per 10 et adde 9; erunt 729, que divide per 100¹⁶¹⁹: exibunt \({\phantom{1}9~~\phantom{1}2 \over 10~~10}\) 7 pro decima parte de \({9 \over 10}\) 72. 1289 Vel aliter: pone duas decimas sub quadam virgula et super primam pone 9 que sunt super 10 de virgula de 72, et super alia 10 pone 2 que sunt in primo gradu de 72; et remanentia 7 pone ante ipsam virgulam, et habebis similiter \({\phantom{1}9~~\phantom{1}2 \over 10~~10}\) 7, que extrahe de¹⁶²⁰ \({9 \over 10}\) 72, que duplici modo extrahuntur. 1290 Comunis omnium modus est ut multiplices 7 per suam virgulam: erunt centesime 729. Deinde multiplica 72 per suam virgulam: erunt decime 729, quas multiplica per 10 ut sint centesime sicut sunt ille que de hinc debes extrahere; erunt centesime 7290, ex quibus extrahe centesimas 729; remanent centesime 6561, quas divide per 100, scilicet per \({\phantom{1}1~~\phantom{1}0 \over 10~~10}\): exibunt bizanti \({\phantom{1}1~~\phantom{1}6 \over 10~~10}\) 65 pro suprascripto residuo. 1291 Vel aliter: protrahe retro virgulam¹⁶²¹ que est post 72 et pone sub eadem 10, et super ipsum 10 pone 0, ut sint decime due sub ipsa virgula sicuti sunt sub ea que est post 7, ut hic ostenditur: \({\phantom{1}0~~\phantom{1}9 \over 10~~10}\) 72. Deinde accipe 9 que sunt super 10 in virgula de¹⁶²² \({\phantom{1}9~~\phantom{1}2 \over 10~~10} 7\) et extrahe ea de 0 quod est super 10 de virgula de \({\phantom{1}0~~\phantom{1}9 \over 10~~10}\) 72. 1292 Quod cum non sit possibile, adde 10 super ipsum 0, scilicet numerum qui est sub virgula sub ipso 0: erunt 10, de quibus, cum possibile sit, extrahe 9; remanet 1, quod pone super priora 10 cuiusdam virgule sub qua sint similiter decime due, et pro addito decenario retine in manu 1; 1293 quod adde cum 2 que sunt super ultima 10 de virgula de¹⁶²³ \({\phantom{1}9~~\phantom{1}2 \over 10~~10}\) 7; erunt 3, que extrahe de 9, cum possibile sit, que sunt super ultima 10 de virgula de \({0~~9 \over 10~~10}\) 72: remanebunt 6, que pone super ultima 10 protracte linee¹⁶²⁴. 1294 Et extrahe 7 de bizantiis 72: remanent bizantii 65, quos pone ante protractam virgulam, et habebis similiter pro suprascripto residuo bizantios \({\phantom{1}1~~\phantom{1}6 \over 10~~10}\) 65. De quibus accipe decimam quam dedit in quinta civitate, que dupliciter per suprascriptos modos potest accipi; scilicet multiplica 65 per suam virgulam, scilicet per 10 et adde 6, que per 10 et adde 1, hoc est quod ante 65 pones 6 et 1 que sunt super virga, et sic habebis suprascriptas centesimas 6561 quas divide per 10 et per ruptos qui sunt sub ipsa virgula, scilicet per \({\phantom{1}1~~\phantom{1}0~~\phantom{1}0 \over 10~~10~~10}\): exibunt \({\phantom{1}1~~\phantom{1}6~~\phantom{1}5 \over 10~~10~~10}\) 6 pro decima parte eorum.

1295 Vel aliter: protrahe quandam¹⁶²⁵ virgulam sub qua pones tres decimas, et super primam pone 1 quod est super prima 10 in virgula de 65, et super alia pone 6 que sunt super alia 10, et super tertiam pone figuram primi gradus de 65, scilicet 5, et remanentia 6 pone ante ipsam virgulam; et sic habebis \({\phantom{1}1~~\phantom{1}6~~\phantom{1}5 \over 10~~10~~10} 6\) pro decima parte de suprascriptis bizantiis \({1~~6 \over 10~~10}\) 65. 1296 Quare extrahe ipsos ab ipsis, qui dupliciter per suprascriptos modos¹⁶²⁶ extrahuntur; quos modos hic reiterabimus ut in reliquis civitatibus melius procedere scias¹⁶²⁷. Multiplica bizantios 6 per eorum virgulam, et habebis millenas 6561. 1297 Similiter multiplica 65 per suam virgulam, vel pone ante ipsa¹⁶²⁸ figuras que sunt super virgulam, retro similiter per ordinem procedendo; erunt centesime 6561, quas multiplica per 10 ut sint millene sicut sunt alie quas debes de hinc¹⁶²⁹ extrahere; erunt millene 65610, de quibus extrahe millenas 6561; remanent millene¹⁶³⁰ 59049, quas divide per 1000, hoc est per \({\phantom{1}1~~\phantom{1}0~~\phantom{1}0 \over 10~~10~~10}\): exibunt \({\phantom{1}9~~\phantom{1}4~~\phantom{1}0 \over 10~~10~~10}\) 59 pro quesito residuo. 1298 Vel aliter: protrahe retro virgulam de 65, et pones sub ipsa decem, et super ipsa decem pone 0, ut hic ostenditur: \({0~~1~~6 \over 10~~10~~10}\) 65. Deinde 1 quod est super 10 de virgula de \({\phantom{1}1~~\phantom{1}6~~\phantom{1}5 \over 10~~10~~10}\) 6 extrahe de 0 quod est super 10 de virgula de 65. Quod¹⁶³¹ cum possibile non sit, adde cum ipso 0 numerum existentem sub ipso, scilicet 10; erunt 10, de quibus extrahe suprascriptum 1: 1299 remanent 9, que pone super prima¹⁶³² 10 cuiusdam protracte virgule sub qua sint tres decime, et pro addito decenario retine in manu 1, quod adde cum 6 que sunt super 10 virgule de \({\phantom{1}1~~\phantom{1}6~~\phantom{1}5 \over 10~~10~~10}\) 6; erunt 7, que extrahe de 1 quod est super secundum 10 de virgula de \({\phantom{1}0~~\phantom{1}1~~\phantom{1}6 \over 10~~10~~10}\) 65. 1300 Quod cum possibile non sit, adde cum ipso 1 numerum existentem sub ipso, scilicet 10; erunt 11, ex quibus extrahe suprascripta 7: remanent 4, que pone super secunda 10 protracte virgule et pro 10 que iunxisti cum 1 retine in manu 1. Quod adde cum 5 que sunt super ultima 10 virgule de \({\phantom{1}1~~\phantom{1}6~~\phantom{1}5 \over 10~~10~~10}\) 6¹⁶³³; erunt 6, que extrahe de 6 que sunt super ultima 10 virgule de \({\phantom{1}0~~\phantom{1}1~~\phantom{1}6 \over 10~~10~~10}\) 65¹⁶³⁴: remanet 0, quod pone super ultima 10 protracte virgule. 1301 Deinde extrahe bizantios 6 de bizantiis 65: remanebunt¹⁶³⁵ bizantii 59, quos pone ante protractam virgulam, et habebis similiter bizantios \({\phantom{1}9~~\phantom{1}4~~\phantom{1}0 \over 10~~10~~10}\) 59 pro quesito residuo. De quibus extrahe decimam per qualem volueris modum ex suprascriptis duobus modis¹⁶³⁶, que est bizantii \({\phantom{1}9~~\phantom{1}4~~\phantom{1}0~~\phantom{1}9 \over 10~~10~~10~~10}\) 5, quos dedit in sexta civitate: remanebunt bizantii \({\phantom{1}1~~\phantom{1}4~~\phantom{1}4~~\phantom{1}1 \over 10~~10~~10~~10}\) 53. 1302 De quibus extrahe decimam quam dedit in septima civitate, que est bizantii \({\phantom{1}1~~\phantom{1}4~~\phantom{1}4~~\phantom{1}1~~\phantom{1}3 \over 10~~10~~10~~10~~10} 5\): remanebunt bizantii \({\phantom{1}9~~\phantom{1}6~~\phantom{1}9~~\phantom{1}2~~\phantom{1}8 \over 10~~10~~10~~10~~10} 47\), de quibus extrahe decimam quam dedit in octava civitate, scilicet bizantios \({\phantom{1}9~~\phantom{1}6~~\phantom{1}9~~\phantom{1}2~~\phantom{1}8~~\phantom{1}7 \over 10~~10~~10~~10~~10~~10}\) 4: remanebunt bizantii \({\phantom{1}1~~\phantom{1}2~~\phantom{1}7~~\phantom{1}6~~\phantom{1}4~~\phantom{1}0 \over 10~~10~~10~~10~~10~~10} 43\). 1303 De quibus extrahe decimam quam dedit in nona civitate, scilicet bizantios \({\phantom{1}1~~\phantom{1}2~~\phantom{1}7~~\phantom{1}6~~\phantom{1}4~~\phantom{1}0~~\phantom{1}3 \over 10~~10~~10~~10~~10~~10~~10}\) 4; remanebunt bizantii \({\phantom{1}9~~\phantom{1}8~~\phantom{1}4~~\phantom{1}0~~\phantom{1}2~~\phantom{1}4~~\phantom{1}7 \over 10~~10~~10~~10~~10~~10~~10}\) 38. De quibus extrahe decimam quam dedit in decima civitate, scilicet bizantios \({\phantom{1}9~~\phantom{1}8~~\phantom{1}4~~\phantom{1}0~~\phantom{1}2~~\phantom{1}4~~\phantom{1}7~~\phantom{1}8 \over 10~~10~~10~~10~~10~~10~~10~~10} 3\): remanebunt bizantii \({\phantom{1}1~~\phantom{1}0~~\phantom{1}4~~\phantom{1}4~~\phantom{1}8~~\phantom{1}7~~\phantom{1}6~~\phantom{1}8 \over 10~~10~~10~~10~~10~~10~~10~~10} 34\). 1304 De quibus extrahe decimam quam dedit in undecima civitate, scilicet bizantios \({\phantom{1}1~~\phantom{1}0~~\phantom{1}4~~\phantom{1}4~~\phantom{1}8~~\phantom{1}7~~\phantom{1}6~~\phantom{1}8~~\phantom{1}4 \over 10~~10~~10~~10~~10~~10~~10~~10~~10} 3\): remanebunt bizantii \({\phantom{1}9~~\phantom{1}0~~\phantom{1}6~~\phantom{1}9~~\phantom{1}5~~\phantom{1}0~~\phantom{1}1~~\phantom{1}8~~\phantom{1}3 \over 10~~10~~10~~10~~10~~10~~10~~10~~10}\) 31. De quibus extrahe decimam quam¹⁶³⁷ dedit in ultima civitate, scilicet bizantios \({\phantom{1}9~~\phantom{1}0~~\phantom{1}6~~\phantom{1}9~~\phantom{1}5~~\phantom{1}0~~\phantom{1}1~~\phantom{1}8~~\phantom{1}3~~\phantom{1}1 \over 10~~10~~10~~10~~10~~10~~10~~10~~10~~10} 3\)¹⁶³⁸: remanebunt bizantii \({\phantom{1}1~~\phantom{1}8~~\phantom{1}4~~\phantom{1}6~~\phantom{1}3~~\phantom{1}5~~\phantom{1}9~~\phantom{1}2~~\phantom{1}4~~\phantom{1}2 \over 10~~10~~10~~10~~10~~10~~10~~10~~10~~10}\) 28, ut per aliam regulam superius invenimus.

1305 Et ut hoc quod dictum est melius ad oculum deprehendatur, hic inferius bizantios quos in unaquaque civitate dedit in una parte et in alia bizantios qui remanserunt per ordinem describimus:

1306

hi sunt bizantii qui remanserunt 100 hi sunt bizantii quos dedit 10 90 9 81 \({1 \over 10}\) 8 \({9 \over 10}\) 72 \({\phantom{1}9~~\phantom{1}2 \over 10~~10}\) 7 \({\phantom{1}1~~\phantom{1}6 \over 10~~10}\) 65 \({\phantom{1}1,\phantom{1}6,\phantom{1}5 \over 10,10,10}\) 6 \({9,4,0 \over 10,10,10}\) 59 \({9,4,0,9 \over 10,10,10,10}\) 5 \({1,4,4,1 \over 10,10,10,10}\) 53 \({1,4,4,1,3 \over 10,10,10,10,10}\) 5 \({9,6,9,2,8 \over 10,10,10,10,10}\) 47 \({9,6,9,2,8,7 \over 10,10,10,10,10,10}\) 4 \({1,2,7,6,4,0 \over 10,10,10,10,10,10}\) 43 \({1,2,7,6,4,0,3 \over 10,10,10,10,10,10,10}\) 4 \({9,8,4,0,2,4,7 \over 10,10,10,10,10,10,10}\) 38 \({9,8,4,0,2,4,7,8 \over 10,10,10,10,10,10,10,10}\) 3 \({1,0,4,4,8,7,6,8 \over 10,10,10,10,10,10,10,10}\) 34 \({1,0,4,4,8,7,6,8,4 \over 10,10,10,10,10,10,10,10,10}\) 3 \({9,0,6,9,5,0,1,8,3 \over 10,10,10,10,10,10,10,10,10}\) 31 \({9,0,6,9,5,0,1,8,3,1 \over 10,10,10,10,10,10,10,10,10,10}\) 3 \({1,8,4,6,3,5,9,2,4,2 \over 10,10,10,10,10,10,10,10,10,10}\) 28

1307 Eadem questio est de bucte in qua sunt bariles 100 vini, ex quibus per singulos menses extrahitur decima¹⁶³⁹ residui, et queritur quot bariles in fine anni remanserunt, scilicet post 12 menses. Nam si econtra propositum esset quod quidam habens bizantios perrexit per 12 civitates, et dedit in unaquaque civitate decimam residui suorum bizantiorum, et remanserunt ei bizantii \({\phantom{1}1~~\phantom{1}8~~\phantom{1}4~~\phantom{1}6~~\phantom{1}3~~\phantom{1}5~~\phantom{1}9~~\phantom{1}2~~\phantom{1}4~~\phantom{1}2 \over 10~~10~~10~~10~~10~~10~~10~~10~~10~~10} 28\); et queratur quota sit summa bizantiorum ipsius, 1308 describe in ordinem duodecies \({9 \over 10}\) sub quadam virgula suprascripta

summa 100

¹⁶⁴⁰ ratione, ut hic ostenditur: \(\textrm{o}{\phantom{1}9~~\phantom{1}9~~\phantom{1}9~~\phantom{1}9~~\phantom{1}9~~\phantom{1}9~~\phantom{1}9~~\phantom{1}9~~\phantom{1}9~~\phantom{1}9~~\phantom{1}9~~\phantom{1}9 \over 10~~10~~10~~10~~10~~10~~10~~10~~10~~10~~10~~10}\)¹⁶⁴¹, et multiplica bizantios 28 cum suis fractionibus per omnia 10 que sunt sub duodecim novenariis prescripte virgule et divide summam ipsius multiplicationis per illos duodecim novenarios, cum positi fuerint sub quadam virgula, et sic habebis bizantios 100 pro summa illius.

1309 Quidam habens bizantios voluit exire de quadam civitate habente portas 10, et oportuit eum dare prime porte \({2 \over 3}\) suorum bizantiorum et insuper \({2 \over 3}\) unius bizantii, secunde dimidium bizantiorum quos ibi attulit et insuper \({1 \over 2}\) unius bizantii, tertie tertiam¹⁶⁴² et \({1 \over 3}\) unius bizantii, quarte quartam et \({1 \over 4}\) unius bizantii. Et ita per ordinem, usque quod in decima porta dedit decimam bizantiorum quos ibi attulit et \({1 \over 10}\) unius bizantii, et remansit ei bizantius 1. Queritur quot bizantios habuit ille.

1310 Potest itaque hec questio dupliciter solvi: primum quidem ut de porta in portam, ab ultima incipiendo, egrediaris sic. Nam in fine remansit ei bizantius 1 et dedit ultime porte decimam unius bizantii; ergo cum ipse dedit ipsam decimam habebat bizantium \({1 \over 10}\) 1. 1311 Et quia tunc dederat decimam bizantiorum quos ibi attulit et remansit ei bizantius \({1 \over 10}\) 1, inveniendus est numerus ex quo extracta \({1 \over 10}\) remaneat bizantius \({1 \over 10}\) 1. Quem numerum pone ut sit 10 secundum regulas arborum; de quo extracta¹⁶⁴³ \({1 \over 10}\), remanent 9, que 9 vellent esse \({1 \over 10} 1\). Quare multiplica 10 per \({1 \over 10}\) 1 et divides per 9: exibunt bizantii \({2 \over 9} 1\), et tantum remansit ei post nonam portam. 1312 Cum quo adde \({1 \over 9}\) unius bizantii quem dedit none porte: erit bizantius \({1 \over 3}\) 1. Quare invenies numerum de quo extracta \({1 \over 9}\) ipsius remaneat bizantius \({1 \over 3}\) 1. Pones ergo quod numerus ille sit 9, de quo extracto \({1 \over 9}\) remanent 8, que vellent esse \({1 \over 3}\) 1. Quare multiplica \({1 \over 3}\) 1 per 9 et divides per 8: exibit bizantius \({1 \over 2} 1\), et tantum¹⁶⁴⁴ remansit ei post octavam portam. 1313 Cum quo adde \({1 \over 8}\) unius bizantii quod dedit in ipsa porta; erit bizantius \({5 \over 8}\) 1, quem demonstrata ratione multiplica per 8 et divide per 7; exibit bizantius \({6 \over 7}\) 1¹⁶⁴⁵, cum quo adde \({1 \over 7}\) unius bizantii quam¹⁶⁴⁶ dedit septime porte: erunt bizantii 2, quos multiplica per 7 et divide per 6; exibunt bizantii \({1 \over 3} 2\)¹⁶⁴⁷, cum quibus adde \({1 \over 6}\) unius bizantii quam¹⁶⁴⁸ dedit sexte porte; erunt bizantii \({1 \over 2}\) 2, quos multiplica per 6 et divide per 5: exibunt bizantii 3. 1314 Cum quibus adde \({1 \over 5}\) unius bizantii quam dedit quinte porte; erunt bizantii \({1 \over 5}\) 3, quos multiplica per 5 et divide per 4: exibunt bizantii 4. Cum quibus adde \({1 \over 4}\) unius bizantii quam dedit quarte porte; erunt bizantii \({1 \over 4}\) 4, quos multiplica per 4 et divide per 3: exibunt bizantii \({2 \over 3}\) 5. Cum quibus adde \({1 \over 3}\) unius bizantii quam dedit tertie porte; erunt bizantii 6, quos multiplica per 3 et divide per 2: exibunt bizantii 9, et tot remanserunt ei post secundam portam. 1315 Cum quibus adde \({1 \over 2}\) unius bizantii quod dedit in secunda porta: erunt bizantii \({1 \over 2}\) 9, pro quibus invenies numerum ex quo extracto dimidio ipsius remaneant bizanti \({1 \over 2}\) 9. Pro quo numero pones 2, ex quo extracto dimidio remanet 1, quod vellet esse \({1 \over 2} 9\). Quare multiplica \({1 \over 2} 9\) per 2 et divides per 1: exibunt bizantii 19, et tot remanserunt ei post primam portam. 1316 Cum quibus adde \({2 \over 3}\) unius bizantii quas dedit in prima

summa 59

¹⁶⁴⁹ porta; erunt bizantii \({2 \over 3}\) 19, pro quibus inveniendus est numerus de quibus extractis \({2 \over 3}\) ipsius remaneant bizantii \({2 \over 3}\) 19. Pone quod numerus ille sit 3, ex quo extractis \({2 \over 3}\) remanet 1, quod vellet esse \({2 \over 3}\) 19. Quare multiplica \({2 \over 3}\) 19 per 3 et divides per 1 secundum suprascriptas¹⁶⁵⁰ arboris regulas¹⁶⁵¹: exibunt bizantii 59, et tot habuit ille.

1317 Aliter: inveniamus primum summam bizantiorum de qua¹⁶⁵² potuit dare partes suprascriptas in 10 portas sine fractionibus unius bizantii que adduntur in eisdem portis, quod invenies sic: quia ex ipsa summa dedit prime porte \({2 \over 3}\), ergo ex eadem remansit ei tertia pars; de qua tertia dedit dimidium in secunda porta, et sic remansit ei dimidium tertie partis eiusdem summe; de quo dedit in tertia porta tertiam partem, et sic remanserunt ei due tertie medietatis tertie partis eiusdem summe. 1318 Quo modo et ordine, si de porta in portam processeris, invenies ei remansisse in fine decem portarum \(\textrm{o}{\phantom{1}9~~8~~7~~6~~5~~4~~3~~2~~1~~1 \over 10~~9~~8~~7~~6~~5~~4~~3~~2~~3}\)¹⁶⁵³ ex predicta summa; quod residuum ponitur fuisse bizantium 1. Quare que proportio¹⁶⁵⁴ habet denominans ipsius virge ad denominatum¹⁶⁵⁵, eandem proportionem¹⁶⁵⁶ habet 1 ad predictam summam. 1319 Quare multiplicabis summam multiplicationis omnium numerorum qui sunt sub virga per 1¹⁶⁵⁷ et divides per omnes numeros qui sunt super virgam, inter quos est evitatio maxima, ita quod non oportet multiplicare nisi 3 per 10, scilicet numeros extremos, et dividere per 1, et habebis 30, quos oportuit eum habere ut persolveret suprascriptas partes in prescriptis portis¹⁶⁵⁸ et remaneat ei bizantius 1. 1320 Unde ut habeamus bizantios de quibus ipse persolvit fractiones unius bizantii in singulis portis, multiplica \({2 \over 3}\) unius bizantii quas dedit in prima porta per 3 que primo posita sunt sub virgula, et divide per 1 quod est super ipsa 3; erunt bizantii 2, quos adde cum 30 inventis: erunt bizantii 32. 1321 Nam ipsi bizantii 2 sunt illi de quibus dedit duas partes, et remanserunt inde \({2 \over 3}\) unius bizantii quas dedit in prima porta. Item multiplica \({1 \over 2}\) unius bizantii quod dedit in secunda porta per 3 et per 2 que sunt sub virgula et divide per 1 quod est super 3 et per 1 quod est super 2: erunt bizantii 3, de quibus dedit in prima porta \({2 \over 3}\) ipsorum, et in secunda dimidium reliqui, et insuper dimidium unius bizantii quod dedit in secunda porta; quibus bizantiis 3 additis cum bizantiis 32 inventis erunt 35. 1322 Item multiplica \({1 \over 3}\) unius bizantii quam dedit in tertia porta per numeros trium portarum qui sunt positi sub virgula, scilicet per 3 que per 2 que per 3, et divides per numeros qui positi sunt super ipsos tres numeros, scilicet per 1 quod est super 3 et per 1 quod est super 2 et per 2 que sunt super alia 3: erunt similiter bizantii 3, quos oportuit eum habere in tertia porta ut persolverentur ex eis antecedentes partes et insuper \({1 \over 3}\) unius bizantii eidem porte. Quibus additis cum bizantiis 35 inventis erunt bizantii 38. 1323 Rursus multiplica \({1 \over 4}\) unius bizantii per numeros quattuor portarum qui sunt sub virgula, scilicet per 4 que per 3 que per 2 que per 3, et divides per numeros earundem portarum qui sunt super virgulam, scilicet per 3 que sunt super 4 et per 2 que sunt super 3 et per 1 quod est super 2 et per 1 quod est super 3, et evitabis hoc quod poteris: exibunt similiter bizantii 3. 1324 Quod idem si fecerimus de reliquis portis, habebimus similiter in unaquaque bizantios 3. Quibus omnibus ternariis, videlicet septem portarum que remanent, insimul iunctis faciunt bizantios 21; quibus additis cum bizantiis 38 inventis reddunt similiter bizantios 59 pro summa bizantiorum illius.