728 De duobus hominibus et¹⁰⁸⁹ duobus equis

Item duo homines bizantios habentes qui duos equos emere volebant, quorum secundus valebat bizantios 2 magis primo. Unde primus sic loquitur secundo: si dares mihi tertium tuorum bizantiorum, primum equum emerem. Cui alter respondit: et tu si dares mihi \({1 \over 4}\) tuorum bizantiorum, secundum equum emerem, scilicet cariorem. Queritur quantitas bizantiorum illorum, nec non et pretium uniuscuiusque equi.

729 Hec enim questio per suprascriptam unius equi regulam solvitur, videlicet ut ponas primum petitiones ipsorum in ordinem sic: \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\), que vocantur de descriptione¹⁰⁹⁰ prima, ut supra diximus; deinde extrahe 1 quod est super 3 de ipsis 3; remanent 2, super que¹⁰⁹¹ pone virgulam et 1 sic: \({1 \over 2}\), hoc est quod secundus homo dat primo dimidium de hoc quod ei remanet. Similiter facies de \({1 \over 4}\), et habebis \({1 \over 3}\) quam primus dat secundo de hoc quod ei remanet. 730

positio prima \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) positio secunda \({1 \over 3}\) \({1 \over 2}\)

¹⁰⁹² Quare describes \({1 \over 3}\) \({1 \over 2}\), scilicet secundam positionem sub prima, ut hic ostenditur. Deinde reperias duos numeros, quorum secundus sit 2 minor primo, sicuti primus equus valet 2 minus secundo, et primus numerus illorum dividatur integraliter per 2 secunde positionis, et alter dividatur per 3 eiusdem positionis. 731 Sintque numeri illi 8 et 6; et erunt 8 residuum quod remanet secundo homini postquam dederit primo tertiam¹⁰⁹³ suorum bizantiorum, et 6 erunt residuum primi hominis. Quare multiplicabis 8 predicta per 3 prime positionis et divide per 2 secunde: exibunt bizantii 12, et tot habuit secundus. Item multiplica residuum primi hominis, scilicet 6, per 4 prime positionis et divide per 3 secunde: exibunt bizantii 8, et tot habuit primus. 732 Nam ut habeas pretium¹⁰⁹⁴ equorum, adde bizantios illorum, scilicet 8 cum 12; erunt 20, de quibus extrahe residuum secundi hominis, videlicet 8: remanent bizantii¹⁰⁹⁵ 12 pro pretio primi equi. Item extrahe de eisdem 20 residuum primi hominis, videlicet 6: remanent 14 pro pretio secundi equi¹⁰⁹⁶.

733 De tribus hominibus et totidem equis

Item homines sint 3 et equi sint similiter 3, et secundus equus valeat bizantios 2 magis primo, et tertius valeat bizantios 2 magis secundo. Et primus homo petat reliquis duobus \({1 \over 3}\) suorum bizantiorum et preponat¹⁰⁹⁷ emere primum equum. Secundus itaque petat \({1 \over 4}\) et secundum equum emere preponat¹⁰⁹⁸. Tertius vero petat reliquis \({1 \over 5}\) et tertium equum emere preponat.

734 Descriptis \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) pro prima positione et \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) \({1 \over 2}\) pro secunda ut ostenditur, tunc

positio prima \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) positio secunda \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) \({1 \over 2}\)

¹⁰⁹⁹ reperies tres numeros quorum secundus sit 2 minor primo et tertius sit 2 minor secundo, propter differentiam pretiorum equorum. Et maior ipsorum, cum possibile sit, dividatur integraliter per 2 prime positionis, secundus vero per 3, minor vero per 4. Sintque 20 et 18 et 16; quorum primus, scilicet 20, erit residuum secundi et tertii; secundus vero, scilicet 18, erit residuum tertii et primi; minor itaque, scilicet 16, erit residuum quod remanet primo et secundo homini. 735 Deinde multiplica residuum secundi et tertii hominis, scilicet 20, per 3 prime positionis et divide per 2 secunde: exibunt 30, et tot habuerunt inter secundum et tertium hominem. Item multiplica residuum tertii et primi hominis, scilicet 18, per 4 prime positionis et divide per 3 secunde: exibunt bizantii 24, et tot habuerunt inter tertium et primum hominem. 736 Rursus multiplica 16, que sunt residuum secundi et primi hominis per 5 prime positionis et divide per 4 secunde: exibunt bizantii 20, et tot habuerunt inter secundum et primum hominem. Quibus additis cum bizantiis 24 quos habent inter tertium et primum hominem et cum bizantiis 30 quos inter tertium et secundum habuerunt, erunt bizantii 74. 737 In quibus

primus 7 secundus 13 tertius 17 primus equus 17 secundus 19 tertius 21

¹¹⁰⁰ cum unusquisque ipsorum bis computatus sit, ergo dimidium ipsorum, scilicet 37, erit summa bizantiorum illorum trium hominum. Ex quibus extractis bizantiis 30 quos habent inter secundum et tertium hominem, remanent primo homini bizantii 7. Similiter extractis de 37 bizantiis 24 quos habent inter tertium et primum hominem, remanent secundo bizantii 13. 738 Rursus extractis bizantiis 20 quos habent inter secundum et primum hominem ex illis bizantiis 37, remanebunt tertio¹¹⁰¹ homini bizantii 17. Post hec adde cum bizantiis 7 primi hominis tertiam bizantiorum reliquorum duorum hominum, videlicet de 30: habebis pro pretio primi equi bizantios 17. Quare pretium secundi erit bizantii 19, hoc est bizantii 2 magis pretio primi, et pretium tertii erit bizantii 21.

739 De quattuor hominibus et totidem equis, cum unusquisque petat reliquis

Item homines sint 4 et equi similiter sint 4, et secundus valeat bizantios 3 magis primo, tertius valeat bizantios 4 magis secundo, quartus itaque valeat bizantios 5 magis tertio. Unde primus homo petat reliquis tribus tertiam bizantiorum ipsorum et preponat¹¹⁰² primum equum emere. Secundus itaque petat \({1 \over 4}\) reliquis et preponat¹¹⁰³ secundum equum¹¹⁰⁴ emere. Tertius quoque petat \({1 \over 5}\) et preponat¹¹⁰⁵ emere tertium equum. Quartus namque petat \({1 \over 6}\) reliquis tribus et preponat¹¹⁰⁶ quartum equum emere.

740 Et ut que de equis dicta sunt¹¹⁰⁷ melius intelligi possint, singula huius positionis singulariter proposui demonstrare. Quia primus, habita \({1 \over 3}\) bizantiorum reliquorum trium, habet pretium tantum primi equi, ergo pretium primi equi cum residuo illorum trium, scilicet secundi et tertii et quarti hominis, est quantitas omnium bizantiorum illorum quattuor hominum; quod residuum vocabis primum. 741 Propter eandem ergo, cum secundus petat \({1 \over 4}\) reliquis¹¹⁰⁸ et habeat tunc pretium tantum secundi equi, ergo pretium secundi equi cum residuo reliquorum trium, scilicet tertii et quarti et primi hominis est eadem quantitas bizantiorum illorum quattuor hominum; quod residuum vocabis secundum. Et quia secundus equus valet bizantios 3 magis primo, ergo secundum residuum¹¹⁰⁹ est minus bizantiis 3 primi residui. 742 Item quia tertius homo petit \({1 \over 5}\) reliquis, cum qua tantum habet pretium tertii equi, ergo pretium tertii equi cum¹¹¹⁰ cum residuo quarti et primi et secundi hominis est illa eadem suprascripta quantitas bizantiorum illorum; quod vocabis tertium. Et quia tertius equus valet bizantios 4 magis secundo, ergo tertium residuum est bizantii 4 minus secundo residuo. Propter eandem ergo et quartum residuum, scilicet primi et secundi et tertii hominis, est bizantii 5 minus tertio residuo, ideo quia pretium quarti equi est bizantii 5 magis pretio tertii.

743 His itaque intellectis, describe primam positionem,

positio prima     \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\)     positio secunda     \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) \({1 \over 2}\)     residuum quartum tertium secundum primum 15 20 24 27

¹¹¹¹ scilicet petitiones eorum in ordinem sic: \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\); deinde studeas invenire minuta secunde positionis, hoc est \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) \({1 \over 2}\), et scribe ea sub minutis prime positionis, ideo quia sunt partes per ordinem posite quas¹¹¹² tres illorum dant eorum petitori de eorum residuo. Verbi gratia: si primus habuerit \({1 \over 3}\) bizantiorum secundi et tertii et quarti hominis et ipsi habeant bizantios 3, ergo dederunt ei bizantium 1 et ex ipsis tribus remanebunt¹¹¹³ eis bizantii 2; ergo dant¹¹¹⁴ ei \({1 \over 2}\) ex eorum residuo. 744 Quare \({1 \over 2}\) describitur in capite secunde¹¹¹⁵ positionis, et sic intelligas de \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) que scribuntur in eadem positione. Post hec pro quattuor inequalibus residuis ponas quattuor inequales numeros secundum eorum inequalitatem, hoc est quod secundus sit 3 minor primo et tertius sit 4 minus secundo et quartus sit 5 minor tertio. 745 Et maior ipsorum, si possibile fuerit, dividatur integraliter per 2, secundus per 3, tertius per 4, quartus per 5, secunde videlicet positionis. Sed cum possibile non sit, pones eos secundum quod tibi melius videbitur. Sitque primus illorum numerorum 27, qui minime per 2 integraliter dividitur. Secundus sit 24, qui per 3 integraliter potest dividi. Tertius sit 20, qui per 4 integram recipit¹¹¹⁶ divisionem. 746 Quartus autem, cum sit 5 minus tertio, scilicet de 20, ipsum 15 fore necesse est. Quibus per ordinem sub secunda positione descriptis ut hic ostenditur, considerabis¹¹¹⁷ qualiter secundus et tertius et quartus homo dant¹¹¹⁸ primo homini \({1 \over 2}\) eorum residui, quod residuum superius primum esse determinavimus, pro quo etiam posuimus 27. Ergo dant ei \({1 \over 2}\) 13, quibus additis cum 27, reddunt bizantios \({1 \over 2}\) 40 pro quantitate bizantiorum secundi et tertii et quarti hominis.

747 Vel aliter: multiplica ipsa 27 per 3 prime positionis et divide per 2 secunde: exibunt similiter bizantii \({1 \over 2} 40\) pro eorundem quantitate. Item quia tertius et quartus et primus homo dant secundo homini \({1 \over 3}\) eorum residui, scilicet secundi, pro quo posuimus 24, scilicet 3 minus primi residui, ergo dederunt ei bizantios 8, quibus additis cum bizantiis 24 erunt bizantii 32, qui sunt quantitas bizantiorum tertii et quarti et primi hominis. 748 Vel aliter: multiplica 24 per 4 prime positionis et divide per 3 secunde: exibunt similiter bizantii 32. Eademque ratione tertium residuum, videlicet quarti et primi et secundi hominis, idest 20, per 5 prime positionis multiplica et eorum multiplicationem per 4 secunde positionis divide: exibunt bizantii 25 pro quantitate bizantiorum quarti et primi et secundi hominis. 749 Propter eadem etiam et quartum residuum, primi videlicet et secundi et tertii hominis, idest 15, multiplica per 6 prime positionis et divide per 5 secunde: exibunt bizantii 18 pro quantitate primi et secundi et tertii hominis; quibus additis cum¹¹¹⁹ bizantiis 25 et 32 et \({1 \over 2}\) 40, erunt bizantii \({1 \over 2} 115\), qui sunt triplum bizantiorum illorum quattuor hominum, ideo quia in ipsis unusquisque ter computatus existit. 750 Quare divide bizantios \({1 \over 2}\) 115 per 3: exibunt bizantii \({1 \over 2}\) 38 pro quantitate

debitum primi 2 bizantii secundi \({1 \over 2}\) 6 tertii \({1 \over 2}\) 13 quarti \({1 \over 2}\) 20 primus equus \({1 \over 2}\) 11 secundus \({1 \over 2}\) 14 tertius \({1 \over 2}\) 18 quartus \({1 \over 2}\) 23

¹¹²⁰ bizantiorum illorum quattuor hominum, qui sunt minus quantitate bizantiorum secundi et tertii et quarti hominis. Unde hec questio cum his quattuor positis residuis solvi non potest nisi primus homo habeat¹¹²¹ debitum. Unde si hanc¹¹²² positionem deinceps cum debito primi hominis solvere volueris, extrahe bizantios \({1 \over 2}\) 38 de bizantiis \({1 \over 2}\) 40: remanent bizantii 2, et tot habuit debitum primus homo. 751 Deinde extrahe bizantios 32, scilicet quantitatem¹¹²³ bizantiorum tertii et quarti et primi hominis, de quantitate bizantiorum illorum¹¹²⁴ quattuor hominum, scilicet de \({1 \over 2}\) 38: remanent secundo homini bizantii \({1 \over 2}\) 6. Item extrahe bizantios quarti et primi et secundi hominis, videlicet 25, de suprascriptis bizantiis \({1 \over 2}\) 38: remanent tertio homini bizantii \({1 \over 2}\) 13. 752 Rursus extractis bizantiis primi et secundi et tertii hominis, videlicet 18 ex eisdem bizantiis \({1 \over 2}\) 38, remanent quarto homini bizantii \({1 \over 2}\) 20. Demum ut pretium primi equi addiscas, accipe tertiam ex bizantiis secundi et tertii et quarti hominis, videlicet de \({1 \over 2}\) 40, quam¹¹²⁵ primus homo petit eis; erunt bizantii \({1 \over 2}\) 13, de quibus extrahe debitum primi hominis, videlicet 2: remanebunt bizantii \({1 \over 2}\) 11 pro pretio primi equi. Quare pretium secundi equi erit bizantii \({1 \over 2}\) 14, hoc est bizantii 3 magis pretio primi, tertii vero bizantii \({1 \over 2}\) 18, quarti quoque bizantii \({1 \over 2}\) 23, scilicet 5 magis pretio tertii equi, ut prepositum est.

753 Nam si hanc eandem¹¹²⁶ questionem sine debito primi hominis solvere volueris, pro prescriptis quattuor inequalibus residuis pone alios quattuor maiores numeros qui sint in eorundem differentiam; sitque primus illorum 87, secundus 84, tertius 80, quartus 75. Deinde suprascriptis demonstrationibus multiplica primum residuum, videlicet 87, per 3 prime positionis et divide per 2 secunde: exibunt bizantii \({1 \over 2}\) 130 pro quantitate bizantiorum secundi et tertii et quarti hominis. 754 Item multiplica secundum residuum, videlicet 84, per 4 prime positionis et divide per 3 secunde: exibunt bizantii 112 pro quantitate bizantiorum

residuum quartum tertium secundum primum 75 80 84 87

¹¹²⁷ tertii et quarti et primi¹¹²⁸ hominis. Rursus multiplica tertium residuum, videlicet 80, per 5 prime positionis et divide per 4 secunde: exibunt bizantii 100 pro quantitate quarti et primi et secundi hominis. 755 Adhuc 75, scilicet quartum residuum, multiplica per 6 prime positionis et divide per 5 secunde: exibunt bizantii 90, qui¹¹²⁹ sunt quantitas bizantiorum primi et secundi et tertii hominis. Quibus additis cum bizantiis 100 et cum 112 et cum \({1 \over 2}\) 130 modo inventis, erunt bizantii

primus homo \({2 \over 3}\) 13 secundus \({1 \over 6}\) 32 tertius \({1 \over 6}\) 44 quartus \({1 \over 6}\) 54 primus equus \({1 \over 6}\) 57 secundus \({1 \over 6}\) 60 tertius \({1 \over 6}\) 64 quartus \({1 \over 6}\) 69

¹¹³⁰ \({1 \over 2} 432\). 756 Qui cum sint triplum summe bizantiorum illorum, divides eos per 3: exibunt bizantii \({1 \over 6}\) 144, qui sunt summa bizantiorum illorum quattuor hominum. De quibus extrahe bizantios secundi et tertii et quarti hominis, scilicet \({1 \over 2}\) 130: remanebunt primo homini bizantii \({2 \over 3}\) 13. Item extrahe bizantios tertii et quarti et primi hominis, videlicet 112 de \({1 \over 6}\) 144: remanebunt secundo homini bizantii \({1 \over 6}\) 32. 757 Rursus bizantios 100, quos habent inter quartum et primum et secundum hominem, extrahe de prescriptis bizantiis \({1 \over 6}\) 144: remanent tertio homini bizantii \({1 \over 6}\) 44. Iterum extractis bizantiis primi et secundi et tertii hominis, videlicet 90, de bizantiis \({1 \over 6} 144\), remanent quarto homini bizantii \({1 \over 6}\) 54. 758 Et quia demonstratum est superius quod inter pretium primi equi¹¹³¹ et primum residuum est quantitas bizantiorum illorum quattuor hominum, ergo si extraxeris ipsum primum residuum, videlicet 87, de eorum quantitate, scilicet de \({1 \over 6}\) 144, remanebunt pro pretio primi equi bizantii \({1 \over 6}\) 57. 759 Quare si extraxeris secundum residuum, videlicet 84, de \({1 \over 6}\) 144, remanebunt similiter bizantii \({1 \over 6}\) 60 pro pretio secundi equi. Item extracto tertio residuo, videlicet 80, de eisdem \({1 \over 6}\) 144, remanebunt bizantii \({1 \over 6}\) 64 pro pretio tertii equi. Similiter extracto quarto residuo, scilicet 85, de \({1 \over 6}\) 144, remanebunt bizantii \({1 \over 6} 69\) pro pretio quarti equi.