188 De duobus hominibus qui habent denarios, ex quibus unus petit alteri aliquam quantitatem et proponit excedere eum in aliqua proportione

Duo homines denarios habent, quorum unus dixit alteri: si dares mihi unum ex tuis denariis, essem tibi equalis. Alter respondit: et si tu dares mihi unum ex tuis denariis, haberem decies tantum quam tu. Queritur quot unusquisque habebat⁴⁷⁴.

Quod ut ad regulam arboris redigatur, sic videndum est: quia primus, habito uno ex denariis alterius, proponit se ei esse equalem, ergo medietatem totius summe denariorum amborum eum habere, habito ipso 1 denario, non dubitatur. 189 Quare describes \({1 \over 2}\). Item quia alter, habito 1 ex denariis primi, decies tantum quam ipse se habere pronuntiat, ergo si ipse tunc habuit 10, et primus habuit 1. Ergo inter ambos habent 11, ex quibus cum secundus habeat 10, nimirum de tota summa utriusque ipsum habere \({10 \over 11}\) affirmatur. Ergo unus habet \({1 \over 2}\) totius summe et alter \({10 \over 11}\), habito videlicet quesito denario.

190 Quare⁴⁷⁵ dices: est arbor cuius \({1 \over 2}\) et \({10 \over 11}\) superat longitudinem arboris palmis⁴⁷⁶ 2, videlicet illis quos ipsi adinvicem querunt. Secundum illius arboris regulam oportet multiplicare 1 quod est super 2 per 11; erunt 11, et 10 que sunt super 11 per 2; erunt 20, que adde cum 11: erunt 31. Et 2 per 11 faciunt 22, que extrahe de 31: remanent 9, que vellent essent 2. 191 Quare

primus \({4 \over 9}\) 1 secundus \({4 \over 9}\) 3

⁴⁷⁷ multiplica 2, scilicet iunctionem utriusque denarii, per 11; erunt 22, que divide per 9: exibunt \({4 \over 9}\) 2, et tot habuit primus, accepto denario ab altero homine. Ergo primus habet denarium \({4 \over 9}\) 1. Iterum multiplica eadem 2 per 20; erunt 40, que divide per 9: exibunt denarii \({4 \over 9}\) 4, et tot habuit alter, habito denario ab alio; ergo habuit ipse denarios \({4 \over 9}\) 3.

192 De eadem re

Aliter secundum quorundam inventionem. Cum secundus, habito 1 ex denariis primi, preponit se habere decies tantum primo, extrahe 1 de 10; remanent 9: unus habet \({4 \over 9}\) 1 et alter \({4 \over 9}\) 3. Et si diceres quod ipse haberet duodecies tantum primi, similiter extrahes 1 de 12: remanent 11, et sic unus habet \({4 \over 11}\) 1 et alter \({4 \over 11}\) 3. Et sic posses facere de qualibet simili interrogatione.

193 Questio de eadem re nobis apud Constantinopolim⁴⁷⁸ a quodam magistro proposita

Item si proponatur quod unus illorum petat alteri denarios 7 et habeat quincuplum eius, et secundus petat primo 5 denarios et habeat septuplum eius.

Ut solutio huius questionis redigatur ad regulam secunde arboris, etiam et ad oculum clarius videatur, sit summa denariorum ipsorum linea \(AB\), ex qua \(AG\) sit portio primi; quare \(GB\) erit portio secundi. Et signetur in \(GB\) punctus \(D\), sitque \(GD\) 7, et in \(AG\) signetur punctus \(E\), sitque \(EG\) 5. 194 Et quoniam primus petit secundo 7, scilicet numerum \(GD\), et portio eius est numerus \(AG\), si addantur ei ipsa 7 habebit numerum \(AD\), qui proponitur esse quincuplum residui denariorum secundi hominis, scilicet ex numero \(DB\). Ergo si numerus \(AD\) dividatur in quinque partes equales, erit⁴⁷⁹ unaqueque pars equalis numero \(DB\); quare \(DB\) est sexta pars totius numeri \(AB\), scilicet de summa denariorum utriusque hominis. 195 Rursus si super denarios secundi hominis, scilicet super numerum \(BG\), addantur denarii 5 de denariis primi hominis, scilicet numerus \(GE\), habebit ipse secundus homo numerum \(BE\), et primo remanebit numerus \(EA\). Et quia secundus, habitis 5 de denariis primi, habet septuplum eius, erit numerus \(BE\) septuplum numeri \(EA\); quare \(EA\) est \({1 \over 8}\) totius numeri \(AB\). 196 Ostensus etiam et numerus \(BD\) esse \({1 \over 6}\) numeri \(AB\); ergo numeri \(BD\) et \(EA\) sunt \({1 \over 8}\) \({1 \over 6}\) totius numeri \(AB\). Quare si de numero \(AB\) auferantur \({1 \over 8}\) \({1 \over 6}\) ipsius, scilicet numeri \(BD\) et \(EA\), remanebit numerus \(ED\) qui est 12, cum \(EG\) sit 5 et \(GD\) sit 7. Quare⁴⁸⁰, secundum regulam ipsius arboris, pone pro numero \(AB\) 24, quorum \({1 \over 6}\), scilicet 4, erit pro numero \(BD\), cuius etiam \({1 \over 8}\), scilicet 3, erit pro numero \(EA\). Quare si de numero posito pro \(BA\), scilicet de 24, auferantur numeri positi pro numeris \(BD\) et \(EA\), scilicet 4 et 3, remanebunt 17 pro numero \(ED\), qui est 12par 197 Quare est sicut 17 ad \(ED\)⁴⁸¹, scilicet ad 12, ita 24 ad numerum \(AB\), et ita 4 ad numerum \(BD\) et 3 ad numerum \(EA\); quare si multiplicaverimus⁴⁸² 24 per 12 et diviserimus per 17, habebimus numerum \(AB\). Similiter si multiplicaverimus 4 per 12 et diviserimus per 17, venient \({14 \over 17}\) 2 pro numero \(BD\); quibus additis 7, scilicet \(DG\), erit \(BG\), scilicet denarii secundi hominis, \({14 \over 17}\) 9. Item divisa multiplicatione de 12 in 3 per 17, veniunt \({2 \over 17}\) 2 pro numero \(AE\); quibus additis 5, scilicet \(EG\), reddunt pro numero \(AG\) \({2 \over 17}\) 7, et tot habuit primus.

198 De eodem secundum regulam rectam

In solvendis itaque questionibus est regula quedam, que recta dicitur, qua Arabes utuntur, et est illius regule modus valde laudabilis, cum per ipsam infinite questiones solvi valeant. Quam regulam si in hac questione imitari vis, pone secundum hominem habere rem et denarios 7 quos petit ei primus, et intellige pro re summam aliquam ignotam quam invenire vis. Et quia primus habet quincuplum eius, habitis ipsis denariis 7, sequitur necessario illum habere quinque res minus denariis 7; 199 quia cum ipse habuerit 7 de denariis secundi, tunc habebit quinque res integras et secundo remanebit res una, et sic primus habebit quincuplum eius. Quare si de portione primi hominis addantur 5 secundo que petit ei, habebit⁴⁸³ utique secundus rem et denarios 12, et primo remanebunt quinque res minus denariis 12; et sic secundus habet septuplum primi, hoc est quod una res et denarii 12 sunt septuplum quinque rerum minus⁴⁸⁴ denariis 12. Quare multiplicatis quinque rebus minus denariis 12 per 7, venient 35 res minus soldis⁴⁸⁵ 7, que equantur uni rei et soldo uno. 200 Quare si utrique⁴⁸⁶ parti addantur soldi 7, erunt triginta quinque res equales de re una et soldi 8; quia si super equalia equalia addantur⁴⁸⁷, tota erunt equalia. Rursus cum de equalibus equalia dempseris, que remanebunt equalia erunt, si de utraque⁴⁸⁸ duarum partium tollatur res una, remanebunt 34 res equales de soldis 8; quare si diviseris soldos 8⁴⁸⁹ per 34, habebis \({14 \over 17}\) 2 pro summa uniuscuiusque rei. Ergo secundus habet \({14 \over 17}\) 9, cum habeat rem et denarios 7. Similiter si de quinque rebus, scilicet ex multiplicatione de \({14 \over 17}\) 2 in 5, auferantur denarii 7, remanebunt denarii \({2 \over 17}\) 7 pro denariis primi⁴⁹⁰ hominis, ut superius invenimus. Per hunc enim modum potes solvere omnes sequentes duorum hominum questiones.

201 De eadem re

Item si proponatur⁴⁹¹ quod unus petat alteri 6 et dicat se habere quinquies tantum et quartam quam alter, et alius petat primo denarios 4 et habeat septies tantum et duas tertias quam primus.

Quia primus preponit se⁴⁹² habere quinquies tantum et quartam alterius, ergo si ipse habuerit \({1 \over 4}\) 5, et alter habuit 1; ergo inter utrumque habent⁴⁹³ \({1 \over 4}\) 6, de quibus habet unam partem ipse secundus homo. 202 Fac quartas de \({1 \over 4}\) 6; erunt \({25 \over 4}\). Similiter fac quartas de 1; erunt 4. Ergo remanent secundo homini, datis 6 denariis primo, \({4 \over 25}\) cunctorum denariorum ipsorum. Similiter eadem ratione primo, datis 4 denariis secundo, remanent \({3 \over 26}\). Quare dices: est arbor de qua si extraxeris \({3 \over 26}\) \({4 \over 25}\), remanebunt 6 et 4, idest 10. 203 Multiplica igitur⁴⁹⁴ 4 per 26; erunt 104, et 3 per 25; erunt 75, que adde cum 104; erunt 179, que extrahe ex multiplicatione de 25 in 26, idest de 650: remanent 471, in quorum regula divide multiplicationem de 104 in 10 et habebis denarios \({2~~\phantom{1}32 \over 3~~157}\) 2, et tot remansit secundo homini datis 6 denariis primo. Quibus insimul iunctis fiunt \({2~~32 \over 3~~157}\) 8, et tot habuit secundus homo. Item multiplica 10 per 75 et divide per \({1~~\phantom{1}0\phantom{1} \over 3~~157}\): exibunt \({93 \over 157}\)⁴⁹⁵ 1, cui super additis 4 denariis quos secundus homo petit⁴⁹⁶ primo erunt \({93 \over 157}\) 5, et tot habuit primus.

204 Modus alius de duobus hominibus

Rursus primus, habitis 7 ex denariis secundi, habeat quinquies tantum quam secundus et insuper denarium 1. Et secundus, habitis 5 ex denariis primi, habeat septies tantum quam⁴⁹⁷ primus et amplius denarium 1. Summam omnium denariorum amborum hominum vocabis maiorem; de qua extracto denario⁴⁹⁸ qui superhabundat⁴⁹⁹ unicuique, residuum vocabis minorem. 205 Et quoniam primus, habitis 7 ex denariis secundi, habet unum plus quam quinquies tantum quam secundus; dempto itaque ipso denario ex ipsis 7 denariis et servato ipso ex parte, habebit primus homo cum reliquis denariis 6 quinquies tantum quam secundus. Habent enim inter utrumque, dempto denario suprascripto, dictam minorem summam, de qua primus habet quinquies tantum quam secundus habitis denariis 6 suprascriptis, hoc est quod primus habet quinque partes eiusdem minoris summe et secundus habet unam. 206 Ergo primus habet \({5 \over 6}\) ipsius minoris summe minus ipsis denariis 6, et secundus habet \({1 \over 6}\) eiusdem⁵⁰⁰ minoris summe et insuper denarios 7 quos dat primo. Similiter, si operaberis cum petitione secundi, invenies habere secundum hominem \({7 \over 8}\) minoris summe minus denariis 4, et primum denarios 5 plus quam \({1 \over 8}\) eiusdem summe. Habet enim primus denarios 6 minus quam \({5 \over 6}\) eiusdem minoris summe. 207 Quare inter utrumque habent \({7 \over 8}\) \({5 \over 6}\) minoris summe minus denariis 6 et 4, scilicet minus denariis 10. Habent etiam et ipsi maiorem summam; ergo \({7 \over 8}\) \({5 \over 6}\) minoris summe minus denariis 10 sunt quantum maior summa. Unde si extrahatur 1 ex utraque dictarum equalium portionum, quarum una est \({7 \over 8}\) \({5 \over 6}\) minoris summe minus denariis 10 et alia est maior summa, remanebunt \({7 \over 8}\) \({5 \over 6}\) <minoris summe> minus denariis 11 equales minori summe, cum minor summa sit 1 minus maiori; ergo minor summa cum denariis 11 est quantum \({7 \over 8}\) \({5 \over 6}\) eiusdem summe.

208 Quare invenienda est summa de cuius \({7 \over 8}\) \({5 \over 6}\) extracta ipsa summa, remaneant 11. Pone ut ipsa sit 24; de cuius \({7 \over 8}\) \({5 \over 6}\), que sunt 20 et 21, scilicet 41, extractis ipsis 24 remanent 17; que 17 cum velint esse 11, multiplicabis \({5 \over 6}\) de 24, scilicet 20, per 11, et divides per 17: exibunt pro⁵⁰¹ \({5 \over 6}\) minoris summe \({16 \over 17}\) 12, de quibus extrahe 6 que primus habet minus de \({5 \over 6}\) minoris summe; remanent \({16 \over 17}\) 6, et tot habet primus. 209 Item multiplica \({7 \over 8}\) de 24, scilicet 21, per 11 et divide per 17, et habebis \({10 \over 17}\) 13 pro \({7 \over 8}\) minoris summe; de quibus extractis 4 que secundus habet minus de dictis \({7 \over 8}\), remanebunt \({10 \over 17}\) 9, et tot habuit secundus.

210 De eodem

Aliter: invenimus superius primum hominem habere \({1 \over 8}\) minoris summe et plus denarios 5, secundum denarios 7 plus quam \({1 \over 6}\) eiusdem; ergo habent inter utrumque \({1 \over 8}\) \({1 \over 6}\) minoris summe et amplius denarios 12. Habent etiam et maiorem summam; quare \({1 \over 8}\) \({1 \over 6}\) minoris summe cum denariis 12⁵⁰² faciunt maiorem summam, et \({1 \over 8}\) \({1 \over 6}\) minoris summe cum denariis 11 faciunt minorem summam. Unde extractis \({1 \over 8}\) \({1 \over 6}\) minoris summe de eadem, remanebunt 11. 211 Quare ponas ipsam summam esse 24, de quibus extractis \({1 \over 8}\) \({1 \over 6}\) remanent 17; que cum velint esse 11, multiplicabis \({1 \over 8}\) de 24, scilicet 3, per 11 et divides per 17: exibunt \({16 \over 17}\)⁵⁰³ 1 pro \({1 \over 8}\) minoris summe, quia quam partem de 24 multiplicas per 11 et dividis⁵⁰⁴ per 17, talem partem minoris summe invenies. Super que \({16 \over 17}\) 1 iunctis denariis 5 quos primus habet plus dicte octave, reddent \({16 \over 17}\) 6 pro denariis primi, ut superius per aliam regulam invenimus. Similiter multiplicabis 3, scilicet \({1 \over 8}\) de 24, per 11 et divides per 17, et superaddes 7 divisioni, et habebis \({16 \over 17}\) 9, scilicet denarios secundi.

212 De eodem

Item aliter: inventum est superius quod primus habet \({5 \over 6}\) minoris summe minus denariis 6, vel \({1 \over 8}\) eiusdem summe et plus denariis 5, unde \({5 \over 6}\) minoris summe minus⁵⁰⁵ denarii 6 sunt quantum \({1 \over 8}\) eiusdem summe cum denariis 5. Quare si addantur unicuique portioni denarii 6, erunt \({5 \over 6}\) minoris summe quantum \({1 \over 8}\) eiusdem summe cum denariis 11; ergo extracta \({1 \over 8}\) de \({5 \over 6}\) minoris summe remanent 11. 213 Pones itaque⁵⁰⁶ ut ipsa summa sit 24, de cuius \({5 \over 6}\), scilicet de 20⁵⁰⁷, extrahe \({1 \over 8}\), scilicet 3: remanent 17, que cum velint esse 11 aut multiplicabis \({5 \over 6}\) de 24, scilicet 20, per 11 et divides per 17 et extrahes 6, vel \({1 \over 8}\) de 24 multiplicabis per 11 et divides per 17 et addes 5, et habebis denarios primi hominis. Similiter quia secundus habet \({7 \over 8}\) minoris summe minus denariis 4, vel denarios 7 plusquam \({1 \over 6}\) eiusdem summe, si comuniter utrique portioni addantur 4, erunt \({7 \over 8}\) minoris summe denarii 11 plus de \({1 \over 6}\) eiusdem summe. 214 Quare extracta \({1 \over 6}\) de \({7 \over 8}\) minoris summe, remanent 11. Pone similiter ut ipsa summa sit 24, de cuius \({7 \over 8}\), scilicet de 21, extracta \({1 \over 6}\), scilicet 4, remanent 17. Que cum velint esse 11, aut multiplica 21 per 11 et divides per 17 et extrahes inde 4 que secundus habet minus, aut multiplicabis 4, scilicet \({1 \over 6}\) de 24, per 11 et divides per 17 et superaddes 7, et habebis denarios secundi hominis.

215 Possunt enim per ea que diximus reperiri que ex similibus questionibus solubiles sunt et que insolubiles. Secundum predictas multiplicitates possunt solvi cum unicuique dictorum hominum equaliter superaverit super suam multiplicitatem ab uno predicto denario usque in denarios 11; ab undecim vero superius ipsas insolubiles esse probabimus. 216 Ad⁵⁰⁸ cuius exemplum primus petat secundo denarios 7, et habeat 12 plusquam quinquies tantum ipso. Secundus similiter querat primo 5, et habeat septies tantum quam primus et plus denariis 12. Ut diximus superius, denarii namque omnes ipsorum vocantur maior summa; duodecim vero minus ea vocabitur minor, cum 12 superhabundet unicuique. Et quoniam primus, habitis 7 a secundo, habet quinquies tantum quam ipse et insuper denarios 12, necessarium est ipsum primum habere \({5 \over 6}\) minoris summe et denarios 12 plus; ex quibus 12, cum 7 sint ex denariis secundi, remanet portio primi hominis denarii⁵⁰⁹ 5 plus de \({5 \over 6}\) minoris summe. 217 Similiter invenies portionem secundi esse denarios 7 plus de \({7 \over 8}\) minoris summe; ergo inter utrumque habent \({7 \over 8}\) \({5 \over 6}\) minoris summe et denarios 12. Habent etiam et ipsi similiter denarios 12 plus minoris summe; ergo \({7 \over 8}\) \({5 \over 6}\) minoris summe cum denariis 12 sunt quantum maior summa. Et quoniam cum de equalibus equalia tollantur⁵¹⁰ que remanent equalia sunt, si ab utraque portione tollantur 12, remanebunt \({7 \over 8}\) \({5 \over 6}\) minoris summe equales eidem minori summe, quod est impossibile.

218 Vel aliter: cum secundus dat 7 primo et remanet ei \({1 \over 6}\) minoris summe, ergo portio eius est denarii 7 plusquam \({1 \over 6}\) minoris summe. Invenimus enim superius portionem ipsius esse denarios 7 plus de \({7 \over 8}\) minoris summe. 219 Quare \({1 \over 6}\) minoris summe cum denariis 7 est quantum \({7 \over 8}\) eiusdem summe cum denariis 7. Sunt enim utrique 7 equales; remanet ergo \({1 \over 6}\) minoris summe equalis de \({7 \over 8}\) eiusdem summe, quod est iterum impossibile. In portione autem primi hominis invenies \({1 \over 8}\) minoris summe esse equalem de \({5 \over 6}\) eiusdem summe, quod est inconveniens. Similiter multum inconvenientius ostendetur non posse superare⁵¹¹ alicui ipsorum ultra denarios 12par

220 Modus tertius in questione duorum hominum

Rursus primus querat secundo 7 et habeat 1 plus quam quinquies ipso. Secundus petat primo 5 et habeat 2 plus quam septies ipso.

In hac questione tres summe considerande sunt. Quarum maior est quantitas omnium denariorum ipsorum duorum hominum; media est 1 minus ea; minor quoque est 2 minus maiori summe, vel 1 minus media⁵¹². Et quoniam primus cum 7 denariis secundi habet quinquies tantum quam secundus et 1 plus, ipsum primum \({5 \over 6}\) mediane summe minus denariis 6, et secundum hominem \({1 \over 6}\) eiusdem summe et plus denariis 7 habere necesse est. 221 Similiter quia secundus cum 5 denariis primi habet septies tantum quam primus et 2 plus, extractis ipsis 2 de maiori summa remanet minor summa, de qua secundus cum 3 ex denariis primi habet septies tantum quam primus, hoc est \({7 \over 8}\) minoris summe minus denariis 3. Quare primus habet \({1 \over 8}\) eiusdem minoris summe et insuper denarios 5 plus, ipsos videlicet quos dat secundo.

222 Quibus omnibus peractis, possunt redigi portiones utriusque in partes unius cuiuslibet trium dictarum summarum. Redigamus ergo eas primum in partes minoris summe. Quoniam mediana summa est plus 1 minori, \({5 \over 6}\) mediane summe est \({5 \over 6}\) unius denarii plus de \({5 \over 6}\) minoris summe; ergo \({5 \over 6}\) minoris summe cum \({5 \over 6}\) unius denarii est quantum \({5 \over 6}\) mediane summe. Et primus habet \({5 \over 6}\) mediane summe minus denariis 6; ergo habet \({5 \over 6}\) minoris summe minus denariis 6 et plus \({5 \over 6}\) unius denarii. 223 Quare extractis \({5 \over 6}\) unius denarii de 6, remanent \({1 \over 6}\) 5; ergo primus habet \({5 \over 6}\) minoris summe minus denariis \({1 \over 6}\) 5. De qua secundus habet, ut inventum est, \({7 \over 8}\) minus denariis 3; quare inter utrumque habent \({7 \over 8}\) \({5 \over 6}\) eiusdem minoris summe minus denariis \({1 \over 6}\) 8. 224 Habent etiam et ipsi maiorem summam, scilicet 2 plus minoris summe. Unde manifestum est quod \({7 \over 8}\) \({5 \over 6}\) minoris summe minus denariis \({1 \over 6}\) 8 sunt quantum minor summa cum denariis 2. Quare extractis ipsis 2 de utraque portione, remanet minor summa⁵¹³ equalis de \({7 \over 8}\) \({5 \over 6}\) ipsius minus denariis \({1 \over 6}\) 10; quare invenienda est summa de qua \({7 \over 8}\) \({5 \over 6}\) super habundent \({1 \over 6}\) 10 ipsam summam. 225 Pones itaque ut ipsa summa sit 24, cuius \({7 \over 8}\) \({5 \over 6}\), scilicet 41, superhabundant 17 ipsa 24. Que 17 cum velint esse \({1 \over 6}\) 10, multiplicabis \({1 \over 6}\) 10 per \({5 \over 6}\) de 24, scilicet per 20, et divides per 17: exibunt \({1~~16 \over 3~~17}\) 11 pro \({5 \over 6}\) minoris summe. De quibus extrahe \({1 \over 6}\) 5 quas primus habet minus de \({5 \over 6}\) minoris summe: remanebunt \({27 \over 34}\) 6, et tantum⁵¹⁴ habet primus. Item multiplica \({1 \over 6}\) 10 per \({7 \over 8}\) de 24, scilicet per 21, et divide per 17, et de exeunte summa extrahe 3 que secundus habet minus de \({7 \over 8}\) minoris summe: exibunt \({19 \over 34}\) 9.

226 Item si vis eos redigere in portione mediane summe, de qua primus habet \({5 \over 6}\) minus denariis 6, et secundus, cum habeat \({7 \over 8}\) minoris summe minus denariis 3, habebit ex mediana summa \({7 \over 8}\) minus denariis 3 et minus \({7 \over 8}\) ipsius denarii qui est⁵¹⁵ inter medianam summam et minorem; quia cum minor summa sit 1 minus mediana, \({7 \over 8}\) minoris sunt \({7 \over 8}\) unius denarii minus de \({7 \over 8}\) mediane. 227 Ergo cum primus habeat \({5 \over 6}\) mediane summe minus 6, et secundus \({7 \over 8}\) eiusdem minus denariis \({7 \over 8}\) 3, inter utrumque habebunt \({7 \over 8}\) \({5 \over 6}\) eiusdem mediane summe minus denariis \({7 \over 8}\) 9. Et quoniam ipsi habent 1 plus mediane summe, scilicet maiorem summam, \({7 \over 8}\) \({5 \over 6}\) mediane summe minus denariis \({7 \over 8}\) 9 sunt quantum mediana summa cum denario 1. Quo denario extracto ex utraque portione, remanet⁵¹⁶ mediana summa equalis de \({7 \over 8}\) \({5 \over 6}\) ipsius minus denariis \({7 \over 8}\) 10. 228 Quare multiplicanda sunt \({7 \over 8}\) 10 per 20 et dividenda per 17, et de summa extrahenda 6 que primus habet minus de \({5 \over 6}\) mediane summe, et habebis denarios primi \({27 \over 34}\) 6. Similiter multiplicanda sunt iterum \({7 \over 8}\)⁵¹⁷ 10 per 21 et dividenda per 17 et extrahenda \({7 \over 8}\) 3, et habebis denarios \({19 \over 34}\) 9.

229 Rursus aliter: rediges denarios eorum in portione⁵¹⁸ maioris summe. Quia primus habet \({5 \over 6}\) mediane summe minus denariis 6, habebit utique \({5 \over 6}\) maioris summe minus 6 et minus \({5 \over 6}\) de ipso denario qui superest a mediana summa in maiorem; ergo \({5 \over 6}\) maioris summe sunt \({5 \over 6}\) unius denarii plus de \({5 \over 6}\) mediane summe. Quare primus habet \({5 \over 6}\) maioris summe minus denariis \({5 \over 6}\) 6. 230 Similiter cum secundus habeat \({7 \over 8}\) minoris summe minus denariis 3, habebit utique de maiori summa \({7 \over 8}\) minus denariis 3 et minus \({7 \over 8}\) de denariis 2 in quibus maior summa excedit minorem. Nam \({7 \over 8}\) de 2 est \({3 \over 4}\) 1; ergo secundus habet \({7 \over 8}\) maioris summe minus denariis 3 et \({3 \over 4}\) 1, hoc est minus \({3 \over 4}\) 4. 231 Habet enim primus, ut diximus, \({5 \over 6}\) maioris summe minus \({5 \over 6}\) 6; ergo inter utrumque habent \({7 \over 8}\) \({5 \over 6}\) maioris summe minus denariis \({5 \over 6}\) 6 et \({3 \over 4}\) 4, scilicet minus \({7 \over 12}\) 11. 232 Habent enim et ipsi maiorem summam tantum; quare \({7 \over 8}\) \({5 \over 6}\) maioris⁵¹⁹ summe sunt plus de ipsa summa \({7 \over 12}\) 11. Multiplicabis ergo \({7 \over 12}\) 11 per 20 et per 21 et divides utramque multiplicationem per 17, et de prima divisione extrahes \({5 \over 6}\) 6 et de secunda extrahes \({3 \over 4}\) 4, et habebis denarios ipsorum.

233 Processimus enim superius tripliciter cum \({7 \over 8}\) \({5 \over 6}\); possumus iterum tripliciter cum \({1 \over 8}\) \({1 \over 6}\) procedere sic. Inventum est superius quod primus habet \({1 \over 8}\) minoris summe et plus denarios 5 et secundus habet \({1 \over 6}\) mediane summe et plus 7. Unde potes redigere secundum hoc denarios ipsorum in portione⁵²⁰ cuiuslibet dictarum trium summarum; et nos redigamus eos primum in portione⁵²¹ minoris summe, de qua primus habet \({1 \over 8}\) et plus denarios 5. 234 Et quoniam secundus habet \({1 \over 6}\) mediane summe et plus 7, habebit de minori summa similiter \({1 \over 6}\) et denarios 7 et insuper \({1 \over 6}\) ex ipso denario qui est a minori summa usque ad medianam; ergo secundus habet denarios \({1 \over 6}\) 7 plus de \({1 \over 6}\) minoris summe. Quare inter utrumque habent \({1 \over 8}\) \({1 \over 6}\) minoris summe et denarios \({1 \over 6}\) 12; que quantitas, cum sit summa eorum tota, scilicet maior, et ipsa maior summa sit 2 plus minori summa, ergo \({1 \over 8}\) \({1 \over 6}\) minoris summe cum denariis \({1 \over 6}\) 12 sunt quantum minor summa cum denariis 2. 235 Quare extractis 2 ex utraque portione, remanebunt \({1 \over 8}\) \({1 \over 6}\) minoris summe⁵²² cum denariis \({1 \over 6}\) 10 quantum minor summa. Quare extractis \({1 \over 8}\) \({1 \over 6}\) de minori summa, remanent \({1 \over 6}\) 10; quam si posuerimus esse 24 et extraxerimus inde \({1 \over 8}\) \({1 \over 6}\), remanebunt 17. Que 17 cum velint esse \({1 \over 6}\) 10, multiplicabis \({1 \over 8}\) de 24, scilicet 3, per \({1 \over 6}\) 10 et divides per 17: exibit pro⁵²³ \({1 \over 8}\) minoris summe \({27 \over 34}\) 1, cum quo additis 5 quos primus habet plus de \({1 \over 8}\) minoris summe erunt \({27 \over 34}\) 6, et tot superius inventum est habere primum. 236 Eademque ratione multiplicabis \({1 \over 6}\) de 24, scilicet 4, per \({1 \over 6}\) 10 et divides per 17, et superaddes postea super numerum qui ex divisione exierit \({1 \over 6}\) 7 quos secundus habet plus de \({1 \over 6}\) minoris summe, et habebis \({19 \over 34}\) 9 pro denariis secundi, ut supra.

237 Si autem in portione mediane summe denarios ipsorum reducere sciveris, invenies primum habere \({1 \over 8}\) eiusdem mediane summe et plus denarios⁵²⁴ \({7 \over 8}\) 4; secundum quoque eiusdem summe \({1 \over 6}\) et plus denarios 7, hoc est inter utrumque habent \({1 \over 8}\) \({1 \over 6}\) mediane summe et denarios \({7 \over 8}\) 11. Et quoniam inter utrumque habent denarios 1 plus mediana summa, scilicet maiorem summam, si ex utraque portione extrahatur 1, remanebunt \({1 \over 8}\) \({1 \over 6}\) mediane summe cum denariis \({7 \over 8}\) 10 equales de mediana summa. Operaberis secundum quod in minori summa fecimus et invenies denarios ipsorum. 238 Similiter potes invenire denarios ipsorum si reduxeris ipsos in portione maioris summe, de qua primus habet \({1 \over 8}\) et plus denariis \({3 \over 4}\) 4, secundus \({1 \over 6}\) et plus denarios \({5 \over 6}\) 6. Redactis quoque denariis ipsorum in portione alicuius dictarum trium summarum, possumus quantitates ipsorum aliter invenire; videlicet quia superius inventum est primum habere \({1 \over 8}\) minoris summe et plus denarios 5, vel \({5 \over 6}\) eiusdem summe minus denariis \({1 \over 6}\) 5; ergo \({1 \over 8}\) minoris summe cum denariis 5 sunt quantum \({5 \over 6}\) eiusdem summe minus \({1 \over 6}\) 5. 239 Quare si comuniter addiderimus \({1 \over 6}\) 5, erit \({1 \over 8}\) minoris summe cum denariis \({1 \over 6}\) 10 quantum \({5 \over 6}\) eiusdem summe. Unde si de 20, que sunt \({5 \over 6}\) de 24, extraxeris \({1 \over 8}\) eorum, remanebunt 17. Multiplicabis⁵²⁵ \({1 \over 6}\) 10 per 3 et divides per 17, et addes 5 quos primus habet plus de \({1 \over 8}\) minoris summe; aut multiplicabis \({1 \over 6}\) 10 per 20 et divides per 17 et extrahes inde \({1 \over 6}\) 5 quos idem primus habet minus de \({5 \over 6}\) eiusdem summe, et sic habebis denarios primi hominis. 240 Similiter si secundum hoc consideraveris per duas portiones quas habet primus in qualibet reliquarum duarum summarum, poteris⁵²⁶ denarios primi reperire; quod idem intelligas de denariis secundi. Et notandum quia quedam ex similibus questionibus sunt insolubiles, ad quarum notitiam habendam quedam insolubilis questio proponatur.

241 Modus quartus in consimilibus questionibus duorum hominum

Sint iterum duo homines, et primus petat secundo 7 et habeat similiter quinquies tantum quam ipse et unum plus. Secundus quoque petat 5 primo et habeat septies tantum quam ipse et 15 plus.

In hac questione maior summa est quantitas duorum ipsorum, mediana 1 minus, minor 15 minus eiusdem maioris summe. Et quoniam primus, habitis 7 ex denariis secundi, habet quinquies tantum quam secundus et 1 plus, necesse est secundum hominem habere \({1 \over 6}\) mediane summe et 7 plus. 242 Similiter, ut supra diximus, primus habet \({1 \over 8}\) minoris summe et 5⁵²⁷ plus. Et quoniam secundus habet \({1 \over 6}\) mediane summe et 7 plus, necesse est ut pro \({1 \over 6}\) mediane summe habeat \({1 \over 6}\) minoris et insuper sextam partem de denariis 14 in quibus mediana summa excedit minorem. Ergo secundus habet \({1 \over 6}\) minoris summe et sextam partem de 14, scilicet \({1 \over 3}\) 2, et 7 plus, hoc est⁵²⁸ \({1 \over 3}\) 9 plus de \({1 \over 6}\) minoris summe. Ex qua summa cum primus habeat \({1 \over 8}\) et 5 plus, inter utrumque habebunt \({1 \over 8}\) \({1 \over 6}\) minoris summe et denarios⁵²⁹ \({1 \over 3}\) 14. 243 Habent etiam et ipsi minorem summam et denarios 15, scilicet maiorem summam. Si ex utraque portione extrahantur denarii \({1 \over 3}\) 14, remanebit minor summa cum \({2 \over 3}\) unius denarii equalis de \({1 \over 8}\) \({1 \over 6}\) ipsius summe, quod est impossibile. Similiter si reduxeris portiones eorum in portione mediane summe, invenies primum habere \({1 \over 8}\) mediane summe minus octava parte de denariis 14 que sunt a minori summa usque ad medianam, et plus denariis 5; ex quibus 5 extracta \({1 \over 8}\) de 14, scilicet \({3 \over 4}\) 1, remanent \({1 \over 4}\) 3. 244 Ergo primus habet \({1 \over 8}\) mediane summe et \({1 \over 4}\) 3 plus; ergo inter utrumque habent denarios \({1 \over 4}\) 10 plus de \({1 \over 8}\) \({1 \over 6}\) mediane summe. Habent enim ipsi 1 plus mediane summe, scilicet maiorem summam; quo 1 extracto ex utraque portione, remanent \({1 \over 8}\) \({1 \over 6}\) mediane summe cum denariis \({1 \over 4}\) 9 equales ipsius mediane summe. 245 Quare supradictis demonstrationibus, ad habendum denarios primi multiplicanda est \({1 \over 8}\) de 24, scilicet 3 per \({1 \over 4}\) 9, et dividenda est summa multiplicationis per 17, et postea superaddendi sunt denarii \({1 \over 4}\) 3 quos primus habet plus de \({1 \over 8}\) mediane summe, et habebis pro denariis primi \({15 \over 17}\) 4; quod est inconveniens, cum sint minus de 5 quos petit secundus ipsi primo homini. Hoc idem invenies si reduxeris portiones eorum in portione maioris summe.

246 Item de duobus hominibus modus quintus

Item primus petat secundo 7 et habeat quinquies tantum quam ipse et 1 minus. Secundus petat primo 5 et habeat septies tantum quam ipse et 3 minus.

Hee autem questiones in infinitum tendunt solubiles, et solvuntur hoc ordine. Quantitas denariorum ipsorum vocatur minor summa; uno plus vocatur mediana; duo plus mediana⁵³⁰, scilicet 3 plus minore⁵³¹, que 3 deficiunt secundo, vocatur maior⁵³². Et quoniam primus, habitis 7 ex denariis secundi, habet 1 minus quam quinquies tantum ipso, si ipse denarius addatur super denarios primi et super denarios 7 quos querit secundo, habebit ipse primus \({5 \over 6}\) mediane summe. 247 Quare portio primi hominis est \({5 \over 6}\) mediane summe minus denariis 7 quos dat⁵³³ ei secundus et minus denario 1 qui superadditur ei, scilicet minus denariis 8; secundi vero est \({1 \over 6}\) eiusdem mediane summe et plus denariis 7 predictis. Similiter invenies ex petitione⁵³⁴ secundi, primum habere \({1 \over 8}\) maioris summe et denarios 5 quos dat secundo, et secundum \({7 \over 8}\) eiusdem maioris summe minus ipsis 5 et minus 3 qui minuunt ei ad habendum septuplum primi.

248 Quibus ita consideratis, potes reducere portiones ipsorum in portionibus cuiuslibet trium dictarum summarum, et deinceps in ipsis tripliciter operari, secundum quod superius fecimus. Sed ut hoc liquidius ostendatur, reducamus eos in portione mediane summe secundum unum modum⁵³⁵ ex tribus modis. 249 Habet enim secundus \({1 \over 6}\) mediane summe et plus denarios 7; primus autem habet \({1 \over 8}\) maioris summe et denarios 5. Et quoniam maior summa est 2 plus mediane summe, erit \({1 \over 8}\) maioris summe octava pars de denariis 2, scilicet \({1 \over 4}\) unius denarii, plus de \({1 \over 8}\) mediane summe. Quare \({1 \over 8}\) mediane summe cum \({1 \over 4}\) unius denarii est quantum \({1 \over 8}\) maioris summe. Et quoniam primus habet \({1 \over 8}\) maioris summe et denarios 5, habebit⁵³⁶ \({1 \over 8}\) mediane summe et denarios \({1 \over 4}\) 5; ergo inter utrumque habent \({1 \over 8}\) \({1 \over 6}\) mediane summe et denarios 7 et 5 et \({1 \over 4}\), scilicet \({1 \over 4}\) 12par 250 Habent etiam et ipsi minorem summam tantum; ergo \({1 \over 8}\) \({1 \over 6}\) mediane summe cum denariis \({1 \over 4}\) 12 sunt quantum minor summa. Quare si utrique portioni addatur 1, erunt \({1 \over 8}\) \({1 \over 6}\) mediane summe cum denariis \({1 \over 4}\) 13 quantum ipsa mediana summa, cum ipsa sit 1 plus minore. Ergo extractis \({1 \over 8}\) \({1 \over 6}\) mediane summe ex ipsa summa remanent \({1 \over 4}\) 13, et queritur quantitas de \({1 \over 8}\) <et de> \({1 \over 6}\) eiusdem summe. 251 Quare multiplicabis \({1 \over 8}\) de 24, scilicet 3, per \({1 \over 4}\) 13, et divide summam⁵³⁷ per 17 et habebis pro \({1 \over 8}\) mediane summe \({3~~\phantom{1}5 \over 4~~17}\)⁵³⁸ 2, cum quibus additis denariis \({1 \over 4}\) 5 reddunt pro denariis primi hominis \({10 \over 17}\) 7. Item multiplicabis \({1 \over 6}\) de 24, scilicet 4, per \({1 \over 4}\) 13 et divides per 17: exibunt pro \({1 \over 6}\) mediane summe \({2 \over 17}\) 3, cum quibus additis 7 quos secundus habet plus de \({1 \over 6}\) mediane summe reddent pro portione ipsius \({2 \over 17}\) 10.

252 Ex his⁵³⁹ autem⁵⁴⁰ que dicta sunt satis potes perpendi si proponatur quod⁵⁴¹ uni ipsorum super suam multiplicitatem superet et alteri vero minuat. Tamen ut melius comprehendantur quedam similis questio proponatur, in qua primus habitis 7 ex denariis secundi habeat 6 plus quam quinquies ipso, et secundus habitis 5 ex denariis primi habeat septuplum eius minus denariis 8. 253 In hac autem questione minor summa est 6 minus quantitate omnium denariorum ipsorum; de qua, si de supradictis immemor non extiteris, invenies primum habere \({5 \over 6}\) minus denario 1, secundum \({1 \over 6}\) eiusdem summe plus denariis 7. Mediana quoque summa est quantitas denariorum ipsorum. 254 Maior quoque est 8 plus mediana, de qua primus habet \({1 \over 8}\) et insuper denarios 5, secundus ex eadem maioris summa habet \({7 \over 8}\) minus ipsis dictis 5 denariis et minus adhuc ipsis 8 quos minuunt ei ut habeat septuplum primi hominis. Quibus cognitis, reducamus eos in partes mediane summe, quamvis possint⁵⁴² redigi in portiones reliquarum summarum. Et hoc faciamus secundum unum modum ex tribus modis quibus hoc fieri potest.

255 Quoniam maior summa est 8 plus mediana, octava pars maioris summe erit \({1 \over 8}\) de denariis 8, scilicet 1 plus de octava parte mediane summe. Unde cum primus habeat \({1 \over 8}\) maioris summe et denarios⁵⁴³ 5, habebit similiter \({1 \over 8}\) mediane summe et denarios 6. Item quia minor summa est 6 minus mediana, erit \({1 \over 6}\) minoris summe sexta pars de denariis 6, scilicet 1 minus de \({1 \over 6}\) mediane summe. 256 Unde cum secundus habeat \({1 \over 6}\) minoris summe et denarios 7, habebit similiter \({1 \over 6}\) mediane summe minus denario 1 et plus denariis 7, hoc est denarios 6 plus. Ergo inter secundum et primum habent \({1 \over 8}\) \({1 \over 6}\) mediane summe et denarios 12. Habent etiam et ipsi medianam summam; quare \({1 \over 8}\) \({1 \over 6}\) mediane summe cum denariis 12 est quantum ipsa mediana summa. Ergo extractis \({1 \over 8}\) \({1 \over 6}\) mediane summe ex ipsa, remanent 12par 257 Unde ut habeas \({1 \over 8}\) eiusdem mediane summe, multiplicabis \({1 \over 8}\) de 24, scilicet 3, per 12 et divides per 17; exibunt \({2 \over 17}\) 2, cum quibus adde 6 quos primus habet plus de \({1 \over 8}\) mediane summe: erunt \({2 \over 17}\) 8, et tot habet primus. Item ut habeas⁵⁴⁴ \({1 \over 6}\) mediane summe, multiplicabis 4 per 12 et divides per 17, et addes 6 quos secundus habet plus de \({1 \over 6}\) mediane summe: exibunt \({14 \over 17}\) 8 pro denariis secundi hominis.

258 Quod etiam per regulam rectam potes invenire, si ponas secundum⁵⁴⁵ habere rem et denarios 7, primum⁵⁴⁶ quinque res minus denario 1. Quia cum primus habeat 7 a secundo, remanebit secundo res una, et primus habebit res⁵⁴⁷ quinque et denarios 6, et sic habebit 6 plus quincuplo eius. 259 Similiter si secundus habuerit 5 a primo, remanebunt ipsi primo quinque res minus denariis 6, et secundus habebit rem unam et denarios 12, que cum denariis 8 equantur septuplo denariorum primi⁵⁴⁸, scilicet 35 rebus minus denariis 42. Quibus denariis 42 additis ab utraque parte, erunt 35 res que equantur uni rei et denariis 62; qua re⁵⁴⁹ diminuta ab utraque parte, remanebunt 34 res que equantur denariis 62, hoc est 17 res sunt denarii 31. Quare divide 31 per 17: veniet denarius \({14 \over 17}\) 1 pro re una. 260 Et quia secundus habet rem cum denariis 7, ergo habet denarii \({14 \over 17}\) 8. Similiter quia primus⁵⁵⁰ habet 5 res minus denario 1, multiplica \({14 \over 17}\) 1 per 5; erunt \({2 \over 17}\) 9, de quibus tolle 1: remanebunt⁵⁵¹ denarii \({2 \over 17}\) 8, et tot habuit primus. Per hunc itaque modum possunt solvi omnes suprascripte duorum hominum questiones. Sunt enim ex similibus questionibus infinite que solvi non possunt, quas cognosces secundum suprascriptum modum.