307 De quattuor hominibus et una bursa

Item homines sint quattuor et primus cum bursa habeat duplum secundi et tertii, secundus triplum tertii et quarti, tertius quaduplum quarti et primi, quartus similiter cum bursa habet quintuplum primi et secundi. Hec questio insolubilis est, nisi concedatur primum hominem habere debitum, et sic in minoribus numeris secundus habet 4, tertius 1, quartus 4, bursa 11, et debitum primi hominis est 1. 308 Et sic primus cum bursa habet 10, scilicet duplum secundi et tertii; secundus quoque cum bursa habet 15, scilicet triplum tertii et quarti; et tertius cum bursa habet quaduplum quarti et primi, quia si de 4 que habet quartus auferatur debitum primi, remanebunt 3, et tot dicuntur habere inter quartum et primum hominem. Quartus autem cum bursa habet 15, que sunt quintuplum primi et secundi, ut oportet.

309 Et si vis cognoscere hanc questionem sine debito primi hominis insolubilem esse, hoc scire poteris per investigationem proportionum ipsarum³⁴⁶ que³⁴⁷ habent ad invicem inter se. 310 Nam quia primus cum bursa habet duplum secundi et tertii, medietas primi et burse est quantitas secundi et tertii. Similiter habetur ex adiacentibus quod tertia secundi et burse est quantitas tertii et quarti. Adhuc et quarta tertii et burse est quantitas quarti et primi nec non et quinta quarti et burse est quantitas primi et secundi. 311 Et quoniam medietas primi et burse est quantitas

primi burse quarti \({3 \over 2}\) \({1 \over 2}\) 1 1 \({1 \over 3}\)

secundi et tertii, si comuniter adiungatur quantitas quarti et primi, erit quantitas denariorum quattuor hominum equalis de \({3 \over 2}\) denariorum primi et de \({1 \over 2}\) burse et ex denariis quarti hominis. Rursus quia \({1 \over 3}\) secundi et burse est quantitas tertii et quarti, si comuniter adiungantur denarii secundi et primi, erunt denarii illorum quattuor equales de \({4 \over 3}\) denariorum secundi et de \({1 \over 3}\) burse et de denariis primi. 312 Nam denarii illorum quattuor inventi sunt esse \({3 \over 2}\) primi et \({1 \over 2}\) burse et quantum denarii quarti

secundus habet burse primi quarti   \({1 \over 8}\) \({3 \over 8}\) \({3 \over 4}\)

³⁴⁸ hominis. Ergo \({1 \over 2}\) burse et \({3 \over 2}\) primi cum denariis quarti sunt quantum \({4 \over 3}\) secundi et \({1 \over 3}\) burse et \({3 \over 3}\) primi. Si comuniter auferatur \({1 \over 3}\) burse et \({3 \over 3}\) primi, scilicet denarii eius, remanebunt \({4 \over 3}\) denariorum secundi equales de \({1 \over 6}\) burse et de \({1 \over 2}\) primi et de³⁴⁹ denariis quarti. Quare \({3 \over 4}\) de \({4 \over 3}\) denariorum secundi, scilicet denarii ipsius, sunt \({3 \over 4}\) de \({1 \over 6}\), scilicet \({1 \over 8}\), burse et \({3 \over 4}\) de \({1 \over 2}\), scilicet \({3 \over 8}\), primi et \({3 \over 4}\) denariorum quarti.

313 Serva hec. Demum ut invenias proportionem denariorum tertii ad denarios burse et primi et quarti hominis, accipe \({1 \over 4}\) denariorum tertii hominis et burse, qui equantur denariis quarti et primi, et adde utrique parti denarios secundi et tertii, et erunt omnes denarii quattuor hominum equales de \({5 \over 4}\) denariorum tertii et de \({1 \over 4}\) burse et de³⁵⁰ denariis secundi hominis. Sed denarii secundi hominis sunt \({1 \over 8}\) burse et \({3 \over 8}\) primi et \({3 \over 4}\) denariorum quarti. 314 Ergo \({5 \over 4}\) denariorum tertii cum \({3 \over 8}\) burse et cum \({3 \over 8}\) primi et cum \({3 \over 4}\) denariorum quarti sunt quantum summam denariorum quattuor hominum. Quam summam invenimus esse quantum \({3 \over 2}\) denariorum primi cum \({1 \over 2}\) burse et cum denariis quarti hominis; ergo \({5 \over 4}\) tertii, \({3 \over 8}\) primi et burse cum \({3 \over 4}\) denariorum quarti sunt quantum \({3 \over 2}\) primi et \({1 \over 2}\) burse cum denariis quarti. 315 Quare si comuniter auferantur \({3 \over 8}\) burse et primi et \({3 \over 4}\) denariorum quarti,

tertius habet burse primi quarti   \({1 \over 10}\) \({9 \over 10}\) \({1 \over 5}\)

³⁵¹ remanebunt \({5 \over 4}\) denariorum tertii equales coniuncto ex \({1 \over 8}\) burse et ex \({9 \over 8}\) primi et ex \({1 \over 4}\) denariorum quarti³⁵². Quare³⁵³ \({4 \over 5}\) de \({5 \over 4}\) denariorum tertii, scilicet denarii eius, sunt \({4 \over 5}\) ex \({1 \over 8}\) burse et ex \({9 \over 8}\) primi et ex \({1 \over 4}\) denariorum quarti, hoc est quod denarii tertii hominis sunt \({1 \over 10}\) burse et \({9 \over 10}\) primi et \({1 \over 5}\) denariorum quarti.

316 Serva hec, et accede ad inventionem proportionis quarti, cuius \({1 \over 5}\) et burse est quantitas primi et secundi. Si comuniter addantur denarii tertii et quarti, erunt \({6 \over 5}\) denariorum quarti cum \({1 \over 5}\) burse et cum denariis tertii quantum est summa denariorum quattuor hominum, hoc est quantum sunt \({3 \over 2}\) primi et \({1 \over 2}\) burse cum denariis quarti. 317 Auferatur itaque comuniter \({1 \over 5}\) burse et denarii quarti: remanebit \({1 \over 5}\) denariorum quarti cum denariis tertii quantum \({3 \over 2}\) primi et \({3 \over 10}\) burse. Sed denarii tertii sunt \({9 \over 10}\) primi et \({1 \over 10}\) burse et \({1 \over 5}\) quarti hominis; ergo \({2 \over 5}\) quarti hominis cum \({9 \over 10}\) primi et cum \({1 \over 10}\) burse sunt quantum \({3 \over 2}\)³⁵⁴ primi et \({3 \over 10}\) burse. Comuniter auferantur \({9 \over 10}\) primi et \({1 \over 10}\) burse: remanebunt \({3 \over 5}\) primi cum \({1 \over 5}\) burse quantum \({2 \over 5}\) denariorum quarti. 318 Quare \({5 \over 2}\) de \({2 \over 5}\) denariorum quarti, scilicet denarii ipsius, sunt \({5 \over 2}\) de \({3 \over 5}\) denariorum primi, scilicet \({3 \over 2}\) denariorum ipsius, et sunt \({5 \over 2}\) de \({1 \over 5}\), scilicet \({1 \over 2}\), denariorum burse. Ergo denarii quarti hominis sunt \({3 \over 2}\) denariorum primi et \({1 \over 2}\) burse. Comuniter adiungantur denarii quarti: erunt \({3 \over 2}\) denariorum primi cum \({1 \over 2}\) burse et cum denariis quarti quantum est duplum denariorum quarti. 319 Sed \({3 \over 2}\) primi cum \({1 \over 2}\) burse et cum³⁵⁵ denariis quarti sunt quantum est summa denariorum quattuor hominum. Quare duplum denariorum quarti sunt quantum eadem summa; ergo denarii quarti hominis sunt dimidium ipsius summe. Ostendam rursus secundum hominem habere aliam medietatem eiusdem summe sic: sunt enim omnes denarii secundi \({1 \over 8}\) burse et \({3 \over 8}\) primi et \({3 \over 4}\) denariorum quarti. 320 Nam omnes denarii quarti hominis sunt \({3 \over 2}\) denariorum primi et \({1 \over 2}\) burse; quare \({3 \over 4}\) denariorum quarti sunt \({3 \over 4}\) de \({3 \over 2}\), scilicet \({9 \over 8}\), primi et \({3 \over 4}\) de \({1 \over 2}\), scilicet \({3 \over 8}\) burse. Ergo omnes denarii secundi sunt \({3 \over 8}\) et \({9 \over 8}\), scilicet \({3 \over 2}\), primi et \({3 \over 8}\) \({1 \over 8}\), scilicet \({1 \over 2}\), burse, sicuti sunt denarii quarti hominis.

321 Quare denarii secundi et quarti sunt summa denariorum ipsorum quattuor hominum, quod est inconveniens, nisi habeat unus ex reliquis, scilicet primus vel tertius, debitum quod erit equale capitali alterius; quia addito ipso capitali cum denariis secundi et quarti, et ex summa extracto debito alterius, nimirum remanebit summa denariorum secundi et quarti que est summa denariorum quattuor hominum. 322 Et quoniam videtur secundum habere maiorem proportionem ad idem quam secundus et tertius, cognoscitur iterum hec questio esse insolubilis sine debito alicuius eorum. Nam denarii secundi hominis sunt \({3 \over 2}\) primi et \({1 \over 2}\) burse; sed denarii secundi et tertii sunt tantum \({1 \over 2}\) primi et burse, quod videtur incongruum, ut predixi. 323 Sed hoc salvabitur ita: si de \({1 \over 2}\) burse extrahantur \({3 \over 2}\) ex debito primi, remanebunt denarii secundi. Item si de \({1 \over 2}\) burse extrahatur \({1 \over 2}\) tantum primi, remanebunt denarii secundi et tertii hominis. Nam cum \({3 \over 2}\) primi sint semel denarii ipsius plus de \({1 \over 2}\) denariorum eiusdem, cognoscitur tertium hominem habere quantitatem debiti primi hominis. 324 Sed ut invenias huius questionis solutionem, adde \({1 \over 8}\) burse et \({3 \over 8}\) primi et \({3 \over 4}\) quarti cum \({1 \over 10}\) burse et cum \({9 \over 10}\) primi et cum \({1 \over 5}\) quarti hominis, scilicet denarios secundi et tertii: erunt \({9 \over 40}\) burse et \({51 \over 40}\) primi et \({19 \over 20}\) quarti pro denariis secundi et tertii. Sed denarii secundi et tertii sunt \({1 \over 2}\) primi et burse; ergo \({9 \over 40}\) burse et \({51 \over 40}\) primi cum \({19 \over 20}\) quarti sunt \({1 \over 2}\) primi et burse. 325 Et quoniam denarii quarti hominis sunt \({3 \over 2}\)³⁵⁶ primi et \({1 \over 2}\) burse, erunt ergo \({19 \over 20}\) denariorum quarti equales de \({19 \over 20}\) de \({3 \over 2}\)³⁵⁷ denariorum primi et de \({19 \over 20}\) de \({1 \over 2}\)³⁵⁸ denariorum burse; ergo \({9 \over 40}\) et \({19 \over 20}\) de \({1 \over 2}\), scilicet \({7 \over 10}\) burse, cum \({51 \over 40}\) et \({19 \over 20}\) de \({3 \over 2}\)³⁵⁹, scilicet cum \({27 \over 10}\) primi, sunt quantum \({1 \over 2}\) primi et burse; quod etiam videtur incongruum, cum \({7 \over 10}\) burse sint plus de \({1 \over 2}\) eiusdem et \({27 \over 10}\) primi sint similiter plus de³⁶⁰ \({1 \over 2}\) ipsius.

326 Sed quia volo primum hominem habere debitum, erit id quod remanet ex \({7 \over 10}\) burse, extractis inde \({27 \over 10}\) ex debito primi, equale ei quod remanet ex \({1 \over 2}\) burse, extracto inde \({1 \over 2}\) ex debito primi. Quare si ex \({27 \over 10}\) debiti primi hominis auferatur \({1 \over 2}\) eiusdem et ex \({7 \over 10}\) burse auferatur \({1 \over 2}\) eiusdem, remanebunt \({11 \over 5}\) debiti primi hominis equales \({1 \over 5}\) denariorum burse. 327 Quare reperiendi sunt duo numeri, quorum \({11 \over 5}\) unius sint \({1 \over 5}\) alterius: eruntque 1 pro debito primi et 11 pro denariis burse, ut predixi. Quare si addatur debitum primi cum bursa erunt 10, quorum dimidium, scilicet 5, habent inter secundum et tertium; ex quibus tertius habet 1, cum habeat quantitatem ex debito primi. Quare secundus habet 4 et quartus habet totidem, cum denarii sui equentur denariis secundi³⁶¹, ut superius invenimus.