219 Incipit pars de inventione radicum binomiorum et recisorum

Si vis invenire radicem alicuius binomii, studeas dividere maius nomen in duas partes, quarum una multiplicata per aliam faciat quartam partem quadrati minoris nominis; quarum duarum partium radices insimul iuncte erunt radix quesiti binomii. 220 Nam ²⁹⁸ qualiter ipse partes inveniri debeant in linea ostendamus²⁹⁹. Adiaceat binomium quodlibet³⁰⁰ \(AG\), cuius maius nomen sit \(AB\), quod possit super numerum \(BG\) equale numero \(D\); et dividatur \(AB\) per medium super punctum \(E\), et addatur radix quarte partis numeri \(D\) linee \(AE\); sitque \(EF\). Dico lineam \(AB\) divisam esse in duas partes, que sunt \(AF\) et \(FB\), quarum una multiplicata in aliam equatur quarte parti quadrati linee \(BG\). 221 Quoniam linea \(AB\) potest numerum \(D\) et quadratum nominis \(BG\), medietas ergo nominis \(AB\), scilicet \(AE\), poterit quartam partem numeri \(D\) et quadrati nominis \(BG\). Et quoniam linea \(AB\) divisa est in duo equalia super \(E\) et in duo inequalia super \(F\), erit multiplicatio³⁰¹ \(BF\) in \(FA\) cum quadrato linee \(EF\) equalis quadrato linee \(AE\)³⁰²; 222 ergo id quod fit ex ductu \(BF\) in \(FA\) cum quadrato linee \(EF\) equatur quarte³⁰³ parti numeri \(D\) et quadrati nominis \(BG\). Sed quadratus linee \(EF\) est quarta pars numeri \(D\); quare id quod fit ex ductu \(BF\) in \(FA\) equatur quadrato qui fit a dimidio linee \(BG\), hoc est³⁰⁴ quarte parti quadrati³⁰⁵ totius nominis \(BG\), et hoc volebamus.

223 Et notandum quod si \(AG\) fuerit binomium primum, tunc \(EF\) erit numerus; quare tota \(AF\) erit similiter numerus, cum \(AE\) sit numerus; est enim tota \(AB\) numerus, scilicet maius nomen binomii³⁰⁶ primi. Unde \(FB\) erit numerus, quia extracto numero \(AF\) ex numero \(AB\) remanet \(FB\) similiter numerus ratiocinatus. Et si binomium \(AG\) fuerit secundum vel tertium, tunc linea \(AE\) erit radix numeri comunicans³⁰⁷ linee \(EF\); quare linee \(AF\) et \(FB\) erunt radices duorum diversorum numerorum. 224 Et si binomium \(AG\) fuerit aliquod ex tribus binomiis reliquis, erit linea \(AF\) binomium et linea \(FB\) recisum, ut in decimo Euclidis habentur. Restant³⁰⁸ itaque ostendende³⁰⁹ radices partium \(AF\) et³¹⁰ \(FB\) insimul coniuncte³¹¹ esse radicem totius binomii \(AG\). Sitque radix portionis \(AF\) linea \(IZ\), et portionis³¹² \(FB\) sit \(ZT\); dico quod \(IT\) est radix binomii \(AG\). 225 Quoniam \(IT\) divisa est in duo super \(Z\), erunt duo quadrati portionum \(IZ\), \(ZT\) cum duplo \(IZ\) in \(ZT\)³¹³ equales quadrato totius linee \(IT\). Sunt enim quadrati portionum \(IZ\), \(ZT\) numeri \(AF\), \(FB\), hoc est numerus \(AB\); sed ex ductu \(IZ\) in \(ZT\) provenit radix eius quod fit ex \(AF\) in \(FB\), cum \(AF\) et \(FB\) sint quadrati portionum \(IZ\), \(ZT\). 226 Sed ex ductu \(AF\) in \(FB\) provenit quadratus dimidii nominis \(BG\). Quare³¹⁴ ex \(IZ\) in \(ZT\) provenit dimidium nominis \(BG\); ergo ex duplo \(IZ\) in \(ZT\) provenit nomen \(GB\); ergo ex ductu \(IT\) in se provenit binomium \(AG\), ut³¹⁵ oportebat ostendere.

Et ut hec habeantur in numeris, sit binomium \(AG\) primum, cuius maius nomen \(AB\) sit 23 et minus \(BG\) sit radix de 448. 227 Et extrahatur quadratus minoris nominis ex quadrato maioris, scilicet 448 de 529: remanent 81; et dividatur \(AB\) per medium: veniet \(AE\) \({1 \over 2}\) 11, quibus addatur radix quarte partis de 81, scilicet \({1 \over 2}\) 4, que sunt dimidium³¹⁶ radicis de 81: erit \(AF\) tota 16, quibus extractis de 23 remanent 7 pro numero \(FB\). 228 Nam multiplicatis 7 per 16, scilicet \(BF\) per \(FA\), nimirum 112, scilicet quarta pars quadrati³¹⁷ nominis \(BG\) provenient, ut volebamus. Acceptis itaque radicibus numerorum \(AF\), \(FB\), venient 4 et radix de 7 pro radice 23 et radicis de 448 insimul coniunctorum. Et si radix de 23 minus radice de 448 habere desideras, ipsam esse 4 minus radice de 7 eisdem demonstrationibus poteris invenire.

229 Item sit binomium \(AG\) secundum, cuius maius nomen sit radix de 448, minus vero sit 14. In quo binomio maius nomen potest 252 plus minori; quorum quarte partis radix, scilicet de 63, addatur quadrato medietatis maioris nominis, scilicet radici quarte partis de 448: erunt radix de 112 et radix³¹⁸ de 63, quibus insimul iunctis faciunt radicem³¹⁹ de 343 pro linea \(AF\)³²⁰; 230 et extracta quidem radice de 63 ex radice de 112, scilicet \(EF\) ex \(EB\)³²¹, remanet pro linea \(FB\) radix de 7. Et sic pro radice <radicis> de³²² 448 et de 14 insimul coniunctis³²³ habetur radix radicis de 343 et radix radicis de 7. Quare pro radice radicis de 448 minus 14 habetur radix radicis de 343 minus radice radicis de 7. Eodemque modo invenies radicem tertii binomii et eius recisi.

231 Nam si radicem quarti binomii invenire vis, adiaceat iterum binomium \(AG\), cuius maius nomen \(AB\)³²⁴ sit 20, minus quoque \(BG\) sit radix de 240; ex quibus nominibus maius nomen potest 160 plus minore. Radix quarte partis quorum, scilicet de 40, si addatur dimidio maioris nominis, scilicet linee \(AE\), habebuntur 10 et radix de 40 pro linea \(AF\); que cum aggregari non possint, est tota linea \(AF\) binomia. 232 Quare residuum \(FB\) est recisum constans ex 10 minus ³²⁵ radice de 40; harum itaque duarum quantitatum \(AF\) et \(FB\) radices in unum coniuncte sunt radix de 20 et radicis de 240. Nam radix³²⁶ residui in quo \(AF\) superhabundat \(FB\) est radix de 20 minus radice de 240. Et si secundum hunc modum in inventione radicum quinti et sexti binomii et eorum recisorum processeris, nullatenus poteris deviare.