189 Incipit pars secunda de solutione quarumdam questionum per elchataym, que per proprias regulas in hoc libro demonstrate non sunt

Duo homines habebant denarios; quorum primus dixit secundo: si dares mihi tertiam tuorum denariorum, haberem denarios 14. Secundus respondit ei et dixit²²⁶: et si tu dares mihi quartam tuorum denariorum, haberem denarios 17. Queritur quot unusquisque habuit.

190 Pone quod primus habeat denarios 4. Quare secundus habebit denarios 30, ut ex tertia parte ipsorum, scilicet ex denariis 10, et ex denariis 4 quos primus habet, habeat ipse primus denarios 14, ut propositum est. Verum addita quarta parte de denariis 4 primi hominis cum denariis 30 secundi, habebit secundus denarios 31, scilicet 14 plus quam debeat. 191 Quare in secunda positione

crevi 11 4     3

²²⁷ pone quod primus homo habeat denarios 8. Quare secundus habebit denarios 18, cum quibus addita quarta parte de denariis 8 primi hominis, habebit ipse secundus homo denarios 20, scilicet 3 plus quam debeat. In prima enim positione superant secundo homini 14, in secunda 3; ergo pro 4 denariis quos accrevimus primo, adpropinquavit secundus veritati 11, et restat ad adpropinquandum 3. 192 Quare multiplicabis 3 per 4 et divides per 11: exibit denarius \({1 \over 11}\) 1, quo addito cum denariis 8 faciunt denarios \({1 \over 11}\) 9, a quibus usque in 14 desunt denarii \({10 \over 11}\) 4, qui sunt tertia pars de denariis secundi hominis. Quare multiplica eos, scilicet \({10 \over 11}\) 4, per 3: reddent \({8 \over 11}\) 14 pro denariis secundi hominis.

primus \({1 \over 11} 9\) secundus \({8 \over 11} 14\)

²²⁸

193 Aliter per regulam proportionum: quoniam denarii primi cum \({1 \over 3}\) denariorum secundi sunt 14, ergo \({1 \over 14}\) denariorum primi cum \({1 \over 14}\) de \({1 \over 3}\) denariorum secundi est denarius 1. Quare \({3 \over 14}\) denariorum primi cum \({3 \over 14}\) de \({1 \over 3}\) denariorum secundi sunt denarii 3; ergo denarii primi hominis cum \({3 \over 14}\) ipsorum et cum \({1 \over 3}\) denariorum secundi et cum \({3 \over 14}\) de \({1 \over 3}\) denariorum secundi sunt denarii 17, sicut sunt omnes denarii secundi hominis cum \({1 \over 4}\) denariorum primi. 194 Denarii autem primi hominis cum \({3 \over 14}\) ipsorum sunt \({17 \over 14}\) eorundem; tertia²²⁹ quoque denariorum secundi cum \({3 \over 14}\) ipsius tertie sunt \({17 \over 42}\) denariorum ipsius secundi. Ergo \({17 \over 14}\) denariorum primi cum \({17 \over 42}\) denariorum secundi sunt quantum denarii secundi hominis cum \({1 \over 4}\) denariorum primi. 195 Unde si de denariis secundi hominis auferantur²³⁰ \({17 \over 42}\) ipsorum, remanebunt siquidem \({25 \over 42}\) eorundem; ergo \({17 \over 14}\) denariorum primi sunt \({25 \over 42}\) secundi et \({1 \over 4}\) denariorum suorum. Unde si de \({17 \over 14}\) denariorum primi auferatur \({1 \over 4}\) denariorum ipsius, remanebunt \({27 \over 28}\) denariorum ipsius equales de \({25 \over 42}\) denariorum secundi. 196 Quare inveniendi sunt duo numeri quorum \({27 \over 28}\) unius sint \({25 \over 42}\) alterius, qui inveniuntur sic: multiplicentur²³¹ 28 per 25 et 42 per 27; sed quia 28 et 42 dividuntur integraliter per 7, multiplica tantum \({1 \over 7}\) de 28, scilicet 4, per 25, et \({1 \over 7}\) de 42, scilicet 6, per 27: erunt 100 et 162. 197 Adde quidem super 100 petitionem quam primus petit secundo, scilicet \({1 \over 3}\) de 162, que est 54: erunt 154, que²³² cum debeant esse 14, divides 154 per 14; erunt 11, in quibus²³³ divide 100 et 162: exibunt pro denariis primi hominis \({1 \over 11}\) 9 et pro denariis secundi \({8 \over 11}\) 14, ut per elchataym invenimus.

198 Item aliter: pone 14 super \({1 \over 3}\) et 17 super \({1 \over 4}\) et multiplica 3 per 4 et extrahe inde semel 1²³⁴ que sunt super virgulas²³⁵ cum homines sint pares, secundum quod diximus in regula

17 14 \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\)

²³⁶ emptionis equi: remanent 11, que²³⁷ serva. Et extrahe 1 quod est super 3 ex ipsis 3; remanent 2, que multiplica per 14: faciunt 28, de quibus tolle 3 que sunt a 14 usque 17 multiplicata per unum quod est super 3, cum 17 sit plus quam 14, et si esset minus adderes: 199 remanent 25, que²³⁸ multiplica per 4 que sunt sub virga; erunt 100, que divide per 11: exibunt \({1 \over 11}\) 9 pro denariis primi. Rursus extrahe 1 quod est super 4 de 4: remanent 3; que multiplica per 17 et adde 3 multiplicata per 1 quod est²³⁹ super 4 propter 3 que sunt a 14 usque in 17: erunt 54, que multiplica per 3; erunt 162, que divide per 11: exibunt \({8 \over 11}\) 14 pro denariis secundi hominis.

200 Aliter promptius²⁴⁰: pone secundum habere rem. Quare primus habet 14 minus tertia rei quam querit secundo; de quibus secundus petit primo quartam, scilicet denarios \({1 \over 2}\) 3 minus quarta tertie rei, et sic habebit rem minus \({1 \over 12}\) <rei> et denarios \({1 \over 2}\) 3 que equantur 17. Quare extrahe \({1 \over 2}\) 3 de 17: remanent \({1 \over 2}\) 13, que equantur \({11 \over 12}\) unius rei. Quare multiplica 12 per \({1 \over 2}\) 13 et divide per 11 ut reintegretur res: exibunt \({8 \over 11}\) 14, et tot habet secundus. Quorum tertia, scilicet \({10 \over 11}\) 4, extrahe de 14: remanent \({1 \over 11}\) 9 pro denariis primi.