378 De bursa a tribus hominibus reperta

Item tres homines denarios habentes, qui bursam denariorum invenerunt; quorum primus dixit ceteris: si daretis mihi bursam denariorum, cum denariis quos habeo haberem bis tantum quam vos. Secundus, habitis denariis burse, preponit se habere⁷¹⁰ ter tantum reliquis⁷¹¹. Tertius, si bursam habuerit, quater tantum duobus reliquis se habere affirmat. Queritur quot unusquisque habebat et quot in bursa reperierunt.

379 Quia primus, habita bursa, preponit bis tantum aliis habere, ergo si primus habet 2 cum bursa, alii habent 1; ergo inter omnes habent 3. Ergo primus, habita bursa, habet \({2 \over 3}\) totius summe cunctorum trium hominum denariorum et burse. Eademque ratione secundus homo eiusdem summe habet \({3 \over 4}\) et tertius habet \({4 \over 5}\). 380 Quare videndum est de \({4 \over 5}\) \({3 \over 4}\) \({2 \over 3}\) in quo reperiantur numero, videlicet in 60; accipe ergo \({2 \over 3}\) de 60, que sunt 40, et \({3 \over 4}\) que sunt 45 et \({4 \over 5}\) que sunt 48 et adde insimul: erunt 133, qui numerus magis est integro⁷¹², scilicet de 60; et hoc contingit propter denarios burse qui ter computantur in prescripta summa, videlicet cum unoquoque ipsorum. 381 Et cum non sit computanda nisi tantum semel, manifestum est quod computatur bis plus quam debeat; ergo illud

primus 7 secundus 17 tertius 23 bursa 73

⁷¹³ superfluum quod est a 60 usque in 133, quod est 73, est duplum denariorum burse. Quare dividenda sunt 73 per 2 aut 60 per 2 multiplicanda. Sed melius est ut multiplicetur 60 per 2 quam dividere 73 per 2, ideo quia 73 non potest dividi per 2 absque fractione. 382 Ascendit enim multiplicatio de 2 in 60 in 120, que erunt summa cunctorum denariorum et⁷¹⁴ burse, et 73 erunt pro quantitate denariorum burse. Et quia primus \({2 \over 3}\) totius summe cum bursa amplectitur, scilicet de 120, ipsum denarios 80 habere non dubitatur. De quibus extractis denariis burse, scilicet 73, remanent 7, et tot habuit primus. Item accipe \({3 \over 4}\) de 120: erunt 90, de quibus extrahe 73: remanent 17, et tot habuit alter. Rursus sume \({4 \over 5}\) de 120, que sunt 96, et extrahe inde 73: remanent 23, et tot habuit tertius.

383 Aliter: quia primus cum bursa habet \({2 \over 3}\) totius summe, reliquis duobus \({1 \over 3}\) eiusdem summe remanere necesse est. Iterum cum secundus cum bursa \({3 \over 4}\) totius summe detineat, reliquis \({1 \over 4}\) eiusdem summe remanere non dubitatur. Rursus cum tertius homo habeat \({4 \over 5}\), et reliqui habent \({1 \over 5}\). Quare inveniendus est numerus in quo reperiantur \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\), hoc est 60. 384 Pone igitur ut summa denariorum trium hominum et burse sit 60, quorum \({1 \over 3}\), scilicet 20, habent inter secundum et tertium, et \({1 \over 4}\), scilicet 15, habent inter tertium et primum, et \({1 \over 5}\) eiusdem summe, scilicet 12, habent inter primum et secundum; et sic, unoquoque bis computato, habent inter omnes denarios 47. Quare sit summa ipsorum et burse duplum de 60, scilicet 120⁷¹⁵, et eorum summa erit 47. 385 Et quia secundus et tertius homo habent \({1 \over 3}\) ex ipsis 120, scilicet 40, et inter omnes habent 47, residuum quod est a 40 in 47, scilicet 7, habet primus homo. Similiter, si auferatur \({1 \over 4}\) et \({1 \over 5}\)⁷¹⁶ de 120 a 47, remanebunt 17 pro denariis secundi et 23 pro denariis tertii, ut superius invenimus. Nam additis 7 et 17 et 23, reddunt 47, ut pro eorum summa invenimus.

386 De bursa, cum in ipsa reperiatur aliqua denominata quantitas

Nam si dixerit quod in bursa inventa sit aliqua quelibet denariorum quantitas, ut dicamus 23. Quia

bursa tertius secundus primus 73 23 17 28 23

⁷¹⁷ denarii burse inventi sunt esse 73, quos esse vis 23⁷¹⁸, pone 23 sub 73, scilicet bursa sub bursa, et post 73 pone denarios trium hominum, ut in margine cernitur; et multiplicabis 23, scilicet bursam⁷¹⁹, per 7 de bursa et divide per 73, et habebis denarios primi. Item multiplica 17 per 23 et divide per 73, et habebis denarios secundi. Rursus multiplica 23 per 23 et divide per 73, et habebis denarios tertii hominis.

387 De bursa a quattuor hominibus inventa

Item si proponantur homines esse quattuor, et primus, habita bursa, preponat habere ter tantum reliquis, secundus quater tantum, tertius quinquies tantum, et quartus, habita videlicet bursa, sexies⁷²⁰ tantum reliquis habere affirmet.

Per superiorem regulam invenies quia primus cum bursa habet \({3 \over 4}\) totius summe et reliquis remanet \({1 \over 4}\)⁷²¹, et secundus habet \({4 \over 5}\) et reliquis remanet \({1 \over 5}\), et tertius habet \({5 \over 6}\) et reliquis remanet \({1 \over 6}\), et quartus habet cum eadem bursa \({6 \over 7}\) et aliis remanet \({1 \over 7}\). 388 Unde secundum prime regule considerationem videndum est de \({6 \over 7}\) \({5 \over 6}\) \({4 \over 5}\) \({3 \over 4}\) in quo reperiantur numero, scilicet in 420, que pone pro summa denariorum ipsorum et burse; de quibus accipe \({3 \over 4}\), scilicet 315, et \({4 \over 5}\) que sunt 336, et \({5 \over 6}\) que sunt 350, et \({6 \over 7}\) que sunt 360 et adde insimul; erunt 1361, de quibus extrahe 420: remanent 941. 389 Et quia homines sunt 4, et semper cum unoquoque ipsorum computatur bursa, ergo bursa computatur quater in prescriptis 1361, cum non sit nisi semel computanda; ergo computatur ter amplius quam debeat. Unde multiplica 420 per 3: erunt 1260, que sunt summa denariorum quattuor hominum et burse, et 941 erunt denarii burse. 390 Accipe

bursa 941 primus 4 secundus 67 tertius 109 quartus 139

⁷²² ergo \({3 \over 4}\)⁷²³ de 1260: erunt 945, et tot habet primus homo cum bursa⁷²⁴; et extrahe inde 941: remanent 4, et tantum habuit primus. Item accipe \({4 \over 5}\) de 1260, que sunt 1008, et extrahe inde 941: remanent 67, et tot habuit alter. Rursus accipe⁷²⁵ \({5 \over 6}\) de 1260, que sunt 1050; extrahe inde 941: remanent 109, et tot habuit tertius. Et adhuc accipe \({6 \over 7}\) de 1260, que sunt 1080, et extrahe inde 941: remanent 139, et tot habuit quartus.

391 Illud idem reperies si feceris secundum aliam regulam, videlicet ut \({1 \over 7}\) \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) que remanent tribus hominibus per ordinem accipias de 420: erunt 319, que sunt summa denariorum quattuor hominum, quam extrahe de 1260 superius reperta: remanent 941 que sunt bursa. Et accipe quartam de 1260, que est 315, et extrahe de 319: remanent 4, et tot habuit primus. 392 Item accipe \({1 \over 5}\) de 1260, que est 252, et extrahe de 319: remanent 67, et tot habuit secundus. Iterum sume \({1 \over 6}\) de 1260, que est 210, et extrahe de 319: remanent 109, et tot habuit tertius. Rursus sume \({1 \over 7}\) de 1260, et extrahe de 319: remanent 139, et tot habuit quartus, ut superius per primam regulam invenisti.

393 De bursa a⁷²⁶ quinque hominibus reperta

Item si proponatur quod homines sint 5, et primus habita bursa proponat se habere bis tantum et dimidium reliquis; et alter, si habuerit bursam, preponat se habere ter tantum et tertiam reliquis; tertius quoque quater tantum et quartam; quartus vero quinquies tantum et quintam; quintus autem cum eadem bursa sexies tantum et sextam habere affirmat.

394 Secundum suprascriptam materiam, cum primus cum bursa habeat bis tantum et dimidium⁷²⁷ reliquis, ergo si ipse cum bursa habuerit \({1 \over 2}\) 2, et omnes reliqui habebunt 1; ergo si ipse habuerit 5, et reliqui habebunt 2. Ergo inter omnes habent 7, de quibus cum primus cum bursa habeat 5, nimirum \({5 \over 7}\) totius summe inter ipsum et bursam habere demonstratur. 395 Quare reliquis quattuor hominibus \({2 \over 7}\) eiusdem summe remanere non dubitatur. Eadem itaque ratione si de secundo homine prospexeris, ipsum cum bursa \({10 \over 13}\) totius summe habere et reliquis \({3 \over 13}\) remanere reperies. Quod idem si de tertio cerneris, ipsum cum bursa \({17 \over 21}\) totius summe habere et reliquis \({4 \over 21}\) eiusdem summe remanere cognosces. Et si de quarto inspexeris, ipsum cum bursa habere \({26 \over 31}\) et reliquis \({5 \over 31}\) remanere non dubitabis⁷²⁸. 396 Nam si eodem modo de quinto homine inspicere procuraveris, ipsum cum bursa \({37 \over 43}\) totius summe habere et reliquis quattuor hominibus \({6 \over 43}\) eiusdem summe remanere invenies. Quare videndum est de \({37 \over 43}\) \({26 \over 31}\) \({17 \over 21}\) \({10 \over 13}\) \({5 \over 7}\) in quo numero reperiantur. 397 Quod si secundum nostrum magisterium, scilicet nostrarum figurarum invenire volueris, multiplica 7 que sunt sub 5 per 13: erunt 91, que cum debeas multiplicare per 21, relinque 7 que sunt in regula de 21 propter ipsa 7 que modo multiplicasti per 13, et multiplicabis 91 per 3 que remanent in regula de 21: erunt 273, que per 31 et per 43: erunt 363909, de quibus accipe \({5 \over 7}\) et \({10 \over 13}\) et \({17 \over 21}\) et \({26 \over 31}\) et \({37 \over 43}\).

398 Quas si iterum magistraliter secundum eandem artem accipere volueris, describe minuta prescripta per ordinem sic

313131 305214 294593 279930 259935 \({37 \over 43}\) \({26 \over 31}\) \({17 \over 21}\) \({10 \over 13}\) \({5 \over 7}\)

⁷²⁹ et multiplica 5 que sunt super 7 per 13: erunt 65, que multiplica tantum per 3 que sunt in regula de 21, quia non oportet repetere 7 que sunt in regula de 21 propter ipsa 7 que sunt sub 5 a quibus incepisti modo multiplicare; et sic 65 per 3 multiplicata reddunt 195, que per 31 et per 43: erunt 259935, que sunt \({5 \over 7}\) ipsius prescripti numeri; que ponantur super \({5 \over 7}\), sicuti superius cernuntur esse descripti. 399 Iterum multiplica 10 que sunt super 13 per 21, que per 31 et per 43: erunt 279930, que relinquuntur ut non multiplicentur per 7 que sunt sub 5 propter ipsa 7 que sunt in regula de 21; et describantur 279930 super \({10 \over 13}\). 400 Rursus multiplica 17 que sunt super 21 per 31 et per 43 et per 13, et relinquetur⁷³⁰ quod non multiplicabuntur per 7 que sunt sub 5: erunt 294593, que pone super \({17 \over 21}\). Item multiplica 26 que sunt super 31 per 43 et per 21 et per 13: erunt 305214, que pone super \({26 \over 31}\). 401 Et⁷³¹ adhuc multiplica 37 que sunt super 43 per 31 et per 21 et per 13: erunt 313131, que pone super \({37 \over 43}\) et adde 259935 cum 279930 et cum 294593 et cum 305214 et cum 313131; erunt 1452803, de quibus extrahe 363909: remanent 1088894, que sunt quantitas denariorum burse. 402 Et quia homines sunt 5, bursa computatur quater magis quam oportet; quare multiplicanda sunt 363909 per 4: erunt 1455636, que sunt summa burse et denariorum quinque hominum. Et quia primus habet \({5 \over 7}\) totius summe, accipe \({5 \over 7}\) de 1455636, que sunt 1039740, et tot habent inter primum et bursam.

403 Sed quia superius magis in bursa repertum est quam id quod inter bursam et primum hominem habent, aut positio huius questionis indissolubilis erit, aut primus homo debitum habebit, illud videlicet quod deest a summa denariorum ipsius et burse usque ad summam denariorum burse, scilicet id quod est a 1039740 usque in 1088894, quod est 49154. 404 Item accipe \({10 \over 13}\) de 1455636, que sunt 1119720, et tot habuit inter

bursa 1088894 debitum primi hominis 49154 bizantii secundi 30826 tertii 89478 quarti 131962 quinti 163630

⁷³² secundum hominem et bursam; de quibus extractis denariis burse, scilicet 1088894, remanent 30826, et tot habuit secundus. Iterum accipe \({17 \over 21}\) de 1455636, que sunt 1178372; de quibus extrahe denarios burse: remanent 89478, et tot habuit tertius. 405 Rursus accipe \({26 \over 31}\) de 1455636, que sunt 1220856; de quibus extrahe denarios burse, scilicet 1088894: remanent 131962, et tot habuit quartus. Et adhuc accipe \({37 \over 43}\) de 1455636, que sunt 1252524; de quibus extrahe 1088894: remanent 163630, et tot habuit quintus⁷³³.

406 ^[3] Tres homines habent denarios⁷³⁴ et invenerunt bursam denariorum; quorum primus cum bursa excedit secundum in duplo, secundus tertium in triplo, tertius primum in quadruplo. Queritur quot unusquisque habuit et quot reperierunt in bursa.

Pro duplo pone \({1 \over 2}\), scilicet partem quam habet secundus ex denariis primi et burse. Et pro triplo pone \({1 \over 3}\), quam partem habet tertius homo ex denariis secundi et burse. 407 Similiter pro quadruplo pone \({1 \over 4}\) post \({1 \over 3}\) \({1 \over 2}\) sic: \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) \({1 \over 2}\); nam \({1 \over 4}\) est pars quam primus homo habet ex denariis tertii hominis et burse. Deinde multiplica 2 per 3, que per 4; erunt 24, de quibus tolle 1 quod oritur ex multiplicatione de 1 quod est super 2 in 1 quod est super 3 ducta in 1 quod est super 4: remanebunt 23 pro denariis burse. 408 Deinde accipe \({1 \over 4}\) de 24, que est 6, cum quibus adde tertiam eorum, scilicet 2; erunt 8, cum quibus adde \({1 \over 2}\) ipsorum⁷³⁵, scilicet 1, et tot denarios habet primus. Quos adde cum denariis burse, scilicet cum 23 erunt 32, quorum \({1 \over 2}\), scilicet denarios 16, habet secundus; cum quibus addita bursa erunt 39, quorum \({1 \over 3}\), scilicet 13, habet tertius.

409 Aliter: positis \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) \({1 \over 2}\), multiplica 1 quod est super 4 per 3 que sunt sub virga, que per 2: erunt 6, et hoc est accipere quartam de 24. Item 1 quod est super 4 multiplica per 1 quod est super 3, quod per 2 que sunt sub virga: erunt 2, que sunt \({1 \over 3}\) quam accepimus superius de 6, que fuerunt \({1 \over 4}\) de 24. Rursus multiplica 1 quod est super 4 per 1 quod est super 3, quod per 1 quod est super 2: erit 1, et hoc est accipere \({1 \over 2}\) de 2 que fuerunt \({1 \over 3}\) de 6. Adde ergo 6 et 2 et 1: erunt 9, scilicet denarii primi hominis. 410 Possumus etiam hec promtius invenire, videlicet 1 quod est super 4 multiplica per 3 et superadde multiplicationem eiusdem 1 in 1 quod est super 3, hoc est multiplica 1 quod est super 4 per 3 et adde⁷³⁶ 1⁷³⁷; erunt 4, que multiplica per 2 que sunt sub virga: erunt 8, quibus adde multiplicationem de 1 quod est super 4 in 1 quod est super 3, ductam in 1 quod est super 2; erunt similiter 9. 411 Deinde ut secundum hunc modum invenias denarios aliorum, redige \({1 \over 2}\) ad sinistram sic: \({1 \over 2}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\); et multiplica 1 quod est super 2 per 5, scilicet per coniunctionem⁷³⁸ de 4 cum 1 quod est super ipsa 4; erunt 5, que multiplica per 3; erunt 15, quibus superadde 1 quod provenit ex ducto 1 quod est super 2 in 1 quod est super 4, quod in 1 quod est super 3: erunt 16, ut pro denariis secundi hominis invenimus. 412 Vel accipe \({1 \over 2}\) de 24 et \({1 \over 4}\) ipsius medietatis et \({1 \over 3}\) ipsius quarte, et habebis similiter 16. Item redige \({1 \over 3}\) ab alio capite sic: \({1 \over 3}\) \({1 \over 2}\) \({1 \over 4}\), et fac ut fecisti in inventione denariorum reliquorum hominum, et habebis 13 pro denariis tertii hominis.

413 Et si primus cum bursa excedat secundum in duplo et in dimidio eius, et secundus cum bursa excedat tertium hominem in triplo et in tertia eius, et tertius homo cum bursa excedat primum in quadruplo et eius quarta.

Quia cum primus cum bursa excedit secundum in duplo eius et dimidio, ergo si primus cum bursa habet \({1 \over 2}\) 2, secundus quidem habet 1; quare si primus cum bursa habet duplum de \({1 \over 2}\) 2, scilicet 5, secundus habebit 2. 414 Ergo denarii secundi sunt \({2 \over 5}\) denariorum primi et burse. Similiter invenies tertium hominem habere \({3 \over 10}\) denariorum secundi et burse, et primum habere \({4 \over 17}\) denariorum tertii hominis et burse. Quare pones in ordinem \({4 \over 17}\) \({3 \over 10}\) \({2 \over 5}\); et multiplicabis 5 per 10, que per 17; erunt 850, et 2 per 3, que per 4; erunt 24, que extrahes de 850: remanent 826 pro denariis burse. 415 Post hec multiplica 4 per 10 et per 3, hoc est per 13 in una multiplicatione: erunt 52, que multiplica per 5 et adde multiplicationem de 4 in 3 ductam in 2: erunt 284, et tot habuit primus. 416 Deinde redige \({2 \over 5}\) post \({4 \over 17}\) sic: \({2 \over 5}\) \({4 \over 17}\) \({3 \over 10}\), et multiplica 2 per 21, scilicet per coniuncta de 17 cum 4; erunt 42, que multiplica per 10 et adde 24, scilicet bis 4 ter pro 2 et 4 et 3 que sunt super virgas: erunt 444, et tot habuit secundus. Vel accipe \({2 \over 5}\) de denariis primi et burse. Deinde redige \({3 \over 10}\) post \({2 \over 5}\) sic: \({3 \over 10}\) \({2 \over 5}\) \({4 \over 17}\) et operare⁷³⁹ ut supra, et habebis 381 pro denariis tertii hominis. Vel de denariis secundi et burse accipe \({3 \over 10}\).

417 Item homines sint quattuor, et denarii primi et burse sint duplum denariorum secundi, denarii quoque secundi et burse sint triplum denariorum tertii hominis, denarii autem tertii hominis et burse sint quadruplum denariorum quarti homini, denarii quidem quarti hominis et burse sint quintuplum denariorum primi.

418 Quia primus cum bursa excedit secundum in duplo, erunt denarii secundi hominis \({1 \over 2}\) denariorum primi et burse. Similiter ex his que posita sunt, denarii tertii hominis sunt \({1 \over 3}\) denariorum secundi et burse, et denarii quarti hominis sunt \({1 \over 4}\) denariorum tertii hominis et burse. Nam et denarii primi hominis sunt \({1 \over 5}\) denariorum quarti hominis et burse. 419 Quare pone in ordinem \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) \({1 \over 2}\) et multiplica numeros qui sunt sub virgis in se; erunt 120, de quibus tolle 1 quod provenit ex multiplicatione unitatum que sunt super virgas⁷⁴⁰ in se: erunt 119 pro denariis burse. Post hec accipe \({1 \over 5}\) de 120; erunt 24, de quibus accipe \({1 \over 4}\); erunt 6, de quibus accipe \({1 \over 3}\); erunt 2, de quibus accipe \({1 \over 2}\); erit 1, quos quattuor numeros insimul iunge⁷⁴¹: reddent 33 pro denariis primi hominis. 420 Vel multiplica 1 quod est super 5 per 4, que per 3, que per 2: erunt 24, quod idem est accipere quintam de dictis 120. Item multiplicabis 1 quod est super 5 per 1 quod est super 4, quod per 3, que per 2: erunt 6, quod idem est accipere quartam de dictis 24. Rursus 1 quod est super 5 per 1 quod est super 4, quod per 1 quod est super 3, quod per 2: erunt 2, quod idem est accipere \({1 \over 3}\) de dictis 6. 421 Et adhuc 1 quod est super 5 per 1 quod est super 4, quod per 1 quod est super 3, quod per 1 quod est super 2: erit⁷⁴² 1, quod idem est accipere \({1 \over 2}\) de dictis 2, que fuerunt \({1 \over 3}\) de 6. Adde 24 cum 6 et cum 2 et cum 1: erunt similiter 33. Que potes promtius reperire, videlicet multiplica 1 quod est super 5 per 4, et adde multiplicationem eiusdem 1 in 1 quod est super 4, 422 et hoc est sicut⁷⁴³ multiplicare 1 quod est super 5 in 4 et in 1, scilicet in 5 in una multiplicatione; erunt 5, que multiplica per 3 et adde multiplicationem de 1 quod est super 5 in 1 quod est super 4, quod in 1⁷⁴⁴ quod est super 3; erunt 16, que multiplica per 2, et adde multiplicationem quattuor unitatum que sunt super virgulas: erunt similiter 33. 423 Deinde redige \({1 \over 2}\) in capite linee ruptorum sic: \({1 \over 2}\) \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\), et operaberis cum ruptis incipiendo a \({1 \over 2}\) sicuti superius fecisti incipiendo a \({1 \over 5}\); videlicet accipies \({1 \over 2}\) de 120, scilicet 60, de quibus accipies \({1 \over 5}\), videlicet 12, de quibus accipe \({1 \over 4}\), scilicet 3, de quibus accipe \({1 \over 3}\), videlicet⁷⁴⁵ 1, et iunge insimul: erunt 76, et tot habet secundus. 424 Vel aliter: denarios primi, scilicet 33, cum denariis burse iunge, scilicet cum 119: erunt 152, quorum medietatem, scilicet 76, habet secundus. Rursus pone \({1 \over 3}\) in principio linee sic: \({1 \over 3}\) \({1 \over 2}\) \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\), et operaberis ut supra incipiendo a \({1 \over 3}\) de 120, et habebis 65 pro denariis tertii hominis. Vel ex denariis secundi et burse accipe tertiam partem. Iterum pone in principio linee \({1 \over 4}\) sic: \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) \({1 \over 2}\) \({1 \over 5}\) et invenies denarios quarti ordine suprascripto esse 46, qui sunt quarta de denariis tertii et burse.

425 Procedit enim suprascripta inventio denariorum primi et burse ex proportione quam habent ad invicem; que proportio invenitur sic. Quoniam primus cum bursa habet bis tantum quam secundus, medietas primi et burse est quantum denarii secundi. Secundum hanc consimilem considerationem invenies \({1 \over 3}\) denariorum secundi et burse esse quantum denarii tertii hominis, et \({1 \over 4}\) denariorum tertii hominis et burse esse quantum denarii⁷⁴⁶ quarti hominis, et \({1 \over 5}\) denariorum quarti et burse esse quantum denarii⁷⁴⁷ primi hominis. 426 Et quoniam medietas denariorum primi et burse est quantum denarii secundi, tertia pars medietatis denariorum primi et burse, scilicet \({1 \over 6}\) eorum, sunt \({1 \over 3}\) denariorum secundi. Comuniter adiungatur \({1 \over 3}\) burse: erit \({1 \over 6}\) denariorum primi cum \({1 \over 6}\) et \({1 \over 3}\), scilicet cum \({1 \over 2}\) burse, quantum \({1 \over 3}\) denariorum secundi cum \({1 \over 3}\) denariorum burse; que \({1 \over 3}\) denariorum secundi cum \({1 \over 3}\) denariorum burse sunt quantum denarii tertii hominis. 427 Quare \({1 \over 6}\) denariorum primi cum \({1 \over 2}\) denariorum burse sunt quantum denarii tertii hominis. Quare \({1 \over 4}\) sexte partis denariorum primi, scilicet \({1 \over 24}\), cum \({1 \over 4}\) medietatis burse, videlicet \({1 \over 8}\), sunt quantum⁷⁴⁸ quartum denariorum tertii hominis. 428 Comuniter adiungatur \({1 \over 4}\) denariorum burse: erit \({1 \over 24}\) denariorum primi cum \({1 \over 8}\) et \({1 \over 4}\) scilicet cum \({3 \over 8}\) denariorum burse, quantum \({1 \over 4}\) denariorum tertii cum \({1 \over 4}\) denariorum burse, que \({1 \over 4}\) denariorum tertii et burse sunt quantum⁷⁴⁹ denarii quarti hominis; ergo \({1 \over 24}\) denariorum primi cum \({3 \over 8}\) denariorum burse sunt quantum⁷⁵⁰ denarii quarti hominis. 429 Quare \({1 \over 5}\) de \({1 \over 24}\), scilicet \({1 \over 120}\) denariorum primi, cum \({1 \over 5}\) de \({3 \over 8}\), videlicet cum \({3 \over 40}\) denariorum burse, sunt quantum \({1 \over 5}\) denariorum quarti. Comuniter adiungatur \({1 \over 5}\) denariorum burse: erit \({1 \over 120}\) denariorum primi cum \({3 \over 40}\) et \({1 \over 5}\), videlicet cum \({11 \over 40}\) denariorum burse, quantum \({1 \over 5}\) denariorum quarti et burse; que \({1 \over 5}\) denariorum quarti et burse est quantum denarii primi hominis. 430 Quare \({1 \over 120}\) denariorum primi cum \({11 \over 40}\) burse sunt quantum denarii primi hominis. Comuniter auferatur \({1 \over 120}\) denariorum primi: remanebunt \({11 \over 40}\) denariorum burse quantum \({119 \over 120}\) denariorum primi. Quare reperti sunt superius duo numeri, scilicet 119 et 33, ex quibus \({11 \over 40}\) de 119 sunt \({119 \over 120}\) de 33. Nam modus reperiendi duos numeros ex quibus \({11 \over 40}\) unius sint \({119 \over 120}\) alterius hic est: invenitur numerus qui dividatur integraliter per 40 et per 120, qui numerus est 120, de quo accipitur \({11 \over 40}\), que sunt 33, et \({119 \over 120}\), que sunt 119; et sunt postea \({119 \over 120}\) de 33 quantum \({11 \over 40}\) de 119, quia \({11 \over 40}\) de \({119 \over 120}\) unius numeri est quantum \({119 \over 120}\) de \({11 \over 40}\) eiusdem numeri. 431 Accepimus enim superius \({119 \over 120}\) de 120, cum ex multiplicatione numerorum qui sunt sub virgulis de \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) \({1 \over 2}\) extraximus multiplicationem unitatum que sunt super virgulas. Similiter accepimus \({11 \over 40}\) de 120 cum iunximus 24 que sunt \({1 \over 5}\) de 120 cum 6 que sunt \({1 \over 20}\) eiusdem et cum 2 que sunt \({1 \over 60}\) et⁷⁵¹ cum 1 quod est \({1 \over 120}\). Nam \({1 \over 120}\) \({1 \over 60}\) \({1 \over 20}\) \({1 \over 5}\) insimul iunctis faciunt \({11 \over 40}\).

432 Et si denarii primi hominis et burse excedant⁷⁵² denarios secundi in duplo et eorum dimidio, et denarii secundi et burse excedant denarios tertii in triplo et eorum tertia, et denarii similiter tertii hominis et burse excedant denarios quarti in quadruplo et quarta, et denarii quarti et burse excedant denarios primi in quincuplo et eorum quinta.

433 Invenies siquidem per ea que supra diximus denarios secundi esse \({2 \over 5}\) denariorum primi et burse, et denarios tertii hominis esse \({3 \over 10}\) denariorum secundi et burse, et denarios quarti hominis esse \({4 \over 17}\) denariorum tertii hominis et burse, et adhuc reperies denarios primi esse \({5 \over 26}\) denariorum quarti hominis et burse. 434 Quare pone \({5 \over 26}\) \({4 \over 17}\) \({3 \over 10}\) \({2 \over 5}\) ex parte et multiplica 26 per 17, que per 10, que per 5 que sunt sub virgis; erunt 22100, de quibus extrahe multiplicationem de 5 in 4, quam in 3, quam in 2 que sunt super⁷⁵³ virgas, scilicet⁷⁵⁴ 120: remanebunt 21980 pro denariis burse. 435 Post hec multiplica 5 que sunt super 26 per 17 et per 4, hoc est per 21; erunt 105, que multiplica per 10 et adde 5 vicibus 4 vicibus 3, scilicet 60; erunt 1110, que multiplica per 5 que sunt sub prima virga et superadde multiplicationem de 5 que sunt super 26 in 4, quam in 3, quam in 2, scilicet 120: erunt denarii 5670, et tot habuit primus homo. 436 Deinde redige \({2 \over 5}\) post \({5 \over 26}\) sic: \({2 \over 5}\) \({5 \over 26}\) \({4 \over 17}\) \({3 \over 10}\) et incipias a \({2 \over 5}\) procedens ordine suprascripto, et invenies denarios secundi hominis esse⁷⁵⁵ 11060. Postea redige \({3 \over 10}\) post \({2 \over 5}\) sic: \({3 \over 10}\) \({2 \over 5}\) \({5 \over 26}\) \({4 \over 17}\) et operare ut supra, et habebis pro denariis tertii hominis⁷⁵⁶ 9912. Ad ultimum quidem redige \({4 \over 17}\) post \({3 \over 10}\) sic: \({4 \over 17}\) \({3 \over 10}\) \({2 \over 5}\) \({5 \over 26}\) et fac ut supra, scilicet multiplica 4 que sunt super 17 per 13 que per 5, et adde 4 vicibus 3 vicibus 2, que omnia per 26 et adde 120 suprascripta: erunt 7504, et tot habuit quartus homo. Et sic⁷⁵⁷ secundum hunc modum procedas si homines fuerint plures quam 4.

437 Item quattuor homines quattuor invenerunt bursas denariorum, in secunda quarum erant denarii 3 plus quam in prima, in tertia 7, in quarta 13. Et primus cum prima bursa habet bis tantum quam secundus, secundus cum secunda ter tantum quam tertius, tertius cum tertia quater tantum quam quartus, quartus cum quarta quinquies tantum quam primus. Queritur quot unusquisque habuit et quot in unaquaque bursa repertum fuit, et fiant omnes numeri in integrum.

438 Pones ratione suprascripta⁷⁵⁸ \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) \({1 \over 2}\), et super \({1 \over 2}\) pones 0, in quo

13 7 3 0 \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) \({1 \over 2}\)

⁷⁵⁹ prima bursa excedit se ipsam. Super \({1 \over 3}\) pones 3, super \({1 \over 4}\) pone 7, super \({1 \over 5}\) pone 13, in quibus relique burse excedunt primam. Deinde super medietatem de 0 adde 3 que sunt super \({1 \over 3}\); erunt 3, quorum tertiam partem iunge cum 7 que sunt super \({1 \over 4}\); erunt 8, quorum quartam⁷⁶⁰ iunge cum 13 que sunt super \({1 \over 5}\); erunt 15, quorum quintam⁷⁶¹, scilicet⁷⁶² 3, serva ex parte. 439 Et invenias 120 et 119 et 33 suprascripta, ut in alia antecedente questione fecimus, et divide 119 et 33 per 120: exibunt \({119 \over 120}\) et \({11 \over 40}\). Tunc invenias duos numeros ex quibus \({119 \over 120}\) unius sint 3 plus \({11 \over 40}\) alterius, scilicet ipsa 3 que servata sunt superius; quos duos numeros si inveneris in integrum, habebis in integrum denarios hominum et bursarum. 440 Que in integrum reperiuntur sic: pone ut primus numerus sit 120, de quibus \({119 \over 120}\), scilicet de 119, extrahe 3: remanent 116, de quibus considera si sint \({11 \over 40}\) alicuius numeri integri. Que cum non sint propter 116 que non dividuntur integraliter per 11 que sunt super 40 (nam 116 sunt \({11 \over 40}\) ex numero qui exit ex multiplicatione de 40 in 116 divisa per 11), 441 quare pone pro primo numero⁷⁶³ duplum de 120, vel triplum, vel etiam aliud⁷⁶⁴ quodlibet multiplex, ex quibus \({119 \over 120}\) extractis 3 suprascriptis remaneat numerus qui dividatur integraliter per 11. Quare pone pro primo numero 480, scilicet⁷⁶⁵ quadruplum de 120, quorum \({119 \over 120}\) sunt quadruplum de 119, scilicet 476; de quibus extractis 3, remanent 473, quorum \({1 \over 11}\), scilicet 43, multiplica per 40: erunt 1720, qui est alius numerus. 442 Ergo primus habet 480 et in prima bursa reperierunt 1720. Quare in secunda fuerunt 1723, in tertia 1727, in quarta 1733; cum quibus bursis et cum denariis primi invenies secundum hominem habere 1100, tertium 941, quartum 667.

443 Procedit enim hec regula ex inventione proportionis quam habent denarii primi ad denarios prime burse sic. Quia primus cum prima bursa habet bis tantum quam secundus, medietas denariorum primi et prime burse sunt quantum denarii secundi. Similiter invenies \({1 \over 3}\) denariorum secundi et secunde burse esse quantum denarii⁷⁶⁶ tertii hominis, et \({1 \over 4}\) tertii et tertie burse esse quantum denarii quarti hominis, et \({1 \over 5}\) quarti hominis et quarte burse⁷⁶⁷ esse quantum denarii primi. 444 Et quoniam \({1 \over 2}\) primi et prime burse est quantum denarii secundi, \({1 \over 3}\) medietatis, scilicet \({1 \over 6}\)⁷⁶⁸ primi et prime burse, est quantum \({1 \over 3}\) denariorum secundi. Comuniter addatur \({1 \over 3}\) secunde burse, que est denarius 1 plus tertia parte prime burse, quod 1 est illud quod habuimus superius cum accepimus \({1 \over 3}\) de 3⁷⁶⁹ que sunt super \({1 \over 3}\) in questione. 445 Erit tunc \({1 \over 6}\) denariorum primi cum \({1 \over 6}\) et \({1 \over 3}\), scilicet \({1 \over 2}\), prime burse et cum denario 1, quantum est \({1 \over 3}\) secundi et secunde burse. Nam \({1 \over 3}\) secundi et secunde burse est quantum sunt denarii tertii hominis. Quare \({1 \over 6}\) denariorum primi cum \({1 \over 2}\) prime burse et cum denario 1 sunt quantum sunt denarii tertii hominis. Quare \({1 \over 4}\) de \({1 \over 6}\), scilicet \({1 \over 24}\) denariorum primi, et \({1 \over 4}\) de \({1 \over 2}\), scilicet \({1 \over 8}\) prime burse, cum \({1 \over 4}\) unius denarii, sunt quantum \({1 \over 4}\) denariorum tertii hominis. 446 Comuniter adiungatur \({1 \over 4}\) tertie burse, que est denarius \({3 \over 4}\) 1 plus quarta parte prime burse. Tunc \({1 \over 24}\) primi, et \({1 \over 8}\) et \({1 \over 4}\), scilicet \({3 \over 8}\) prime burse, cum \({1 \over 4}\) unius denarii et cum denariis⁷⁷⁰ \({3 \over 4}\) 1, scilicet cum denariis 2, erunt quantum est \({1 \over 4}\) tertii hominis et tertie burse. Nam \({1 \over 4}\) tertii hominis et tertie burse est quantum sunt⁷⁷¹ denarii quarti hominis, ergo \({1 \over 24}\) denariorum primi et \({3 \over 8}\) prime burse cum denariis 2 sunt quantum denarii quarti hominis. 447 Sunt quidem suprascripti denarii 2 illi⁷⁷² quos habuimus superius, cum accepimus \({1 \over 4}\) de 8⁷⁷³ que⁷⁷⁴ habuimus ex coniunctione⁷⁷⁵ de 1 quod fuit \({1 \over 3}\) de 3 cum 7 in quibus tertia bursa excedit primam. Et quoniam \({1 \over 24}\) primi et \({3 \over 8}\) prime burse cum denariis 2 sunt quantum denarii quarti hominis, erit \({1 \over 5}\) de \({1 \over 24}\), scilicet \({1 \over 120}\) denariorum⁷⁷⁶ primi, cum \({1 \over 5}\) de \({3 \over 8}\), scilicet cum \({3 \over 40}\) prime burse, et cum \({1 \over 5}\) de denariis 2, scilicet cum \({2 \over 5}\) unius denarii, quantum \({1 \over 5}\) de denariis quarti hominis. 448 Comuniter addatur \({1 \over 5}\) quarte burse, que est \({1 \over 5}\) de denariis 13, scilicet \({3 \over 5}\) 2 plus de \({1 \over 5}\) prime burse. Tunc \({1 \over 120}\) primi et \({3 \over 40}\) et \({1 \over 5}\), scilicet \({11 \over 40}\) prime burse, et \({2 \over 5}\) unius denarii et denarii \({3 \over 5}\) 2 erunt quantum \({1 \over 5}\) denariorum quarti et quarte burse. Nam \({1 \over 5}\) denariorum quarti hominis et quarte burse est quantum denarii primi; ergo \({1 \over 120}\) denariorum primi, et \({11 \over 40}\) prime burse cum denariis 3 sunt quantum denarii primi hominis. 449 Comuniter extrahatur \({1 \over 120}\) denariorum primi: remanebunt \({11 \over 40}\) prime burse cum denariis 3 quantum \({119 \over 120}\) denariorum primi. Unde invenimus superius duos numeros, quorum \({119 \over 120}\) primi sunt 3 plus de \({11 \over 40}\) alterius.

450 Et notandum, si in secunda bursa inventi essent denarii 3, in tertia denarii 7, et in quarta denarii 13 minus quam in prima, sicuti in hac questione inventi sunt plus, eisdem⁷⁷⁷ demonstrationibus invenires quod oporteret⁷⁷⁸ invenire duos numeros ex quibus \({119 \over 120}\) unius essent 3 minus de⁷⁷⁹ \({11 \over 40}\) alterius; et sic haberet primus denarios⁷⁸⁰ 840, qui sunt septies 120, et in prima bursa essent 3040⁷⁸¹, in secunda 3037, in tertia 3033, in quarta 3027; et secundus homo haberet 1940, tertius 1659, quartus 1173. Hee et similes questiones per elcataym solvi non possunt in integrum, nisi fortuitu accideret quod positiones que ponuntur in ipso elcataym essent numeri in quibus in integrum caderent⁷⁸².

451 Et si proponatur quod in prima bursa reperissent denarios 26, in secunda 29, in tertia 34, in

39 34 29 26 \({1 \over 5}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) \({1 \over 2}\)

⁷⁸³ quarta 39, pones 26 super \({1 \over 2}\) et 29 super \({1 \over 3}\) et 34 super \({1 \over 4}\) et 39 super \({1 \over 5}\), et adde \({1 \over 2}\) de 26 cum 29: erunt 42, quorum \({1 \over 3}\), scilicet 14, adde cum 34: erunt 48, quorum \({1 \over 4}\), scilicet 12, adde cum 39: erunt 51⁷⁸⁴, quorum \({1 \over 5}\), scilicet \({1 \over 5}\) 10, multiplica per 120 et divide per 119 superius inventa⁷⁸⁵: exibunt \({2 \over 7}\) 10, et tot habuit primus. 452 Quibus iunctis cum 26 prime burse faciunt \({2 \over 7}\) 36, quorum \({1 \over 2}\), scilicet \({1 \over 7}\) 18, habet secundus; cum quibus iunctis 29 secunde burse erunt \({1 \over 7}\) 47, quorum \({1 \over 3}\), scilicet \({5 \over 7}\) 15, habet tertius; cum quibus iunctis 34 tertie burse faciunt \({5 \over 7}\) 49, quorum \({1 \over 4}\), scilicet \({3 \over 7}\) 12, habet quartus homo.

453 Procedit enim hec regula ex inventione proportionis denariorum burse ad denarios primi hominis sic: manifestum quidem est quod medietas denariorum primi cum denariis 13, qui sunt \({1 \over 2}\) prime burse, sunt quantum denarii secundi. Similiter \({1 \over 3}\) denariorum secundi cum \({1 \over 3}\) secunde burse, scilicet cum denariis⁷⁸⁶ \({2 \over 3}\) 9, sunt quantum denarii tertii. Rursus \({1 \over 4}\) denariorum tertii cum denariis \({1 \over 2}\) 8, scilicet cum \({1 \over 4}\) tertie burse, sunt quantum denarii quarti hominis. Item \({1 \over 5}\)⁷⁸⁷ denariorum quarti hominis cum denariis \({4 \over 5}\) 7, scilicet cum \({1 \over 5}\) quarte burse, sunt quantum denarii primi. 454 Et quoniam \({1 \over 2}\) denariorum primi cum denariis 13 sunt quantum denarii secundi, \({1 \over 3}\) de \({1 \over 2}\), scilicet \({1 \over 6}\) denariorum primi cum \({1 \over 3}\) de⁷⁸⁸ denariis 13, scilicet cum \({1 \over 3}\) 4, sunt quantum \({1 \over 3}\) denariorum secundi. Comuniter adiungantur denarii \({2 \over 3}\) 9: erit \({1 \over 6}\) denariorum primi cum denariis \({1 \over 3}\) 4 et \({2 \over 3}\) 9, scilicet cum 14, quantum \({1 \over 3}\) denariorum secundi cum denariis \({2 \over 3}\) 9. 455 Verum \({1 \over 3}\) denariorum secundi cum denariis \({2 \over 3}\) 9 sunt quantum denarii tertii hominis; ergo \({1 \over 6}\) denariorum primi cum denariis 14 sunt quantum denarii tertii. Quare \({1 \over 4}\) de \({1 \over 6}\), scilicet \({1 \over 24}\) denariorum primi cum \({1 \over 4}\) de denariis 14, scilicet cum \({1 \over 2}\) 3, sunt quantum \({1 \over 4}\) denariorum⁷⁸⁹ tertii. Comuniter adiungantur denarii \({1 \over 2}\) 8: erit \({1 \over 24}\) denariorum primi cum denariis \({1 \over 2}\) 3 et \({1 \over 2}\) 8, scilicet cum denariis 12, quantum \({1 \over 4}\) denariorum tertii cum denariis \({1 \over 2}\) 8. 456 Verum \({1 \over 4}\) denariorum tertii cum denariis \({1 \over 2}\) 8 sunt quantum denarii quarti; <ergo \({1 \over 24}\) denariorum primi cum denariis 12 sunt quantum denarii quarti. Quare \({1 \over 5}\) de \({1 \over 24}\), scilicet \({1 \over 120}\) denariorum primi cum \({1 \over 5}\) denariorum 12, scilicet cum \({2 \over 5}\) 2, sunt quantum \({1 \over 5}\) denariorum quarti>. Comuniter adiungantur denarii \({4 \over 5}\) 7: erit \({1 \over 120}\) denariorum primi cum denariis \({2 \over 5}\) 2 et \({4 \over 5}\) 7, scilicet cum denariis \({1 \over 5}\) 10, quantum \({1 \over 5}\) denariorum quarti cum denariis \({4 \over 5}\) 7. 457 Verum \({1 \over 5}\) denariorum quarti cum denariis \({4 \over 5}\) 7 sunt quantum denarii primi. Similiter et \({1 \over 120}\) denariorum primi cum denariis \({1 \over 5}\) 10 sunt quantum denarii primi. Comuniter auferatur \({1 \over 120}\) denariorum primi, remanebunt \({119 \over 120}\) denariorum ipsius primi quantum denarii⁷⁹⁰ \({1 \over 5}\) 10. Quare reperiendus est numerus ex quo \({1 \over 5}\) 10 sint \({119 \over 120}\), qui reperitur ex multiplicatione de \({1 \over 5}\) 10 in 120 divisa per 119, ut superius fecimus.

458 Et si proponatur quod denariis prime burse multiplicatis per denarios quarte burse faciant multiplicationem denariorum secunde in tertiam, et multiplicatis denariis prime in denariis tertie faciant multiplicationem denariorum secunde in se ipsos, et adhuc multiplicatis denariis secunde cum denariis⁷⁹¹ quarte faciant multiplicationem denariorum tertie in se ipsis⁷⁹².

459 Pro denariis quattuor bursarum pone quattuor numeros in continua proportionalitate, ex quibus pro prima bursa sit 6, pro secunda 12, pro tertia 24, pro quarta 48, ut hic ostenditur⁷⁹³; et operaberis ut supra, et habebis pro quantitate primi hominis \({1 \over 7}\) 11. 460 Quos si in integrum habere vis, multiplica eos per 7, erunt 78; quare multiplicabis denarios prime burse, scilicet 6, per 7: erunt 42. Nam cum 78 et 42 dividantur integraliter⁷⁹⁴, divide ipsos ut habeas minores numeros, et habebit primus denarios 13⁷⁹⁵, et in prima bursa erunt denarii 7. Quare in secunda erunt 14, in tertia 28, in quarta 56, cum quibus invenies secundum hominem habere denarios 10, tertium 8, quartum 9.