81 Explicit pars secunda. Incipit tertia de additione et extractione radicum inter se et reliquorum duorum simplicium numerorum

Si vis addere numerum cum radice surda, scilicet cum radice numeri non quadrati, vel radicem ⁸⁷ cum numero, ex hoc aliud preter binomium evenire non posse demonstrabo. Sit itaque numerus linea \(AB\) et \(BC\)⁸⁸ sit radix; quare tota \(AC\) est summa iunctionis eorum. Et quia linea \(AC\) divisa est in duo in punctum \(B\), erunt duo quadrati linearum \(AB\) et \(BC\) cum duplo multiplicationis \(AB\) in \(BC\) equales quadrato totius linee \(AC\). 82 Est enim numerus uterque quadratorum linearum \(AB\) et \(BC\), quare ex eorum addictione provenit numerus; sed ex ductu dupli \(AB\) in \(BC\) proveniunt radices equales radici \(BC\) secundum unitates que sunt⁸⁹ in duplo numeri \(AB\). Quare ipse radices erunt una radix tantum alicuius numeri non quadrati, quia proportio quadrati linee \(AB\) ad quadratum linee \(BC\) non est sicut quadratus numerus ad quadratum numerum. 83 Ergo ex multiplicatione linee \(AC\) provenit binomium, quod etiam demonstrabo in sequentibus esse binomium primum; quare linea \(AC\) est radix alicuius binomii costantis ex numero et radice.

Et ut hec apertius demonstrentur, \(AB\) sit 4 et \(BC\) sit radix de 7, et addantur quadrati linearum \(AB\) et \(BC\), scilicet 16 cum 7; erunt 23, et accipiatur duplum multiplicationis \(AB\) in \(BC\): provenient octo radices de 7, que sunt una radix de 448, que proveniunt ex quadrato octonarii ducto in 7. 84 Ergo si ducatur coniunctum de 4 et radice de 7 in se, veniunt 23 et radix de 448. Quare radix eorum est 4 et radix de 7. Unde 4 et radix de 7 non potest aliter agregari, nisi ut accipiatur radix de 448 quam propius potest et addatur cum 23, et eius quod provenerit accipiatur radix; vel accipiatur radix de 7 et addatur cum 4, et habebis id quod in numeris ex ipsa coniunctione haberi potest. 85 Verbi gratia: radix de 448 est parum minus de \({1 \over 6}\) 21, quibus additis cum 23 faciunt fere \({1 \over 6}\) 44, quorum radix est parum minus de \({2 \over 3}\) 6. Vel quia radix de 7 est parum minus de \({2 \over 3}\) 2, si addantur cum 4 venient similiter parum minus de \({2 \over 3}\) 6 pro additione de 4 cum radice de 7.

86 Et nota: cum vis multiplicare aliquod binomium cuius nomina sint ex numero et radice, tunc facies sicut fecimus modo ex 4 et radice de 7, que multiplicata in se faciunt 23 et radicem de 448.

Nec etiam possunt agregari simul radices numerorum non habentium proportionem ut quadratus numerus ad quadratum numerum. Exempli causa: sit una ex radicibus quas agregare vis linea⁹⁰ \(DE\), et alia sit \(EZ\), quarum quadrati non sint proportionales ut quadratus numerus ad quadratum numerum. 87 Quare tota \(DZ\) erit ex duobus nominibus tertia vel sexta. Et quia linea \(DZ\) divisa est in duo ⁹¹ super \(E\), duo quadrati linearum \(DE\) et \(EZ\) cum duplo \(DE\) in \(EZ\) equatur quadrato totius linee \(DZ\). Nam ex coniuncto quadratorum linearum \(DE\) et \(EZ\) provenit numerus. Sed ex duplo \(DE\) in \(EZ\) provenit radix numeri; ergo ex ducto \(DZ\) in se provenit numerus et radix numeri. Quare coniunctum ex radicibus \(DE\) et \(EZ\), scilicet \(DZ\), est radix numeri et radicis.

88 Et ut hec in numeris demonstrentur, sit \(DE\) radix de 12 et \(EZ\) sit radix de 10, quorum quadrati insimul iuncti faciunt 22, et ex duplo multiplicationis radicis de 12 in radice de 10 proveniunt due radices de 120, hoc est una radix de 480. Ergo ex multiplicatione radicum de 12 et de 10 proveniunt 22 et radix de 480, cuius binomii radix est coniunctum ipsarum radicum. Unde pulcrius sonat dicere radicem⁹² de 12 et radicem de 10, quam radicem de 22 et ex radice de 480.

89 Demonstrabo itaque quomodo ex quolibet binomio ducto in se proveniat binomium primum. Sit quodvis⁹³ binomium linea \(AB\), cuius maius nomen sit \(AG\), cuius quadratus sit numerus \(DZ\); et quadratus qui⁹⁴ est ex \(GB\) sit numerus \(ZE\), et ex duplo \(AG\) in \(GB\) proveniat radix \(EI\). Dico quod tota \(DI\) est binomium primum. 90 Quoniam ex duplo \(AG\) in \(BG\) provenit \(EI\), ergo ex \(AG\) in \(BG\) provenit ⁹⁵ medietas ex \(EI\); que medietas sit \(ET\), et dividatur numerus \(DE\) in duo equa super punctum \(K\), qui punctus cadit inter \(D\), \(Z\)⁹⁶ cum \(DZ\)⁹⁷ sit quadratus maioris nominis binomii \(AGB\). Demonstrandum⁹⁸ itaque est primum, quod dimidium quadratorum quantitatum \(AG\) et \(GB\) superhabundat⁹⁹ multiplicationi ex \(AG\) in \(BG\). 91 Quoniam \(AG\) magis est quantitate¹⁰⁰ \(GB\), adiaceat quantitas \(L\) equalis quantitati in qua \(AG\) superhabundat \(GB\). Erunt ergo \(GB\) et \(L\) equales numero \(AG\); ex ductu quidem \(AG\)¹⁰¹ in se provenit id quod ex ductu \(AG\) in \(GBL\). Quare quadratus numeri \(AG\)¹⁰² superhabundat multiplicationem ex \(AG\)¹⁰³ in \(BG\) in multiplicatione ex \(AG\)¹⁰⁴ in \(L\) , hoc est ex \(GBL\) in \(L\) ¹⁰⁵. Sed quadratus qui fit ex \(BG\) superhabundatur a superficie que fit ex \(GB\) in \(GA\), hoc est in \(GBL\), secundum id quod fit ex ductu \(GB\) in \(L\); 92 plus ergo superhabundat quadratus qui fit ex \(AG\) superficiem¹⁰⁶ que est¹⁰⁷ ex \(AG\) in \(GB\), quam ipsa superficies superhabundet¹⁰⁸ quadratum qui fit ex \(GB\). Quare duo quadrati linearum \(AG\) et \(GB\), scilicet numerus \(DE\)¹⁰⁹, superhabundant duplum superficiei \(AG\) in \(GB\), scilicet quantitatem \(EI\). Quare medietas numeri \(DE\)¹¹⁰, scilicet \(DK\), superhabundat dimidium ex \(EI\), scilicet quantitatem \(ET\); quod oportebat demonstrare. 93 Et quia¹¹¹ ex ductu \(AG\)¹¹² in \(BG\) provenit \(ET\), ergo ex ductu quadrati¹¹³ qui fit ab \(AG\) in quadratum qui fit a \(GB\)¹¹⁴, scilicet ex numero \(DZ\) in \(ZE\)¹¹⁵, provenit similiter¹¹⁶ quadratus qui fit a radice \(ET\). Et quoniam numerus ratiocinatus \(DE\) divisus est¹¹⁷ in duo equalia super punctum \(K\) et in totidem inequalia super punctum \(Z\), erit multiplicatio numeri \(DZ\) in numerum \(ZE\) cum quadrato numeri ratiocinati \(KZ\) equalis quadrato numeri \(DK\). 94 Est enim numerus \(DK\) medietas numeri \(DE\); quare quadruplum multiplicationis \(DZ\) in \(ZE\), scilicet quadruplum quadrati qui fit a radice \(ET\) cum quadruplo quadrati qui fit a numero \(KZ\) equatur quadruplo multiplicationis \(DK\) in se. Sed quadruplum multiplicationis \(DK\) in se equatur multiplicationi numeri \(DE\) in se. 95 Similiter et quadruplum quadrati qui fit ab \(ET\) equatur quadrato qui fit a tota radice \(EI\). Ergo quadratus qui fit ab \(EI\) cum quadruplo quadrati qui fit a numero \(KZ\) equatur quadrato qui fit a numero \(DE\). Ergo quadratus qui fit a numero \(DE\) addit super quadratum qui fit ab \(EI\) quadruplum quadrati qui fit a \(KZ\). Sed quadruplum quadrati qui fit a \(KZ\) equatur quadrato qui fit a duplo numeri \(KZ\). 96 Est enim numerus \(KZ\) ratiocinatus, quia cum ex \(DZ\) ratiocinato aufertur \(DK\) ratiocinatus, scilicet dimidium \(DE\) ratiocinati, remanet \(KZ\) ratiocinatus. Quare et duplum eius est¹¹⁸ ratiocinatus. Ergo quadratus numeri \(DE\) superhabundat quadratum radicis \(EI\) secundum quantitatem numeri quadrati¹¹⁹. Quare tota \(DI\) est binomium primum, quod oportebat ostendere.

97 Si vis extrahere radicem surdam de numero ratiocinato, vel numerum de radice surda, aut radicem de radice que sint potentia solum commensurabiles, hoc est quod proportio quadratorum ipsarum non sit ut quadratus numerus ad quadratum numerum, hoc facere non poteris ut inde remaneat numerus ratiocinatus. 98 Est enim quadratus residui harum extractionum recisum primum. Que si in numeris habere vis, habeantur 4, de quibus si extrahas radicem de 7, remanebunt 4 minus radice de 7, que sunt recisum. Quod si in se multiplicare vis, adde quadratum de 4 cum quadrato radicis de 7; erunt 23, de quibus extrahe duplum multiplicationis de 4 in radice de 7: remanebunt 23 minus radice de 448.

99 Exempli causa: linea \(AB\) sit 4, et \(BG\) sit radix de 7, qua extracta de 4, scilicet ex \(BA\), remanet ¹²⁰ recisum \(GA\), quod volumus in se multiplicare. Quoniam linea \(AB\) divisa est in duo super punctum \(G\), erunt duo¹²¹ quadrati linearum \(AB\) et \(BG\) equales duplo multiplicationis \(BG\) in \(AB\) et quadrato linee \(GA\). 100 Quare si de quadratis linearum \(AB\) et \(GB\), hoc est de 23, auferatur duplum superficiei que fuerit¹²² ex \(GB\) in \(AB\), hoc est radix de 448, remanebunt 23 minus radice 448 pro quadrato recisi \(GA\), que sunt recisum primum, cum 23 possunt 81, qui est quadratus numerus, super 448. Similiter si vis extrahere 7 ex radice de 112, remanebit tunc radix de 112 minus 7 pro quesito residuo; quod si in se multiplicare vis¹²³, adde insimul quadratos predictorum nominum, scilicet 112 et 49: erunt 161, de quibus extrahe multiplicationem duplam de 7 in radice de 112: remanebunt 161 minus radice de 21952. 101 Item si vis extrahere radicem de 10 ex radice de 20, adde 10 cum 20; erunt 30, de quibus extrahe duplum multiplicationis radicis de 10 in radice de 20: remanebunt 30 minus radice octigentorum, de quibus accipe radicem et habebis quesitum. Vel pro quesito residuo habetur radix de 20 minus radice de 10.

102 Si autem vis addere radices cum radicibus sibi invicem commensurabilibus, vel una de alia extrahere, hoc fieri poterit et egredietur inde semper radix numeri ratiocinati. Ut si vis addere radicem de 18 cum radice de 32, quorum numerorum proportio est sicut quadratus numerus 9 ad quadratum numerum 16, hoc enim facies per premissam doctrinam, scilicet addes 18 cum 32: erunt 50, et multiplica radicem de 18 per radicem de 32; venient 24, quorum duplum adde cum 50: erunt 98, quorum radix est summa quesite additionis.

103 Aliter: radices illorum quadratorum numerorum quorum proportionem habent 18 et 32, scilicet de 9 et de 16, insimul adde: erunt 7, que multiplica in se; erunt 49, que multiplica per 2 que proveniunt ex 18 divisis in 9 vel ex 32 divisis in 16: erunt 98, quorum radix est summa coniunctionis predicte. 104 Et nota quia radix duorum prescriptorum sunt comunis mensura radicis de 18 et de 32; est enim radix binarii ter in radice de 18 et quater in radice de 32. Ergo ponuntur in hac additione tres radices et quattuor binarii, que sunt in summa septem radices de 2, hoc est una radix de 98. 105 Quare si radicem de 18 de radice 32 extrahere vis, extrahe tres binarii radices¹²⁴ ex quattuor radicibus eiusdem: remanebit tantum una radix binarii pro residuo predicte extractionis. Vel inventa 48 extrahe de 50: remanebunt 2, quorum radix est residuum quesitum.

106 Item si vis addere radicem de¹²⁵ 48 cum radice de 108, quorum numerorum proportio est sicut 16 ad 36 et est unusquisque antecedens triplus sui consequentis, quia sicut 48 tripla sunt de 16, ita 108 sunt tripla de 36; addes ergo radicem de 16 cum radice de 36¹²⁶, scilicet 4 et 6: erunt 10, quorum quadratum multiplica per 3 propter triplicitates predictas: erunt 300, quorum radix est summa predicte iunctionis. 107 Vel adde 108 cum 48; erunt 156, quibus adde duplum¹²⁷ multiplicationis radicis de 48 in radice de 108, scilicet 144: erunt 300, quorum radix est quesitum. Et si vis radicem de 48 extrahere ex¹²⁸ radice de 108, extrahe radicem de 16 ex radice de 36: remanebunt 2, quorum quadrato multiplicato per 3 propter triplicitates predictas faciunt 12, quorum radix est residuum quesite extractionis. Vel inventa 144 extrahe de 156: remanebunt similiter 12, quorum radix est residuum prescripte extractionis, ut predixi.

108 Et si vis aggregare 4 cum radice radicis de 10 secundum vulgarem modum, accipe radicem radicis de 10, que est parum minus de \({4 \over 5}\) 1, et adde eam cum 4: erunt parum minus de \({4 \over 5}\) 5. Et si \({4 \over 5} 1\)¹²⁹ extraxeris de 4, habebis residuum quod est inter 4 et radicem radicis de 10. Que si magistraliter facere vis, multiplica 4 et radicem radicis de 10 in se, quod sic fieri in linea demonstratur: sit \(AB\) 4, et \(BC\) sit radix radicis de 10. 109 Erit ergo linea \(AC\) divisa in duo; quare duo quadrati portionum ¹³⁰ \(AB\) et \(BC\) cum duplo \(AB\) in \(BC\) faciunt summam quesitam, scilicet quadratum compositi \(AC\). Est enim quadratus portionis \(AB\) 16, et portionis \(BC\) est radix de 10, et duplum superficiei \(AB\) in \(BC\) est octo radices radicis de 10; que rediguntur in una radice radicis sic¹³¹ 110 ducuntur octo in se; fiunt 64, quibus in se ductis faciunt 4096, quibus ductis per 10 faciunt 40960, quorum radix radicis equatur octo radicibus radicis de 10. Et sic pro quesita multiplicatione habentur 16 et radix de 10 et radix radicis de 40960; quare radix horum¹³² trium nominum est additio de 4 et radix radicis de 10. 111 Quam radicem secundum propinquitatem habebis si addideris 16 cum radice de 10, que est \({1 \over 6}\) 3 fere, et cum radice radicis de 40960, que est circa \({1 \over 4}\) 14: erunt 33 et amplius, quorum radix est circa \({4 \over 5}\) 5 ut superius invenimus. Et si vis extrahere radicem radicis de 10 de 4, extrahe radicem radicis de 40960 de 16 et de radice 10: remanebunt 16 et radix de 10 minus radice radicis de 40960 pro summa multiplicationis residui dicte extractionis in se; quare radix eorum est residuum quesitum.

112 Quam radicem accipies sic: adde 16 cum radice de 10; erunt parum minus de \({1 \over 6}\) 19, de quibus extrahe radicem radicis de 40960: remanebunt \({5 \over 6}\) 4, quorum radix, que est circa \({1 \over 5}\) 2, est residuum quesitum, ut per vulgarem modum invenimus.

113 Item si vis addere radicem de 12 cum radice radicis de 10 per modum vulgarem, scilicet secundum propinquitatem, radicem de 12, que est circa \({13 \over 28}\) 3, cum radice radicis de 10, que est circa \({4 \over 5}\) 1 adde, et habebis summam dicte iunctionis. Et si extraxeris \({4 \over 5}\) 1 de \({13 \over 28}\) 3, quod remanebit erit residuum in quo radix de 12 excedit radicem radicis de 10. 114 Et si hoc secundum artem habere vis, sit \(DE\) radix de 12, et \(EF\) sit radix radicis de 10. Et accipiantur quadrati ¹³³ portionum \(DE\) et \(EF\)¹³⁴, erunt 12 et radix de 10. Et accipiatur duplum superficiei \(DE\) in \(EF\), que est radix radicis de 23040, et habebis pro quadrato dicte iunctionis 12 et radicem de 10 et radicem radicis de 23040; quorum trium nominum radix est additio quesita.

115 Et si vis radicem radicis de 10 extrahere ex radice de 12, extrahe radicem radicis de 23040 ex 12 et de radice de 10, et habebis pro quadrato quesiti residui 12 et radicem de 10 minus radice radicis de¹³⁵ 23040. Verbi gratia: sit linea \(IT\) radix de 12, et \(TK\) sit radix radicis de 10. Queritur ergo notitia \(KI\) residui. 116 Quoniam linea \(IT\) divisa est¹³⁶ in duo super \(K\), erunt duo quadrati linearum \(IT\) et \(TK\) equales quadrato residui \(KI\) et duplo superficiei \(TK\) in \(TI\). Quare si de quadratis quantitatum \(IT\) et \(TK\), scilicet ex 12 et ex radice de 10, auferatur duplum superficiei \(TK\) in \(IT\), scilicet radix radicis de 23040, remanebunt 12 et radix 10 minus radice radicis de 23040 pro quadrato residui \(KI\); quod oportebat ostendere.

117 Ex additione quidem radicum radicis cum radicibus radicum quandoque proveniunt radices trium nominum, quandoque duorum, secundi vel tertii binomii. Quando numeri mediales sunt incummensurabiles potentia, tunc ex eorum additione provenit¹³⁷ radix trium nominum, ut in precedentibus contingit. 118 Et quando compositum ex eis facit bimediale primum, tunc ex multiplicatione earum in se provenit radix et numerus, scilicet binomium secundum. Et quando compositum ex eis facit bimediale secundum, tunc quadratus earum est binomium tertium, quod est compositum ex duabus radicibus diversis; et ex recisis predictarum proveniunt quadrati eorundem nominum.

119 Et ut hec aperte demonstrentur, radicem radicis de 12 addamus cum radice radicis de 10, quorum quadrati sunt radix de 12 et radix de 10, et ex duplo multiplicationis unius in aliam provenit radix radicis de 1920; quorum trium nominum radix est additio quesita. Et si radix radicis de 10 auferatur de radice radicis de 12, remanebunt¹³⁸ pro quadrato ipsius residui radix de 12 et radix de 10 minus radice radicis de 1920.

120 Item si vis addere radicem radicis de 8 cum radice radicis duorum, erunt quadrati ipsarum radix de 8 et radix de 2, que radices cum sint consimiles aggregantur in radice de 18, et ex duplo multiplicationis radicis radicis 8 in radicem radicis 2 proveniunt 4; et sic habemus radicem¹³⁹ de 18 et 4, que sunt binomium secundum, pro quadrato quesite additionis. Et si radicem radicis duorum ex radice radicis de 8 extraxeris, remanebit radix de 18 minus 4 pro quadrato quesiti residui; quare radix eorum erit residuum.

121 Rursus vis addere radicem radicis de 32 cum radice radicis de 18. Multiplica radicem radicis de 32 in se: provenit radix de 32, et ex radice radicis de 18 ducta in se provenit radix de¹⁴⁰ 18; quorum quadrati insimul iuncti faciunt radicem de 98, et ex duplo multiplicationis radicis radicis de 32 in radice radicis de 18 venit radix de 96. 122 Et sic habetur pro quadrato huius additionis radix de 98 et radix de 96. Et si auferatur radix radicis de 18 ex radice¹⁴¹ radicis de 32, remanebit radix de 98 minus radice de 96 pro quadrato quesiti residui. Et nota, cum multe radices radicis unius numeri proponantur, reduc eas ad unam radicem radicis, ut superius feci ex octo radicibus de 10¹⁴².