233 ^[3] Explicit tractatus de quadratis radicibus. Incipit pars quinta de inventione radicum cubicarum et de additione et multiplicatione³²⁷ et extractione seu divisione earundem

Cubus quidem numerus est³²⁸ qui surgit ex multiplicatione trium equalium numerorum, vel ex aliquo quadrato numero in suam radicem ducto, ut 8 et 27. Nam 8 surgunt³²⁹ ex multiplicatione de 2 in 2 ducta³³⁰ in 2, vel ex multiplicatione quaternarii in suam radicem, scilicet in 2, et 27 surgunt ex tribus ternariis, vel ex novenario ducto in suam radicem, que est 3. 234 Nam radix cubica octonarii est 2 et radix cubica de 27 est 3, et sic intelligas de reliquis cubis numeris et eorum radicibus. Reliqui autem numeri qui cubi non sunt, radices cubicas³³¹ in numeris habere non possunt. Unde radices ipsorum cubice dicuntur surde.

235 Nam qualiter secundum propinquitatem radix cubica cuiusvis numeri reperiri valeat demostrabo. Sed primum unde modus reperiendi has radices procedat volo presentialiter demonstrare. Cum itaque linea divisa in duas partes fuerit, erunt cubi ipsarum³³² portionum cum triplo multiplicationis quadrati uniuscuiusque sectionis in aliam equales cubo totius linee. 236 Verbi gratia: sit linea \(AB\) ut libet divisa super punctum \(G\); dico cubos portionum \(AG\) et \(GB\) cum ³³³ triplo quadrati portionis \(AG\) in \(GB\) et cum triplo quadrati portionis \(BG\) in \(GA\) equales esse cubo totius linee \(AB\). 237 Quod videatur in numeris: sit tota \(AB\) 5 et \(AG\) sit 3; remanebit \(GB\) 2, quarum³³⁴ portionum cubi sunt 27 et 8, quibus insimul iunctis faciunt 35, et ex triplo quadrati de 3 in 2 veniunt 54, et ex triplo quadrati de 2 in 3 veniunt 36; et sic habentur in summa 125, scilicet cubus quinarii, scilicet linee \(AB\). Nam 5 est radix cubica de 125, quia ductis 5 in se faciunt 25, quibus ductis in 5 faciunt 125.

238 Et cum super hanc diffinitionem diutius cogitarem, inveni hunc modum reperiendi radices, secundum quod inferius explicabo. Sed primum volo demonstrare quomodo secundum hanc diffinitionem debeat quilibet numerus cubicari. Ut si vis cubicare 12, accipe cubum de 10 et cubum de 2, in quibus portionibus sint 12 divisa: erunt 1008, super que adde triplum quadrati de 10 ductum in 2 et triplum quadrati de 2 ductum in 10, scilicet 600 et 120: erunt in summa 1728, que sunt cubus de 12. Et sic potes operari in cubicatione cuiusvis numeri.

239 Sed ut demonstremus modum qualiter tres numeri equales vel diversi in una multiplicatione multiplicandi sint, per quem modum etiam omnes numeri cubicantur, adiaceant tres numeri inequales, quorum primus sit 12, secundus 34, tertius 56, quos insimul multiplicari oporteat. Describantur ipsi per ordinem ut in margine cernuntur, et multiplicentur 2 per 4; erunt 8, que per 6: erunt unitates 48. 240 Ponantur 8 in loco unitatum et retineantur 4, cum quibus

22848 12 34 56

³³⁵ addatur multiplicatio eorundem 8 in 5; erunt decene 44, et multiplicentur 2 per 3 et 4 per 1; erunt 10, que per 6; erunt decene 60, quas adde cum decenis 44: erunt decene 104. Ponas 4 in loco decenarum et retineas 10, et 10 que multiplicata fuerunt per 6 multiplica per 5 et adde cum servatis 10: erunt centene 60. Et 1 per 3 erunt centenaria 3, que 3 multiplica per 6; erunt centenaria 18, que adde cum 60: erunt centenaria 78³³⁶. 241 Pone 8 in loco centenariorum et retineas 7, cum quibus adde multiplicationem de 1 in 3 ductam in 5: erunt millene 22. Pone 2 in quarto gradu et retineas 2 que pone in quinto gradu, et habebis pro quesita multiplicatione 22848. Cuius multiplicationis probatio est ut probam³³⁷ de 12 multiplices per probam de³³⁸ 34; et probam³³⁹ que provenerit multiplica per probam de³⁴⁰ 56, et proba que provenerit erit proba de 22848. Ad quam summam etiam pervenire poteris si multiplicas 12 per 34, quod totum per 56.

242 Item si vis multiplicare in una multiplicatione 123 per 456, quod totum per 789, describe numeros ut in margine cernuntur, et multiplica figuras primi et secundi numeri secundum ordinem demonstratum in secundo capitulo, et multiplicationes que provenerint duces³⁴¹ per figuras tertii numeri, ut inferius ostendetur. Primum quidem in multiplicatione de 123 in 456 multiplica³⁴² 3 per 6; faciunt 18, que multiplica per primam figuram tertii numeri, scilicet per 9: erunt unitates 162. 243 Quare ponas 2 in primo loco et servabis decenas³⁴³ 16, et multiplicabis eadem 18 per secundam figuram³⁴⁴ tertii numeri, scilicet per 8: erunt decene³⁴⁵ 144. Et accipies multiplicationes positionis secunde³⁴⁶ figure duorum superiorum³⁴⁷ numerorum, scilicet 3 per 5 et 6 per 2; erunt 27, que multiplica per primam figuram tertii numeri, scilicet per 9: erunt decene 243, quibus additis cum decenis 16 et cum decenis 144 servatis, scilicet cum decenis 160, erunt decene 403. 244 Pones 3 in secundo loco

44253432 123 456 789

³⁴⁸ et servabis centenas 40, et accipies multiplicationes positionis³⁴⁹ tertie figure duorum superiorum³⁵⁰ numerorum, scilicet 3 per 4 et 6 per 1 et 2 per 5: erunt 28. Et addes cum 40 servatis multiplicationem positionis³⁵¹ prime figure superiorum³⁵² numerorum, scilicet de³⁵³ 18, in³⁵⁴ ultimam figuram tertii numeri³⁵⁵, scilicet in 7: erunt centene 166³⁵⁶. 245 Cum quibus adde multiplicationem inventorum 27 in secundam figuram tertii numeri, scilicet in 8; erunt similiter centene 382, cum quibus adde multiplicationem inventorum 28 in primam figuram tertii numeri, scilicet in 9: erunt similiter centene³⁵⁷ 634. 246 Pones 4 in tertio loco, et servabis millenas 63, cum quibus addes multiplicationem supradictorum 27 in 7 tertii numeri et de 28 in 8 eiusdem numeri: erunt millene 476. Et accipe multiplicationes positionis³⁵⁸ quarte figure in multiplicatione duorum superiorum³⁵⁹, scilicet de 2 in 4 et de 5 in 1; erunt 13, que³⁶⁰ multiplica per 9 tertii numeri: erunt millene 117, quibus additis cum millenis 476 erunt millene 593. 247 Pones 3 in quarto loco et retineas decem millenas 59, cum quibus addes multiplicationem supradictorum 28 in 7 et de 13 in 8; erunt decem millene 359, cum quibus adde multiplicationem de 1 in 4 ductam in 9: erunt decem millene 395. Ponas 5 in quinto loco et serva centum millenas 39, cum quibus adde multiplicationem predictorum 13 in 7, nec non et multiplicationem de 1 in 4 ductam in 8: erunt centum millene 162. 248 Pones 2 in sexto loco et retineas 16, que sunt mille³⁶¹ millene, cum quibus adde multiplicationem de 1 in 4 ductam in 7, scilicet 28: erunt mille millene³⁶² 44. Pones 4 in septimo loco et 4 in octavo, et sic habebis pro quesita multiplicatione 44253432³⁶³. Et sic potes facere in similibus, nec non in cubicatione cuiusvis numeri trium figurarum³⁶⁴.

249 Unde revertamus ad inventionem radicum cubicarum quorumlibet numerorum. Sed primum sciendum est qui sunt numeri cubi qui fiunt a numeris primi gradus. Nam cubus unitatis est 1, binarii 8, ternarii 27, quaternarii 64, quinarii 125, sexnarii 216, septenarii 343, octonarii 512, novenarii 729, et cubus itaque decenarii est 1000. 250 Quibus per ordinem cordetenus cognitis, scias quod radix cubica numerorum unius et duarum et trium figurarum est una figura. Quattuor vero figurarum et quinque et sex radix cubica est numerus duarum figurarum; septem autem figurarum et octo et novem radix est numerus trium figurarum; et sic semper deinceps crescendo unam vel duas vel tres figuras numero, in eius radice crescet una figura tantum.

251 His itaque intellectis, oportet docere qualiter inveniatur differentia que est inter aliquem cubum numerum et suum sequentem. Multiplicabis itaque radicem unius per radicem alterius, et quod provenerit triplicabis, et summe addes 1 quod provenit ex cubicatione unitatis in qua radix maioris cubi superhabundat radicem minoris. 252 Verbi gratia: volo scire quantum addit cubus qui fit a 3 super cubum qui fit a 2. Multiplicationem itaque de 2 in 3 triplica: erunt 18, quibus adde 1: erunt 19 pro differentia quesita. Que 19 si addantur super cubum qui fit a binario, scilicet super 8, venient 27, scilicet cubus qui fit a ternario.

253 His explicatis, inveniatur radix de 47 secundum propinquitatem. Primum quidem accipe maiorem radicem quam habent 47 in integris, et est 3, quorum cubum, scilicet 27, extrahe de 47: remanent 20. Ergo radix cubica de 47 est 3 et remanent 20. Que 3 sit linea \(AB\), et proportionabis 20 ad differentiam que est inter cubum qui fit a 3 et cubum qui fit a 4; quam differentiam invenies ex triplo multiplicationis de 3 in 4 uno addito, vel ex³⁶⁵ extractione 27 de 64; que differentia est 37, ex quibus 20 sunt plus medietate. 254 Quare adde \({1 \over 2}\) super lineam \(AB\); sitque \(BG\), et inveniatur cubus³⁶⁶ numeri \(AG\), qui sic invenitur: ³⁶⁷ cubicabo sectiones \(AB\) et \(BG\): erunt \({1 \over 8}\) 27, quibus superaddam triplum quadrati numeri \(AB\) in \(BG\) nec non et triplum quadrati numeri \(GB\) in \(BA\), hoc est³⁶⁸ \({1 \over 2}\) 13 et \({1 \over 4}\) 2: erunt \({7 \over 8}\) 42, a quibus usque in 47 desunt \({1 \over 8}\) 4. 255 Ergo radix cubica de 47 est \({1 \over 2}\) 3 et superhabundant \({1 \over 8}\) 4, que etiam proportionabis ad numerum qui venit ex triplo \(AG\)³⁶⁹ in 4 que sunt radix sequentis cubi; qui numerus est 42, ex quibus predicta \({1 \over 8}\) 4 sunt³⁷⁰ quasi decima pars. Quare adde numero \(BG\) \({1 \over 10}\), que sit \(GD\). 256 Cuius cubus, qui est \({1 \over 1000}\), cum triplo quadrati \(AG\) ducto in \(GD\), scilicet cum \({3~~6 \over 4~~10}\) 3, nec³⁷¹ non et cum triplo quadrati \(GD\) ducto in \(GA\), scilicet cum \({1~~10 \over 2~~100}\), extrahe de \({1 \over 8}\) 4: remanebunt \({344 \over 1000}\), que sunt \({43 \over 125}\). Ergo radix cubica de 47 est \({1 \over 10}\) \({1 \over 2}\) 3, scilicet \({3 \over 5}\) 3, et remanet inde parum amplius de \({1 \over 3}\)³⁷² unius integri; quam tertiam si proportionaveris ad numerum qui provenit ex triplo \(AD\) in 4, propius nimirum ad radicem de 47 devenies.

257 Item si vis invenire radicem cubicam de³⁷³ 900, iam scis quia radix eorum quam habent in³⁷⁴ integrum, cum sint numerus tertii³⁷⁵ gradus, est una figura tantum; quam accipe, et est 9, quorum cubus est 729, quibus extractis ex 900 remanent 171. Et invenies differentiam que est a cubo novenarii usque in cubum decenarii, que differentia est 271. 258 Proportiona ergo residua 171 cum 271³⁷⁶: venient parum minus de \({2 \over 3}\). Quarum duarum tertiarum cubum, scilicet \({8 \over 27}\), extrahe de 171: remanebunt \({19 \over 27}\) 170. Deinde multiplica triplum quadrati 9³⁷⁷, scilicet 243, per \({2 \over 3}\), hoc est accipe \({2 \over 3}\) de 243; erunt 162, que extrahe de \({19 \over 27}\) 170: remanent \({19 \over 27}\) 8. Deinde accipe quadratum de \({2 \over 3}\): erunt \({4 \over 9}\), quas triplica; veniet \({1 \over 3}\) 1, quem numerum multiplica per 9: venient 12, que cum non possint extrahi de \({19 \over 27}\) 8, extrahes \({19 \over 27}\) 8 de 12: remanent \({8 \over 27}\) 3 diminuta. 259 Ergo radix de 900 est \({2 \over 3}\) 9 et desunt inde \({8 \over 27}\) 3, hoc est cubus de \({2 \over 3}\) 9 est \({8 \over 27}\) 903; quem invenies si de \({2 \over 3}\) 9 facies tertias, scilicet³⁷⁸ 29, et cubicaveris 29 et eorum cubum per 27 diviseris, scilicet per cubum ternarii. Et si propius ad radicem de 900 venire vis, multiplica \({2 \over 3}\) 9 per 10 et quod provenerit triplica, vel triplum de \({2 \over 3}\) 9 per 10 multiplica: exibunt 290, in quibus divide \({8 \over 27} 3\)³⁷⁹ et quod provenerit abice de \({2 \over 3}\) 9, et habebis propositum.

260 Rursus si vis invenire radicem de 2345, iam scis quia radix eorum quam habent in integrum est numerus duarum figurarum, quare ultima figura ipsius radicis ponenda est sub secundo gradu. Nam que figura ipsa esse debeat indicabo. Relinque itaque ex 2345 tres figuras, que faciunt tertium et secundum et primum gradum: remanent 2, ex quibus accipe maiorem radicem quam habent in integrum, que est 1 et remanet 1. 261 Quam radicem, scilicet 1, pones sub 4, et pro 1 quod remanet pone 1 super 2; et copulabis ipsum cum 345: erunt 1345, et sic pro radice de 2345 habentur 10, scilicet 1 in secundo gradu, et remanent 1345. 262 Pro quibus ante positum 1 oportet ponere talem figuram sub 5, que³⁸⁰ multiplicata ipsa per triplum quadrati posite figure sub 4, nec non et multiplicata eadem³⁸¹ posita figura per triplum quadrati ponende figure³⁸², etiam et cubicata ipsa ponenda figura, et hec omnia extracta cum³⁸³ fuerint de³⁸⁴ 1345 non remaneat inde ultra triplum multiplicationis totius invente radicis in numerum sequentem in ordine numerorum; quam figuram invenire non poteris nisi ex usitato arbitrio. 263 Erit enim ipsa figura 3; qua posita sub 5³⁸⁵, triplicabis quadratum posite figure:

1\(\phantom{45}\) 148 147\(\phantom{5}\)   2345   13   327

³⁸⁶ erunt 3, que pones sub tertio gradu quia cum multiplicatur secundus gradus in se, tertium gradum facit. Et multiplicabis posita 3 sub 5 per³⁸⁷ posita 3 sub 3: erunt 9, que extrahe ex copulatione de 1 posito super 2 cum sequentibus 3, scilicet de 13: remanent 4, que pone super 3 tertii gradus. Et triplicabis quadratum trium positorum³⁸⁸ sub 5: erunt 27, que pones sub secundo et primo gradu, quia cum primus gradus multiplicat se ipsum, primum gradum facit vel terminantem in ipso. 264 Et multiplicabis ipsa 27³⁸⁹ per 1 positum sub 4, et extrahes ipsam multiplicationem ex copulatione quaternarii positi super 3 et sequentis quaternarii, scilicet de 44: remanent 17 super ipsa 44, que copulabis cum 5 primi gradus: erunt 175, de quibus extrahe cubum ternarii positi sub 5, scilicet 27: remanebunt 148, que non excedunt triplum multiplicationis radicis invente, scilicet de 13, in numerum sibi sequentem³⁹⁰, scilicet in 14. 265 Ergo radix cubica de 2345 est 13 et remanent 148³⁹¹. Accipe ergo triplum multiplicationis de 13 in 14 et adde 1: erunt 547, ex quibus 148 sunt parum amplius quarte partis. Quare adde \({1 \over 4}\) invente radici: erunt \({1 \over 4}\) 13. Extrahe ergo cubicationem de \({1 \over 4}\), scilicet \({1 \over 64}\), ex 148: remanent \({63 \over 64} 147\). 266 Et accipe triplum quadrati de 13: erunt 507, que multiplica per \({1 \over 4}\); venient \({3 \over 4}\) 126, que extrahe de \({63 \over 64}\) 147: remanent \({15 \over 64} 21\)³⁹². Item accipe triplum quadrati de \({1 \over 4}\), scilicet \({3 \over 16}\), et multiplica eas per 13; venient \({7 \over 16}\) 2, que extrahe³⁹³ de \({15 \over 64}\) 21: remanent \({51 \over 64} 18\)³⁹⁴. 267 Et sic pro radice de³⁹⁵ 2345 habentur \({1 \over 4}\) 13, et superhabundat ex eis \({51 \over 64}\) 18. Quare multiplica triplum de³⁹⁶ \({1 \over 4}\) 13 per primum sequentem numerum, scilicet per 14; erunt \({1 \over 2} 556\)³⁹⁷ in quibus divide \({51 \over 64}\) 18: exibit circa \({1 \over 30}\), qua addita cum \({1 \over 4}\) 13, reddent \({17 \over 60}\) 13 pro quesita radice; et sic studeas facere in similibus.

268 Ut³⁹⁸ si radicem cubicam de 56789 habere desideras, iam scis³⁹⁹ quia radix eorum est numerus duarum figurarum. Quare dimissis tribus primis figuris, radicem reliquarum, scilicet de 56, accipe: eritque 3 et remanent 29. Pone igitur 3 sub secundo gradu et 29 super 56, et triplica quadratum positi ternarii: erunt 27, que pone sub quarto et tertio gradu, quia cum secunda figura multiplicatur in se facit⁴⁰⁰ tertium gradum vel terminantem in ipso. 269 Et studeas ante positum ternarium ponere talem figuram, que cum multiplicata fuerit per 27 que sunt in quarto et tertio gradu, et ipsa multiplicatione extracta de 297, scilicet ex copulatione predictorum 29 et sequentium 7, remaneat inde numerus qui copulatus cum fuerit cum sequenti figura, scilicet cum 8, 270 possis ex ipsa copulatione extrahere multiplicationem tripli quadrati ponende figure in 3, scilicet in positam figuram, et remaneat inde numerus qui cum copulatus fuerit cum 9 primi gradus valeas inde extrahere cubum⁴⁰¹ ipsius ponende figure, et non remaneat inde ultra triplum⁴⁰² multiplicationis totius radicis invente in numerum sequentem; et hanc considerationem habeas in omni ponenda figura. Eritque illa figura 8, qua posita sub primo⁴⁰³ gradu multiplicabis eam per 27, hoc est primo per 2 et postea per 7. 271 Nam ex ductis 8 in 2 veniunt 16, quibus extractis de 29, remanent 13 super ipsis; et ex ductis 8 in 7 veniunt 56, quibus⁴⁰⁴ extractis de 137 remanent 81 super ipsis. Post hec multiplica 8 in se: erunt 64 terminantia in primo gradu, que triplica: erunt 192 similiter terminantia in primo gradu. 272 Quare pones ea super suos gradus, scilicet sub⁴⁰⁵ tertio et secundo et primo; ex quibus multiplica ultimam figuram per 3⁴⁰⁶ posita sub secundo gradu: facient 3 in quarto gradu. Quare extrahe ea de⁴⁰⁷ 8, scilicet ex ultima figura de 81: remanent 5 super 8, et multiplica sequentem figuram de 192, scilicet 9, per eadem 3: erunt 27 terminantia in tertio gradu, quia cum secundus gradus multiplicat secundum, tertium gradum facit. 273 Quare extrahe 27 de 51 que

1\(\phantom{127}\) 2\(\phantom{127}\) 59\(\phantom{27}\) 891\(\phantom{7}\) 1344\(\phantom{7}\) 29127 56789 38 27\(\phantom{27}\) 192 64

⁴⁰⁸ sunt in quarto et tertio⁴⁰⁹ gradu: remanent in eisdem⁴¹⁰ gradibus 24, quibus copulatis cum 8 sequentibus erunt 248. Ex quibus extrahe multiplicationem figure primi gradus de 192 in 3 predicta: remanebunt 242, quibus copulatis cum 9 sequentibus erunt 2429, ex quibus extrahe cubum octonarii, scilicet 512: remanebunt 1917. 274 Vel aliter: multiplica 8 in se; erunt 64, que pone sub secundo et primo gradu, multiplicans 6 per 8 et extrahens de 242: remanent 194 super ipsis 242, quibus copulatis cum 9 sequentibus faciunt 1949; 275 ex quibus extrahe multiplicationem prime figure de 64 in 8, scilicet 32: remanebunt similiter 1917, que non⁴¹¹ superhabundant triplum multiplicationis de 38 in 39. Ergo radix cubica de 56789 est 38 et remanent inde 1917⁴¹²; quod residuum addit super predicta⁴¹³ 38.

276 Rursus si vis invenire radicem de 456789, divisis tribus primis figuris radicem⁴¹⁴

1\(\phantom{896}\) 32\(\phantom{96}\) 105\(\phantom{96}\) 4505\(\phantom{6}\) 113896 456789 77 147\(\phantom{96}\) 147 49\(\phantom{6}\)

⁴¹⁵ reliquarum⁴¹⁶ trium, scilicet de 456, que est 7, pone sub⁴¹⁷ secundo gradu, et residuum, quod est 113, pone super eis; et triplum quadrati de 7, scilicet 147, pone ita ut sint terminantia sub tertio gradu; et studeas invenire figuram que ponenda est sub primo gradu ante posita 7 per modum demonstratum. 277 Eritque 7, quam pone sub primo gradu et multiplica eam per 1 de 147; erunt 7, que extrahe ex 11 que sunt super 45: remanent 4 super quintum gradum, que copula cum 3 sequentibus; faciunt 43, de quibus tolle multiplicationem eorundem 7 in 4 de 147: remanent 15 super 43, quibus copulatis cum 7 erunt 157, ex quibus tolle multiplicationem eorundem 7 primi gradus in 7 que sunt in 47: remanebunt 108 super 157. 278 Deinde triplica⁴¹⁸ quadratum septenarii primi gradus: erunt 147 terminantia in primo gradu, que ordinate per⁴¹⁹ suas differentias per 7 que sunt posita sub secundo gradu, secundum quod in divisione numerorum docuimus, multiplica. 279 Nam ex uno ducto in 7 veniunt 7, quibus extractis de 10 remanent 3 super 0; et ex 4 ductis in 7 veniunt 28, quibus extractis de 38⁴²⁰ remanent 10 super 38; et⁴²¹ ex ductis 7 in 7 veniunt⁴²² 49, quibus extractis de 108 remanent 59 super tertium et secundum gradum; quibus copulatis cum 9 primi gradus faciunt 599, ex quibus extrahe cubum septenarii, scilicet 343: remanent 256. Et sic radix inventa est 77 et remanent 256.

280 Adhuc si vis invenire radicem de 9876543, divisis siquidem tribus primis figuris remanent 9876⁴²³, quibus positis in aliam partem, eorum radicem invenias ordine demonstrato; eritque 21 et remanebunt inde 615. Pone ergo 21 sub tertio et secundo gradu, cum radix septem figurarum sit numerus figurarum trium, et remanentia 615 pone super 876, ut hic ostenditur. Et triplica⁴²⁴ quadratum de 21: erunt 1323, que ponenda sunt terminantia in tertio gradu, in quo terminatur multiplicatio unitatis in se, que posita est sub secundo gradu. 281 Quibus ita positis, cadit ultima figura eorum sub sexto gradu⁴²⁵. Deinde pone 4 ante 21, que figura invenitur ex magisterio superius demonstrato; et multiplicabis ipsa 4 per unamquamque figuram ordinate de 1323, et incipies extrahere a 6 que sunt super sextum gradum, quia cum primus gradus sextum multiplicat, sextum gradum facit. 282

6\(\phantom{643}\) 77\(\phantom{543}\) 782\(\phantom{43}\) 863\(\phantom{43}\) 2979\(\phantom{43}\) 61536\(\phantom{3}\) 9876543 214 1323\(\phantom{43}\) 48

⁴²⁶ Ergo multiplicabis 4 per 1 et extrahes de 6: remanebunt 2 super 6; et 4 per 3 et extrahes de 21: remanebunt 9 super 1; et 4 per 2 et extrahes de 95: remanebunt 87 super quintum et quartum gradum⁴²⁷; et 4 per 3 et extrahes de 875: remanebunt 863⁴²⁸ super quintum et quartum et tertium gradum. 283 Deinde accipe triplum quadrati de 4, scilicet 48, et pone sub secundo et primo gradu, et multiplicabis 4 ex ipsis 48 per 2 de 21 positis in radice; erunt 8, que extrahenda sunt de numero terminante⁴²⁹ in quarto gradu, scilicet de 86, quia cum secundus gradus multiplicat tertium, quartum gradum facit: remanebunt 78 ex ipsis 86 super quintum et quartum gradum. 284 Et eadem 4 multiplicabis per 1 de 21; erunt 4, que extrahenda sunt de numero terminante⁴³⁰ in tertio gradu, scilicet de 783, quia cum secundus gradus secundum multiplicat, tertium gradum facit: remanebunt 779 super quintum et quartum et tertium gradum. Deinde multiplicanda sunt 8 que restant de 48 gradatim per eadem 21. 285 Ergo multiplicabis 8 per 2; faciunt 16, que extrahes de numero terminante⁴³¹ in tertio gradu, quia cum primus gradus multiplicat tertium, tertium gradum facit: remanebunt 763 super quintum et quartum et tertium gradum; et 8 per 1 faciunt 8, que extrahes de numero terminante⁴³² in secundo gradu, scilicet de 7634⁴³³, quia cum primus gradus multiplicat secundum, secundum gradum facit: 286 remanebunt inde 7626 super quintum et quartum et tertium et secundum gradum; que copula cum 3 que sunt in primo gradu; erunt 76263, de quibus extrahe cubum de 4, scilicet 64: remanebunt 76199 super radicem inventam, que est 214.

287 Eodemque modo si⁴³⁴ radicem alicuius numeri octo vel novem figurarum reperire vis, relictis primis figuris radicem reliquarum per demonstratum modum invenire studeas, et deinde copulato residuo earum cum tribus dimissis figuris, facies secundum quod modo fecimus et invenies quesitum, si deus voluerit. Eademque via et ordine poteris operari in reperiendis radicibus⁴³⁵ cubicis⁴³⁶ numerorum decem vel plurium figurarum.