1083 Tres homines habebant libras nescio quot sterlingorum, quarum medietas erat primi, tertia erat secundi, sexta erat tertii. Quas cum vellent in loco tutiori habere, quilibet eorum accepit ex ipsis sterlingis¹⁴⁷³ aliquam quantitatem; et ex quantitate quam cepit primus posuit in comuni medietatem, et ex ea quam cepit secundus posuit tertiam partem, et ex ea quam cepit tertius posuit sextam partem; et ex hoc quod posuerunt in comuni recepit quilibet tertiam partem, et sic unusquisque suam habuit portionem.

1084 Quoniam primus posuit in comune \({1 \over 2}\) ex hoc quod cepit; de quo \({1 \over 2}\) rehabuit tertiam partem, scilicet \({1 \over 6}\) totius quod accepit, ergo remansit ei ex hoc quod cepit \({1 \over 6}\) \({1 \over 2}\), scilicet \({2 \over 3}\); et ex hoc quod posuit secundus habuit primus \({1 \over 9}\), cum secundus¹⁴⁷⁴ posuerit tertiam eius quod sumpsit partem¹⁴⁷⁵, et ex ipsa \({1 \over 3}\) habuit primus \({1 \over 3}\), scilicet \({1 \over 9}\); et ex hoc quod posuit tertius habuit tertiam sexte partis quam ipse tertius posuit, scilicet \({1 \over 18}\). 1085 Ergo medietas summe omnium sterlingorum¹⁴⁷⁶, scilicet portio primi hominis, fuit \({2 \over 3}\) ex hoc quod cepit primus et \({1 \over 9}\) ex hoc quod cepit secundus et \({1 \over 18}\) ex hoc quod cepit tertius. 1086 Item cum secundus posuit in comune \({1 \over 3}\) ex hoc quod cepit, remanserunt ei \({2 \over 3}\), et ex ipsa \({1 \over 3}\) rehabuit \({1 \over 3}\), scilicet \({1 \over 9}\) totius quod accepit; ergo in portione sua habuit ex hoc quod cepit ipse \({1 \over 9}\) \({2 \over 3}\), scilicet \({7 \over 9}\); ex hoc quod cepit primus habuit sextam partem, scilicet \({1 \over 3}\) medietatis quam primus posuit in comuni; et ex hoc quod cepit tertius habuit \({1 \over 18}\), sicut habuit primus homo. 1087 Quare \({7 \over 9}\) sumptionis secundi hominis cum \({1 \over 6}\) sumptionis primi et cum \({1 \over 18}\) sumptionis tertii fuerunt tertia pars summe; ergo \({7 \over 9}\) et \({1~~3 \over 2~~9}\), scilicet \({1~~10 \over 2~~\phantom{1}9}\) sumptionis secundi, et \({1~~1 \over 2~~6}\), scilicet \({1 \over 4}\) sumptionis primi, et \({1~~\phantom{1}1 \over 2~~18}\), scilicet \({1 \over 12}\) sumptionis tertii, fuerunt tertia pars summe et medietas tertie, hoc est medietas totius summe. 1088 Invenimus superius quod \({2 \over 3}\) sumptionis primi cum \({1 \over 9}\) sumptionis secundi et cum \({1 \over 18}\) sumptionis tertii sunt similiter medietas eiusdem summe; ergo \({2 \over 3}\) primi numeri, scilicet sumptionis primi cum \({1 \over 9}\) secundi numeri et cum \({1 \over 18}\) tertii sunt quantum \({1 \over 4}\) primi numeri et \({1~~10 \over 2~~\phantom{1}9}\) secundi et \({1 \over 12}\) tertii. Quare si de utraque portione tollatur \({1 \over 4}\) primi numeri et \({1 \over 9}\) secundi et \({1 \over 18}\) tertii, remanebunt \({5 \over 12}\) primi numeri esse quantum \({19 \over 18}\) secundi et \({1 \over 36}\) tertii numeri. 1089 Rursus investigemus sumptionem tertii hominis cum sumptione primi hominis. Quoniam tertius ex hoc quod sumpsit posuit in comune \({1 \over 6}\) remanserunt ei \({5 \over 6}\), et ex ipso \({1 \over 6}\) rehabuit tertiam partem, scilicet \({1 \over 18}\); ergo in portione sua, scilicet pro \({1 \over 6}\) totius summe, habuit \({5 \over 6}\) et \({1 \over 18}\) sumptionis sue, scilicet \({8 \over 9}\), et \({1 \over 9}\) sumptionis secundi et \({1 \over 6}\) sumptionis primi. 1090 Ergo triplum de \({8 \over 9}\) sumptionis tertii, scilicet \({24 \over 9}\), et triplum de \({1 \over 9}\), scilicet \({1 \over 3}\) sumptionis secundi, et triplum de \({1 \over 6}\), scilicet \({1 \over 2}\) sumptionis primi, faciunt \({3 \over 6}\), scilicet \({1 \over 2}\) totius summe. Invenimus enim superius quod \({2 \over 3}\) primi numeri cum \({1 \over 9}\) secundi et cum¹⁴⁷⁷ \({1 \over 18}\) tertii sunt medietas totius summe, et modo invenimus quod \({1 \over 2}\) primi numeri et \({1 \over 3}\) secundi et \({24 \over 9}\) tertii sunt eadem medietas. 1091 Quare si comuniter ex utraque proportione¹⁴⁷⁸ tollatur \({1 \over 2}\) primi numeri et \({1 \over 9}\) secundi et \({1 \over 18}\) tertii, remanebit \({1 \over 6}\) primi numeri, scilicet \({2 \over 12}\), equalis de \({2 \over 9}\) secundi numeri cum \({47 \over 18}\) tertii. Quare investigandum est per regulam quarte proportionis, cum \({2 \over 12}\) primi numeri sint \({2 \over 9}\) secundi et \({47 \over 18}\) tertii, quantum erunt \({5 \over 12}\) primi ex his que habent reliqui duo; erunt itaque \({5 \over 9}\) secundi numeri et \({235 \over 36}\) tertii. 1092 Invenimus superius quod \({5 \over 12}\) primi sunt \({19 \over 18}\) secundi et \({1 \over 36}\) tertii; et modo invenimus easdem \({5 \over 12}\) primi esse \({5 \over 9}\) secundi et \({235 \over 36}\) tertii. Et quoniam que ad idem eandem proportionem habent sibi invicem equalia sunt, ergo \({19 \over 18}\) secundi numeri cum \({1 \over 36}\) tertii sunt quantum \({5 \over 9}\) secundi et \({235 \over 36}\) tertii. 1093 Unde si comuniter tollantur ex utraque parte \({5 \over 9}\) secundi numeri et \({1 \over 36}\)¹⁴⁷⁹ tertii, remanebit \({1 \over 2}\) secundi numeri esse \({234 \over 36}\) tertii, scilicet sexcuplum et dimidium eius. Ergo medietas sumptionis secundi hominis fuit sexies et dimidia sumptionis tertii; quare tota sumptio secundi hominis est ter decuplum sumptionis tertii hominis; hoc est si tertius sumpsit 1, secundus sumpsit 13. 1094 Nam ut habeamus sumptionem primi hominis, accipe sexies \({2 \over 9}\) secundi numeri, scilicet de 13, et sexies \({47 \over 18}\) tertii, scilicet de 1, cum superius inventum sit \({1 \over 6}\) primi numeri esse \({2 \over 9}\) secundi et \({47 \over 18}\) tertii, et redige eos in unum et habebis 33 pro sumptione primi hominis; ex quibus reperies summam esse 47.

1095 Possumus aliter sumptionem primi invenire¹⁴⁸⁰: videlicet cum inventum sit quod \({8 \over 9}\) tertii numeri et \({1 \over 9}\) secundi et \({1 \over 6}\) primi sunt \({1 \over 6}\) totius summe. Quare duplum ipsarum partium, scilicet \({16 \over 9}\) tertii numeri et \({2 \over 9}\) secundi et \({1 \over 3}\) primi, facit duplum de \({1 \over 6}\) totius summe, scilicet \({1 \over 3}\). Invenimus enim superius quod \({7 \over 9}\) secundi numeri cum \({1 \over 6}\) primi et cum \({1 \over 18}\) tertii sunt similiter tertia pars summe; ergo \({1 \over 6}\) primi numeri cum \({7 \over 9}\) secundi et cum \({1 \over 18}\) tertii sunt \({1 \over 3}\) primi numeri et \({2 \over 9}\) secundi et \({16 \over 9}\) tertii. 1096 Comuniter auferatur \({1 \over 6}\) primi numeri et \({2 \over 9}\) secundi et \({1 \over 18}\) tertii; remanebunt \({5 \over 9}\) secundi equales de \({1 \over 6}\) primi et de \({31 \over 18}\) tertii. Invenimus etiam superius, totum secundum numerum esse ter decuplum tertii numeri, quare \({5 \over 9}\) secundi erunt \({65 \over 9}\) tertii. 1097 Sunt enim et \({5 \over 9}\) secundi, ut ostensum est, \({1 \over 6}\) primi numeri et \({31 \over 18}\) tertii; quare si comuniter auferantur \({31 \over 18}\) tertii, remanebunt \({11 \over 2}\) tertii numeri quantum \({1 \over 6}\) primi numeri. Quare totus primus numerus erit triguplum triplum tertii numeri. Unde cum tertius numerus sit unum, primus erit 33, ut dictum est.

1098 Et si ex hoc quod posuerunt in comune primus sumeret medietatem, secundus tertiam, tertius sextam, et unusquisque haberet portionem sibi contingentem ex predictorum sterlingorum, tunc summa ipsius pecunie esset 51. De qua invenies per investigationem proportionum ipsorum, nec non et per sequentem regulam, primum sumpsisse 30, secundum 15, tertium 6.

1099 Proponatur iterum primum posuisse¹⁴⁸¹ in comuni \({1 \over 3}\) ex hoc quod cepit¹⁴⁸², secundum \({1 \over 4}\), tertium \({1 \over 5}\), et sic primus habeat \({1 \over 2}\) totius summe, secundus \({1 \over 3}\), tertius \({1 \over 6}\), hoc est unusquisque habuit id quod suum erat. 1100 Pone itaque portiones quas ipsi tres homines habent de prescripta pecunia in ordinem, scilicet \({1 \over 6}\) \({1 \over 3}\) \({1 \over 2}\), vocabisque ea ex positione prima. Et quia primus posuit in comune \({1 \over 3}\) ex his que ceperat, remanserunt ergo ei \({2 \over 3}\); quare \({1 \over 3}\) quam posuit fuit \({1 \over 2}\) ex his¹⁴⁸³ que remanserunt ei. Similiter id quod posuit secundus fuit \({1 \over 3}\) sui residui, et id quod posuit tertius fuit \({1 \over 4}\) ex hoc quod remansit ei. 1101 Quare pone sub positione prima \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) \({1 \over 2}\) per ordinem, ut in margine cernitur; que partes erunt positionis secunde, sub quibus etiam pones \({1 \over 3}\) ter propter \({1 \over 3}\) quam rehabuit unusquisque ex hoc quod positum fuit in comune, que erunt de positione tertia. 1102 Deinde multiplica 6, in quibus reperiuntur rupti prime positionis, per 12, in quibus etiam reperiuntur rupti positionis secunde: erunt 72, que etiam multiplica per 3, cum in 3 reperiantur rupti positionis tertie: erunt 216, et tot pone pro summa totius pecunie. Quorum \({1 \over 2}\) pone super \({1 \over 2}\) prime positionis, scilicet 108, et tertiam, scilicet 72, super \({1 \over 3}\), et sextam

36 72 108 positio prima \({1 \over 6}\) \({1 \over 3}\) \({1 \over 2}\) secunda \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) \({1 \over 2}\) tertia secunda prima 72 72 72 positio tertia \({1 \over 3}\) \({1 \over 3}\) \({1 \over 3}\)

¹⁴⁸⁴ super \({1 \over 6}\), que est 36. 1103 Post hec accipe ex predictis numeris per ordinem partes secunde positionis, scilicet \({1 \over 2}\) de 108 et \({1 \over 3}\) de 72 et \({1 \over 4}\) de 36: erunt 54 et 24 et 9, scilicet 87, et tot posuerunt in comuni. Deinde divide predicta 216 per partes tertie positionis: exibunt 72 super unaquaque \({1 \over 3}\). 1104 Extrahe quidem priora 72 de 108; remanent 36, quorum \({1 \over 2}\) accipe pro \({1 \over 2}\) quod est de secunda positione: erunt 18 addita, que serva in manu et extrahe secunda 72 de 72 que sunt super \({1 \over 3}\); remanet 0, cuius \({1 \over 3}\) accipe pro \({1 \over 3}\) que est in secunda positione; erit 0, quod adde cum 18 servatis: erunt 18. 1105 Et quia 72 que sunt in tertio loco, scilicet super \({1 \over 3}\) tertie positionis, non possunt extrahi de 36, extrahe 36 de ipsis 72; remanebunt 36 diminuta, de quibus accipe \({1 \over 4}\) pro \({1 \over 4}\) que est in secunda positione; erunt diminuta 9, que abice de 18 servatis: remanent 9 addita. 1106 Quare cum sint addita, debes ea extrahere de 216; et si essent diminuta adderes ea. Remanebunt 207, que sunt summa que remansit eis post posita 87 in comune. Quare addes ea insimul: erunt 294 pro summa totius pecunie ipsorum. De quorum medietate, scilicet de 147, extrahe tertiam de 87 quam rehabuit primus, scilicet 29; remanent 118, quibus superadde \({1 \over 2}\) eorum pro \({1 \over 2}\) secunde positionis: erunt 177, et tot habuit primus de prescripta pecunia. 1107 Rursus de portione secundi hominis, scilicet de \({1 \over 3}\) de 294, abice 29 que rehabuit ipse ex predictis 87; remanebunt 69, super que pone \({1 \over 3}\) eorum propter \({1 \over 3}\) secunde positionis: erunt 92, et tot habuit secundus. Adhuc de 49, que sunt \({1 \over 6}\) de 294, scilicet de portione tertii hominis, extrahe 29; remanebunt 20, quibus adde \({1 \over 4}\) eorum pro \({1 \over 4}\) secunde positionis: erunt 25, et tot habuit tertius homo.

1108 Et si proponeretur primum rehabuisse \({1 \over 2}\) ex hoc quod posuerunt

36 72 108 positio prima \({1 \over 6}\) \({1 \over 3}\) \({1 \over 2}\)           \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) \({1 \over 2}\) secunda 36 72 108   \({1 \over 6}\) \({1 \over 3}\) \({1 \over 2}\) tertia

¹⁴⁸⁵ in comune, secundum \({1 \over 3}\), tertium \({1 \over 6}\), operaberis ut supra donec habeas 87; deinde sub secunda positione pone in tertia \({1 \over 6}\) \({1 \over 3}\) \({1 \over 2}\), scilicet partes que rehabuerunt ex posito in comune; quas partes accipe de 216, et habebis 108 super \({1 \over 2}\) et 72 super \({1 \over 3}\) et 36 super \({1 \over 6}\), ut in hac alia cernitur descriptione. 1109 Et quia extractis ipsis numeris per ordinem de numeris qui sunt super primam positionem nichil remanet, ideo nichil debemus addere vel extrahere a 216. Quare 216 erunt residuum quod remanet eis, posita 87 in comune. Quare adde 87 et 216: erunt 303 pro summa totius pecunie, quam divides inter eos ordine quo divisisti 294 et invenies primum habuisse 162, secundum 96, tertium 45.

1110 Rursus dividatur id quod posuerunt in comune, ita quod primus rehabeat inde \({1 \over 2}\), secundus \({2 \over 5}\), tertius \({1 \over 10}\). Positis quidem partibus trium positionum ut hic cernitur, multiplica 6 per 12, que per 10, in quibus reperiuntur fractiones trium positionum: erunt 720, que pone diviso per partes prime positionis et tertie, et habebis 360 super \({1 \over 2}\) et 240 super \({1 \over 3}\) et 120 super \({1 \over 6}\), et super partes tertie positionis habebis 360 et 288 et 72. 1111 Deinde accipe per ordinem \({1 \over 2}\) de 360 et \({1 \over 3}\) de 240 et \({1 \over 4}\) de 120, scilicet partes secunde positionis: erunt 180 et 80 et 30, que sunt in summa 290, et tot posuerunt in comune. Deinde de 360 prime positionis extrahe 360 tertie; remanet 0, cuius dimidium cum sit 0 relinque et de 288 extrahe 240: remanent 48 diminuta, et hoc dico cum 288 non possunt extrahi de 240. De quibus 48 accipe \({1 \over 3}\) pro \({1 \over 3}\) secunde positionis; erunt 16 diminuta, que serva, et extrahe 72 de 120: remanent 48 addita, pro quibus \({1 \over 4}\) habentur 12 similiter addita. 1112 Oppone itaque addita cum diminutis, scilicet 12 cum 16; remanebunt 4 diminuta, que adde cum 720: erunt 724, et tot remanserunt eis positis 290 prescriptis, quibus insimul additis reddunt 1014 pro summa totius pecunie eorum. Deinde divide 290 per partes tertie positionis, et habebis 145 sub \({1 \over 2}\) et 116 sub \({2 \over 5}\) et 29 sub \({1 \over 10}\); et 1014 divide per partes prime positionis: venient 507 et 338 et 169. 1113 Deinde de 507 extrahe 145¹⁴⁸⁶; remanent 362, quibus adde \({1 \over 2}\)

169 338 507 positio prima 120 240 360   \({1 \over 6}\) \({1 \over 3}\) \({1 \over 2}\)           \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) \({1 \over 2}\) secunda 72 228 360   \({1 \over 10}\) \({2 \over 5}\) \({1 \over 2}\) tertia 29 116 145

¹⁴⁸⁷ eorum propter \({1 \over 2}\) quod est in secunda positione: erunt 543, et tot sumpsit primus de comuni pecunia. Similiter de 338 extrahe 116; remanent 222, quibus superadde tertiam eorum: erunt 296, et tot sumpsit secundus. 1114 Item extrahe 29 de 169; remanent 140, quibus adde quartam eorum: erunt 175, et tot sumpsit tertius de predicta pecunia. Et si diceretur¹⁴⁸⁸ summa totius pecunie fuisse 100, multiplica 543 et 296 et 175 per 100, et divides unamquamque multiplicationem per 1014.

1115 Item tres homines habeant pecuniam comunem, de qua \({1 \over 2}\) sit primi, secundi \({2 \over 5}\), tertii \({1 \over 10}\); quam cum sumerent inter se fortuitu¹⁴⁸⁹, primus ex hoc quod cepit posuit \({1 \over 2}\) in comune, secundus \({1 \over 3}\), tertius \({1 \over 6}\); ex quibus positionibus unusquisque cepit tertiam, et sic quilibet eorum suam habuit portionem.

1116 Pro prima quidem positione pones \({1 \over 10}\) \({2 \over 5}\) \({1 \over 2}\) et pro

30 120 150   \({1 \over 10}\) \({2 \over 5}\) \({1 \over 2}\) prima \({1 \over 5}\) \({1 \over 2}\) 1 secunda 100 100 100   \({1 \over 3}\) \({1 \over 3}\) \({1 \over 3}\) tertia

¹⁴⁹⁰ tertia ter¹⁴⁹¹ \({1 \over 3}\); pro secunda quoque oportebit ponere \({1 \over 5}\) \({1 \over 2}\) 1, cum id quod posuit primus in comune fuerit quantum illud quod remansit ei, et id quod posuit secundus fuerit \({1 \over 2}\) eius quod remansit, et positio tertii fuerit \({1 \over 5}\) sui residui. Pone itaque ipsas positiones in ordinem¹⁴⁹², et multiplica 10 per 10 que per 3 et habebis 300, in quibus reperiuntur fractiones trium positionum. 1117 Quare pone 300 in partes prime et tertie positionis divisa super ipsas positiones, et habebis super primam positionem 150 et 120 et 30 et super tertiam habebis 100 ter. Deinde accipe partes secunde positionis de numeris superioribus: venient 150 et 60 et 6, hoc est in summa 216, que habeantur pro eis que posuerunt in comune. 1118 Item extrahe 100 de 150; remanent 50, que divide per 1 secunde positionis: exibunt 50 addita. Adhuc extrahe 100 de 120; remanent 20, quorum medietas sunt 10 addita, que adde cum 50 additis: erunt 60 addita. 1119 Item extractis 30 de 100 remanent 70 diminuta, quarum quinta sunt 14 diminuta, quibus extractis de 60 additis remanent 46 addita, que extrahe de 300: remanent 254, que sunt residuum. Quare adde ea cum 216: erunt 470 pro summa pecunie eorum¹⁴⁹³, quam cum diviseris ordine demonstrato, invenies primum sumpsisse 326, secundum 174, que cum insimul iunguntur faciunt plus de 470. 1120 Quare hec questio non potest solvi nisi solvatur cum aliqua propria pecunia tertii hominis; et tunc erit talis questio, quod pecuniam quam ipsi tres habebant comunem, nec non et pecuniam propriam tertii hominis, sumpserunt fortuitu inter primum et secundum hominem. Post hec primus posuit in comune \({1 \over 2}\) ex hoc quod ceperat, secundus \({1 \over 3}\); ex quibus positionibus tertius homo cepit \({1 \over 6}\) de ipsa pecunia propria quam socii habuerant. 1121 Post hec, de residuo unusquisque sumpsit tertiam partem, et sic habuit quilibet ipsorum id quod suum erat. Et tunc, ut diximus, primus sumeret 326, secundus 174, et pecunia propria tertii hominis fuit 30. Quam si 20 esse vis, erit sicut¹⁴⁹⁴ 30 ad 20, ita 326 ad id quod sumpsit primus, et sic 174 ad id quod sumpserit secundus. 1122 Quare multiplicabis 326 et 174 per 20 et divides per 30, scilicet accipe \({2 \over 3}\) eorundem: exibunt \({1 \over 3}\) 217¹⁴⁹⁵ et 116 pro sumptionibus eorum. De quorum summa extrahe 20 predicta: remanebunt \({1 \over 3}\) 313 pro summa comunis pecunie.

1123 Nam si vis ut comunis pecunia sit 100, et queras quantitatem proprie pecunie tertii hominis nec non et quantum cepit unusquisque reliquorum, erit tunc sicut 470 ad 100, scilicet sicut inventa summa ad quesitam, ita 30 ad pecuniam tertii hominis. Quare multiplicabis 10 per 30 et divides per 47: exibunt \({18 \over 47}\) 6 pro pecunia propria tertii hominis; que adde cum 100: erunt \({18 \over 47}\) 106, que multiplica per 326 et per 174 et divide unamquamque multiplicationem per coniunctum ex eis, scilicet per 500.

1124 De eodem inter quattuor homines

Rursus quattuor homines habeant pecuniam comunem, cuius tertia sit

240 288 432 480 positio prima \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) \({3 \over 10}\) \({1 \over 3}\) positio secunda \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) \({1 \over 2}\) 1 positio tertia 360 360 360 360 \({1 \over 4}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 4}\) \({1 \over 4}\)

¹⁴⁹⁶ primi et \({3 \over 10}\) sit secundi et \({1 \over 5}\) sit tertii et \({1 \over 6}\) sit quarti; quam totam pecuniam cum inter se fortuitu dividerent, primus ex his que ceperat posuit dimidium in comune, secundus \({1 \over 3}\), tertius \({1 \over 4}\), quartus \({1 \over 5}\). De quibus quattuor positionibus cum unusquisque caperet \({1 \over 4}\), quilibet ipsorum habuit suam portionem.

1125 Pones itaque in prima positione \({1 \over 6}\) \({1 \over 5}\) \({3 \over 10}\) \({1 \over 3}\), et in secunda \({1 \over 4}\) \({1 \over 3}\) \({1 \over 2} 1\), et in tertia pones \({1 \over 4}\) quater, et operaberis ut supra, et invenies summam pecunie esse 2190, de quibus primus sumpsit 1034, secundus 666, tertius 300, quartus 190.