119 De divisione de 10 in tres partes³⁰¹ inequales secundum continuam proportionem

Si proponatur³⁰² ut dividas³⁰³ 10 in tres inequales partes, quarum multiplicata minore in maiorem faciat quantum secunda multiplicata in se ipsam, sic facies. Pone ut prima pars sit aliquis numerus, ut 1; deinde pone³⁰⁴ ut secunda pars sit alius quislibet numerus, ut dicamus 2, que multiplica in se: faciunt 4, que divide per 1; venient 4³⁰⁵. Modo habes tres numeros, scilicet 1 et 2 et 4, ex quibus multiplicatis primo per tertium, scilicet 1 per 4, facit tantum quantum secundus in se ipsum, scilicet 2 per 2. 120 Unde colligas 1 et 2 et 4; faciunt 7, que cum vellent esse 10, dices: pro 1 quod pono pro prima illarum trium partium pervenit 7 in earum summa; quid ponam pro eadem ut perveniat in summa³⁰⁶ 10? Multiplicabis itaque 1 per 10, que divides per 7: exibit pro quantitate prime partis \({3 \over 7}\) 1. Item multiplicabis eademque ratione secundam partem, scilicet 2, per 10; erunt 20, que divides iterum per 7: exibunt \({6 \over 7}\) 2, et tantum est secunda pars. 121 Rursus multiplicabis 4 que sunt tertia

prima \({3 \over 7}\) 1 secunda \({6 \over 7}\) 2 tertia \({5 \over 7}\) 5

³⁰⁷ pars per 10; erunt 40, que divides per 7: exibunt pro tertia parte \({5 \over 7}\) 5. Multiplicatio igitur de \({3 \over 7}\) 1 in \({5 \over 7}\) 5 est quantum multiplicatio de \({6 \over 7}\) 2 in se; et \({3 \over 7}\) 1 et \({6 \over 7}\) 2 et \({5 \over 7}\) 5 insimul iunctis faciunt 10, ut querebatur. Potest enim 10 secundum prescriptam conditionem in infinitas tres et varias³⁰⁸ partes dividere; quia si alios in principio in continua proportione³⁰⁹ poneremus numeros preter quod 1 et 2 et 4, in alias partes 10 redderent divisa, quarum semper prima multiplicata in tertiam faciet quantum secunda multiplicata in se.

122 De eodem in quattuor partes

Item si 10 in quattuor partes dividere volueris, ita quod multiplicata prima in quartam faciat quantum secunda in tertiam, et rursus multiplicata prima in tertiam faciat quantum secunda in se ipsam, et iterum multiplicata secunda in quartam faciat quantum tertia³¹⁰ in se ipsam. Hanc enim divisionem in infinitas variasque partes possumus invenire, quare unam demonstrationem pro multis ostendamus.

123 Ponas³¹¹ ut prima pars sit 1, secunda bis tantum, scilicet 2, tertia bis tantum secunde, scilicet 4, quarta bis tantum tertie, scilicet 8. Hi quattuor numeri sunt in continua proportione. Unde coadunatis his quattuor partibus, scilicet 1 et 2 et 4 et 8, faciunt 15, que vellent esse 10. Unde dices: pro 1 quod pono pro³¹² prima parte, perveniunt 15 in summa eorum quattuor partium; quid ponam pro eadem parte ut veniant³¹³ 10 in earum summa? 124 Multiplicabis enim 1 per 10 et divides per 15: exibunt \({2 \over 3}\) unius integri pro prima

prima \({2 \over 3}\) secunda \({1 \over 3}\) 1 tertia \({2 \over 3}\) 2 quarta \({1 \over 3}\) 5

³¹⁴ parte. Item multiplicabis singulariter 2 et 4 et 8 per 10 et singulariter divides per 15, et habebis pro secunda parte \({1 \over 3}\) 1³¹⁵, pro tertia³¹⁶ \({2 \over 3}\) 2 et pro quarta \({1 \over 3}\) 5. Vel habita prima parte, duplicabis eam et habebis secundam, qua duplicata³¹⁷ habebis tertiam, qua duplicata habebis quartam. Vel quia 10 sunt \({2 \over 3}\) de 15, accipe \({2 \over 3}\) prescriptorum quattuor numerorum et habebis quesitas³¹⁸.

125 De eodem in quinque partes³¹⁹

Rursus si 10 in plures partes quam in³²⁰ quattuor, ut in 5, secundum continuam

prima \({10 \over 31}\) secunda \({20 \over 31}\) tertia \({9 \over 31}\) 1 quarta \({18 \over 31}\) 2 quinta \({5 \over 31}\) 5

³²¹ proportionalitatem dividere volueris, hoc est quod multiplicata prima in quintam³²² faciat quantum secunda in quartam et quantum tertia in se ipsam. Et iterum prima in quartam faciat quantum secunda in tertiam. Et iterum prima in tertiam quantum secunda in se ipsam. Et iterum secunda in quintam quantum tertia in quartam. Et adhuc tertia in quintam quantum quarta in se ipsam.

126 Pones³²³ itaque secundum quod superius fecisti pro prima parte 1, pro secunda 2, pro tertia 4, pro quarta 8, pro quinta 16. Adde ergo 1 et 2 et 4 et 8 et 16; erunt 31, que cum velint esse 10, multiplicabis 1 per 10 et divides per 31: exibunt \({10 \over 31}\) pro quantitate prime partis. Deinde multiplicabis 2 per 10 et divides per 31: exibunt \({20 \over 31}\) pro secunda parte. Et sic facies de reliquis tribus partibus, et habebis³²⁴ pro tertia \({40 \over 31}\), hoc est \({9 \over 31}\) 1, et pro quarta \({80 \over 31}\), hoc est \({18 \over 31}\) 2, et pro quinta \({160 \over 31}\), hoc est \({5 \over 31}\) 5; quibus insimul iunctis faciunt 10 ut querebatur.